北京市第八十中学2012～2013九年级数学第一学期期中试题

东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷初三数学命题校：国子监中学 2012年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A． B． C． D．2. 袋子中有两个同样大小的4个小球，其中3个红球，1个白球，从袋中任意地同时摸出一个小球，则摸到白球概率是( )A、21B、43C、31D、413．将抛物线22y x=的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是A．22(2)3y x=--B．22(2)3y x=-+C．22(2)3y x=+-D．22(2)3y x=++4．已知两圆的半径分别为7和1，当它们外切时，圆心距为（）A．6 B．7 C．8 D．95．下列说法正确的是( )①平分弦的直径，必平分弦所对的两条弧．②圆的切线垂直于圆的半径.③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。

④三点可以确定一个圆．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6.如图，△MBC中，∠B=90°，∠C=60°，MB=，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为A． 2 B．3 C．2 D．3(第6题7.边长为a 的正六边形的边心距等于（ ）A ．a 23 B ．2a C ．aD ．223a8．如图所示, 二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图像经过点(-1, 2), 且与x 轴交点的横坐标分别为x 1, x 2, 其中 -2 < x 1 < -1, 0 < x 2 < 1, 下列结论⑴ 4a - 2b + c < 0; ⑵ 2a - b < 0;⑶ a - 3b > 0; ⑷ b 2 + 8a < 4ac ; 其中正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）9. 二次函数y=3 (x-1)(x+3)的对称轴方程是______________. 10.如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=2。

大兴区2012-2013学年度第一学期期中检测试卷初三数学考生须知1.本试卷共四页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和答题纸上准确填写学校、班级和姓名。

3.试题答案一律写在答题纸上，在试卷上作答无效。

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下列每小题均的四个选项中，只有一个．．是正确的。

请将下列各小题正确选项前的字母填写在下表相应题号下面的空格内。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案1.下列函数关系式中，一定是反比例函数的是 A .x y 6=B .112+-=x yC .xky = D .x y 25-=2.如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使 △ABC ∽△PQR ，则点R 应是甲乙丙丁四点中的A .甲B .乙C .丙D .丁 3.函数x k y =的图象经过点)3,2(-，则下列各点中在xky =图象 上的是A .)2,3(B.)2,3(- C .)3,2(-- D .)3,2( 4.下列叙述正确的是A .所有的直角三角形都相似B .所有的等腰三角形都相似C .所有的等腰直角三角形都相似D .所有的矩形都相似 5.当0<k 时，正比例函数kx y -=和反比例函数xky =在同一坐标系内的图象为A .B .C .D . 6.如图，在平行四边形ABCD 中，AE :EB=1:2， 若26cm S AEF =∆，则CDF S ∆为 A .254cm B .242cmAFEDCBC .218cmD .212cm7.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则点M ),(ac b 在 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 8.反比例函数xay =的图象与二次函数c bx ax y ++=2 的图象的交点，最多有A .4个B .3个C .2个D .1个 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.如图，在△ABC 中，若D 、E 分别是AB 、AC 上的点， 且DE//BC ，AD=1，BD=2，则DE :BC= 10.如图，P 是反比例函数xy 4-=的图象上的一点， PA ⊥x 轴于点A ，则△PAO 的面积是11.已知抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为2=x ， 且过)0,3(，则c b a ++=12.某商店将每件进价为8元的某种商品，以每件10元出售，一天可销出约100件，该店向通过降价售价、增加销售量 的办法来提高利润。

北京第八十中学初三(九年级)上学期数学期中试题及答案题
型归纳
数学网讯：期中考试要到了，初三的同学们，你的数学复习的如何?数学要想得高分，需要多练习，下面的北京市第八十中学____届初三(九年级)上学期数学期中试题及答案，供大家练习!
北京市第八十中学____届初三(九年级)上学期数学期中试题
第Ⅰ卷(选择题32分)
一、选择题(共8道小题，每小题4分，共32分)
1.在下面的图形中，相似的一组是( )
2.若两圆的半径分别是4cm和5cm，圆心距为10cm，则这两圆的位置关系是( ).
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
3.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，sinA的值为( )
4.如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB=200，则∠ACB的度数是( ).
A.18°
B.30°
C.36°
D.72°
5.抛物线y=a_2+b_+c(a≠0)的图象如下图所示，那么( )
A.a0，b0，c0
B.a0，b0，c0
C.a0，b0，c0
D.a0，b0，c 0
6.圆锥的母线长为4，底面半径为3，则它的侧面积为( ).
A.24∏
B.12∏
C.20∏
D.10∏
7.已知函数，当函数值y随_的增大而减小时，_的取值范围是( )
A._1
B._1
C._-2
D.-2
北京市第八十中学____届初三(九年级)上学期数学期中试题及答案
以上“北京市第八十中学____届初三(九年级)上学期数学期中试题及答案”的全部内容是由数学网整理的，更多的数学期中试题请查看数学网。

