2019届苏教版(理科数学) 不等式 单元测试

1．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－a|，a∈R.(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤2；(2)若f(x)＝|x－1＋a|，求x的取值范围．2．已知函数f(x)＝|x|＋|x－1|.(1)若f(x)≥|m－1|恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，证明：a＋b≥2ab.3．(2018·镇江模拟)已知正实数a，b，c满足a＋b2＋c3＝1，求证：1a2＋1b4＋1c6≥27.4．已知函数f(x)＝3x＋6，g(x)＝14－x，若存在实数x使f(x)＋g(x)>a成立，求实数a的取值范围．答案精析1．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－3x ，x ≤12，x ，12<x <1，3x －2，x ≥1，当x ≤12时，2－3x ≤2，解得x ≥0，∴0≤x ≤12； 当12<x <1时，x ≤2，∴12<x <1； 当x ≥1时，3x －2≤2，解得x ≤43，∴1≤x ≤43. 综上所述，不等式的解集为⎣⎡⎦⎤0，43. (2)∵f (x )＝|2x －1|＋|x －a |≥|(2x －1)－(x －a )|＝|x －1＋a |，∴f (x )＝|x －1＋a |⇔(2x －1)(x －a )≤0，①当a <12时，x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤a ，12； ②当a ＝12时，x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫12； ③当a >12时，x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，a . 2．(1)解 由绝对值三角不等式，得f (x )＝|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，∴只需|m －1|≤1，解得－1≤m －1≤1，∴0≤m ≤2.∴实数m 的最大值M ＝2.(2)证明 方法一 (综合法)∵a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤1， ∴ab ≤1，当且仅当a ＝b 时取等号．①又∵ab ≤a ＋b 2，∴ab a ＋b ≤12， ∴ab a ＋b ≤ab 2，当且仅当a ＝b 时取等号．② 由①②得，ab a ＋b ≤12，∴a ＋b ≥2ab . 方法二 (分析法)∵a >0，b >0，∴要证a＋b≥2ab，只需证(a＋b)2≥4a2b2，即证a2＋b2＋2ab≥4a2b2.∵a2＋b2＝2，∴只要证2＋2ab≥4a2b2，即证2(ab)2－ab－1≤0，即证(2ab＋1)(ab－1)≤0.∵2ab＋1>0，∴只需证ab≤1.下证ab≤1，∵2＝a2＋b2≥2ab，∴ab≤1成立，∴a＋b≥2ab.3．证明因为正实数a，b，c满足a＋b2＋c3＝1，所以1≥33ab2c3，即ab2c3≤127，所以1ab2c3≥27，因此1a2＋1b4＋1c6≥331a2b4c6≥27.4．解存在实数x使f(x)＋g(x)>a成立，等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a，f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x＝3×x＋2＋1×14－x，因为(3×x＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64，所以f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x≤8，当且仅当x＝10时取“＝”．故常数a的取值范围是(－∞，8)．。

新高一2021本章达标检测一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a,b,c,d∈R,则下列不等式恒成立的是( )A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若a>b,则ac2>bc2C.若a>b>0,则(a-b)c>0D.若a>b,则a-c>b-c2.关于x的不等式x2-2x+3≤a2-2a-1的解集是⌀,则实数a的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(0,3)D.(-∞,0)∪(3,+∞)3.设0<a<b,则下列不等式正确的是( )A.a<b<√ab<a+b2B.a<√ab<a+b2<bC.a<√ab<b<a+b2D.√ab<a<a+b2<b4.“a>0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.已知x>0,y>0,且1x+3+1y=12,则x+y 的最小值为( )A.5B.6C.7D.86.不等式组{x 2-1<0,x 2-3x <0的解集为( )A.{x|-1<x<1}B.{x|0<x<3}C.{x|0<x<1}D.{x|-1<x<3}7.若正数a,b 满足ab=2(a+b)+5,设y=(a+b-4)(12-a-b),则y 的最大值是( ) A.12 B.-12 C .16 D.-168.设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当xyz 取得最大值时,2x +1y −2z的最大值是( )A.0B.1C.94D.3二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知不等式ax 2+bx+c>0的解集为{x|−12<x <2},则下列结论正确的是( ) A.a>0 B .b>0 C.c>0 D .a+b+c>010.若a,b,c 为实数,且a<b<0,则下列不等式错误的有( )A.ac2<bc2B.1a <1bC.ba >abD.ab>b211.给出下列四个条件:①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④0<1x <1y.其中能成为x>y的充分条件的是( )A.①B.②C.③D.④12.若关于x的方程x2-(m-1)x+2-m=0的两根为正数,则m的取值可以是( )A.-1-2√2B.-1+2√2C.1.9D.1.99三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知a>b,a-1a >b−1b同时成立,则ab应满足的条件是.14.若不等式ax2+5x+c>0的解集为{x|13<x<12},则a= ,c= .(本小题第一个空2分,第二个空3分)15.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m 的取值范围是.16.已知a>b,不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立.若存在x0∈R,使a x02+2x0+b=0成立,则a 2+b2a-b的最小值为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知命题p:A={x|x2-4x+3≤0},q:B={x|(x-a)(x-a2-1)≤0}.(1)若a=-1,求集合B;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.18.(本小题满分12分)(1)已知x>2,求3x+1x-2的最小值;(2)已知a>0,b>0,且1a +2b=2,求a+b的最小值.19.(本小题满分12分)已知命题p:∀x∈R,x2+2m-3>0.命题q:∃x∈R,x2-2mx+m+2<0.(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;(3)若命题p,q至少有一个为真命题,求实数m的取值范围.20.(本小题满分12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知AB的长为3米,AD 的长为2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.21.(本小题满分12分)设y=ax2+(1-a)x+a-2.(1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1(a∈R).22.(本小题满分12分)某厂家拟在2020年对某产品举行促销活动,经调查,该产(k 品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-km+1为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2020年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数;(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?答案全解全析本章达标检测一、单项选择题1.D当c<0,b>0时,A不一定成立;当c=0时,B不成立;当c≤0时,C不成立;由不等式的性质知D成立.故选D.2.A原不等式变形得x2-2x-a2+2a+4≤0,∵原不等式的解集为⌀,∴Δ=4-4(-a2+2a+4)<0,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.3.B 因为0<a<b,所以√ab <a+b 2,因为a 2-(√ab )2=a(a-b)<0, 所以a<√ab .由b 2-(√ab )2=b(b-a)>0得√ab <b. 又b-a+b 2=b -a 2>0,所以a+b 2<b.综上可得a<√ab <a+b 2<b.4.B 由一元二次不等式ax 2+bx+c>0恒成立,知a>0且Δ=b 2-4ac<0. 反之,当a>0时,ax 2+bx+c>0不一定恒成立.故选B.5.A ∵x>0,∴x+1>0, 由1x+3+1y=12,得y=2x+6x+1,∴x+y=x+2x+6x+1=x +2(x+1)+4x+1=x +2+4x+1=(x +1)+4x+1+1≥2√(x +1)·4x+1+1=5,当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立,∴x+y 的最小值为5.6.C 由{x 2-1<0,x 2-3x <0得{-1<x <1,0<x <3,所以0<x<1,即原不等式组的解集为{x|0<x<1}.7.A ∵ab=2(a+b)+5,∴a+b=ab -52,∵a>0,b>0,∴a+b=ab-52≥2√ab,当且仅当a=b=5时,等号成立,解得ab≥25, ∵y=(a+b-4)(12-a-b)=(ab-52-4)(12−ab-52)=-14(ab-21)2+16, ∴y max=12.故选A.8.B由题意得xyz =xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3≤14−3=1,当且仅当x=2y时,等号成立,此时z=2y2.故2x +1y−2z=−1y2+2y=−(1y-1)2+1≤1,当且仅当y=1时,等号成立,故所求的最大值为1.二、多项选择题9.BCD因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2),所以相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a<0,故A错误;易知2和-12是方程ax2+bx+c=0的两个根,则有ca =2×(-12)=−1<0,−ba=2+(-12)=32>0,又a<0,所以b>0,c>0,故B,C正确;因为ca=-1,所以a+c=0,又b>0,所以a+b+c>0,故D正确.故选BCD.10.ABC当c2=0时,ac2<bc2不成立,故A中不等式错误;因为a<b<0,所以1a >1b,ba<1,ab>1,所以ba <ab,故B,C中不等式错误;因为a<b<0,所以|a|>|b|,所以ab=|a||b|>|b|2=b2,即ab>b2,故D中不等式正确. 故选ABC.11.AD ①由xt 2>yt 2可知,t 2>0,所以x>y, 因此xt 2>yt 2是x>y 的充分条件.②由xt>yt 不能确定t 的符号,因此不能确定x 与y 的大小,故xt>yt 不是x>y 的充分条件.③令x=-2,y=1,满足x 2>y 2,但x<y,因此x 2>y 2不是x>y 的充分条件. ④由0<1x<1y可得,x>0,y>0,1x−1y<0,即y -x xy<0,所以y-x<0,所以x>y.因此0<1x<1y是x>y 的充分条件.故选AD.12.BCD 若方程的两根为正数,则{Δ≥0,m -1>0,2−m >0,∴{m 2+2m -7≥0,m >1,m <2,解得-1+2√2≤m<2.故选BCD. 三、填空题13.答案 ab<-1或ab>0解析 因为a-1a >b −1b ,所以(a -1a )−(b -1b )=(a -b)(ab+1)ab>0.又a>b,即a-b>0,所以ab+1ab>0,从而ab(ab+1)>0,所以ab<-1或ab>0.14.答案 -6;-1解析 由题意知a<0,且不等式对应方程的两个根分别为13,12,根据根与系数的关系得{-5a =13+12,c a=13×12,解得{a =−6,c =−1.15.答案 {m|1≤m<19}解析 ①当m 2+4m-5=0时,m=-5或m=1.若m=-5,则函数化为y=24x+3,其对任意实数x 不可能恒大于0; 若m=1,则y=3>0恒成立.②当m 2+4m-5≠0时,根据题意得,{m 2+4m -5>0,16(1−m)2-12(m 2+4m -5)<0,∴{m <−5或m >1,1<m <19,解得1<m<19. 综上可知,1≤m<19. 16.答案 2√2解析 已知不等式ax 2+2x+b ≥0对一切实数x 恒成立, 当a=0时,2x+b ≥0不一定成立,不符合题意; 当a ≠0时,依题意知{a >0,4−4ab ≤0⇒{a >0,ab ≥1.又存在x 0∈R ,使a x 02+2x 0+b=0成立,∴4-4ab ≥0⇒ab ≤1, 因此ab=1,又a>0,∴b>0. 又∵a-b>0,∴a 2+b 2a -b=(a -b)2+2aba -b=a −b +2a -b≥2√2,当且仅当a-b=√2,即a=√6+√22,b =√6-√22时,等号成立. 四、解答题17.解析 (1)当a=-1时,B={x|(x+1)(x-2)≤0}={x|-1≤x ≤2}.(3分)(2)A={x|(x-1)(x-3)≤0}={x|1≤x ≤3}.(4分) ∵a 2+1-a=(a -12)2+34>0,∴a 2+1>a,∴B={x|a ≤x ≤a 2+1}.(5分) ∵p 是q 的充分不必要条件, ∴A 是B 的真子集,(6分) ∴{a ≤1,a 2+1>3或{a <1,a 2+1≥3,(8分) 解得a ≤-√2.(10分)18.解析 (1)∵x>2,∴x-2>0,∴3x+1x -2=3(x −2)+1x -2+6≥2√3+6,(4分)当且仅当x=√33+2时,等号成立,(5分) 所以3x+1x -2的最小值为2√3+6.(6分)(2)因为1a+2b=2,所以12a +1b =1,(7分)所以a+b=(a+b)(12a+1b )=12+b2a +ab +1≥3+2√22,(10分)当且仅当a=√2+12,b =2+√22时,等号成立,所以a+b的最小值为3+2√22.(12分)19.解析 (1)若命题p 为真命题,则x 2>3-2m 恒成立,因此3-2m<0,解得m>32. 因此,实数m 的取值范围是{m|m >32}.(4分)(2)若命题q 为真命题,则Δ=(-2m)2-4(m+2)>0,即m 2-m-2>0,解得m<-1或m>2.因此,实数m 的取值范围是{m|m<-1或m>2}.(8分)(3)若命题p,q 至少有一个为真命题,则结合(1)(2)得m ∈{m|m >32}∪{m|m<-1或m>2}={m|m <−1或m >32}.(12分)20.解析 (1)设DN 的长为x(x>0)米,则AN 的长为(x+2)米. ∵DN AN=DC AM,∴AM=3(x+2)x,∴S 矩形AMPN=AN ·AM=3(x+2)2x.由S 矩形AMPN >32,得3(+2)2x>32,(3分)又x>0,∴3x 2-20x+12>0, 解得0<x<23或x>6,(5分)即DN 的长的取值范围是0,23∪(6,+∞)米.