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概率论期末试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A的概率为P(A)，则其对立事件的概率为：A. P(A) + 1B. 1 - P(A)C. P(A) - 1D. P(A) / 22. 某校有男女生比例为3:2，随机抽取1名学生，该学生是男生的概率为：A. 1/5B. 3/5C. 2/5D. 5/73. 抛一枚均匀硬币两次，至少出现一次正面的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 5/84. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=15，p=0.4，则P(X=7)是：A. C^7_15 * 0.4^7 * 0.6^8B. C^7_15 * 0.6^7 * 0.4^8C. C^7_15 * 0.4^15D. C^8_15 * 0.4^7 * 0.6^85. 若随机变量Y服从泊松分布，λ=2，则P(Y=1)是：A. e^(-2) * 2B. e^(-2) * 2^2C. e^(-2) * 2^1D. e^(-2) * 2^06. 设随机变量Z服从标准正态分布，则P(Z ≤ 0)是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.337. 若两个事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∩B)是：A. 0.42B. 0.35C. 0.6D. 0.78. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)是：A. 2B. 4C. 0D. 19. 设随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)=-2，则X和Y：A. 正相关B. 负相关C. 独立D. 不相关10. 若随机变量X服从指数分布，λ=0.5，则P(X > 1)是：A. e^(-0.5)B. e^(-1)C. 1 - e^(-0.5)D. 2 - e^(-1)二、填空题（每题3分，共30分）11. 若随机变量X服从参数为θ的概率分布，且P(X=θ)=0.3，P(X=2θ)=0.4，则P(X=3θ)=________。
概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。
–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。
–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。
–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。
2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。
–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。
–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
南邮概率论习题册答案答案部分：第一章：概率基本概念和性质1. 试验、样本空间和事件概念解释：试验是指具有明确结果的随机现象，样本空间是所有可能结果的集合，而事件是样本空间中的一个子集。
答案：1) 试验：抛一枚硬币。
2) 样本空间：{正面, 反面}。
3) 事件A：出现正面。
4) 事件B：出现反面。
2. 概率的定义和性质概念解释：概率是描述事件发生可能性的数值，它满足非负性、规范性和可列可加性。
答案：1) 非负性：对于任何事件A，P(A) ≥ 0。
2) 规范性：对于样本空间S，P(S) = 1。
3) 可列可加性：对于互斥事件序列A1, A2, A3...，P(A1 ∪ A2 ∪A3...) = P(A1) + P(A2) + P(A3...)。
3. 随机变量的概念和分类概念解释：随机变量是根据试验结果的不同值赋予的数值，它可以分为离散随机变量和连续随机变量。
答案：1) 离散随机变量：抛一枚骰子，出现的点数为随机变量X，取值为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2) 连续随机变量：测量一批产品的重量，随机变量X表示产品的重量，取值范围在区间[0, ∞)内。
第二章：概率的基本运算法则和条件概率4. 事件的互斥和独立概念解释：互斥事件是指事件之间不可能同时发生的事件，独立事件是指事件之间相互不影响的事件。
答案：1) 互斥事件：掷一枚骰子，事件A是出现奇数点数，事件B是出现偶数点数，事件A和事件B是互斥事件。
2) 独立事件：从一副扑克牌中取出一张牌，事件A是取到黑桃，事件B是取到红桃，事件A和事件B是独立事件。
5. 概率的加法与乘法法则概念解释：加法法则用于计算事件之间的并集概率，乘法法则用于计算事件之间的联合概率。
答案：1) 加法法则：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。
2) 乘法法则：P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)。
6. 条件概率和独立性概念解释：条件概率是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率，独立性是指两个事件相互独立的概率性质。
第二章 （证明题略）练习2-1练习题1. 2. 3. 见教材P259页解答。
4．解：X: 甲投掷一次后的赌本。