QN MPDCB A九年级 数 学第Ⅰ卷（选择题32分）一、 选择题(共8道小题，每小题4分，共32分) 1．在下面的图形中，相似的一组是( )2．若两圆的半径分别是4cm 和5cm ，圆心距为10cm ，则这两圆的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 3．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，sin A 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．22D ．124．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若72AOB ∠=︒， 则ACB ∠的度数是（ ）．A ．18°B ．30°C ．36°D ．72°5．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，那么( )A ．a ＜0，b ＞0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c < 06．圆锥的母线长为4，底面半径为3，则它的侧面积为( )．A ． π24B ． π12C ．π20D ． π10 7．已知函数4212--=x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＞－2D ．－2＜x ＜48．如图，在矩形ABCD 中， AB =4，BC =6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ， 设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP =x ，CQ=y,那么y 与x 之间的函数图象大致是( )第Ⅱ卷 （填空题和解答题，共88分）二、填空题（共7个小题，每小题4分，共28分）OBCA9．抛物线223y x x =-+的开口方向向______，顶点坐标是__________．10．将抛物线23y x =向_______平移_______个单位，再向______平移______个单位，就能得到抛物线5)3(32-+=x y ．11．正四边形内切圆与外接圆的面积比为________________． 12．在半径为5的圆中，长度为8的弦，其弦心距为 ．13．若,571=+x x 则x ＝______．14．如图所示，身高1.6m 的小华站在距路灯杆5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AB 为______．15．已知在平行四边形ABCD 中，AD=6，点E 在直线AD 上，且DE=3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则AMMC=_____________ 三、解答题（16、17、19、20题各5分，18、21、22题各6分，23题8分，24、25题各7分，共60 分）16．已知，如图，△ABC 中，AB ＝20，BC ＝14，AC ＝12， ∠AED ＝∠B ，DE ＝5．求AD ，AE 的长．17．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AE ∶EB ＝2∶3，若△AED 的面积是4m 2，求四边形DEBC 的面积．18．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A (－2，6)，B (－2，2)，C (－4，0 ) ．（1）在第四象限内画出△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1与△ABC 关于点O 位似，且△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比为1：2；（2）画出△ABC 绕点O 逆．时针．．旋转90o后的△A 2B 2C 2．A19．已知抛物线c bx ax y ++=2经过（0,-6），（8，-6） 两点，其顶点的纵坐标是2，求这个抛物线的解析式．.20．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点的横坐标是方程x 2＋x －2＝0的两个根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式． 21．已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点, 交BD 于点G ，交AB 于点F ．（1）求证：AC 与⊙O 相切； （2）当BD=6，sinC=53时，求⊙O 的半径．22．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售那么半月内可售出400件，根据销售经验，推广销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．（1）销售单价提高多少元，可获利4480元．（2）如何提高售价，才能在半月内获得最大利润？ 23．已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线12y x b =+与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.24．如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式；（2）连接OA ，AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得OBP △与OAB △相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．图1 图225．在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．（1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由．备用图北京市第八十中学2012～2013学年度第一学期期中数学试卷答案一、选择题：1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．B 7．A 8．D 二、填空题：9．上；（1,2） 10．左；3；下；5 11．1：2 12．3 13．2.5 14．4.8 15．1：2或3：2 三、解答题： 16．AD=307；AE =50717．21cm218．画图略 19．21=(4)+22y x --或21=+462y x x -- 20．2=2+24y x x - 21．（1）证明略；；（2）15422．（1）4元或6元；（2）提高5元时，获得最大利润4500元 23．（1）k=1、2、3；（2）2=2+46y x x -；（3）13<<22b -或27332b > 24．解：（1）由题意可设抛物线的解析式为2(2)1y a x =-+．抛物线过原点，D FA BE20(02)1a ∴=-+．14a ∴=-．∴抛物线的解析式为21(2)14y x =--+，即214y x x =-+． …………………………3分（2）如图2，由抛物线的对称性可知：AO AB =，AOB ABO =∠∠． 若BOP △与AOB △相似，必须有POB BOA BPO ==∠∠∠． 设OP 交抛物线的对称轴于A '点，显然(21)A '-，，∴直线OP 的解析式为12y x =-． 由21124x x x -=-+，得10x =，26x =．(63)P ∴-，．……………………5分 过P 作PE x ⊥轴，在Rt BEP △中，2BE =，3PE =，4PB ∴==≠．PB OB ∴≠．BOP BPO ∴≠∠∠． PBO ∴△与BAO △不相似，……………………………………………………6分 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点．所以在该抛物线上不存在点P ，使得OBP △与OAB △相似．…………………7分25． 解：（1）在矩形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒，AP =1，CD =AB =2，∴PB=，90ABP APB ∠+∠=︒． ∵90BPC ∠=︒，∴90APB DPC ∠+∠=︒． ∴ABP DPC ∠=∠． ∴ △ABP ∽△DPC ． ∴AP PBCD PC=，即12= ∴PC=．……………………………………………………………………3分 （2）① ∠PEF 的大小不变．理由：过点F 作FG ⊥AD 于点G ．∴四边形ABFG 是矩形．∴90A AGF ∠=∠=︒．∴GF=AB=2，90AEP APE ∠+∠=︒． ∵90EPF ∠=︒，∴90APE GPF ∠+∠=︒．∴AEP GPF ∠=∠．∴ △APE ∽△GFP . …………………………………………………………5分 ∴221PF GF PE AP ===．x图1∴在Rt△EPF 中，tan∠PEF=2PFPE．……………………………………6分 即tan∠PEF 的值不变．∴∠PEF 的大小不变．…………………………………………………………7分。

北京市大兴区2013届初三(九年级)上学期数学期中试题及答案_题型归纳
数学网讯：期中考试要到了，初三的同学们，你的数学复习的如何?数学要想得高分，需要多练习，下面的北京市大兴区2013届初三(九年级)上学期数学期中试题及答案，供大家练习!
北京市大兴区2013届初三(九年级)上学期数学期中试题
一、选择题(本题共32分，每小题4分)
下列每小题均的四个选项中，只有一个是正确的。

请将下列各小题正确选项前的字母填写在下表相应题号下面的空格内。

1.下列函数关系式中，一定是反比例函数的是
2.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC△△PQR，则点R应是甲乙丙丁四点中的
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
3.函数的图象经过点，则下列各点中在图象上的是
A.(3,2)
B.(3，-2)C(-2，-3).D.(2,3)
4.下列叙述正确的是
A.所有的直角三角形都相似
B.所有的等腰三角形都相似
C.所有的等腰直角三角形都相似
D.所有的矩形都相似
北京市大兴区2013届初三(九年级)上学期数学期中试题及答案
以上“北京市大兴区2013届初三(九年级)上学期数学期中试题及答案”的全部内容是由数学网整理的，更多的数学期中试题请查看数学网。