(6分)(2)设矩形花坛AMPN 的面积为y 平方米,则y=3(x+2)2x=3x 2+12x+12x=3x +12x+12≥2√3x ·12x +12=24,(8分)当且仅当3x=12x,即x=2(负值舍去)时,等号成立,此时y 取得最小值24.(10分) 故DN 的长为2米时,矩形花坛AMPN 的面积最小,最小为24平方米.(12分) 21.解析 (1)ax 2+(1-a)x+a-2≥-2对一切实数x 恒成立等价于ax 2+(1-a)x+a ≥0对一切实数x 恒成立.当a=0时,不等式可化为x ≥0,不满足题意;(3分) 当a ≠0时,由题意得{a >0,(1-a)2-4a 2≤0,解得a ≥13.(5分)所以实数a 的取值范围是{a|a ≥13}.(6分)(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1等价于ax2+(1-a)x-1<0.当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1};(7分)当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-1a<1,所以不等式的解集为{x|-1a<x<1};(8分)当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,①当a=-1时,-1a=1,不等式的解集为{x|x≠1};(9分)②当-1<a<0时,-1a >1,不等式的解集为{x|x<1或x>−1a};(10分)③当a<-1时,-1a <1,不等式的解集为{x|x<−1a或x>1}.(11分)综上所述,当a<-1时,不等式的解集为{x|x<−1a或x>1};当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当-1<a<0时,不等式的解集为{x|x<1或x>−1a};当a=0时,不等式的解集为{x|x<1};当a>0时,不等式的解集为{x|-1a<x<1}.(12分)22.解析(1)由题意知,当m=0时,x=1,∴1=3-k⇒k=2,∴x=3-2m+1,(2分)每件产品的销售价格为1.5×8+16xx(万元),∴y=1.5x·8+16xx-8-16x-m=-[16m+1+(m+1)]+29(m≥0).(6分)(2)∵m≥0,∴16m+1+(m+1)≥2√16=8,当且仅当16m+1=m+1,即m=3时,等号成立,(8分)∴y≤-8+29=21,∴y max=21.(10分)故该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大为21万元.(12分)。

1．求不等式|x －1|＋|2x ＋1|<2的解集．解析：由题意x ＝1时，|x －1|＝0，x ＝－12时，2x ＋1＝0(以下分类讨论)．所以①当x <－12时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－x ＋1－2x －1<2.得－23<x <－12. ②当－12≤x ≤1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤1，－x ＋1＋2x ＋1<2.得－12≤x <0.③当x >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧x >1，x －1＋2x ＋1<2.得x 无解． 由①②③得原不等式的解集为{x |－23<x <0}．2．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)解不等式f (x )>2；(2)求函数y ＝f (x )的最小值．解析：(1)令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －5，x ≤－12，3x －3，－12<x <4，x ＋5，x ≥4.作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象，它与直线y ＝2的交点为(－7,2)和(53，2)． 所以|2x ＋1|－|x －4|>2的解集为(－∞，－7)∪(53，＋∞)．(2)由函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象可知，当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|－|x －4|取得最小值－92.3．已知一次函数f (x )＝ax －2.(1)当a ＝3时，解不等式|f (x )|<4；(2)解关于x 的不等式|f (x )|<4；(3)若不等式|f (x )|≤3对任意x ∈[0,1 恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝3时，则f (x )＝3x －2，∴|f (x )|<4⇔|3x －2|<4⇔－4<3x －2<4⇔－2<3x <6⇔－23<x <2.∴不等式的解集为{x |－23<x <2}．(2)|f (x )|<4⇔|ax －2|<4⇔－4<ax －2<4⇔－2<ax <6.当a >0时，不等式的解集为{x |－2a <x <6a }；当a <0时，不等式的解集为{x |6a <x <－2a }．(3)|f (x )|≤3⇔|ax －2|≤3⇔－3≤ax －2≤3⇔－1≤ax ≤5⇔⎩⎨⎧ax ≤5，ax ≥－1.又x ∈[0,1 ， ∴－1≤a ≤5，且a ≠0.4．已知关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a .(1)当a ＝2时，解上述不等式；(2)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集为空集，求实数a 的取值范围． 解析：(1)∵a ＝2，∴|x －3|＋|x －4|<2，当x <3时，原不等式化为7－2x <2，解得x >52，∴52<x <3；当3≤x ≤4时，原不等式化为1<2，∴3≤x ≤4；当x >4时，原不等式化为2x －7<2，解得x <92，∴4<x <92.综上可知，原不等式的解集为{x |52<x <92}．(2)作出y ＝|x －3|＋|x －4|与y ＝a 的图象，若使不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集为空集，则必有y ＝|x －3|＋|x －4|的图象在y ＝a 的图象的上方，或y ＝a 与y ＝1重合，∴a ≤1.∴a 的取值范围为(－∞，1 ．5．已知实数a ，b ，c ，d 满足a >b >c >d .求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 证明：因为a >b >c >d ，所以a －b >0，b －c >0，c －d >0，a －d >0.所以(1a －b ＋1b －c ＋1c －d)(a －d ) ＝(1a －b ＋1b －c ＋1c －d)[(a －b )＋(b －c )＋(c －d ) ≥3 31a －b ·1b －c ·1c －d×33(a －b )(b －c )(c －d )＝9. (或≥[1a －b ·a －b ·1b －c ·b －c ·1c －d ·c －d 2＝9.) 即1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 6．用数 归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (1)2>1(n ∈N 且n >1)．证明：(1)当n ＝2时，12＋13＋14＝1312>1成立；(2)设当n ＝ ( ≥2)时，1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2>1； 则当n ＝k ＋1时，1k ＋1＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋…＋1(k ＋1)2＝(1k ＋1k ＋1＋…＋1k 2)＋1k 2＋1＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k >1＋2k ＋1(k ＋1)2－1k＝1＋k 2－k －1k (k ＋1)2＝1＋(k －1)2＋k －2k (k ＋1)2>1. 即当n ＝k ＋1时也成立．所以对任意n >1(n ∈N )，原不等式成立．7．已知n ， k 均为大于1的整数，求证：1＋12k ＋13k ＋…＋1n k <2.证明：∵n >1， k >1，n ， 均为整数，∴1n k ≤1n 2，∴1＋12k ＋13k ＋…＋1n k ≤1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n ) ＝2－1n <2.即1＋12k ＋13k ＋…＋1n k <2(n ， ∈N ，n ≥2， ≥2)．8．已知函数f (x )＝ax －b x －2ln x ，f (1)＝0.若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为0，且a n ＋1＝f ′(1a n ＋1)－na n ＋1，若a 1≥3，求证：a n ≥n ＋2. 证明：∵f (1)＝a －b ＝0，∴a ＝b ，∴f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ，∵函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为0，∴f′(1)＝0，即a＋a－2＝0，解得a＝1，∴f′(x)＝(1x－1)2，∴a n＋1＝a2n－na n＋1.(1)当n＝1时，a n≥3＝1＋2，不等式成立；(2)假设n＝k时，不等式成立，即a≥ k＋2，那么，a－k≥2>0，∴a＋1＝a(a－k)＋1≥2(k＋2)＋1＝( k＋3)＋k＋2>＋3，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥( k＋1)＋2，根据(1)(2)知对于所有n≥1(n∈N)有a n≥n＋2.。

提升训练（67）不等式选讲1．(2018·江西九江一模)已知函数f(x)＝|x －3|－|x －a|.(1)当a ＝2时，解不等式f(x)≤－12； (2)若存在实数x ，使得不等式f(x)≥a 成立，求实数a 的取值范围．答案 (1){x|x ≥114} (2)(－∞，32] 解析 (1)当a ＝2时，f(x)＝|x －3|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤2，5－2x ，2<x<3，－1，x ≥3，f(x)≤－12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，1≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧2<x<3，5－2x ≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，－1≤12，解得114≤x<3，或x ≥3， 所以原不等式的解集为{x|x ≥114}． (2)由不等式的性质可知f(x)＝|x －3|－|x －a|≤|(x －3)－(x －a)|＝|a －3|.所以若存在实数x ，使得f(x)≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤32，故实数a 的取值范围是(－∞，32]． 2．(2016·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f(x)的图像；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．答案 (1)见解析图 (2){x|x<13或1<x<3或x>5} 解析 (1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x>32. y ＝f(x)的图像如图所示．(2)由f(x)的表达式及图像，当f(x)＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f(x)＝－1时，可得x ＝13或x ＝5， 故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}；f(x)<－1的解集为{x|x<13或x>5}． 所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}． 3．(2018·河南郑州质量预测)设函数f(x)＝|x －4|＋|x －a|(a<4)．(1)若f(x)的最小值为3，求a 的值；(2)求不等式f(x)≥3－x 的解集．答案 (1)1 (2)R解析 (1)因为|x －4|＋|x －a|≥|(x －4)－(x －a)|＝|a －4|，又a<4，所以当且仅当a ≤x ≤4时等号成立．故|a －4|＝3，所以a ＝1为所求．(2)不等式f(x)≥3－x 即不等式|x －4|＋|x －a|≥3－x(a<4)，①当x<a 时，原不等式可化为4－x ＋a －x ≥3－x ，即x ≤a ＋1.所以，当x<a 时，原不等式成立．②当a ≤x ≤4时，原不等式可化为4－x ＋x －a ≥3－x.即x ≥a －1.所以，当a ≤x ≤4时，原不等式成立．③当x>4时，原不等式可化为x －4＋x －a ≥3－x ，即x ≥a ＋73，由于a<4时，4>a ＋73. 所以，当x>4时，原不等式成立．综合①②③可知：不等式f(x)≥3－x 的解集为R.4.(10分)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集.(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=+2,解不等式+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为.(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=+a+≥+a=+a,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于+a≥3①,5.(10分)(2018·衡阳模拟)已知函数f(x)=的定义域为R.(1)求实数a的取值范围.(2)若a的最大值为k,且m+n=2k(m>0,n>0),求证:+≥3.【解题指南】(1)利用绝对值的几何意义,求出表达式的最小值,即可得到a的取值范围. (2)由(1)可得m+n=3,则=(m+n)=,根据基本不等式即可证明.【解析】(1)因为|2x-1|+|x+1|-a≥0,所以a≤|2x-1|+|x+1|,根据绝对值的几何意义可得|2x-1|+|x+1|的最小值为,所以a≤.(2)由(1)可知a的最大值为k=,所以m+n=3,所以=(m+n)=≥=3,当且仅当n=2m时等号成立,问题得以证明.6.(10分)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=│x+1│-│x-2│(1)求不等式f(x)≥1的解集.(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.【解析】(1)当x≤-1时,f(x)=-(x+1)+(x-2)=-3<1,无解.当-1<x<2时,f(x)=x+1+(x-2)=2x-1.令2x-1≥1,得x≥1,所以1≤x<2.当x≥2时,f(x)=x+1-(x-2)=3.因为3>1,所以x≥2.综上所述,f(x)≥1的解集为[1,+∞).(2)原式等价于存在x∈R,使f(x)-x2+x≥m成立,即≥m.设g(x)=f(x)-x2+x,由(1)知g(x) =当x≤-1时,g(x)=-x2+x-3,其开口向下,对称轴为x=>-1,所以g(x)≤g=-5.当-1<x<2时g(x)=-x2+3x-1,其开口向下,对称轴为x=,所以g(x)≤g=.当x≥2时g(x)=-x2+x+3,其开口向下,对称轴为x=,所以g(x)≤g =1.综上:g(x)max =,即m 的取值范围为.7．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中高三阶段性测试)已知函数f (x )＝|x －2|.(1)解不等式：f (x )＋f (x ＋1)≤2；(2)若a <0，求证：f (ax )－af (x )≥f (2a )．[解] (1)由题意，得f (x )＋f (x ＋1)＝|x －1|＋|x －2|.因此只要解不等式|x －1|＋|x －2|≤2.当x ≤1时，原不等式等价于－2x ＋3≤2，即12≤x ≤1； 当1<x ≤2时，原不等式等价于1≤2，即1<x ≤2；当x >2时，原不等式等价于2x －3≤2，即2<x ≤52. 综上，原不等式的解集为x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤52. (2)由题意得f (ax )－af (x )＝|ax －2|－a |x －2|＝|ax －2|＋|2a －ax |≥|ax －2＋2a －ax |＝|2a －2|＝f (2a )，所以f (ax )－af (x )≥f (2a )成立．8．(2018·淮南模拟)设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小．解析：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤－2，－2x －1，－2<x ≤1，－3，x >1，由－2<－2x －1<0解得－12<x <12， 即M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2<14，b 2<14， 因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， 故|1－4ab |2>4|a －b |2，即|1－4ab |>2|a －b |.。

