(新版)新人教版九年级数学上册第24章圆类比归纳专题切线证明的常用方法课件

第24章 圆
阶段方法专训 证明圆的切线的七种常用方法
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1．如图，⊙O的直径AB＝12，点P是AB延长线上一点， 且PB＝4，点C是⊙O上一点，PC＝8.
求证：PC是⊙O的切线． 证明：连接OC. ∵⊙O的直径AB＝12，∴OB＝OC＝6. ∵PB＝4，∴PO＝10. 在△POC中，PC2＋CO2＝82＋62＝100，
Hale Waihona Puke (2)求线段AC的长． 解：在Rt△BED和Rt△FCD中， DE＝DC， DB＝DF， ∴Rt△BED≌Rt△FCD(HL)． ∴BE＝CF＝2. ∵∠ABC＝90°，BD是半径，∴AB是⊙D的切线． 又∵AF切⊙D于F，∴AF＝AB＝5. ∴AC＝AF＋CF＝5＋2＝7.
7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＋BC ＝CD，以AB为直径作⊙O.求证：⊙O与边CD相切． 证明：如图，连接DO并延长，交CB的延长线于点E. 易证△AOD≌△BOE， ∴AD＝BE，∠E＝∠ADO. ∵AD＋BC＝CD，∴CD＝CE. ∴∠E＝∠CDE＝∠ADO. 作OF⊥CD于点F，∴OF＝OA.∴⊙O与边CD相切．
解：如图，过点C作CH⊥AD于点H. ∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O 于A，B两点， ∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°. ∴四边形ABCH是矩形． ∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4.
∵CD是⊙O的切线， ∴CE＝BC＝4. ∴DH＝AD－BC＝AD－4，CD＝DE＋CE＝AD＋4. ∵CH2＋DH2＝CD2， ∴122＋(AD－4)2＝(AD＋4)2， ∴AD＝9.

辅助线：（有切点）
A
C
B
已知：D为∠BAC平分线上一点， FD⊥AB于F,以D为圆心、FD为半径作 ⊙D。 A 求证：⊙D与AC相切。
例2
应用举例
F B
D
E
证明：过D作DE⊥AC于E。 ∵ AD平分∠BAC，FD⊥AB ∴ DE＝FD （即圆心D到AC的距离 d = r ） ∴ AC是⊙D切线。
辅助线：（无切点）
1.看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
（1） l
· O · O
基础训练
（2）
（3）
· O
l 相离 相交 （5）
· O · O ？
l 相切
（4）
相交
l
l
二、直线和圆的位置关系
（用数量关系来区分）
分类讨论
d > r
d ．Ｏ r ┐ l
1.直线和圆相离
2.直线和圆相切
d = r
．O d r ┐
l
3.直线和圆相交
证明直线与圆相切有如下三种途径:
归纳总结
1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆 的切线。
2、数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是 圆的切线。
直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段， 然后说明这条线段的长等于圆的半径．
3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。
1. 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么 数量关系? 2. 二者位置有什么关系？为什么？ 3. 由此你发现了什么？
O
l
A
问题探究
归纳：(1)直线l 经过半径OA的外端点A； (2)直线l 垂直于半径0A． 则直线l 与⊙O相切
O l A
这样我们就得到了从位置上来判定直线是 圆的切线的方法——切线的判定定理．

新课讲解
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90° ，∠BAC的平分线 交BC于点D.以D为圆心，DB为半径作⊙D. 求证：AC与⊙D相切.
解：过点D作DE⊥AC于点E，如图所示.
因为∠ABC=90°，
E
所以AB⊥BC，
又AD平分∠BAC，DE⊥AC，
所以DE=DB，
所以AC与⊙D相切.
课堂小结
新课讲解
练一练
下列命题中，真命题是( D ) A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
新课讲解
知识点2 切线的性质
如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
应用格式 ∵直线 l 是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线 l ⊥OA.
O l
A
新课讲解
性质定理的证明
B
证法1：反证法.
O
(1) 假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂
直于CD,垂足为M.
C
AM D
(2) 则OM<OA，即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此，
CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相径，MN是⊙O的切线，切点为N，如
果∠MNB =知52识°点，那么∠NOA的度数为(A )
A.76° B.56° C.54
D.52°
分析：∵MN是⊙O的切线，
∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，
∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°，
∵ON=OB，
∴∠B=∠ONB=38° ∴∠NOA=2∠B=76°．