北京市第八十中学2018～2019学年度第一学期九年级期中数学答案：一、 选择题：1~4 C A D C; 5~8 C C B A二、8003π 13.45度或135度；14. 315.1）三边相等的三角形是等边三角形；2）等边三角形每个内角是60度；3）同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半；16. 0.730.3-± 9.16题给分标准由张老师和韦老师来定.三、 17. ∵AB 弧=AC 弧∴AB=AC ………………2分∵∠B=∠C=75°∴∠A=180-75×2=30°………………5分18.(1)A （1,0）B （3,0）………………2分(2)略………………3分（3）C(2,-1),1………………5分19.A(-1,2), ………………1分y=-2/x ………………3分B(1,-2) ………………5分20.(1).画图 略………………1分 B （-1,3）………………3分（2）52π………………5分 21.（1）画图略………………2分()()()22y=a x-1+3a 03 a=-4≠设………………4分 令x=0得1y=24高为124米……………5分 22. 其它方法酌情23.判断出四点共圆………………1分连接各边中点证明出中点四边形是矩形………………4分证明出OE=OF=OG=OH ………………6分24.解：（1）连接OE ，OF ．∵EF AB ⊥，AB 是O 的直径，∴DOF DOE =∠∠．∵2DOE A =∠∠，A α=∠，∴2DOF α=∠． ………………1分∵FD 为O 的切线， ∴OF FD ⊥.∴90OFD ︒=∠.∴+90D DOF ︒=∠∠.902D α∴∠=︒-． ………………2分（2）图形如图所示.连接OM .∵AB 为O 的直径，∴O 为AB 中点，90AEB ∠=︒．∵M 为BE 的中点， ∴OM AE ∥，1=2OM AE . ………………3分∵30A ∠=︒，∴30MOB A ∠=∠=︒．∵260DOF A ∠=∠=︒ ，∴90MOF ∠=︒. ………………4分∴222+OM OF MF =．设O 的半径为r ．∵90AEB ∠=︒，30A ∠=︒，∴AE =.∴．………………5分∵FMD AD A∴222)+r =. 解得=2r ．（舍去负根）∴O 的半径为2． ………………6分25. （ 1）证明：∵直径DE ⊥AB 于点F ，∴AF =BF ．∴AM =BM ． ······································································· 2分（2）连接AO ，BO ，如图．由（1）可得 AM =BM ，∵AM ⊥BM ，∴∠MAF =∠MBF =45°．∴∠CMN =∠BMF =45°．∵AO =BO ，DE ⊥AB ，∴∠AOF =∠BOF AOB ． ∵∠N =15°，∴∠ACM =∠CMN +∠N = 60°． 即∠ACB =60°．∵∠ACB AOB ． ∴∠AOF =∠ACB =60°．∵DE =8，∴AO =4．在Rt △AOF 中，由，得AF =3分在Rt △AMF 中，AM = BM =．………4分在Rt △ACM 中，由tan AM ACM CM∠=，得CM =…………5分∴BC = CM + BM =． ····················································· 6分 26.允许适当误差27.【答案】（1）（1，-1）；………………2分（2）①3；………………4分②1194m<≤………………7分．28.解：（1）①90︒，60︒．············································································· 2分②本题答案不唯一，如：B (0，2) . ········································· 3分（2）解：①∵直线l: y=kx+b（k > 0）经过点D（1-，0），∴(1)0k b-+=.∴b k=-.∴直线l: y kx k=+-.对于⊙C外的点P，点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．又直线l关于⊙C的“视角”为60°，此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点.∴CP⊥直线l.则直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图所示．作CH⊥x轴于点H，∴点H的坐标为（1，0），∴DH =∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，可求得点P的坐标（1，3）．进而求得k ············································································································ 5分（3）圆心C的横坐标x C的取值范围是1133Cx-+<<． ··························· 7分。

2021-2022学年北京八十中九年级第一学期期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共10小题）.1．下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（）A．（1，﹣3）B．（1，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9 4．如图，△ABC经过变换得到△AB'C'，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（）A．B．C．D．5．点A（﹣2，y1）、B（1，y2）在二次函数y＝x2+2x﹣1的图象上，y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法判断6．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（）A．没有实根B．只有一个实根C．有两个实根，且一根为正，一根为负D．有两个实根，且一根小于1，一根大于27．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（）A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜08．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠D＝55°，则∠BOC的度数是（）A．35°B．55°C．60°D．70°9．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（）A．m≠2B．m＞2C．m≥2D．m＜210．已知二次函数y＝x2+mx+n，当x＝0和x＝2时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是（）A．抛物线y＝x2+mx+n的开口向上B．抛物线y＝x2+mx+n与y轴有交点C．当n＞1时，抛物线y＝x2+mx+n与x轴有交点D．若P（﹣1，y1），Q（3，y2）是抛物线y＝x2+mx+n上两点，则y1＝y2二、填空题（本题共16分，每题2分）11．请写出一个开口向上，且经过点（0，2）的二次函数解析式．12．若抛物线y＝ax2+bx+c的系数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则这条抛物线必经过点．13．已知直线y＝5x+k与抛物线y＝x2+3x+5交点的横坐标为1，则k＝，交点坐标为．14．在平面直角坐标系中，把点A（1，﹣4）绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，则∠BOD＝度．16．如图，直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x 轴上，则不等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为．17．排水管的截面为如图所示的⊙O，半径为5m，已知现在水面位于圆心O下方，且水面宽AB＝6m，如果水面上涨后，水面宽为8m，那么水面上涨了m．18．如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②＝；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共54分，第19题8分，第20-23题每题4分，第24题5分，第25-27题每题6分，第28题7分）。