第一节绝对值不等式1．绝对值不等式性质1：|a|＋|b|≥|a＋b|.性质2：|a|－|b|≤|a＋b|.性质3：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解法：(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解．②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解．[小题体验]x|1≤x≤3，则实数＝________. 1．若不等式| x－4|≤2的解集为{}解析：由| x－4|≤2⇔2≤ x≤6.x|1≤x≤3，因为不等式的解集为{}所以＝2.答案：22．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．解析：因为|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8，即函数y的最小值为8.答案：83．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1恒成立． 所以不等式的解集为{}x |x ≥1. 答案：{}x |x ≥11．对形如|f (x )|>a 或|f (x )|<a 型的不等式求其解集时，易忽视a 的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |中易忽视等号成立的条件．如|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≤0时等号成立，其他类似推导．[小题纠偏]1．(2018·苏州暑假测试)不等式x ＋|2x ＋3|≥2的解集为________． 解析：因为x ＋|2x ＋3|≥2，所以|2x ＋3|≥2－x ， 所以2x ＋3≥2－x 或2x ＋3≤－(2－x )， 解得x ≥－13或x ≤－5，所以不等式的解集是xx ≥－13或x ≤－5.答案：xx ≥－13或x ≤－52．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， 所以－3≤a －1≤3，所以－2≤a ≤4. 答案：[－2,4]考点一 绝对值不等式的解法 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．在实数范围内，解不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6. 解：法一：当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒12<x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒－32≤x <－12.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.法二：原不等式可化为⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3， 其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.2．(2018·南京高三年级学情调研)解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5. 解：当x ＜－1时，不等式可化为－x ＋2－x －1≥5，解得x ≤－2； 当－1≤x ≤2时，不等式可化为－x ＋2＋x ＋1≥5，此时不等式无解； 当x ＞2时，不等式可化为x －2＋x ＋1≥5，解得x ≥3， 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)． 3．(2018·南京学情调研)解不等式|x －1|＋2|x |≤4x .解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x . 解⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，1－x －2x ≤4x ，得x ∈∅； 解⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x ，得13≤x ≤1；解⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ，得x ＞1. 所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫13，＋∞. [谨记通法]解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．考点二 绝对值三角不等式的应用 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·苏州测试)已知a ≥2，x ∈R ，求证：|x －1＋a |＋|x －a |≥3. 证明：因为|x －1＋a |＋|x －a |≥|x －1＋a －(x －a )|＝|2a －1|， 又a ≥2，故|2a －1|≥3. 所以|x －1＋a |＋|x －a |≥3.2．若对于实数x ，y 有|1－x |≤2，|y ＋1|≤1，求|2x ＋3y ＋1|的最大值． 解：因为|2x ＋3y ＋1|＝|2(x －1)＋3(y ＋1)| ≤2|x －1|＋3|y ＋1|≤7， 所以|2x ＋3y ＋1|的最大值为7.[由题悟法](1)绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要特别注意，特别是用此定理求最值及进行不等式放缩时．(2)定理可推广：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.[即时应用]已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：因为|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. 所以由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.考点三 绝对值不等式的综合应用 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·苏州期末)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：因为a >0，所以f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2.当且仅当a ＝1时等号成立． (2)因为f (3)<5，所以3＋1a ＋|3－a |<5，即1a＋|a －3|<2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <3，1a ＋3－a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，1a＋a －3<2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <3，a 2－a －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a 2－5a ＋1<0，解得1＋52<a <3或3≤a <5＋212.所以正实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.[由题悟法](1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f (x )＜a 恒成立⇔f (x )ma x ＜a . f (x )>a 恒成立⇔f (x )min ＞a .[即时应用](2018·宿迁调研)设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －a |(a ∈R)． (1)若不等式f (x )＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若不等式f (x )≥32x 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ≥0时，f (x )＋a ≥0恒成立， 当a ＜0时，要保证f (x )≥－a 恒成立， 即f (x )的最小值|a ＋2|≥－a ， 解得－1≤a ＜0，故a ≥－1.所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．(2)由题意可知，函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝32x 的上方，画出两个函数图象可知，当a ≤－2时，符合题意，当a ＞－2时，只需满足点(a ，a ＋2)不在点⎝⎛⎭⎫a ，32a 的下方即可，所以a ＋2≥32a ，即－2＜a ≤4.综上，实数a 的取值范围是(－∞，4]．1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1， 解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1.即|x |＜|a |＋1. 2．(2018·苏北四市一模)设c ＞0，|x －1|＜c 3，|y －1|＜c3，求证：|2x ＋y －3|＜c .证明：因为|x －1|＜c 3，|y －1|<c3，所以|2x ＋y －3|＝|2x －2＋y －1| ≤|2x －2|＋|y －1|＜2c 3＋c3＝c ，故|2x ＋y －3|＜c .3．若关于x 的不等式|x ＋1|－|x －2|<a 2－4a 有实数解，求实数a 的取值范围． 解：因为||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 所以－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.由不等式a 2－4a >|x ＋1|－|x －2|有实数解， 知a 2－4a >－3，解得a >3或a <1，所以实数a 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 4．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{}x |－1≤x ≤5，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且0≤t ＜2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)． 解：(1)因为|x －a |≤m ，所以－m ＋a ≤x ≤m ＋a . 因为－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5， 所以a ＝2，m ＝3.(2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |. ①当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0， 因为0≤t ＜2，所以x ∈(－∞，0)；②当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t2，因为1≤1＋t 2＜2，所以0≤x ≤1＋t2；③当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2，当0≤t ＜2时，无解． 综上，当0≤t ＜2时，所求不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，t2＋1. 5．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1； (2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围．解：(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1.(2)因为a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2， 当且仅当a ＝0时等号成立， 所以要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，只需|x －1|＋|x －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，1－x ＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x <2，x －1＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2，解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞. 6．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54， 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 7．设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (1)解不等式f (x )＞0；(2)若∃x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2＜4m ，求实数m 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )＞0，即|2x －1|＞|x ＋2|， 即4x 2－4x ＋1＞x 2＋4x ＋4，3x 2－8x －3＞0，解得x ＜－13或x ＞3，所以不等式f (x )＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－13或x ＞3.(2)f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3，x ＜－2，－3x －1，－2≤x ≤12，x －3，x ≥12，故f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝－52. 因为∃x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2＜4m ， 所以4m －2m 2＞－52，解得－12＜m ＜52.故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，52. 8．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解． 综上所述，x ∈⎝⎛⎭⎫－54，12. (2)由题意，1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4， 当且仅当m ＝n ＝12时等号成立．