华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 仰角、俯角问题》公开课教案_23

第24章 解直角三角形24.4 解直角三角形解与仰角、俯角有关的直角三角形（第2课时）教学目标1.理解仰角、俯角的含义，能准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.教学重难点重点：理解解直角三角形的含义.难点：能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.教学过程复习巩固1.锐角三角函数：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则 两锐角关系：∠A+∠B ＝90°. 三边关系：a 2+b 2＝c 2. 边角关系：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sin A ＝∠A 的对边斜边；(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cos A ＝∠A 的邻边斜边；(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.教学反思导入新课我们已经掌握了直角三角形的有关性质以及边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的重要依据，这节课就是利用直角三角形解关于仰角与俯角的问题.教师引出课题：24.4解直角三角形解与仰角、俯角有关的直角三角形（第2课时）探究新知探究点一仰角、俯角的概念活动1（学生交流，教师点评）阅读教材第113页读一读【总结】在进行观察或测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.典例讲解（师生互动）例1如图，为了测量电线杆的高度BC，在离电线杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得电线杆顶端C的仰角a＝52°，求电线杆BC的高.（精确到0.1米）【探索思路】(引发学生思考)本题要求BC，由图示可知BC＝CE+EB，而EB＝DA，因此只要求出CE问题就解决了.【解】在Rt△CDE中，∵CE＝DE tan α＝AB tanα＝10 tan 52°≈12.80（米），∴BC＝BE+CE＝DA+CE＝1.50+12.80＝14.3（米）.答：电线杆BC的高为14.3米.探究点二利用三角函数解实际问题的一般步骤活动2（学生交流，教师点评）【总结】利用三角函数解实际问题的一般步骤：（1）首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论；（2）找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；（3）合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案. 教学反思例2 如图，热气球探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD 为100米，试求这栋楼的高度BC .【探索思路】分析法：要求BC ，先求出BD 与CD ，只要解Rt △ADB 、Rt △ADC .【解】由题意，得α＝30°，β＝60°，AD ＝100米，∠ADC ＝∠ADB ＝90°. ∴在Rt △ADB 中，α＝30°，AD ＝100米，∴tan α＝BD AD ＝BD 100＝33，∴BD ＝10033米.在Rt △ADC 中，β＝60°，AD ＝100米，∴tan β＝CD AD ＝CD100＝3，∴CD ＝1003米.∴BC ＝BD +CD ＝10033+1003＝40033 (米)，即这栋楼的高度BC 是40033米.【题后总结】(学生总结，老师点评)首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ADB 、△ADC ，利用BC ＝BD +CD 可求出答案. 【归纳】仰角、俯角问题的常见基本模型：模型一 模型二模型三 模型四 模型五【即学即练】如图，某大楼顶部有一旗杆AB ，甲乙两人分别在相距6米的C ，D 两处测得B 点和A 点的仰角分别是42°和65°，且C ，D ，E 在一条直线上.如果DE ＝15米，求旗杆AB 的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1)教学反思【解】在Rt △ADE 中，∠ADE ＝65°，DE ＝15米，则tan ∠ADE ＝AEDE ，即tan 65°＝15AE≈2.1，解得 AE ≈31.5米.在Rt △BCE 中，∠BCE ＝42°，CE ＝CD +DE ＝21米，则tan ∠BCE ＝BECE ，即tan 42°＝21BE≈0.9，解得 BE ≈18.9米.则AB ＝AE -BE ＝31.5-18.9≈13(米). 即旗杆AB 的长大约是13米. 【方法总结】把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.课堂练习1.如图所示，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30 m 的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为( )A.30tan m B.30sin α m C.30tan α m D.30cos α m2.如图所示，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞机的飞行高度AC ＝1 200 m ，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α＝30°，则飞机A 与指挥台B 的距离为( )A.1 200 mB.1 200√2 mC.1 200√3 mD.2 400 m 3.如图所示，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB.已知观测点C 到旗杆的距离CE ＝8 m ，测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA ＝30°，旗杆底部B 的俯角∠ECB ＝45°，那么，旗杆AB 的高度是( )教学反思A.(C.⎛⎝⎭m D.8⎛⎝⎭m4.如图，从热气球C上测得建筑物A，B底部的俯角分别为30°和60°.如果这时热气球高度CD为150米，且点A，D，B在同一直线上，则建筑物A，B间的距离为( )A.150√3mB.180√3mC.200√3mD.220√3m5.如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m到C点，又测得楼顶的仰角为45°，6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为多少米.参考答案1.C【解析】在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∵BO＝30 m，∠ABO＝α，tan∠ABO＝AOBO，∴AO＝BO tan α＝30tan α m.故选C.2.D【解析】由题意，得∠B＝30°，所以sin B＝12ACAB＝.又AC＝1 200 m，所以AB＝2AC＝2 400 m.3.D【解析】由题意，得AE＝CE tan∠ECA＝(m)，教学反思BE ＝CE tan ∠ECB ＝8(m).∴AB ＝BE +AE＝8⎛ ⎝m.4.C 【解析】∵ ∠A ＝30°，∠B ＝60°，在Rt △ACD 中，tan A ＝CDAD， ∴AD tan CD A ＝150√3（m ）.在Rt △BCD 中，tan B CDBD ＝， ∴BD tan CD B ＝＝50m ）， ∴ AB ＝AD +BD ＝m ）.5.【解】设楼高AB 为x m.在Rt △ADB 中，DB tan30x︒＝＝.∵ ∠ACB ＝45°，∴ BC ＝AB ＝x .∴ CD ＝BD −BC ＝(√3−1)x ＝60，解得x ≈82. 故高楼的高度大约为82米.6.【解】如图，过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G .由题意知C ，E ，G 三点共线.设AG ＝x m.由题意可知AB ⊥DB ，CG ∥DB ，∠AGE ＝90°.在Rt △AEG 中，∵ ∠AEG ＝60°，tan ∠AEG ＝AG EG，∴EG ＝tan 60AG ︒＝(m). 在Rt △ACG 中，∵ ∠ACG ＝30°，tan ∠ACG ＝AGCG，∴CG ＝tan30tan30AG x︒︒＝＝√3x (m). ∵CE ＝DF ＝100 m ，而CG −EG ＝CE x ＝100，解得x ＝50√3.∴AB ＝AG +GB ＝(50√3+1) m.课堂小结(学生总结，老师点评) 仰角、俯角的概念：在进行观察或测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 利用三角函数解实际问题的一般步骤： （1）首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论； （2）找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；（3）合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案.教学反思【方法总结】把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.布置作业教材第114页练习题第1，2题.板书设计课题 24.4 解直角三角形解与仰角、俯角有关的直角三角形 （第2课时）一、仰角、俯角的概念 例1 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.二、解直角三角形的基本模型 例2模型一 模型二模型三 模型四模型五教学反思。