北京市第八十中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．1sin 2A =，则锐角A 的度数为（30︒．45︒60︒75︒．如图，A ，B ，C 是上的三个点，如果25BAC =︒，那么的度数是（A ．35︒．45︒60︒4．抛物线()22y x =-的顶点坐标是（A ．()12，．()21-，()21，5．已知O 的半径为，点P 在O ）A ．2cm5cm6．如图，在ABC 中，以，边ED ，AC 相交于点F ，若A ∠=A ．60︒B ．72.5︒C ．65︒D ．115︒7．在平面直角坐标系中，将抛物线2y x =平移，可以得到抛物线221y x x =++，下列平移的叙述正确的是（）A ．向上平移1个单位长度B ．向下平移1个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度8．滑雪运动员苏翊鸣一次滑雪过程中，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为()2<0y ax bx c a =++，若苏翊鸣在第2秒与第5秒时的高度相等，则下列时间苏翊鸣所在高度最高的是（）A ．第1秒B ．第5秒C ．第6秒D ．第4秒二、填空题△AFD =10，则S △BEF =16．在平面直角坐标系边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数()2(2)03y x x =-≤≤的图象（抛物线中的实线部分）二次函数214y x bx =++b =．三、解答题17．解方程：2430x x -+=．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()33A ，，点()40B ，，点()01C -，．逆时针旋转(1)以点C为中心，把ABC(2)在（1）中的条件下，①AC扫过的面积为______（结果保留②写出点B'的坐标为______．19．不透明的袋子中装有四个小球，除标有的汉字不同外无其它差别，小球上分别标有汉字“我”、“爱”、“八”、“十”，每次摸球前先摇匀．(1)随机摸出一个小球，摸到“爱”字的概率为(2)随机摸出一个小球后，放回并摇匀，摸到的小球上的汉字一个是“八”，一个是20．已知关于x的一元二次方程2x（1）求证：方程总有两个实数根；m<，且此方程的两个实数根的差为（2）若021．（2016内蒙古包头市）一幅长20cm条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为y cm2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的内接于22．如图，ABC(1)求证：AB AC =；(2)若8BC O = ，的半径为5，求BAD ∠tan 的值．23．如图，已知 AB ，如何等分 AB ？下面给出两种作图方法，利用直尺和圆规．．．．．完成作图，并补全证明过程．方法一：①作射线OA OB ，；②作AOB ∠的平分线OD ，与 AB 交于点C ；点C 即为所求作．证明：OC 平分AOB∠AOC BOC∴∠=∠ AC BC∴=（______）（填推理的依据）．方法二：①连接AB ；②作线段AB 的垂直平分线EF ，直线EF 与 AB 交于点C ；点C 即为所求作．证明：EF 垂直平分弦AB∴直线EF 经过圆心O ，AC BC∴=（______）（填推理的依据）．24．如图，P 为O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，点C 在O 上，连接OA 、OC 、AC ．(1)求证：2AOC PAC ∠=∠；(2)连接OB ，若AC OB ∥，O 的半径为5，6AC =，AP 的长．25．小军老师不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点,A C 在x 轴上，球网AB 与y 轴的水平距离3m,2m OA CA ==，击球点P 在y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足一次函数关系0.4 2.8y x =-+；若选择吊球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足二次函数关系()21 3.2y a x =-+．(1)求点P 的坐标和a 的值．(2)小军老师分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．则球网AB 的高度范围______m ；(3)要使球的落地点到C 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．26．已知抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线x t =．(1)若点()23，在抛物线上，求t 的值(2)若点()()1215x x ，，，在抛物线上；①当1t =时，求a 的取值范围；②若12t x x ≤<，且212x x -≥，求a 的取值范围．27．将线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AC ，继续旋转()0120a a ︒<<︒得到线段AD ，连接CD ，(1)连接BD ，如图1，若80a =︒，则BDC ∠的度数为______(2)如图2，以AB 为斜边作直角三角形ABE ，使得B ACD ∠=∠90CED ∠=︒，求a 的值．(3)在（2）条件下，连接BD ，交AC 于F 点，2CF =，直接写出28．在平面直角坐标系xOy 中，有不重合的两个点(11P x y ，某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点记作PQ L 或QP L ，特别地，当PQ 与某条坐标轴平行（或重合）时，线段点Q 之间的“折距”．例如，如图，点()24P ，，点()41Q ，，此时原点，解答下列问题：。