令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .所以x ＝－23时，g (x )ma x ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )ma x ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，103. 第二节不等式的证明1．基本不等式(1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．也可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．2．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理：如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (2)基本不等式的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．3．比较法(1)比差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.4．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．5．柯西不等式的二维形式(1)柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2，当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立．(2)三角形不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，那么(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.6．柯西不等式的一般形式 设n 为大于1的自然数，a i ，b i (i ＝1,2，…，n )为任意实数，则∑i ＝1na 2i ∑i ＝1nb 2i ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n a i b i 2，其中等号当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b na n 时成立(当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1,2，…，n )．[小题体验]1．已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值为________． 解析：因为a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2， 所以(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 所以1a ＋1b ≥4a ＋b ＝2，即1a ＋1b 的最小值为2(当且仅当a ＝b ＝1时，“＝”成立)．答案：22．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1y 的最小值为________． 解析：⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1y ≥⎝⎛⎭⎫1＋1xy 2＝4. 答案：43．已知a ＞b ，求证：a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3.证明：因为a ＞b ，所以(a 3＋a 2b )－(ab 2＋b 3)＝(a 3－b 3)＋(a 2b －ab 2)＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＋ab (a －b )＝(a －b )·(a ＋b )2≥0，所以a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3.1．在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．[小题纠偏]1．已知a >0，b >0，则a a b b与(ab )+2a b的大小关系为________．解析：因为a ab b(ab )+2a b ＝⎝⎛⎭⎫a b 2－a b，所以当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b 2－a b＝1，当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，所以⎝⎛⎭⎫a b 2－a b>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，则⎝⎛⎭⎫a b 2－a b>1，所以a a b b≥(ab )+2a b . 答案：a a b b≥(ab )+2a b2．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________． 解析：把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c 得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．答案：9考点一 比较法证明不等式 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．求证：当x ∈R 时，1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 证明：法一：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝2x 3(x －1)－(x ＋1)(x －1) ＝(x －1)(2x 3－x －1) ＝(x －1)(2x 3－2x ＋x －1) ＝(x －1)[2x (x 2－1)＋(x －1)] ＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1) ＝(x －1)2⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋12≥0， 所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2.法二：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝x 4－2x 3＋x 2＋x 4－2x 2＋1 ＝(x －1)2·x 2＋(x 2－1)2≥0， 所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2.2．(2018·南京、盐城一模)设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)． 证明：因为a 4＋6a 2b 2＋b 4＝(a 2＋b 2)2＋4a 2b 2，所以a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4. 因为a ≠b ，所以(a －b )4＞0， 从而a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．[谨记通法]比较法证明不等式的步骤(1)作差(作商)；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．考点二 综合法、分析法证明不等式 (重点保分型考点——师生共研) P175[典例引领]1．(2018·苏州学情调研)已知x ，y ， 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .证明：因为x ，y ， 都为正数， 所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥2z， 同理可得，y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y，当且仅当x ＝y ＝ 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .2．(2017·徐州三检)已知a ，b ∈R ，a >b >e(其中e 是自然对数的底数)，求证：b a >a b . 证明：因为b a >0，a b >0，所以要证：b a >a b ， 只要证a ln b >b ln a ， 只要证ln b b >ln aa .(因为a >b >e)取函数f (x )＝ln xx ，因为f ′(x )＝1－ln x x 2，所以当x >e 时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(e ，＋∞)上是单调递减函数． 所以当a >b >e 时，有f (b )>f (a )，即ln b b >ln aa ，即b a >a b .[由题悟法]1．综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．用分析法证“若A 则B ”这个命题的模式 为了证明命题B 为真，只需证明命题B 1为真，从而有… 只需证明命题B 2为真，从而有… ……只需证明命题A 为真，而已知A 为真，故B 必真． 3．分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．[即时应用]1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明：(1)因为a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， 所以1a ＋1b ＋1ab＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2⎝⎛⎭⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋4 ≥4b a ·ab ＋4＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8.(2)因为⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8.所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 2．设x ≥1，y ≥1，求证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy . 证明：由于x ≥1，y ≥1， 要证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ， 只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 因为[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)， 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．考点三 柯西不等式的应用 (重点保分型考点——师生共研) P176[典例引领](2018·南京学情调研)设实数x ，y ， 满足x ＋5y ＋ ＝9，求x 2＋y 2＋ 2的最小值． 解：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋ 2)(12＋52＋12)≥(1·x ＋5·y ＋1· )2. 因为x ＋5y ＋ ＝9，所以x 2＋y 2＋ 2≥3， 当且仅当x ＝13，y ＝53， ＝13时取等号．所以x 2＋y 2＋ 2的最小值为3.[由题悟法]柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式．[即时应用](2018·淮安高三期中)已知正数x ，y ， 满足x ＋y ＋ ＝4，求x 24＋y 29＋ 2的最小值．解：由柯西不等式得，⎝⎛⎭⎫x 24＋y29＋z 2(4＋9＋1)≥⎝⎛⎭⎫x 2×2＋y 3×3＋z ×12＝(x ＋y ＋ )2＝16，当且仅当x 22＝y 33＝z 1，即x ＝87，y ＝187， ＝27时取“＝”．所以x 24＋y 29＋ 2的最小值为87.1．(2018·南京、盐城一模)若实数x ，y ， 满足x ＋2y ＋ ＝1，求x 2＋y 2＋ 2的最小值． 解：由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋ 2)(12＋22＋12)≥(x ＋2y ＋ )2＝1， 当且仅当x 1＝y 2＝z 1，即x ＝ ＝16，y ＝13时取等号．所以(x 2＋y 2＋ 2)min ＝16.2．已知a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ，求证： c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab .证明：要证：c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab ， 只需证：－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab ， 只需证：|a －c |＜c 2－ab ， 只需证：(a －c )2＜c 2－ab ，只需证：a 2＋c 2－2ac ＜c 2－ab ，即证：2ac ＞a 2＋ab .因为a ＞0，所以只需证2c ＞a ＋b ，由题设，上式显然成立． 故c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab .3．(2018·苏州高三期中调研)设x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y＋3.证明：因为x >0，y >0，x －y >0， 所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1(x －y )2＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥33(x －y )21(x －y )2＝3， 当且仅当x －y ＝1(x －y )2时等号成立， 所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.4．(2018·南通一调)求函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值． 解：y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x ＝3sin x ＋4cos 2x . 由柯西不等式得y 2＝(3sin x ＋4cos 2x )2≤(32＋42)(sin 2x ＋cos 2x )＝25， 所以y ma x ＝5，此时sin x ＝35.所以函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值为5. 5．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≥32. 证明：因为a ，b ，c ∈R ＋， 所以a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b＝a ＋b ＋c b ＋c ＋a ＋b ＋c a ＋c ＋a ＋b ＋ca ＋b－3 ＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1b ＋c ＋1a ＋c ＋1a ＋b －3＝12[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(a ＋c )]⎝⎛⎭⎫1b ＋c ＋1a ＋c ＋1a ＋b －3≥12×33(a ＋b )(a ＋c )(b ＋c )×331(a ＋b )(a ＋c )(b ＋c )－3＝92－3＝32，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，所以a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≥32. 6．(2018·镇江期末)已知a ＞0，b ＞0，证明：(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2. 证明：因为a ＞0，b ＞0，所以由基本不等式可得a 2＋b 2＋ab ≥33a 3b 3＝3ab ， ab 2＋a 2b ＋1≥33a 3b 3＝3ab ，两式相乘可得(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号． 7．已知a ，b ，c 为正实数，1a 3＋1b 3＋1c 3＋27abc 的最小值为m ，解关于x 的不等式|x ＋1|－2x ＜m .解：因为a >0，b >0，c ＞0，所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋27abc ≥331a 3·1b 3·1c 3＋27abc ＝3abc ＋27abc ≥2 3abc·27abc ＝18， 当且仅当a ＝b ＝c ＝ 313时取“＝”，所以m ＝18.所以不等式|x ＋1|－2x ＜m ，即为|x ＋1|＜2x ＋18，所以－2x －18＜x ＋1＜2x ＋18，解得x ＞－193，所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－193，＋∞. 8．设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞)，1－x ，x ∈(－∞，1).当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤43. (2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝⎛⎭⎫x －142≤4， 解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ， 于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )] ＝x ·f (x )＝x (1－x ) ＝14－⎝⎛⎭⎫x －122≤14.。