Y ：乙……… 21214020p x 21213010Y p⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=40,14020,2120,0)(F ~x x x x x X ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=30,13010,2110,0)(F ~Y x x x y Y5.解（1）∑∑∑∑=====⇒=⇒=⇒==10011001100110012112121)(i ii i i i ia a a i x p（２）31211112112121)(1111=⇒=--⇒=⇒=⇒=⇒==∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=a a a a ai x p i i i i i i i6.解 21 51 101512 0 25X --p 7．解（１）X:有放回情形下的抽取次数。
P （取到正品）＝107C C 11017=P （取到次品）＝103 107)103( 107)103( 107103,107i 3 2 1X 1-i 2 ⋅p（２）Y:无放回情形下。
778192103 87 92103 97 103 1074 3 2 1 Y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅p8．解54511)5(1)3(1)3P(=-=-=-=-≤-=->X p X p X 542)P(X 0)P(X )2()33()3X P(==+=+-==<<-=<X p X p 107)5()2()3()1()21P(2)1()21X P(=-=+==-<+>=-<++>+=>+X p X p X p X p X X p9．解（１）根据分布函数的性质11)1()(2lim 1lim 1=⇒=⇒=++→→A Ax F x F x x(2))5.0()8.0()8.05.0(F F X P -=≤<225.08.0-=＝0.3910．解：依据分布满足的性质进行判断： （１）+∞<<∞-x单调性：+∞<<<⇒<x x F x F x x 0).()(2121在时不满足。
第1章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：(1)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。
(2)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。
(3)连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。
(4)抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。
解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。
2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(______AB B A P AB P B A P B A P ⋃⋃。
解：625.0)()()()(=-+=⋃AB P B P A P B A P ，375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，875.0)(1)(___--=AB P AB P ，5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=⋃-⋃=-⋃=⋃AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。
（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。
（2）4只中至少有2只红球。
（3）4只中没有白球。
解: （1）所求概率为338412131425=C C C C ； （2） 所求概率为165674952014124418342824==++C C C C C C ； （3）所求概率为16574953541247==C C 。
6，一公司向M 个销售点分发)(M n n <张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率。
概率论试题及答案一、选择题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是：- A. 1/2- B. 3/8- C. 5/8- D. 1/82. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于：- A. 0.7- B. 0.6- C. 0.4- D. 0.33. 抛掷一枚硬币两次，出现正面向上的概率是：- A. 1/4- B. 1/2- C. 3/4- D. 1二、填空题1. 概率论中，事件的全概率公式是 P(A) = ________，其中∑表示对所有互斥事件B_i的和。
2. 如果事件A和事件B是独立事件，那么P(A∩B) = ________。
三、计算题1. 一个工厂有3台机器，每台机器在一小时内发生故障的概率是0.01。
求在一小时内至少有一台机器发生故障的概率。
2. 一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，这名学生是男生的概率是0.6。
求这个班级中男生和女生的人数。
四、解答题1. 解释什么是条件概率，并给出计算条件概率的公式。
2. 一个袋子里有10个球，其中7个是红球，3个是蓝球。
如果从袋子中随机取出一个球，观察其颜色后放回，再取出一个球。
求第二次取出的球是蓝球的概率。
答案一、选择题1. C. 5/82. B. 0.63. B. 1/2二、填空题1. P(A) = ∑P(A∩B_i)2. P(A)P(B)三、计算题1. 首先计算没有机器发生故障的概率，即每台机器都不发生故障的概率，为(1-0.01)^3。
至少有一台机器发生故障的概率为1减去没有机器发生故障的概率，即1 - (1-0.01)^3。
2. 设男生人数为x，女生人数为y。