如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。 B
思考:由切线长定理
O。 C
P
可以得出哪些结论？
A
A
c b
r.
r = a+b-c
2
你能推出 这个公式吗？
C
B
a
例：直角三角形的两直角边分别是5cm， 12cm 则其内切圆的半径为
__2_c_m__。
活动三：例题讲解
想一想
A D
1.如图⊙O是△ABC的内切圆。
C
E
o
60°
D
AB
课后作业： 教材 P101-102 习题24.2 ，第6、11、14题
早/起/的/鸟/儿/有/虫/吃
两切线的夹角。
思考：切线与切线长 有何区别？
B
P O
A
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
三、教材P99 1、三角形内切圆圆心有何性质？
2、如何确定三角形内切圆的圆心？ 3、画出△ABC的内切圆
三角形内心：三角形内切圆的圆心、三条角形平 分线的交点、内心到三边的距离相等。
切线长定理
教
了解切线长定理，掌握切线长定理并能用它解决
有关的证明或计算问题；
学
培养学生操作、观察、交流讨论、合作探究能力，
目
养成积极主动的良好学习习惯；
渗透数形结合思想，提高综合运用知识分析新问
标
题，解决问题的能力。
教学重难点
重点：理解切线长定理
难点：与切线长有关的证明 或计算问题，三角形的内切 圆计算问题
B O
A
1、什么叫做圆外一点到圆 的切线长？ 2、切线长定理的内容是什么？ 3、这个定理是怎样证明的？

三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为

2. 砂轮打磨零件时,溅出火星沿着砂轮 的什么方向飞出去的?
下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上 打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
探究新知
切线的判定定理
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过
点A作圆O的切线？
B
视察：（1） 圆心O到直线AB的距离 和圆的半径有什么数量关系?
C
E 作OE⊥BC于E
当已知条件中没有明确直 线与圆是否有公共点时
辅助线：
无共点,做垂直，证半径
练一练
如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D， DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
课堂小结
一、判定一条直线是圆的切线的三种方法
１、利用定义： ２、利用定理： ３、利用切线的判定定理：
二、辅助线添加的方法
复习导入
直线与圆的位置关系:相交、相切、相离
图中直线l满足什么条件时
是⊙O的切线？
O
方法1：直线与圆有唯一公共点
l
方法2：直线到圆心的距离等于半径
注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方 法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。
探究新知
1. 当你在下雨天快速转动雨伞时,水滴 顺着伞的什么方向飞出去的？
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵
， ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
又OE ⊥AB ，OF⊥AC. ∴OE ＝OF.
A
E
F
B
O
C
OF ＝OE，OF ⊥ AC.
例题讲授
证明： 连接OC
Ｏ
∵ OA=OB，CA=CB

树形图 :
所以有6种等可能的结果,而甲、乙、丙抽到1号卡片各有2种可 能结果,所以甲、乙、丙中奖的概率都是 1 .
3 还可以用如下的表格列举试验的可能结果.
甲1 1 2 2 3 3 乙2 3 1 3 1 2
追问: 如果三个人参加抽签,但有两份奖品,规定抽到1号或2号卡 片都可以中奖,那么甲、乙、丙中奖的概率分别是多少?
在一次知识竞赛中,有三名同学都答対了,但奖品只有一份,谁应 该得到这份奖品呢?他们决定用抽签的方式来确定. 取3张大小相同,分别标有数字1,2,3的卡片,充分混匀后扣到桌子上, 按甲、乙、丙的顺序,每人从中任意抽取1张(取后不放回),规定抽到1 号卡片的人中奖.中奖的概率和抽签的顺序有关吗?
引导思考: 1.甲抽取卡片有几种可能?哪几种? 2.乙抽取卡片有几种可能?丙呢?
考试加油!奥利给
用频率估计概率〔2〕
知识回顾
1.什么是频率?什么是概率? 2.同一事件的频率和概率相等吗? 3.上节课的抛硬币试验中频率是稳定的吗?概率呢? 4.上节课的抛硬币试验中频率的波动与试验次数有什么关系?
探究发现
如下图,在4张图片中,(1)和(2),(3)和(4)分别拼在一起时,各为一个 完整的心形图片.将4张图片背面向上,充分混匀后,从中依次任意取 出2张,能拼成一个完整的心形图案算〞成功”,否那么算〞失败”.
随堂练习
1.将一枚质地均匀的硬币连续掷了三次,三次均是正面
朝上的概率是
A. 1
8
B.
1 4
(A )
C. 3
1
D等可能的结果,只有一种情况是
1
三次均是正面朝上的,所以所求概率为 8 .应选A.
2.从1,2,3,4这四个数字中,任意抽取两个差别的数字组成一个两位数,