第3章 不等式——高中数学苏教版(2019)必修第一册课时优化训练一、选择题1．已知2246a b +=，则ab 的最大值为( )D.32．如果0a b <<,那么下列不等式中成立的是( )1< B.2a >21a <1b<3．已知正实数a,b 满足3a b ab +=,则4a b +的最小值为( )4．下列结论中正确的是( )A.若ac bc >,则a b > B.若22a b >,则a b >>>1b>,则a b >5．如果0a <，10b -<<，那么下列不等式成立的是( )A.2a ab ab >> B.2ab ab a>> C.2ab a ab >> D.2ab ab a >>6．一元二次不等式2144x x -≥的解集为( )A.724x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ B.{|2x x ≤-或7}4x ≥C.724x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D.{|x x ≤2}≥22y+=,则xy 的最小值为( )8．数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设一个三角形的三边长分别为a ,b ,c ,三角形的面积S 可由公式S =式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为12,4a =,则此三角形面积的最大值为( )A.4B.二、多项选择题9．已知不等式220ax x c ++>的解集为1132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则下列选项正确的是( )A.12a =-B.12c =-C.2c =D.2a =10．若正实数x ,y 满足21x y +=,则下列说法正确的是( )A.+C.24x y +(1y +11．设正实数a ，b 满足1a b +=，则( )B.abD.3a b +三、填空题12．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金,售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5g 的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.则顾客实际得到的黄金_______10g （填>、<或=）杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂13．已知正实数a ,b 满足1ab b -+=4b 的最小值是______________.14．已知0x y >>,则2x +四、解答题15．利用基本不等式求下列式子的最值：(1)若0x >,求x(2)已知x ,0y >,且41x y +=,求xy 的最大值;(3)若0x <<(32)x x -的最大值.16．比较下列各题中两个代数式值的大小.(1)()221x +与421x x ++;)0a b >>.17．解下列问题：(1)若不等式230ax bx ++>的解集为3{|}1x x <<-,求a ,b 的值;(2)若1a b +=,0a >,b >18．已知0a >,0b >.（1）求a b ++（2）若a b +=1b+的最小值.19．已知()460a b ab +=>228lg 99a b m b a+->恒成立,求m 的取值范围.参考答案1．答案：B解析：由题意得，()222262422a b a b a b =+≥⋅+⋅=，即32ab ≤，当且仅当2a b =，即a ====时等号成立，所以故选：B.2．答案：B解析：对于A ：由a b <<1bb>=,错误;对于B ：由0a b <<,则有a a a b ⋅>⋅,即2a ab >,正确;对于C ：由0a b <<得0a b ->->,则根据不等式的性质有22()()0a b ->->,即22a b >,由22a b >21b<,错误;对于D ：由0a b <<得ab ><>故选：B.3．答案：C13b=,1111414(4)553333a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝,当且仅当21a b ==时取等号.故选：C.4．答案：C解析：当1a =,2b =,1c =-时满足ac bc >,可得a b <,A 选项错误;当2a =-,1b =-,22a b >可得a b <,B 选项错误;0>≥,由不等式乘法性质可得a b >,C 选项正确;当1a =,2b =>b <,D 选项错误.故选：C.5．答案：D解析：由选项可知，仅需要比较a ，ab ，2ab 三个数的大小，显然，0a <，0ab >，20ab <，所以ab 最大，由10b -<<可得，201b <<，所以22(1)0ab a a b -=->，即2ab a >，可得2ab ab a >>.故选：D.6．答案：A解析：不等式2144x x -≥化为24140x x +-≤,即(2)(47)0x x +-≤,解得2x -≤≤所以原不等式的解集为7{|2}4x x -≤≤.故选：A.7．答案：B22y+=,则122x y =+=≥,则2xy ≥,=1x =,2y =时等号成立,所以xy 的最小值为2.故选：B.8．答案：C解析：由题意得8b c +=,6p =,则)66S b c ==≤-+-=当且仅当4b c ==时,等号成立,此时三角形的面积有最大值,且最大值为故选：C.9．答案：AC解析：由于不等式220ax x c ++>的解集为1132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,所以x ==220x c ++=的两个实数根,故1132-+=1132⨯=12=-,2c =,故选：AC.10．答案：ABC解析：对于A ：因为21x y +=≥xy ≤x y =,即x =12y =时取等号,故A 正确,()42428666x y x y x y y x y y x +++=+=++≥=+=即x =2y =≤,则22142x y +≥,当且仅当2x y =,即14x =,y =号,故C 正确,对于D ：因为()()()22111121222x y x y x y ++⎡⎤+=⨯+≤⨯=⎢⎥⎣⎦当且仅当21x y =+,即x =0y =时取等号,这与x ,y 均为正实数矛盾,故D 错误,故选：ABC.11．答案：BD解析：正实数a ，b 满足1a b +=，即有a b +≥可得0ab <≤≤===≤=由()()3322222()313a b a b a b ab a b ab a b ab ab +=++-=+-=+-=-≥综上可得BD 均正确.12．答案：>解析：由于天平两臂不等长,可设天平左臂长为a ,右臂长为b ,则a b ≠,再设先称得黄金为xg ,后称得黄金为yg ,则5bx a =,5ay b =,x ∴=y =5555a b a b xy b a b a ⎛⎫∴+=+=+≥⨯= ⎪⎝⎭=b =时等号成立,但a b ≠,等号不成立,即10x y +>.因此,顾客购得的黄金大于10g .故答案为：>.13．答案：9解析：0a > ,0b >,10ab b -+=,11b a ∴=>-14b a+=设0x a =>,10y a =->,可得1x y +=,144b x y =+()14x y x y ⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭4559y xx y =++≥+=,当2y =4b +的最小值是9,故答案为：9.14．答案：12解析：()()2222992x x x y x yy x y +≥+=+-+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2y =的时候取“=”,212x ≥=,当且仅当x =”.综上,当2x y ==”条件成立,此时最小值为12.故答案为:12.15．答案：(1)4,2x =;解析：(1)44x x +≥=,当且仅当2x =时取等,故最小值为4,此时2x =;(2)()()214414421444y y y y xy y y -+⎛⎫ ⎪-⋅⎝⎭=-=≤=y =x =故(3)()()2232432223222x x xx x x +-⎛⎫-=⋅-≤= ⎪⎝⎭=.16．答案：(1)()224211x x x +≥++a b a b->+解析：(1)()()()224242422112110x x x x x x x x +-++=++-++=≥,()224211x x x ∴+≥++.()()()()()()()()22222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b ab -+-+-=-=+++++0a b >> ,20ab∴>,0a b ->,0a b +>,220a b +>,0>,2222a b a b -∴>+17．答案：(1)12a b =-⎧⎨=⎩(2)9解析：(1) 不等式230ax bx ++>的解集为3{|}1x x <<-,∴-1和3是方程230ax bx ++=的两个实根,∴309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得12a b =-⎧⎨=⎩;(2) 1a b += 又0a >,0b >,∴()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立,4b的最小值为9.18．答案：（1）4（2）8解析：（1）因为0a >,0b >,所以4a b ++≥≥=,当且仅当,a b=⎧⎪⎨=⎪⎩即1a b ==时等号成立,所以a b ++（2）因为0,0,1a b a b >>+=,()1191121ab b a b ⎛⎫+=+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭191110108212b a a b ⎛+⎛⎫=++≥+= ⎪ +⎝⎭⎝.当且仅当1,91,1a bb a a b +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩即a b ==+19．答案：(1)证明见解析;(2)(0,10).解析：(1)由46a b +=,0ab >,得0a >,0b >,则6≥=≤4b ==;11111141(4)(5(5666a b b a a b ab a b a b a b +=+=++=++≥+==2b ==(2)由(1)知,46a b +=,0a >,0b >,222222222228(4)8181689999999999a b a b a b ab b a b b a a b a a a b a++-=+-=+++-222211619999b a a b =++≥+==22b ==时取等号,229a b +1m <,解得010m <<,所以m 的取值范围为(0,10).。

苏教版（2019）高中数学必修第一册第3章《不等式》检测卷一、单选题（本题有8小题，每小题5分，共40分） 1．不等式2230x x -++>的解集为（ ） A ．(1,3)-B ．(3,1)-C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞2．若00a b c d <<>>，，一定有（ ） A ．c d b a> B ．c d b a<C ．c d a b> D ．c d a b< 3．若正数x ，y 满足181x y+=，则2x y +的最小值为（ ）A ．245B ．285C ．25D ．274．若a ，b ，c 为实数，且0a b <<，则（ ） A ．22ac bc ≤B ．110a b<< C ．0ac bc << D ．220a b <<5．若0x >，0y >，且11112x x y+=++，则32x y +的最小值为（ ）A ．2B ．C ．1+D ．4+6．已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a 等于（ ）A ．6B ．8C ．16D ．367．若0x y <<，设()()22M x y x y =+-，()()22N x y x y =-+，则（ ）A ．M N >B ．M N <C ．M N ≤D ．M N ≥8．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点()1,1，且23a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（-4，-1）B ．（-1，4）C ．（1，+∞）D ．（-4，1）二、多选题（本题有4小题，每小题5分，共20分。

每小题中，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。