根据题意，x/(x+y) = 0.6，且x+y=50。
解得x=30，y=20。
四、解答题1. 条件概率是指在已知某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
计算条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
概率论数学考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从标准正态分布，下列哪个值是X的概率密度函数？A. \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)B. \(\frac{1}{2}e^{-|x|}\)C. \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{x^2}{2}}\)D. \(\frac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}\)答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，下列哪个公式是X的期望值？A. \(E(X) = np\)B. \(E(X) = n(1-p)\)C. \(E(X) = p\)D. \(E(X) = 1-p\)答案：A3. 随机变量X和Y相互独立，下列哪个公式是X和Y的协方差？A. \(Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)B. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y)\)C. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y) + E(XY)\)D. \(Cov(X, Y) = E(X)E(Y) - E(XY)\)答案：A4. 随机变量X服从泊松分布，其参数为λ，下列哪个公式是X的概率质量函数？A. \(P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)B. \(P(X=k) = \lambda^k e^{-\lambda} k!\)C. \(P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\)D. \(P(X=k) = \lambda^k e^{-\lambda} (k+1)!\)答案：A5. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，下列哪个公式是X的期望值？A. \(E(X) = \frac{a+b}{2}\)B. \(E(X) = a\)C. \(E(X) = b\)D. \(E(X) = \frac{a+b}{3}\)答案：A6. 随机变量X服从指数分布，其参数为λ，下列哪个公式是X的累积分布函数？A. \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\)B. \(F(x) = e^{-\lambda x}\)C. \(F(x) = 1 - e^{\lambda x}\)D. \(F(x) = e^{\lambda x}\)答案：A7. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，下列哪个公式是X的方差？A. \(Var(X) = \sigma^2\)B. \(Var(X) = \mu^2\)C. \(Var(X) = \sigma\)D. \(Var(X) = \mu\)答案：A8. 随机变量X和Y相互独立，下列哪个公式是X和Y的协方差？A. \(Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)B. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y)\)C. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y) + E(XY)\)D. \(Cov(X, Y) = E(X)E(Y) - E(XY)\)答案：A9. 随机变量X服从几何分布，其成功概率为p，下列哪个公式是X的概率质量函数？A. \(P(X=k) = (1-p)^{k-1} p\)B. \(P(X=k) = p(1-p)^k\)C. \(P(X=k) = p^k (1-p)\)D. \(P(X=k) = (1-p)^k p\)答案：A10. 随机变量X服从超几何分布，下列哪个公式是X的期望值？A. \(E(X) = n \frac{M}{N}\)B. \(E(X) = n \frac{M}{N-1}\。
概率论期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个事件是必然事件？A. 抛硬币正面朝上B. 抛硬币反面朝上C. 抛硬币出现正面或反面D. 抛硬币出现正面和反面2. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，以下哪个选项是正确的？A. μ是X的期望值B. σ²是X的方差C. μ是X的中位数D. σ²是X的期望值3. 假设随机变量X和Y相互独立，以下哪个选项是正确的？A. P(X∩Y) = P(X)P(Y)B. P(X∪Y) = P(X) + P(Y)C. P(X∩Y) = P(X) + P(Y)D. P(X∪Y) = P(X)P(Y)4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，以下哪个选项是正确的？A. X的期望值是npB. X的方差是np(1-p)C. X的期望值是nD. X的方差是p(1-p)二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果随机变量X服从泊松分布，其概率质量函数为P(X=k) =________，其中λ > 0，k = 0, 1, 2, ...2. 假设随机变量X服从均匀分布U(a, b)，其概率密度函数为f(x) = ________，其中a < x < b。