北京第八十中学九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ． （1）如图①，①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当3883a t ==，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．【答案】（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；【详解】解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①5 1.54t at -=-②由①②可得 1.1a =， 2.5t =．当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③ 54t at -=-④，由③④可得0.5a =，2t =．综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与PCN △全等； ②AP BD ⊥，90BEP ∴∠=︒，90APB CBD ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90APB BAP ∴∠+∠=︒， BAP CBD ∴∠=∠，在ABP △和BCD 中，BAP CBD AB BCABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，BP CD ∴=， 即54t -=， 1t ∴=；（2）当38a =，83t =时，1DN at ==，而4CD =，DN CD ∴<，∴点N 在点C 、D 之间， 1.54AM t ==，4CD =， AM CD ∴=，如图②中，连接AC 交MD 于O ， 90ABC BCD ∠=∠=︒， 180ABC BCD ∴∠+∠=︒， //AB BC ∴，AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠， 在AOM 和COD △中， AMD CDM AM CDBAC DCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOM COD ASA ∴≅△△，OA OC ∴=，ADO CDO S S ∆∆∴=，AFO CFO S S ∆∆=， ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-， ADF CDF S S ∆∆∴=．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．2．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2ky x=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根． （1）求k 1，k 2的值；（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．【答案】（1）k 1＝－2，k 2＝3． （2）tan∠OBA ＝6． 【解析】解：（1）∵k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根，∴解方程x 2－x －6＝0，得x 1＝3，x 2＝－2．结合图像可知：k 1＜0，k 2＞0，∴k 1＝－2，k 2＝3．（2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ．[来源:学&科&网Z&X&X&K]由（1）知，点A ，B 分别在反比例函数2y x =-（x ＜0），3y x=（x ＞0）的图象上，∴S△ACO＝12×2-＝1 ，S△ODB＝12×3＝32．∵∠ AOB＝90°，∴∠ AOC＋∠ BOD＝90°，∵∠ AOC＋∠ OAC＝90°，∴∠ OAC＝∠ BOD．又∵∠ACO＝∠ODB＝90°，∴△ACO∽△ODB．∴SSACOODB∆∆＝2OAOB⎛⎫⎪⎝⎭＝23，∴OAOB＝±6（舍负取正），即OAOB＝6．∴在Rt△AOB中，tan∠OBA＝OAOB＝6．3．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．（1）求点A，C的坐标；（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)、A（12，0），C（﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）.【解析】试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA＞OC求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度，根据Rt△AOB得出AB的长度，作EM⊥x轴，根据三角形相似得出点E的坐标，然后求出k的值；(3)、分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.试题解析：（1）由题意，解方程得：x1=6，x2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．∴A（12，0），C（﹣6，0）；（2）∵tan∠ABO=，∠AOB=90°∴∴OB=16．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20∵BE=5，∴AE=15．如图1，作EM⊥x轴于点M，∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，∴，即：∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．∴E（3，12）．∴k=36；（3）满足条件的点Q的个数是6，x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；方法：如下图①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）如图①∵E （3，12），C （﹣6，0）， ∴CG=9，EG=12， ∴EG 2=CG•GP ， ∴GP=16， ∵△CPE 与△PCQ 是中心对称，∴CH=GP=16，QH=FG=12， ∵OC=6， ∴OH=10， ∴Q （10，﹣12），如图②作MN ∥x 轴，交EG 于点N ，EH ⊥y 轴于点H ∵E （3，12），C （﹣6，0）， ∴CG=9，EG=12， ∴CE=15， ∵MN=CG=， 可以求得PH=3﹣6，同时可得PH=QR ，HE=CR ∴Q （﹣3，6﹣3），考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.4．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%5a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值.【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=， 解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 在x 轴正半轴上，OA 、OB 的长分别是一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个根（OA ＞OB ）． （1）求点D 的坐标． （2）求直线BC 的解析式．（3）在直线BC 上是否存在点P ，使△PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）D （4，7）（2）y=3944x -（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）解一元二次方程求出OA 、OB 的长度，过点D 作DE ⊥y 于点E ，根据正方形的性质可得AD=AB ，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE ，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA ，AE=OB ，再求出OE ，然后写出点D的坐标即可；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b （k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C 的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，过D作DE⊥y于点E，∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=90°，∠DAE+∠OAB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠DAE，∵DE⊥AE，∴∠AED=90°=∠AOB，∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB，∴△DAE≌△ABO（AAS），∴DE=OA=4，AE=OB=3，∴OE=7，∴D（4，7）；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同上可证得△BCM≌△ABO，∴CM=OB=3，BM=OA=4，∴OM=7，∴C（7，3），设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），代入B（3，0），C（7，3）得，，解得，∴y=x﹣；（3）存在．点P与点B重合时，P1（3，0），点P 与点B 关于点C 对称时，P 2（11，6）．考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．如图，抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点，已知()()1,0,0,3.A C -()1求此抛物线的关系式；()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段BC 于点,D 当BCP 的面积最大时，求点D 的坐标；()3点M 是抛物线上的一动点，当()2中BCP 的面积最大时，请直接写出使45PDM ∠=︒的点M 的坐标【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为()0,3或113113++⎝⎭【解析】 【分析】（1）由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.（2）首先设点()2,23,P t t t -++令2230x x -++=，求得()3,0B ，然后设直线BC 的关系式为y kx b =+，由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+，可得()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+，BCP 的面积为()21333,22S PD t t =⨯=-+利用二次函数的性质即可求解； （3）根据PD y 轴，45PDM ∠=︒，分别设DM y x b =+，DM y x b =-+，根据点33D(22，）坐标即可求出b ，再与抛物线联系即可得出点M 的坐标． 【详解】()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++可解得1,3,a c =-=即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++．()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=解得121,3,x x =-= 则点()3,0B ．设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠)， 将点,B C 的坐标代入，可求得直线BC 的关系式为3y x =-+．∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+设BCP 的面积为,S 则()21333,22S PD t t =⨯=-+ ∴当32t =时，S 有最大值，此时点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭．()3∵PD y 轴，45PDM ∠=︒第一种情况：令DM y x b =+,33D(22，） 解得：b=0 ∴223y xy x x =⎧⎨=-++⎩解得：113x =∴M第二种情况：令DM y x b =-+,33D(22，） 解得：b=3 ∴2323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得：x=0或x=3（舍去） ∴M 03（，）满足条件的点M 的坐标为()0,3或1122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.7．在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+m （x≤2m ，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)． （1）当y 0＝﹣1时，求m 的值． （2）求y 0的最大值．（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是 ．