） 9．已知a 为实数，下列选项中可能为关于x 的不等式2(1)10ax a x -++>解集的有（ ）A ．(,1)-∞B ．1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1(,1),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭10．(多选题)下列不等式不一定成立的是（ ）A ．x ＋1x≥2B 2C ．2212x x +≥ D ．2－3x －4x≥211．设01b a <<<，则下列不等式不成立的是（ ）A ．ab <b 2<1B C ．1<11a b< D ．a 2<ab <112．已知不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．0a >B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>三、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13．若a 、b 、c 均为正数，且2a b c ++=，求222b c a a b c++的最小值________.14．已知R x ∈，1x ≠，则11x x +-的取值范围是________；15．已知0a >，0b >，1a b +=，则19a b+的最小值是________．16．不等式2320x x -+>的解集是________； 四、解答题（本题有6小题，共70分） 17．（10分）已知实数,x y 满足0xy >，且8111xy x y++=，求xy 的取值范围．18．（12分）设函数()()222,f x x ax a a =++-∈R ．（1）当1a =时，解关于x 的不等式()()215f x a x a >--+；（2）若[]1,2x ∃∈，使得()0f x >成立，求a 的取值范围．19．（12分）已知函数()()2,f x x bx c b c R =++∈．（1）若()0f x <的解集是{}12x x -<<，求不等式280bx cx ++≥的解集； （2）若1b a =-，2c a =-，解关于x 的不等式()0f x >．20．（12分）设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明：若ab cd >，21．（12分）（1）已知0a >，0b >，1a b +=，求证：114a b+≥．（2）证明：44444a b c d abcd +++≥．22．（12分）（1）已知a ，b 是正常数，且a b ，(),0,x y ∈+∞，求证：()222a b a b x y x y++≥+，指出等号成立的条件； （2）求函数()2912f x x x=+-（102x <<）的最小值，指出取最小值时x 的值．参考答案1．A 【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】22+30(1)(3)013x x x x x -+>⇒+-<⇒-<<， 故选：A. 2．B 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法进行判断即可 【详解】因为0a b <<，所以0ab >， 所以由110000a b a b a b ab ab b a--<<⇒->->⇒>>⇒->->，又因为0c d >>， 所以c d c db a b a->-⇒<，因此选项A 错误，选项B 正确； 当2,1,2,1a b c d =-=-==时，显然符合00a b c d <<>>，， 但是1c da b==-，显然选项C 、D 都不正确， 故选：B 3．C 【分析】利用“1”的代换凑出积的定值，然后由基本不等式求得最小值. 【详解】∵正数x ，y 满足181x y+=，∴18282(2)11617225y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≤+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当210y x ==时取等号． 故选：C ． 4．A利用不等式的基本性质判断. 【详解】对于A ，因为0a b <<，2c ≥0，必有22ac bc ≤，A 正确； 对于B ，因为0a b <<，则10ab >，则有110b a<<，B 错误； 对于C ，当0c <时，有0ac bc >>，C 错误； 对于D ，因为0a b <<，则有220b a <<，D 错误； 故选：A ． 5．C 【分析】设1,2x a x y b +=+=，可将题目转化为已知111a b+=，求()311a b a -+-+的最小值，再结合基本不等式可求最小值. 【详解】设1,2x a x y b +=+=，则1,21x a y b a =-=-+，且a >0，b >0， 题目转化为已知111a b+=，求()311a b a -+-+的最小值，即()3231122x y a b a a b +=-+-+=+-，而()11222333a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当2a bb a =，即a b 时等式成立.所以3222321x y a b +=+-≥+=+故选：C. 6．D 【分析】利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可 【详解】因为()4(0,0)a f x x x a x =+>>，故4a x x +≥，当且仅当4a x x =，即x 时3,36a ==【点睛】均值不等式a b +≥一正：a >0，b >0，二定：ab 为定值，三相等：当且仅当a b =时等号成立 7．A 【分析】利用作差法可得出M 、N 的大小关系. 【详解】因为0x y <<，则0x y -<，0xy >，所以，()()()()()()()()2222222M N x y x y x y x y x y x y x y x y -=+---+=+---+()()()()22220x y x y x y xy x y ⎡⎤=-+-+=-->⎣⎦，因此，M N >. 故选：A. 8．D 【分析】由题意得111a b+=，利用“乘1法”与基本不等式可得a b +的最小值，将23a b m m +>+恒成立转化为()2min 3a b m m +>+恒成立，解不等式即可.【详解】直线1(0,0)x ya b a b +=>>过点()1,1，111a b∴+=， 11()24b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当 a =b =2时，等号成立，min ()4a b ∴+=又23a b m m +>+恒成立 234m m ∴+<，解得41m -<<故选：D. 9．ABD 【分析】根据a 分类讨论可得结果. 【详解】（1）当0a =时，原不等式即10x -+>，解得1x <，故A 正确； （2）当0a ≠时，原不等式即()110a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，① 当0a <时，11a<，解得11x a <<，故B 正确；② 当01a <<时，11a >，解得1x <或1x a>，故D 正确； ③ 当1a =时，11a=，解得R x ∈，且1x ≠； ④ 当1a >时，11a<，解得1x a <或1x >.故选：ABD. 10．AD 【分析】取0x <可判断A 2B ；由基本不等式可判断C ；取0x >可判断D. 【详解】对于选项A ：当x <0时，102x x+<<，故A 错误；对于选项B 2B 正确；对于选项C ：221122x x x x+≥⋅=，故C 正确； 对于选项D ：变形为430x x+≤，当x 取正数时不成立，故D 错误． 故选：AD. 11．ABD 【分析】对于ABD 举例判断即可，对于C ，利用不等式的性质判断 【详解】对于A ，取11,23a b ==，则21169ab b =>=，所以A 错误，对于B ，取11,49a b ==1123>，所以B 错误，对于C ，因为01b a <<<，所以10ab>，所以11b a ab ab ⋅<⋅，即11a b <，因为01a <<，所以1101a a a <⋅<⨯，即11a<，综上111a b <<，所以C 正确， 对于D ，取11,23a b ==，则21164ab a =<=，所以D 错误，故选：ABD 12．BCD 【分析】对A ，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B ，C ，利用韦达定理即可判断；对D ，根据韦达定理以及0b >，即可求解. 【详解】解：对A ，不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，故相应的二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下， 即0a <，故A 错误；对B ，C ，由题意知： 2和12-是关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根，则有12()102c a =⨯-=-<，132()022b a -=+-=>， 又0a <，故0,0bc >>，故B ，C 正确； 对D ，1ca=-， 0a c ∴+=，又0b >，0a b c ∴++>，故D 正确. 故选：BCD. 13．2 【分析】利用基本不等式，通过求222b c a a b c +++（a +b +c ）的最值，进而即可得解．【详解】∵22b a b a+≥，22c b c b +≥，22a c a c +≥．∴222b c a a b c+++（a +b +c ）≥2（a +b +c ）， 即222++≥b c a a b ca +b +c ＝2，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时取等号．故答案为：2. 14．(][),13,-∞-+∞【分析】 111111x x x x +=-++--，分别讨论1x >和1x <时，利用基本不等式即可求解 【详解】 111111x x x x +=-++--， 当1x >时，10x ->，11111311x x x x +=-++≥=--， 当且仅当111x x -=-即2x =时等号成立，此时131x x +≥-， 当1x <时，10x -<，()111111111111x x x x x x ⎡⎤+=-++=--++≤-=-⎢⎥---⎣⎦， 当且仅当111x x-=-即0x =时等号成立， 此时111x x +≤--， 综上所述：11x x +-的范围为(][),13,-∞-+∞，故答案为：(][),13,-∞-+∞15．16 【分析】利用基本不等式求得19a b+的最小值.【详解】依题意19199()()101010616b a a b a b a b a b +=++=++≥+=+=.当且仅当1344a b ==，时等号成立.故答案为：16 16．(,1)(2,)-∞⋃+∞ 【分析】分解因式从而得到解集. 【详解】不等式2320x x -+>，即(2)(1)0x x -->， 所以2x >或1x <，即解集为：(,1)(2,)-∞⋃+∞. 故答案为：(,1)(2,)-∞⋃+∞. 17．04xy <或16xy 【分析】 将8111xy x y++=变形为8x y xy +=-，再结合已知条件，分类讨论，利用基本不等式即可． 【详解】 8111xy x y ++=， ∴8111xy x y=-- ()xy x y xy-+=， 8()xy x y ∴=++， 8x y xy ∴+=-+，又0xy >，∴若0x >，0y >0>，82xy x y xy ∴-=+（当且仅当x y =时取等号），2)0∴，2xy -4xy 0，16xy ∴；若0x <，0y <，0x ->，0y ->，同理可得82xy xy --，(当且仅当x=y 时取等号)42xy ∴-，04xy ∴<.综上所述，04xy <或16xy ．18．（1）(,3)(1,)-∞-⋃+∞；（2）(3,)-+∞．【分析】（1）当1a =时，不等式可化简为()()310x x +->，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案.（2）[]1,2x ∃∈，使得()0f x >成立的否定为：[]()1,2,0x f x ∀∈≤恒成立，列出方程组，可求得a 的范围，进而可得答案.【详解】（1）当1a =时，()()215f x a x a >--+，整理可得2214x x ++>所以()()310x x +->，解得3x <-或1x >，故原不等式的解集为(,3)(1,)-∞-⋃+∞．（2）命题：[]1,2x ∃∈，使得()0f x >成立的否定为：[]()1,2,0x f x ∀∈≤恒成立， 则(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩，解得3a ≤-， 若原命题成立，则a 的取值范围为(3,)-+∞．19．（1）[]4,2- ；（2） 答案不唯一，具体见解析．【分析】（1）根据-1,2是方程20x bx c ++=的两根，利用根与系数的关系得到bc ，再利用一元二次不等式的解法求解；（2）由1b a =-，2c a =-，得到不等式2(1)20x a x a +-+->，再分3a =，3a >，3a <讨论求解.【详解】（1）由题意知：-1,2是方程20x bx c ++=的两根，由根与系数的关系，得1212b c -+=-⎧⎨-⨯=⎩，解得1b =-，2c =-，代入不等式280bx cx ++≥，可得：2280x x --+≥，化简得2(1)9x +≤，解得42x -≤≤，故所求不等式的解集为：[]4,2-．（2）若1b a =-，2c a =-，则不等式()0f x >化为2(1)20x a x a +-+->， ()()()2214230a a a ∆=--⨯-=-，当3a =时，不等式化为2210x x ++>，则不等式的解集为{}|1x x ≠-， 当3a ≠时，两根为1,2a --，当3a >时，12a ->-，则不等式的解集为{1x x -或}2x a <-， 当3a <时，21a ->-，则不等式的解集为{2x x a -或}1x <-， 综上：3a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-，3a >时，不等式的解集为{1x x -或}2x a <-，3a <时，则不等式的解集为{2x x a -或}1x <-.20．证明见解析【分析】根据条件，利用作差法证明.【详解】由题意可得0ab cd >>，0，因为a b c d +=+，所以22-()()a b c d =+-+，0=>，21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）将()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开结合基本不等式即可求证； （2）44a b +和44c d +分别利用基本不等式，所得结果再次利用基本不等式即可求证.【详解】（1）因为0a >，0b >，1a b +=， 所以()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭． 当且仅当1a b b a a b+=⎧⎪⎨=⎪⎩即12a b ==时等号成立， 所以114a b+≥，原不等式得证； （2）4444a b c d +++≥22222222222()a b c d a b c d =+=+2224abcd abcd ≥⨯⋅=当且仅当22222222a b c d a b c d ⎧=⎪=⎨⎪=⎩即a b c d ===时等号成立，故原不等式得证.22．（1）证明见解析；（2）15x =，()min 25f x =⎡⎤⎣⎦. 【分析】（1）()222a b a b x y x y ++≥+可等价于()()222a b x y a b xy ⎛⎫++≥+ ⎪⎝⎭，再展开()22a b x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，根据基本不等式即可证出，并得到等号成立的条件； （2）因为()294912212f x x x x x=+=+--，由（1）中结论，即可解出． 【详解】（1）∵(),0,x y ∈+∞， ∴()()222222222a b y x x y a b a b a b a b xy x y ⎛⎫++=+++≥+++ ⎪⎝⎭，故()222a b a b x y x y ++≥+，当且仅当22y x a b x y =，即a b x y =时等号成立． （2）由（1）可得()()()222232325212212f x x x x x +=+≥=-+-， 当且仅当23122x x =-，即15x =时上式取最小值，即()min 25f x =⎡⎤⎣⎦．。