3. 假设随机变量X和Y相互独立，且X服从正态分布N(μ, σ²)，Y 服从正态分布N(ν, τ²)，则Z = X + Y服从正态分布N(μ+ν,________)。
4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其期望值E(X) = np，方差Var(X) = ________。
三、解答题（每题30分，共40分）1. 假设随机变量X服从正态分布N(0, 1)，求P(-1 < X < 2)。
2. 假设随机变量X服从二项分布B(10, 0.3)，求P(X ≥ 5)。
答案：一、选择题1. C2. A3. A4. A二、填空题1. λ^k * e^(-λ) / k!2. 1/(b-a)3. σ² + τ²4. np(1-p)三、解答题1. 根据标准正态分布表，P(-1 < X < 2) = Φ(2) - Φ(-1) =0.9772 - 0.1587 = 0.8185。
1 .随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区 别? 答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是 连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都 可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离 散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机 变量的取值规律。
它们的联系在于当知道了X 的分布律，可可通过对求导，即E f （x ）的连续点处）I 求得密度函数f （兀）° I 2.同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和 X 的概率分布,并计算 P{X < 3}和 P{X>13}.解：由题意X 的正概率点为2, 3， (12),k=2,3,•-12r121沖“"心2} "{"32亦+站二迁通过求概率 P{X -幻（x 取任意的值）求得X 的分布函数 何; 仅之亦然。
当知道了连续型随机变量的密度函数 血,可通过积分-00<比>+00）| ,求得分布函数回,F （尤）=（对一切3. 某产品共17件，其中有次品3件，现从中任取5件，求抽得 次品数X 的概率分布，并计算P{1 < X<2}4. 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯 的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独 立,且红绿两种信号显示的时间相等 ，以X 表示该汽车首次车在第i 个路口首次遇到红灯”相互独立，且对于m =0,123 ，有P{1<X<2} = ^遇到红灯前已通过的路口的个数 ,求X 的概率分布解：X 的可能取值为0,123£J (i=1,2,3)表示事件“汽，i=1,2,3P{X-0}= P ⑷=-，泌=U = p^}=?______ 1P{X = 3} = P {石石石}=丐 25.设随机变量 X 的概率密度为:©)=可 X £ [Ojl]訂€[3,旬 .0 其他k=0,1,2 …,10使得求k 的取值范围。
解:f U 「3 「62 r+a /<叮尹+ J 严+J 护+丿6皿"蔦 2当kE[i3P(X> fc} = fOdx + J 胚 _辰 B - 8)1 时r^2dx r + 82人〒十J 6 M2亍 当卜E L J - 8丿I时2P{X >k) = - E___ 二—3| , k 的取值范围是[131故要使得6.设某射手每次射击命中目标的概率为0.5,现连续射击10次，求命中目标的次数 X 的概率分布，又设至少命中 才可以参加下一步的考核，求次射手不能参加考核的概率。
解：X~B(ltb OS)设M 此対于不能参丿川考核儿有2=P {X<2}= "p {/= fe}Jt = 02=丫瑞0・5%51°"勺 0.054P 〔X 二 4}p 心｝堆厂耳厂s 關 十+ 丄+&某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位: 小时）都服从同一指数分布，概率密度为600求：在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏 的概率 解.= ｛在仪器使用的最初200小时内，第k 只原件损坏｝k =123= ｛第k 只原件的使用寿命｝-X- 1+ 0O [丄600」 3 -r-—e dx= e200 6°°7 .设X 服从泊松分布，且已知Pfx = 1} = P{X =21 求解：由P{X=1} =冷e-J 冷e-2 = p{x = 2〕得到0=2P （兀）=P M > 2009.令X 表示向直角等腰三角形内投点时落点的第一坐标,H r .H , - j (j 幵 cj 4 JY- p J \ 盂“7 仝X 氐jt 帀5■厉fW 二M 和口声kir r…. T上.当比＞ 1|时，阿＞)1=1f 0当兀<0时10.从1个白球n-1个黑球中任取k 个，令X 表示取出的白球 卜左=严-1 + C k 个数.⑴ 求X 的分布律；(2)证卜'^-斥-1—1求 F(x).M =0P{X = 0}=解：(1)X 的可能取值为0,1，且 ___________0 Ck%-1c ；(2) 由分布律性质，卜* =广左-1 厂叙 即r 仇=+ 1计算 p (X M 0*2|0”l V X € 0”5} 解：P{X < 0.2|0J <x < 0.5}P {X < 02,0,1 <x < 0.5} P {0,1 <x < 0.2}P {O.l <x 0-5}- P {O.l <x < 0.5};0.,2/w 0,10A48------ = A ocz 0.578 pg 0.256J心 J 0,1故分布律:11 .