（4）点A 在图象G 上，且点A 的横坐标为2m ﹣2，点A 关于y 轴的对称点为点B ，当点A 不在坐标轴上时，以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ，使点C 、D 落在x 轴上，当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1或﹣1；（2）14；（3）0＜x 1＜1；（4）m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1【解析】 【分析】（1）分m ＞0，m ＝0，m ＜0三种情形分别求解即可解决问题； （2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；（3）由（1）可知，当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0，求出当抛物线顶点在x 轴上时m 的值，利用图象法判断即可；（4）分四种情形：①m ＜0，②m ＝0，③m ＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，当m ＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），由题意﹣m2+m＝﹣1，解得m＝51+或51-+（舍弃），当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，∴m＝﹣1，综上所述，满足条件的m的值为512或﹣1；（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣12）2+14，∵﹣1＜0，∴m＝12时，y0的最大值为14，当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，综上所述，y0的最大值为14；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，∴m＝1或0（舍弃），∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，故答案为0＜x1＜1；（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，解得m＞43，或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1（不合题意舍弃），当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．即或﹣m≤2m ﹣2＜0， 解得23≤m ＜1， 综上所述，满足条件m 的值为m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．8．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -． （1）若点(2,0)-也在该抛物线上，请用含a 的关系式表示b ；（2）若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足：当120x x <<时，()()12120x x y y --<；当120x x <<时，()()12120x x y y -->；若以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C （点B 在点C 左侧），且ABC ∆有一个内角为60，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：PA 平分MPN ∠．【答案】（1）21b a =-；（2）22y x =-；（3）见解析.【解析】 【分析】（1）把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案． （2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC ∆为等腰三角形，结合其有一个60︒的内角可得出ABC ∆为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；（3）由（1）的结论可得出点M 的坐标为1(x ，212)x -+、点N 的坐标为2(x ，222)x-+，由O、M、N三点共线可得出212xx=-，进而可得出点N及点'N的坐标，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N在直线PM上，进而即可证出PA平分MPN∠．【详解】解：（1）把点()0,2-、()2,0-分别代入，得2420ca b c=-⎧⎨-+=⎩．所以21b a=-．（2），如图1，当120x x<<时，()()1212x x y y--<，12x x∴-<，12y y->，∴当0x<时，y随x的增大而减小；同理：当0x>时，y随x的增大而增大，∴抛物线的对称轴为y轴，开口向上，b∴=．OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，ABC∴∆为等腰三角形，又ABC∆有一个内角为60︒，ABC∴∆为等边三角形．设线段BC与y轴交于点D，则BD CD=，且30OCD∠=︒，又2OB OC OA===，·303CD OC cos∴=︒=，·301OD OC sin=︒=．不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为31)．点C在抛物线上，且2c=-，0b=，321a∴-=，1a∴=，∴抛物线的解析式为22y x=-．（3）证明：由（1）可知，点M的坐标为1(x，212)x-，点N的坐标为2(x，222)x-．如图2，直线OM的解析式为()11y k x k=≠．O、M、N三点共线，1x∴≠，2x≠，且22121222x xx x--=，121222x xx x∴-=-，()1212122x xx xx x-∴-=-，122x x∴=-，即212xx=-，∴点N的坐标为12(x-，2142)x-．设点N关于y轴的对称点为点'N，则点'N的坐标为12(x，2142)x-．点P是点O关于点A的对称点，24OP OA∴==，∴点P的坐标为()0,4-．设直线PM的解析式为24y k x=-，点M的坐标为1(x，212)x-，212124x k x∴-=-，2 1212xkx+∴=，∴直线PM的解析式为21124xy xx+=-．()222111221111224224·42x xxx x x x+-+-==-，∴点'N在直线PM上，PA∴平分MPN∠．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a、b满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N在直线PM上．9．定义：函数l与l'的图象关于y轴对称，点(),0P t是x轴上一点，将函数l'的图象位于直线x t=左侧的部分，以x轴为对称轴翻折，得到新的函数w的图象，我们称函数w是函数l的对称折函数，函数w的图象记作1F，函数l的图象位于直线x t=上以及右侧的部分记作2F，图象1F和2F合起来记作图象F．例如：如图，函数l的解析式为1y x=+，当1t=时，它的对称折函数w的解析式为()11y x x=-<．（1）函数l的解析式为21y x=-，当2t=-时，它的对称折函数w的解析式为_______；（2）函数l的解析式为1²12y x x=--，当42x-≤≤且0t=时，求图象F上点的纵坐标的最大值和最小值；（3）函数l的解析式为()2230y ax ax a a=--≠．若1a=，直线1y t=-与图象F有两个公共点，求t的取值范围．【答案】（1）()212y x x =+<-；（2）F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩；图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =，最小值为3y =-；（3）当3t =-，1t <≤，5t <<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点． 【解析】 【分析】（1）根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可；（2）先根据题意确定F 的解析式，然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可；（3）先求出当a=1时图像F 的解析式，然后分14t -=-、点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上和点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上三种情况解答，最后根据图像即可解答． 【详解】解：（1）()212y x x =+<-（2）F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩当4x =-时，3y =-，当1x =-时，32y =， 当1x =时，32y =-，当2x =时，1y =， ∴图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =，最小值为3y =-. （3）当1a =时，图象F 的解析式为2223()23()y x x x t y x x x t ⎧=--≥⎨=--+<⎩∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4； a ：当14t -=-时，3t =-，∴当3t =-时直线1y t =-与图象F 有两个公共点； b ：当点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上时，2123t t t -=--，解得1t =2t =c ：当点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上时，2123t t t -=--+，解得34t =-（舍），41t =14t -=，∴55t = ∴当3171t -<≤或3175t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点； 综上所述：当3t =-，3171t -<≤，3175t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点. 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识，弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．10．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______； （2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）； （3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点； ①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？ 【答案】（1）()1,41m --+，13x；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-． 【解析】 【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空； （2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解． 【详解】解：（1）12bx a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+， 由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大．故答案为：(1,41)m --+；13x；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m ---，0)，D 点坐标为41(3m m-+，0)， 顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)， AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点， ②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形， 则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2， 即22242(4)x =+-， 解得：423x =±，抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）11．已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝5，203AD =，AE ⊥BD ，垂足是E ．点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．（1）求AE 和BE 的长；（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，求出相应的m 的值；（3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的ABF 为A BF ''，在旋转过程中，设A F ''所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ，若△DPQ 为等腰三角形，请直接写出此时DQ 的长．【答案】（1）4；3 （2）3或163 （3）25125253243-、、103 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质，利用勾股定理求解BD 的长，由等面积法求解AE ，由勾股定理求解BE 即可，（2）利用对称与平移的性质得到：AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．当点F′落在AB 上时，证明BB′＝B′F′即可得到答案，当点F′落在AD 上时，证明△B′F′D 为等腰三角形，从而可得答案，（3）分4种情况讨论：①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，证明A′Q ＝A′B ，利用勾股定理求解',,F Q BQ 从而求解DQ ，②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，证明点A′落在BC 边上，利用勾股定理求解,BQ 从而可得答案，③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，证明∠A′QB ＝∠A′BQ ，利用勾股定理求解,BQ ，从而可得答案，④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，证明BQ ＝BA′，从而可得答案． 