高中数学苏教版（2019）3.2基本不等式一、单选题1.已知 x ⩾52 ，则 f(x)=x 2−4x+52x−4 有（ ） A. 最大值 54 B. 最小值 54 C. 最大值1 D. 最小值12.将一根铁丝切割成三段，做一个面积为 2m 2 ，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是（ ）A.6.5mB.6.8mC.7mD.7.2m3.某工厂第一年年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则（ ）A.x =a+b 2 B.x ≤a+b 2 C.x >a+b 2 D.x ≥a+b2二、填空题4.限速40km∕h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km∕h ，写成不等式就是________．5.设 α∈(0,π2) ， β∈[0,π2] ，那么 2α−β3 的取值范围是________． 三、解答题6.设 f(x)=50xx 2+1 ，求 f(x) 在 (0,+∞) 上的最大值.7.设x ，y 都是正数，且 1x ＋ 2y ＝3，求2x ＋y 的最小值.8.（1）用篱笆围一个面积为 100m 2 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？9.某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：（1）仓库顶部面积S的最大允许值是多少？（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？10.（1）已知x>0，求y=x+4x的最小值．并求此时x的值；（2）设0<x<32，求函数y=4x(3−2x)的最大值；（3）已知x>2，求x+4x−2的最小值；（4）已知x>0，y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值；11.（1）已知x>0，求f(x)=12x+3x的最小值；（2）已知x<3，求f(x)=4x−3+x的最大值.12.证明不等式(a+b2)2≤a2+b22( a,b∈R).13.已知a，b，c为任意实数，求证：a2+b2+c2⩾ab+bc+ca．14.已知a、b、c都是正数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc答案解析部分一、单选题1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】B二、填空题4.【答案】v≤405.【答案】(−π6,π)三、解答题6.【答案】解：因为x>0，所以x+1x ≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时取等号，f(x)=50x x2+1=50x+1x≤25当且仅当x=1x，即x=1时取等号，∴f(x)在(0,+∞)上的最大值是25.7.【答案】∵1x +2y=3，∴2x+y=13(2x+y)(1x+2y)=13(2+4xy+yx+2)=13(4xy+yx)+43≥23√4xy⋅yx+43=83当且仅当yx＝4xy，即y＝2x时取等号；又∵1x ＋2y＝3，∴x＝23，y＝43；∴2x＋y的最小值为83.8.【答案】（1）解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm、ym，篱笆的长度为2(x+y)m.由已知得xy=100，由x+y2≥√xy，可得x+y≥2√xy=20，所以2(x+y)≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m；（2）解：由已知得2(x+y)=36，则x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.由√xy≤x+y2=182=9，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2 9.【答案】（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则S=xy，由题意得40x+2×45y＋20xy=3200应用二元均值不等式，得3 200≥ 2√40x •90y +20xy,即S+6 √S ≤160, 而（ √S +16）（ √S -10）≤0.∴ √S ≤10S≤100. 因此S 的最大允许值是100米2.（2）当 {xy =10040x =90y即x=15米， 即铁栅的长为15米.10.【答案】 （1）因为 x >0 ，所以 y =x +4x ≥2√x ⋅4x =4 ，当且仅当 x =4x ，即 x =2 时取等号；故当 x =2 时， y =x +4x 取得最小值4； （2）∵0<x <32 ， ∴3−2x >0 ． ∴y =4x ·(3−2x)=2[2x(3−2x)]⩽2[2x+(3−2x)2]2=92 ． 当且仅当 2x =3−2x ，即 x =34 时，等号成立．∵ 34∈(0,32) ，∴函数 y =4x(3−2x)(0<x <32) 的最大值为 92 ．（3）∵x >2 ， ∴x −2>0∴x +4x−2=(x −2)+4x−2+2⩾2√(x −2)⋅4x−2+2=6 ，当且仅当 x −2=4x−2 时取等号，即 x =4 时， x +4x−2 的最小值为 6 ，（4）∵x >0 ， y >0 ， 1x +9y =1 ， ∴x +y =(x +y)(1x +9y )=y x +9x y +10⩾2√y x ⋅9x y +10=16 ． 当且仅当 y x =9x y时，上式等号成立，又 1x +9y =1 ， ∴x =4 ， y =12 时， (x +y)min =16 ． 11.【答案】 （1）∵x >0 ，∴f(x)=12x +3x ≥2√12x ⋅3x =12 ，当且仅当 12x=3x ⇒x =2 时取等号； 所以 f(x) 的最小值为12；（2）∵x <3⇒3−x >0 ，f(x)=4x−3+x −3+3=−(43−x +3−x)+3≤−2√43−x ⋅(3−x)+3=−1 ，当且仅当43−x=3−x⇒x=1时取等号，所以f(x)的最大值为-1.12.【答案】证明：因为a2+b2≥2ab，所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab，所以2(a2+b2)≥(a+b)2两边同除以4，即得(a+b2)2≤a2+b22，当且仅当a=b时，取等号.13.【答案】∵a2+b2⩾2ab，b2+c2⩾2bc,c2+a2⩾2ca，∴2(a2+b2+c2)⩾2(ab+bc+ ca)．即a2+b2+c2⩾ab+bc+ca．当且仅当a=b=c时，等号成立．14.【答案】∵a、b、c都是正数∴a+b≥2√ab>0（当且仅当a=b时，取等号）b+c≥2√bc>0（当且仅当b=c时，取等号）c+a≥2√ca>0（当且仅当c=a时，取等号）∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2√ab⋅2√bc⋅2√ca=8abc（当且仅当a=b=c时，取等号）即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.。

2019-2020学年苏教版数学精品资料综合检测(三)第3章不等式(时间：120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．(2013·南京检测)若1a＜1b＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab，②|a|＞|b|，③a＜b，④ba＋ab＞2中，正确的是________．(填序号)【解析】∵1a＜1b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0，∴a＋b＜ab，①正确，由1a＜1b＜0，得0＞a＞b，∴|a|＜|b|，②错误，③错误，由题意知ba＞0，ab＞0，∴ba＋ab＞2，④正确．【答案】①④2．函数y＝－x2－3x＋4x的定义域为________．【解析】－x2－3x＋4≥0，x≠0，∴x2＋3x－4≤0，x≠0，∴－4≤x≤1，x≠0.【答案】[－4,0)∪(0,1]3．设M＝(x－1)(x－5)，N＝(x－3)2，则M与N的大小关系为________．【解析】∵M＝(x－1)(x－5)＝x2－6x＋5，N＝(x－3)2＝x2－6x＋9，∴M－N＝(x2－6x＋5)－(x2－6x＋9)＝－4＜0，∴M＜N.【答案】M＜N4．(2013·烟台高二检测)已知x＞0，函数y＝4x＋x的最小值是________．【解析】由x＞0，∴4x＞0，∴y＝4x＋x≥24x·x＝4，当且仅当4x＝x即x＝2时取等号．【答案】 45．已知点A(3，－1)和B(－1,2)在直线ax＋2y－1＝0的同侧，则实数a的取值范围是________．【解析】因为A(3，－1)和B(－1,2)在直线的同侧，所以(3a－3)·(－a＋3)＞0，解得1＜a＜3.【答案】(1,3)6．(2012·长沙高二检测)A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝?，则实数a的取值范围是________．【解析】A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<a}，∵A∩B＝?，∴a≤－1.【答案】(－∞，－1]7．已知x，y满足条件x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，则2x＋4y的最小值为________．【解析】作出平面区域如图所示，令z＝2x＋4y，欲求z的最小值，即求y＝－12x＋z4在y轴上截距的最小值，可以看出当直线过点A(3，－3)时，纵截距最小．所以z min＝2×3＋4×(－3)＝－6.【答案】－68．设M＝3x＋3y2，N＝(3)x＋y，P＝3xy(0＜x＜y)，则M、N、P的大小顺序是________．【解析】∵3x＋3y2≥3x·3y＝(3)x＋y，∴M≥N，又∵x≠y，∴M＞N；又∵x≠y，∴N＞P，∴M＞N＞P.【答案】M＞N＞P9．(2013·无锡检测)不等式x4－x2－2≤0的解集为________．【解析】原不等式可化为(x2＋1)(x2－2)≤0，∵x2＋1＞0∴x2－2≤0，∴x2≤2，∴－2≤x≤ 2.【答案】[－2， 2 ]10．若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是________．【解析】作出可行域如图所示，由题意可知当直线x＋y＝a经过(23，23)时，a＝43，满足条件，当a＞43时满足条件，当直线x＋y＝a经过点(1,0)时，a＝1，∴当0＜a≤1时满足条件，∴a的取值范围为0＜a≤1或a≥4 3 .【答案】(0,1]∪[43，＋∞)11．已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．【解析】∵x，y∈R＋，∴x＋4y＝1≥24xy，∴xy≤1 16 .【答案】11612．(2013·德州高二检测)已知x ，y 满足7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，则y ＋7x ＋4∈________. 【解析】作可行域如图中△ABC 区域．又y ＋7x ＋4的几何意义是区域内点(x ，y)与定点P(－4，－7)连线的斜率．由7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0，∴A(－1，－6)．由x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0，∴B(－3,2)．∴k P A ＝13，k PB ＝9，∴13≤y ＋7x ＋4≤9. 【答案】[13，9] 13．设正数a ，b 满足ab ＝a ＋9b ＋7，则ab 的最小值为______．【解析】因为a ，b 都为正数，所以ab ＝a ＋9b ＋7≥29ab ＋7＝6ab ＋7，当且仅当a ＝9b 时等号成立，因为ab ≥6ab ＋7，解得ab ≥7，所以ab ≥49，故ab 的最小值为49.【答案】4914．(2013·南通检测)不等式x 2－ax ＋b ＜0的解集为{x|2＜x ＜3}，则不等式bx 2－ax －1＞0的解集为______．【解析】由题意方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3.∴a＝5，b＝6，∴不等式bx2－ax－1＞0可化为：6x2－5x－1＞0，即(x－1)(6x＋1)＞0，∴x＜－16或x＞1.【答案】(－∞，－16)∪(1，＋∞)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设x＞－1，求f(x)＝x＋5x＋2x＋1的最值．【解】∵x＞－1，∴x＋1＞0，∴f(x)＝x＋5x＋2x＋1＝x2＋7x＋10x＋1＝x＋12＋5x＋1＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1＋5≥2x＋14x＋1＋5＝4＋5＝9.当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1(x＝－3舍去)时取等号．故当x＝1时，f(x)有最小值9，f(x)无最大值．16．(本小题满分14分)求z＝x＋6y＋7的最值，使(x，y)满足x＋2y≤10，2x＋y≥6，y≥0.【解】作可行域如图所示，由图知z＝x＋6y＋7在A处取到最大值，在B 处取到最小值．由x＋2y＝10，2x＋y＝6，解得A(23，143)．由2x＋y＝6，y＝0，解得B(3,0)．所以z max＝23＋6×143＋7＝3523，z min＝3＋6×0＋7＝10.17．(本小题满分14分)某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，则该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得x＋y≤300，500x＋200y≤90 000，x≥0，y≥0，目标函数为z＝3 000x＋2 000y，二元一次不等式组等价于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线l：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y ＝0，平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立x＋y＝300，5x＋2y＝900，解得x＝100，y＝200.所以点M的坐标为(100,200)．所以z max＝3 000x＋2 000y＝70 0000元，700 000元＝70万元，即在甲电视台做广告100分钟，在乙电视台做广告200分钟，才能使公司的收益最大，最大收益是70万元．18．(本小题满分16分)(2013·扬州检测)已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.(1)若函数f(x)有最大值178，求实数a的值；(2)若不等式f(x)＞－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(3)若a＜0，解不等式f(x)＞1.【解】(1)显然a＜0，且－4a2－14a＝178，解得：a＝－2或a＝－18.(2)由f(x)＞－2x2－3x＋1－2a得：(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0. 当a＝－2时，不合题意；当a≠－2时，a＋2＞0，Δ＝16－4a＋2a－1＜0，所以a＞2.(3)ax2＋x－a－1＞0，即(x－1)(ax＋a＋1)＞0因为a＜0，所以(x－1)(x＋a＋1a)＜0，因为1－(－a＋1a)＝2a＋1a，所以当－12＜a＜0时，1＜－a＋1a，解集为{x|1＜x＜－a＋1a}；当a＝－12时，(x－1)2＜0，解集为?；当a＜－12时，1＞－a＋1a，解集为{x|－a＋1a＜x＜1}．19．(本小题满分16分)(2013·无锡检测)已知函数f(x)＝x2－ax(a∈R)．(1)若不等式f(x)＞a－3的解集为R，求实数a的取值范围；(2)设x＞y＞0，且xy＝2，若不等式f(x)＋f(y)＋2ay≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解】(1)即不等式x2－ax－a＋3＞0的解集为R，∴Δ＝a2＋4(a－3)＜0恒成立，即a2＋4a－12＜0恒成立，∴－6＜a＜2.(2)即不等式x2－ax＋y2－ay＋2ay≥0恒成立，∴不等式x2＋y2≥a(x－y)恒成立．∵x＞y＞0，∴a≤x2＋y2 x－y.∵x2＋y2x－y＝x－y2＋2xyx－y＝(x－y)＋4x－y≥4(当且仅当x －y ＝4x －y 即x ＝1＋3，y ＝－1＋3时取等号)，∴实数a 的取值范围(－∞，4]．20．(本小题满分16分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a ，且不等式f(x)＞－2x 的解集为(1,3)．(1)若方程f(x)＋6a ＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a 的取值范围．【解】(1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则不等式f(x)＞－2x 化为ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＞0.因为不等式的解集为(1,3)，所以a ＜0，－b －2a ＝4，ca ＝3，即a ＜0，b ＝－4a －2，c ＝3a.因为方程ax 2＋bx ＋6a ＋c ＝0有两个相等的实根，所以Δ＝b2－4a(6a ＋c)＝0.把b ，c 分别代入Δ中，化简得5a 2－4a －1＝0，解得a ＝－15，a＝1(舍去)．所以b ＝－65，c ＝－35.所以f(x)的解析式为f(x)＝－15x 2－65x －35.(2)由(1)知a ＜0，所以当x ＝－b2a 时，函数f(x)取得最大值，由题设，得a(－b 2a )2＋b ·(－b 2a )＋c ＞0.代入b ，c 并整理得a 2＋4a ＋1＞0.解得a ＜－2－3或a ＞－2＋ 3.又因为a ＜0，所以a 的取值范围为(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．。