已知X 的概率密度为1-r 4 + 8 〒 ce _ e dt =故，C=13.设X~N(108,9),(1) 求 P{101.1vxv117.6};(2) 求常数 a, 使 P {Xva}=0.90. 解：⑴P{101.1<x< 117,.,6}/117.6- 108\ /101J - 108\=O| 1-0(1 = 0(3,2)P{X <a}== 0.,90故，a - 108即，a=111.8414 .设X 为一离散型随机变量，其分布律如下表，求:(1)q 的 值;(2)X 的分布函数.12 .已知X 的概率密度为f(x)=C ,确定常数C.f 1* 1It '2 -AT +? _厂迈c/ e dx-007 z3 )1 3(-2詔)二中(3,2) - (1 - e (23)》二 0・9886X-10 1P1 21-2q 215.设随机值变量X 在［2,5］上服从均匀分布，现对X 进行3 次独立观测，试求至少有2次观测值大于3的概率.以丫表示3次独立观测中观测值大于 3的次数（即在3次独立实=+ 1 - 2q +『 0<l-2g<l化11q = 1 — 一 芒分布律:X-10 1P1 2x/2 - 1| 3 - 厂、Ex< 1 (2)由F(x) = P{xSb ,--1<X< 0 L 1\/2 — — 0 < X < 11 X > 1解：因 H = {X>3〕| 且 『（X ）= 了 2 三 XW 5 b 人他 故，解：⑴解得: P(?l)三 P{X > 3}二2 3验中事件A 出现的次数)显然，丫服从参数为n=3，p=^的二次分布异巧 320P{r>2} = c^-- +zz16.设一大型设备在任何长为 t 的时间间隔内发生故障的次数N(t)服从参数的泊松分布，求 (1)相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布;(2 )在设备已经无故障工作8 小时的情况下，再无故障运行8小时的概率Q.解：事件Nt k 表示设备在任何长为t 的时间间隔内发生k 次故障。
t kP N(t) k ------------- e t (k 0,1,2,3....) k! 当 t 0时,P(T t) 0 当t 0时，事件T t 与事件T t 是互逆事件，且表示在长为t 的时间内无故障发生， 故它等价于(1)由于T 是非负随机变量，可见 设t 0,则事件T t 与N(t) F(t) PT t 1 PT t 1 故服从参数为的指数分 布。
PT 16/T 8 PT 16，T 8PT 8 当 t 0时，F(t) PT t 0等价，故当 P N(t)0时，有te P T PT 8 1616e8" e17. 设X 的分布律为：求丫=的分布律。
X 123 4561 1 1151 P—46128246求Y=C 遊X 的分布律。
解：X 与丫的对应关系如下表：P COS -X18.设X 〜N （0,1 ）,求Y=X 2的密度函数。
2 1，0 X2,求丫 4X 2 1的概率密度. 0，其他故COS —X 的分布律可见丫的取值只有 -1,0,1 三种可能。
P COS 2XP COS -x1 6 1 4 1 31 12 5 24 13 24解：若丫 0,则丫 若y 0,则有F Y （y ） y 是不可能事件，故F Y（y ） X 2 F Y W) 2 4y2 (J y)y P _ye'J y X2 (h) 11 y故丫的密度函数为: P<(y)19.设连续型随机变量 X 的概率分布为:解:2F Y （y ） PY y P 4x 1 1时号 0,F Y （y ） Px 2 0 P 0 Y （y ）-1 时,F Y （y ）P X 2J y 1 PJ y 1 2 J y 1 2F x 佇）F x （V'y 1）F x 佇）Y（y ） F x （旦A Jz 2丿V v 12 1220山 4 J y 1 , ,—2 0 4 2故丫的概率密度为: Y（y）呼)1 2j y 1, 0y 其他Wyi, 01 y 其他（B） 1.随机变量X 与丫均服从正态分布。
X 〜N （u,42）,YN （卩，52）,证 P =P X 4 , P 2 = P Y(A)对任何实数卩，都有P (B)对任何实数卩，都有P P2(C)只对卩的个别值，才有 P=R(D)对任何实数 卩，都有p>E解：p 1 P X P 2 PY P — 4 Y ------- 1 151 11即P P 2故（A ）成立。
()(A) 单调增大(B)单调减小(C)保持不变(D)增减不定 解: X 〜N( 口，2) -—〜N(0,1)1112 11 故(C )成立。
3.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量 X1与X2的分布函数，为 使F(x)=aF1(x)-bF2(x) 是某随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取() (A)a=35,b=-25 (B) a=23,b=23 (C) a=-12,b=32 (D) a=12,b=-32解：F 1 x , F 2 x 都是分布函数，F 1 1, F 2为使F X aF-i x bF 2 x 是某一随机变量的分布 即：a b 1故(A)成立(C)计算题至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率a,并用泊松2.设随机变量X 〜N()，贝y 随着的增大，概率1函数，必满足条件：F11.设测量误差 X 〜N(0, 102)，试求在100次独立重复测量中 分布求出 a 的近似值(要求小数点后取两位有效数字).解：设100次独立重复测量中有 丫次测量误差的绝对值大于1X^ 〜N (0,1)19.6，贝y 丫〜B (100, P ) ,P=P X19.6XXX19.6 P — 1.961 P10101.96 2(1 0.975) 0.05PY i 1 (C I00i 00.95100 C 1。