13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
∵OD＝OB，∠COD＝∠COB，OC＝OC， ∴△COD≌△COB(SAS)． ∴∠CDO＝∠CBO. ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO＝90°.∴∠CDO＝90°. ∴CD是⊙O的切线．
(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，OE＝r＋1， ∵CD是⊙O的切线，∴∠EDO＝90°. ∴ED2＋OD2＝OE2. ∴32＋r2＝(r＋1)2.解得r＝4. ∴⊙O的半径为4.
解：如图，∵OD⊥AC，∴AF＝CF. ∵AC∥DE，且OA＝AE， ∴F为OD的中点，即OF＝FD. 在△AFO和△CFD中， AF＝CF，∠AFO＝∠CFD，OF＝DF，
∴△AFO≌△CFD(SAS)．∴S△AFO＝S△CFD. ∴S四边形ACDE＝S△ODE. 在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝4， ∴OE＝8，
第24章 圆

）
（3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线。 （4）过圆的半径外端的直线是圆的条半径垂直的直线是圆的 切线。 （√ ）
2、在平面直角坐标系中，以点（2，3） 为圆心,2为半径的圆与x轴的位置关系 是 相离 ,与y轴的位置关系是 相切 。
A
3、如图,△ABC中， AB=AC，以AB为直径的 ⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E。 求证:PE是⊙O的切线。
A
C
B
〖例2〗 已知:O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB于D,以O 为圆心,OD为半径作⊙O。 求证:⊙O与AC相切。 过点O作OE⊥AC，垂足为E。 B D
作垂直，证半径 证明：
∵AO平分∠BAC,OD⊥AB, ∴OD=OE ∵OD为 ⊙O的半径， A ∴ OE也为⊙O的半径 ∴⊙O与AC相切。
O
E
C
1、如图 ：AB是⊙O 的直径,
∠ABT=45°，AT=AB,
求证：AT 是⊙O 的切线.
T
B
·
O
A
2.已知:如图,ABCD为直角梯形,AB⊥BC, CD＝AD＋BC. 求证:以CD为直径的圆与AB相切。
证明：过点O作OE⊥AB,垂足为E. ∵ABCD为直角梯形,AB⊥BC,
∴AD//OE//BC
O
几何符号表达：
∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
A
例1 ：如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且
OA=OB,CA=CB.求证：直线AB 是⊙O 的切线.
证明：连接OC.
∵OA=OB，CA=CB，
连半径，证垂直
O
∴△OAB是等腰三角形， OC是底边AB上的中线. ∴OC⊥AB
∴AB是⊙O的切线。
1、圆的切线的定义

切线（×）
O l
r
A
O r
O l
●
O
l
r
┐
l
A
A
AБайду номын сангаас
2、已知如图△ABC内接于⊙O，过点A作直线 EF，AB为直径,还需添加的条A件B是⊥＿E＿F＿＿＿.使 得EF是⊙O的切线。
F
O
B
A
C
E
定理应用：
例1、如图 AB是⊙O的直径,∠ABT=45°AT=AB, 求证：AT 是⊙O的切线.
证明: ∵ ∠1 = 45°，AT=AB
定理应用：
例3、 如图，已知：O为∠BAC平分线上一
点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径
作 ⊙O。求证：⊙O与AC相切。
A
DB O
E C
无交点，作垂直，证半径
归纳： 例2与例3的证法有何不同?
O AC B
DB
A
O
E C
(1)有交点，连半径,证垂直. (2)无交点, 作垂直,证半径.
练习1、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
圆心到直线距
离d与半径r的 d < r d = r d > r
关系（数量）
O
l
O
d
l
点A叫半径OA的外端
作半径OA
经过点A作直线
无数条
O
·A
相交 相切
与圆O的位置关系
1、判断： 两个条件缺一不可
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（×）
(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（×）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的
人教版九年级上册