24.4解直角三角形（第一课时）一、教学目标知识与技能：1、理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三种关系式解直角三角形。

2、能从从具体问题中化归出直角三角形，并解直角三角形。

过程与方法：让学生在探究并解决解直角三角形的过程中，体验实际问题化归为数学问题的过程，并初步形成数学化归、建模思想。

情感、态度与价值观：通过实际问题，让学生体验运用数学知识解决实际问题的乐趣，体验数学源于生活又用于生活的美好感受。

二、教学重难点重点：运用直角三角形的边角关系解直角三角形中的未知元素。

难点：1、将实际问题化归成解直角三角形的问题；2、解决问题时边角关系的选择。

三、教学过程： （一）复习1．直角三角形有几条边？几个角？点出：直角三角形的角和边称之谓“元素”。

2．直角三角形的5个不确定元素之间满足哪些关系式？（二）探究1．如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，（1）如果∠A=30°，则∠B= 度。

（提问：能求出边的长度吗？）（2）如果a =1，b = 1，则 c = 。

（提问：能求出角的度数吗？）（3）如果∠A=30°，a =1，你能求出三角形哪些角，那些边？2.解直角三角形的定义：已知 求 未知解直角三角形两种类型：类型一、已知两边 类型二、已知一边一角练习：（1）如图，在Rt △ABC 中，∠C=900, AC= ，AB=4，则：BC= , ∠A= 度，∠B= 度。

（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A=450,AB=8,则：∠B= 度，AC= , BC= 。

（三）应用例1、如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面3米折断倒下，树顶在离树根4米处，大树在折断之前高多少？ （教师示例）例2、一艘船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的北偏东400，距离70海里的A 处；上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正北方向，求这艘轮船的速度。

（参考数据sin50°≈0.77 ，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，精确到1海里/时）（教师点拨、学生练习）思考、小明（点B ）在平地上放风筝（点A ），小明发现风筝在他上方的450方向，风筝线AC=米；小明的妈妈（点C ）与他同样高，妈妈发现风筝在她上方的300方向.你知道小明和妈妈相距多远吗？（结果保留根号）（教师点拨、学生练习）（四）小结让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正（课件展示）。

解直角三角形知识解读解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的根底上，根据条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。

1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。

因此，锐角三角函数的定义本质提醒了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的根底。

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c〔以下字母同〕，那么解直角三角形的主要依据是〔1〕边角之间的关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tgA＝ctgB＝，ctgA＝tgB＝。

〔2〕两锐角之间的关系：A＋B＝90°。

〔3〕三条边之间的关系：。

以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根据条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。

2、解直角三角形的根本类型和方法我们知道，由直角三角形中的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果两个锐角能否解直角三角形呢？事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为两个元素〔至少有一个是边〕可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。

由于两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。

所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。

这样，解直角三角形就分为两大类，即一条边及一个锐角或两条边解直角三角形。

四种根本类型和解法列表如下：条件解法一边及一锐角直角边a及锐角AB＝90°－A，b＝a·ctgA，斜边c及锐角A B＝90°－A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°－A，直角边a和斜边c，B＝90°－A，例1、如图2，假设图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1，求AB的长。