【详解】解：（1）在Rt △ABD 中，AB ＝5，203AD =，由勾股定理得：253BD ==．11,22ABDSBD AE AB AD =⋅=⋅． 2532053 4.AB ADAE BD⨯⋅∴=== 在Rt △ABE 中，AB ＝5，AE ＝4， 由勾股定理得：BE ＝3．（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示： 由对称的性质可知，∠1＝∠2．由平移性质可知，AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．①当点F′落在AB 上时， ∵AB ∥A′B′， ∴∠3＝∠4， ∴∠3＝∠2，∴BB′＝B′F′＝3，即m ＝3； ②当点F′落在AD 上时， ∵AB ∥A′B′，∴∠6＝∠2，∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，,AB AD ⊥ ∴ A′B′⊥AD ，'''',B F D B DF ∴∠=∠∴△B′F′D 为等腰三角形， ∴B′D ＝B′F′＝3，2516333BB BD B D ''∴=-=-=，即163m =．（3）DQ 的长度分别为2512525310103243--、、或103．在旋转过程中，等腰△DPQ 依次有以下4种情形：①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，且PD ＝DQ ， ∴ ∠2＝2∠Q ，∵∠1＝∠3+∠Q ，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠Q ， ∴A′Q ＝A′B ＝5， ∴F′Q ＝F′A′+A′Q ＝4+5＝9．在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：222293310BQ F Q F B ''=+=+=．253103DQ BQ BD ∴=-=-； ②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝DQ ，∴∠2＝∠P ，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P ，∴BA′∥PD ， ∵PD ∥BC ，∴此时点A′落在BC 边上． ∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，∴BQ ＝A′Q ，∴F′Q ＝F′A′﹣A′Q ＝4﹣BQ ．在Rt △BQF′中，由勾股定理得：'2'22,BF F Q BQ += 即：2223(4),BQ BQ +-= 解得：258BQ =， 25251253824DQ BD BQ ∴=-=-=； ③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，且PD ＝DQ ，∴ ∠3＝∠4．∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，149022∴∠︒∠＝﹣． ∵∠1＝∠2，149012∴∠=︒-∠． 149012A QB ∴∠'∠︒∠＝＝﹣，118019012A BQ A QB ∴∠'︒∠'∠︒∠＝﹣﹣＝﹣，∴∠A′QB ＝∠A′BQ ，∴A′Q ＝A′B ＝5， ∴F′Q ＝A′Q ﹣A′F′＝5﹣4＝1．在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：223110BQ +=，25103DQ BD BQ ∴=-=-； ④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝PD ，∴ ∠2＝∠3．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4， ∴BQ ＝BA′＝5，2510533DQ BD BQ ∴=-=-=． 综上所述，DQ 的长度分别为2512525310103243--、、或103．【点睛】本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点．第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算．12．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），且始终保持BP BQ =，AQ QE ⊥，QE 交正方形外角平分线CE 于点E ，AE 交CD 于点F ，连结PQ ．（1）求证：APQ QCE ∆∆≌； （2）证明：DF BQ QF +=；（3）设BQ x =，当x 为何值时，//QF CE ，并求出此时AQF ∆的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当222x =-+//QF CE ；AQF S ∆442=-+．【解析】 【分析】（1）判断出△PBQ 是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE ，再求出AP=CQ ，然后利用“角边角”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ ，判断出△AQE 是等腰直角三角形，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，再证明()F AQ FAQ SAS '∆∆≌；（3）连结AC ，设QFCE ，推出QCF ∆是等腰直角三角形°，再证明()ABQ ADF SAS ∆∆≌，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF ，AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，分别用x 表示出DF 、CF 、QF ，然后列出方程求出x ，再求出△AQF 的面积． 【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90B BCD DCM ∠=∠=∠=︒， ∵BP BQ =，∴PBQ ∆是等腰直角三角形，AP QC =， ∴45BPQ ∠=︒， ∴135APQ ∠=︒ ∵CE 平分DCM ∠， ∴45DCE ECM ∠=∠=︒， ∴135QCE ∠=︒， ∴135APQ QCE ∠=∠=︒， ∵AQ QE ⊥，∴90AQB CQE ∠+∠=︒． ∵90AQB BAQ ∠+∠=︒． ∴BAQ CQE ∠=∠． ∴()APQ QCE ASA ∆≌． （2）由（1）知APQ QCE ∆∆≌． ∴QA QE =． ∵90AQE ∠=︒，∴AQE ∆是等腰直角三角形， ∴45QAE ∠=︒． ∴45DAF QAB ∠+∠=︒，如图4，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，其中点D 与点B 重合，且点F '在直线BQ 上，则45F AQ '∠=︒，F A FA '=，AQ AQ =， ∴()F AQ FAQ SAS '∆∆≌． ∴QF QF BQ DF '==+．（3）连结AC ，若QF CE ，则45FQC ECM ∠=∠=︒． ∴QCF ∆是等腰直角三角形， ∴2CF CQ x ==-， ∴DF BQ x ==．∵AB AD =，90B D ∠=∠=︒， ∴()ABQ ADF SAS ∆∆≌．∴AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒， ∴AC 垂直平分QF ，∴22.5QAC FAC QAB FAD ∠=∠=∠=∠=︒，2FQ QN =， ∴22FQ BQ x ==．在Rt QCF ∆中，根据勾股定理，得222(2)(2)(2)x x x -+-=． 解这个方程，得1222x =-+ 2222x =--（舍去）． 当222x =-+QFCE ．此时，QCF QEF S S ∆∆=，∴212QCF AQF QEF AQF AQE S S S S S AQ ∆∆∆∆∆+=+==， ∴()2222111222AQF AQE QCF S S S AQ CQ AQ CQ ∆∆∆=-=-=- ()222112(2)4244222x x x x ⎡⎤=+--=⋅==-+⎣⎦【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．13．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，且BE=DF，点P是AF的中点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ，PD．（1）求证：AC垂直平分EF；（2）试判断△PDQ的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF绕着点C旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）△PDQ是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立；理由见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，由BE=DF，得出CE=CF，△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明∠DPQ=90°，即可得出结论；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明点A、F、Q、P四点共圆，由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，∵BE=DF，∴CE=CF，∴AC垂直平分EF；（2）解：△PDQ是等腰直角三角形；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∴∠DAP=∠ADP，∵AC垂直平分EF，∴∠AQF=90°，∴PQ=AF=PA，∴∠PAQ=∠AQP，PD=PQ，∵∠DPF=∠PAD+∠ADP，∠QPF=∠PAQ+∠AQP，∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2（∠PAD+∠PAQ）=2×45°=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形；（3）成立；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∵BE=DF，BC=CD，∠FCQ=∠ACD=45°，∠ECQ=∠ACB=45°，∴CE=CF，∠FCQ=∠ECQ，∴CQ⊥EF，∠AQF=90°，∴PQ=AF=AP=PF，∴PD=PQ=AP=PF，∴点A、F、Q、P四点共圆，∴∠DPQ=2∠DAQ=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形．考点：四边形综合题．14．如图，在直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．（1）点C的坐标为（，）；（2）若二次函数的图象经过点C．①求二次函数的关系式；②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y对应的取值范围；Z_X_X_K]③在此二次函数的图象上是否存在点P（点C除外），使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ∴点C的坐标为(－3，1) ．(2)①∵二次函数的图象经过点C(－3，1)，∴.解得∴二次函数的关系式为②当-1≤x≤4时，≤y≤8；③过点C作CD⊥x轴，垂足为D，i) 当A为直角顶点时，延长CA至点，使，则△是以AB为直角边的等腰直角三角形，过点作⊥轴，∵＝，∠＝∠，∠＝∠＝90°，∴△≌△，∴AE＝AD＝2，＝CD＝1,∴可求得的坐标为(1，－1)，经检验点在二次函数的图象上；ii）当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y轴，同理可证△≌△∴BF＝OA＝1，可得点的坐标为（2， 1），经检验点在二次函数的图象上．同理可得点的坐标为（－2， 3），经检验点不在二次函数的图象上综上：二次函数的图象上存在点(1，－1)，（2，1）两点，使得△和△是以AB为直角边的等腰直角三角形．【解析】(1)根据旋转的性质得出C点坐标；（2）①把C点代入求得二次函数的解析式；②利用二次函数的图象得出y的取值范围；③分二种情况进行讨论.15．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′O′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图1，若α=90°，则AB= ，并求AA′的长；（2）如图2，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，直接写出点P′的坐标．【答案】（1）10，102；（2）（33，9）；（3）123545（，）【解析】试题分析：(1)、如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；(3)、由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y=x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D 和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．试题解析：(1)、如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=BA=5；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH=BO′=，O′H=BH=，∴OH=OB+BH=3+，∴O′点的坐标为（）；（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，则O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，∵点C与点B关于x轴对称，∴C（0，﹣3），设直线O′C的解析式为y=kx+b，。