第三章 不等式 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(共40分) 1、(4分)不等式2162a bx x b a+<+对任意a ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A.()2,0-B.()(),20,-∞-+∞C.()4,2-D.()(),42,-∞-+∞2、(4分)在ABC △中，点D 是线段BC 上任意一点(不包含端点)，若=+AD mAB nAC ，则14+m n的最小值是（ ） A.4B.9C.8D.133、(4分)若0a b <<，且2a b +=，则下列四个数中最大的是( ) A.a bB.bC.abD.22a b +4、(4分)已知不等式250ax x b -+>的解集为{32}x x -<<∣，则不等式250bx x a -+>的解集为( ) A.11{}32x x -<<∣B.1{3x x <-∣或1}2x > C.{32}xx -<<∣ D.{3x x <-∣或2}x >5、(4分)已知x ∈R ，(1)(3)M x x =--，2(2)N x =-，则M 与N 的大小关系为( ) A.M N >B.M N ≥C.M N <D.M N ≤6、(4分)某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分: ①生产1单位试剂需要原料费50元;②支付所有职工的工资总额由7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成:③后续保养的费用是每单位60030x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元(试剂的总产量为x 单位,50200x ≤≤).则要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为( ) A.60单位B.70单位C.80单位D.90单位7、(4分)若某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位:10万元)与营运年数()*x x ∈N 为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运( )年时,其营运的年平均利润yx最大.A.3B.4C.5D.68、(4分)已知函数2()21f x x tx =-+在(,1]-∞上单调递减,且对任意的12,[0,1]x x t ∈+,总有()()122f x f x ≤-,则实数t 的取值范围是( )A. B. C. D.9、(4分)已知b 克糖水中含有a 克糖（0b a >>），再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是( )A. B C. D.10、(4分)某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为2120800002y x x =-+，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为( ) A.200吨B.300吨C.400吨D.600吨二、填空题(共25分)11、(5分)给出下列命题： ①若a b <，0c >，则c c a b<；②若110a b <<，则33a b >；③若a b >，则22a b >；④若33ac bc >，则a b >.其中正确命题的序号是___________.（填上所有正确的序号）12、(5分)对于实数x ，当1()n x n n ≤<+∈Z 时，规定[]x n =，若20a =，则[]a =________，不等式29[]0x x a -+<的解集为_______.13、(5分)若某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位:万元)与机器运转时间x (单位:年)的关系为()21825y x x x *=-+-∈N ,则当每台机器运转_________年时,年平均利润最大.14、(5分)已知二次函数2y ax bx c =++(a ,b ,c 均为正数)的图象过点(1,1),最小值为0,若实数λ满足1b -=则实数λ的取值范围为_______.15、(5分)若正数x y ，满足3xy x y =++，则x y +的取值范围是______． 三、解答题(共35分)16、(8分)已知,,a b c ∈R ，满足a b c >>. （1）求证：1110a b b c c a++>---； （2）现推广：把1c a -的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110pa b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出一个p ，并证明之.17、(9分)某工厂某种产品的月固定成本为10万元，每生产x 件，需另投入成本为C ，当月产量不足30件时，2112C x x =+（万元）.当月产量不小于30件时，10069020C x x =+--（万元）.每件商品售价为5万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.因设备问题，该厂月生产量不超过50件.（1）写出月利润L （万元）关于月产量x （件）的表达式；（2）当月产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获月利润最大？ 18、(9分)已知正数a ，b 满足23a b ab +=. （1）若1m a =，1n b=，求2m n +的值； （2）求2111a b +++的最大值. 19、(9分)已知函数()2|2||2|f x x x =-++的最小值为m . (1)求m ；(2)若正实数a ，b ，c 满足2a b c m ++=，求211a b c++的最小值.参考答案1、答案：C解析：168a b b a +≥=，当且仅当16a b b a =，即4a b =时取等号min 168a b ba ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，不等式2162a bx x b a+<+对任意a ，(0,)b ∈+∞恒成立，228x x ∴+<，42x ∴-<<，∴实数x 的取值范围是(4,2)-.故选：C. 2、答案：B 解析： 3、答案：D解析：本题考查基本不等式.因为0a b <<，2a b +=，所以22a b b +=<，可得1b >，2a b +=≥a b =时取等号）；因为0a b <<，所以等号不成立，则2<，可得01ab <<，222()22a b a b ++≥=（当且仅当a b =时取等号）；因为0a b <<，所以等号不成立，则222a b +>，而222(1)0a b b a b b +-=+->，所以22a b b +>.综上可得，四个数中最大的是22a b +.4、答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解集.由已知可得-3，2是方程250ax x b -+=的两根.由根与系数的关系可知5(3)2a -+=，(3)2ba-⨯=，所以5a =-，30b =，代入不等式250bx x a -+>，得2610x x -->，解得13x <-或12x >.5、答案：C解析：本题考查作差法比较大小.由题意，(1)(3)M x x =--，2(2)N x =-，则()222(1)(3)(2)434410M N x x x x x x x -=----=-+--+=-<，所以0M N -<，即M N <，故选C 项. 6、答案：D解析：设每生产1单位试剂的成本为y ,因为试剂总产量为x 单位,则由题意可知,原料总费用为50x 元,职工的工资总额为750020x +元,后续保养总费用为60030x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元,则25075002030600810040x x x x yx x x +++-+==++≥40220=，当且仅当8100x x=,即90x =时取等号,满足50200x ≤≤,所以要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为90单位.故选D.7、答案：C解析：根据题意得到,抛物线的顶点为(6,11),过点(4,7),图象开口向下,设二次函数的解析式为2(6)11(0)y a x a =-+<,所以27(46)11a =-+,解得1a =-,即2(6)11y x =--+,因为x *∈N ,所以2(6)112512122y x x x x x --+==--+≤-=,当且仅当25x x=,即5x =时取等号.故选C. 8、答案：B解析：因为函数2()21f x x tx =-+的图象的对称轴为直线x t =,所以函数2()21f x x tx =-+的单调递减区间为(],t -∞,又函数2()21f x x tx =-+在区间(,1]-∞上单调递减,所以1t ≥,所以01t -≥,|(1)1t t +=∣,由二次函数的对称性可知,在区间[0,1]t +上,max min ()(0),()()f x f f x f t ==,故要使对任意的12,[0,1]x x t ∈+,都有()()122f x f x ≤-|,只要max min ()()2f x f x ≤-,即(0)()2f f t ≤-,可得()221212t t -+≤-,解得t ≤≤又1t ≥,所以1t ≤≤故选B.9、答案：D解析：因为b 克糖水中含a 克糖,所以糖水的“甜度”为,再加入克糖,糖水的“甜度”为,因为糖水更甜了,所以.10、答案：C解析：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥=，当且仅当1800002x x=，即400x =时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每吨的平均处理成本最低. 11、答案：②解析：本题考查利用不等式的性质判断大小.①当0ab >时，c ca b<不成立，故①不正确； ②由110a b<<知0a b <-<-，所以33()()a b -<-，即33a b -<-， 所以33a b >，故②正确；③当1a =，2b =-，命题不成立，故③不正确； ④当0c <时，a b <，故④不正确. 12、答案：20，{45}x x <<∣解析：本题考查新定义及一元二次不等式的解集.由20[20]21≤<，得[][20]20a ==，则不等式化为29200x x -+<，解得45x <<，即不等式的解集为{45}x x <<∣. 13、答案：5解析：每台机器运转x 年的年平均利润为2518y x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,且0x >,由基本不等式得2510x x +≥=,当且仅当25x x=,即5x =时等号成立,故18108yx ≤-=,当且仅当5x =时等号成立,此时年平均利润最大.14、答案：2,)+∞解析：1a b c ++=，且2Δ4=0b ac =-，b ∴=1,1a c +=，21(121a b a c a a λ=-=+=+-=-，22λ∴==-，2111a c a b +=-=-<，即20a -<，0,1)0,01a a ∴∴<∴<<，01a ∴<<，22λ∴≥=，当且仅当=，即12a =时,等号成立.又∵当0a →时,2,)λ→+∞∴∈+∞. 15、答案：[6,)+∞ 解析：因为0,0x y >>，由均值不等式得：232x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 令x y t +=，则232t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭． 化简得24120t t --≥ 解得6t ≥或2t ≤-（舍去）， 所以x y +的取值范围为[6,)+∞. 故答案为：[6,)+∞.16、答案： (1)见解析(2) 见解析解析：(1) 证明 : 由 a b c >>，得 00a b b c ->->，，0a c ->, 要证1110a b b c c a++>--- ， 只要证 ()1110a c a b b c c a ⎛⎫-++> ⎪---⎝⎭ ，左边 ()()111a b b c a b b c c a ⎛⎫=-+-++⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭1130b c a b a b b c --=++≥+=>-- 当且仅当 a b b c -=-，即 2a c b +=时等号成立；(2)要使110pa b b c c a++>---, 只至至()110p a c a b b c c a ⎛⎫-++> ⎪---⎝⎭,左边 ()()11p a b b c a b b c c a ⎛⎫=-+-++⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭240b c a b p p a b b c --=-++->-- 则 4p < ，*p N ∈∴， 可取 2p =或 3取 2p =，问题转化为1120a b b c a c++>---. 证明如下 : 要证1120a b b c a c++>--- ， 只需证明 ()1120a c a b b c a c ⎛⎫-++> ⎪---⎝⎭，左边 ()()112a b b c a b b c a c ⎛⎫=-+-++⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭220b c a b b c a b b c a b ---=+⋅=>---当且仅当 a b b c -=-，即 2a c b +=时等号成立. 17、答案：（1）见解析（2）当月产量为30件时，月获利润最大.解析：（1）因为每件商品售价为5万元，所以x 件商品销售额为5x 万元， 依题意得，当030x <<时，22115104101212L x x x x x =---=-+-； 当3050x ≤≤时，100100569010802020L x x x x x =--+-=--+--. （2）当030x <<时，2141012L x x =-+-， 对称轴为24x =.即当24x =时，max 38L =（万元）；当3050x ≤≤时，10010080(20)6060402020L x x x x =--+=---+≤-=--， 当且仅当30x =时，max 40L =（万元）. 综上所述，当月产量为30件时，月获利润最大. 18、答案：（1）3 （2）见解析解析：（1）由23a b ab +=，可得123b a+=，则23n m +=.（2）由（1）得1a m =，1b n=， 则212213111111m n a b m n m n ⎛⎫+=+=-+ ⎪++++++⎝⎭2113[2(1)1]116m n m n ⎛⎫=-+⋅+++ ⎪++⎝⎭12(1)2(1)13353(561162m n n m ++⎡⎤=-⋅++≤-⋅+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当2(1)2(1)11m n n m ++=++中，即1a b ==时，等号成立. 19、答案：(1)4m =. (2)最小值为94+. 解析：(1)因为32,2,6,22,32, 2.()2|2||2|f x x x x x x x x x -+<-⎧⎪-=-++=+-≤≤⎨⎪->⎩可知()f x 在(,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增， 所以当2x =时，()f x 有最小值，最小值为4， 即4m =.(2)由(1)知4m =，可得24a b c ++=. 又a ，b ，c 为正实数， 所以2111211(2)4a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭14221221544b c a c a b a a b b c c ⎛⎛⎫=++++++++≥⨯+ ⎪ ⎝⎭⎝=当且仅当1627a b -==时，等号成立， 所以211a b c++.。