北京市第八十中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽部分作品图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．已知⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为8，那么点P 与⊙O 的位置关系是（）．A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 内C ．点P 在⊙O 上D ．无法确定3．如果在二次函数的表达式y=ax 2+bx+c 中，a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转60︒得到AED △，连接BE ．若线段3AB =，则BE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，25ADB ∠=︒.则AOC ∠的度数为（）A．130︒二、填空题三、解答题17．解方程：2430x x -+=．18．如图，A ，P ，B ，C 是O 上的四个点，60APC CPB ∠=∠=︒．求证：ABC 是等边三角形．(1)画出．．OAB 关于原点对称．．．．．．的图形(2)以点．A 为旋转中心．．．．．，将ABO 顺时针．．．点2O 的坐标为______．23．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线求作：过点P 的⊙O 的切线．作法：如图，作射线OP ；①在直线OP 外任取一点B ；②连接并延长BA 与⊙A 交于点③作直线PC ；则直线PC 即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（2）完成下面的证明：证明：∵BC 是⊙A 的直径，∴∠BPC=90°（填推理依据）∴OP ⊥PC ．又∵OP 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线（填推理依据）24．如图，O 是ABC 的外接圆，(1)求证：CP 是O 的切线；(2)若8CD =，2EB =，求O 的半径．25．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸作为上部结构主要承重构件的桥梁．多吊杆(吊杆垂直于桥面)，把桥面吊住．某悬索桥道．图2是该悬索桥的示意图，小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引，他通过查找资料了解到此桥的相关信息；这座桥的缆索近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即垂直，主桥AC 的长为600m ，索塔顶端D 与锚点E 的距离DE 为155m ．缆索最低处的吊杆MN 长为3m ，桥面上与点M 相距100m 处的吊杆PQ 长为13m ．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息解决问题．(1)根据题意，在图3中建立适当的坐标系，并写出以下点的坐标：N ______，Q ______(2)求这条抛物线的解析式；(3)求引桥CE 的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m ，()4,n 在抛物线()20y ax bx c a =++>上．设抛物线的对称轴为直线x t =．(1)若30a b +=．比较,,m n c 的大小关系，并说明理由；(2)点()00),1(x m x ≠在抛物线上，若m c n <<，求t 及0x 的取值范围．27．在ABC 中，0(45)B C αα∠=∠=︒<<︒，AD BC ⊥于点D ，P 为线段BD 上的动点（不与点B 、D 重合），连接AP 并将线段AP 绕点A 逆时针旋转1802α︒-，得到线段'AP ，连接PP '，取PP '的中点Q ．(1)依题意补全图形；(2)用含α的式子表示BCP '∠，并说明理由；(3)点M 为线段DC 上一点，当MD 与BP 满足的数量关系为______时，对于任意的点P ，总有2QMB α∠=．证明你的结论．28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（B '，C '分别是B ，C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．(1)如图，点A ，1B ，1C ，2B ，2C ，3B ，3C 的横、纵坐标都是整数．在线段11B C ，22B C ，33B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______；(2)ABC 是边长为1的等边三角形，点(0,)A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；(3)在ABC 中，1AB =，2AC =．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，并说明理由．。