五年高考 第六章 第三节 答案及解析

五年高考真题分类汇编：不等式、推理与证明一. 选择题1．（2013·湖南高考理）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.52【解析】选C 本小题主要考查线性规划知识及数形结合思想，属中档偏易题．求解本小题时一定要先比较直线x ＋2y ＝0与边界直线x ＋y ＝1的斜率的大小，然后应用线性规划的知识准确求得最值．作出题设约束条件的平面区域(图略)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，可得(x ＋2y )max ＝13＋2×23＝53.2．（2013·安徽高考理）已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为 ( ) A ．{x |x <－1或x >lg 2} B ．{x |－1<x <lg 2} C ．{x |x >－lg 2} D ．{x |x <－lg 2}【解析】选D 本题考查一元二次不等式的求解、指对数运算．考查转化化归思想及考生的合情推理能力．因为一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，所以可设f (x )＝a (x＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫10x －12<0，即10x <12，x <－lg 2，故选D3．（2013·安徽高考理）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA ―→|＝|OB ―→|＝OA ―→·OB ―→＝2，则点集{P |OP ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，|λ|＋|μ|≤1，λ， μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3【解析】选D 本题考查平面向量运算、线性规划等知识，培养考生对知识的综合应用能力以及数形结合思想．由|OA ―→|＝|OB ―→|＝OA ―→·OB ―→＝2，可得∠AOB ＝π3，又A ，B 是两定点，可设A (3，1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，可得⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝λ＋2μ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝33x ，μ＝y 2－36x .因为|λ|＋|μ|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪33x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y2－36x ≤1，当⎩⎨⎧x ≥0，3y －3x ≥03y ＋3x ≤6，时，由可行域可得S 0＝12×2×3＝3，所以由对称性可知点P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝43，故选D. 4.（2013·新课标Ⅱ高考理）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，x ≥a x －3 .若z ＝2x＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2【解析】选B 本题考查线性规划问题，属于基础题．由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，由目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义为直线l ：y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点B (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则2－2a ＝1，a ＝12，故选B.5．（2013·北京高考理）设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0 表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝ 2.求得m的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53【解析】选C 本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查数形结合思想、等价转化思想以及考生分析问题、解决问题的能力．问题等价于直线x －2y ＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m ，m )不可能在第一和第三象限，而直线x －2y ＝2经过第一、三、四象限，则点(－m ，m )只能在第四象限，可得m ＜0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x －2y ＝2与阴影部分有公共点，则点(－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方，由于坐标原点使得x －2y －2＜0，故－m －2m －2＞0，即m ＜－23.6．（2013·广东高考理）设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }．令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S中，则下列选项正确的是( )A.(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∉SB.(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈SC.(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∈SD.(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∉S【解析】选B 本题考查集合、推理与证明，考查考生接受、理解、运用和迁移新知识的能力，推理论证能力与创新意识．题目中x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立说明x ，y ，z 是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x ＝1，y ＝2，z ＝3，w ＝4满足题意，且(2,3,4)∈S ，(1,2,4)∈S ，从而(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S 成立．7．（2013·山东高考理）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为 ( ) A ．2 B ．1 C ．－13 D ．－12【解析】选C 本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查两点间斜率的几何意义等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力．已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13.8．（2013·山东高考理）设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为 ( )A ．0B ．1 C.94D ．3【解析】选B 本题考查基本不等式、二次函数的性质等基础知识，考查等价转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力.xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.9．（2013·天津高考理）设变量x, y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y－2x的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2【解析】选A 本题考查线性规划，意在考查考生数形结合思想的应用．约束条件对应的平面区域是一个三角形区域，当目标函数y ＝2x ＋z 经过可行域中的点(5,3)时，z 取得最小值－7.10．（2013·天津高考理）已知函数f (x )＝x (1＋a |x |). 设关于x 的不等式f (x ＋a )＜f (x )的解集为A .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A, 则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52【解析】选A 本题考查函数与不等式的综合应用，意在考查考生的数形结合能力．由题意可得0∈A ，即f (a )<f (0)＝0，所以a (1＋a |a |)<0，当a >0时无解，所以a <0，此时1－a 2>0，所以－1<a <0.函数f (x )的图象(图略)中两抛物线的对称轴x ＝12a ，x ＝－12a 之间的距离大于1，而[x ＋a ，x ]的区间长度小于1，所以不等式f (x ＋a )＜f (x )的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －a2，－12a －a 2，所以⎣⎢⎡ －12， ⎦⎥⎤12⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －a 2，－12a －a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧12a －a 2＜－12，－12a －a 2＞12，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －1＜0，a 2＋a ＋1＞0，解得1－52＜a ＜1＋52，又－1＜a ＜0，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0. 11．（2013·北京高考文）设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则 ( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2 D. a 3>b 3【解析】选D 当c ＝0时，选项A 不成立；当a >0，b <0时，选项B 不成立；当a ＝1，b ＝－5时，选项C 不成立；a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋3b 24>0，故选D. 12．（2013·重庆高考文）关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D. 152 【解析】选A 本题主要考查二次不等式与二次方程的关系．由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.13．（2013·山东高考文）设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当zxy取得最小值时，x＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.94【解析】选C 本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想．z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4yx－3≥2 x y ·4yx－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，因此z ＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y －1)2＋2≤2. 14．（2013·大纲卷高考文）不等式|x 2－2|<2的解集是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2)【解析】选D 本题主要考查绝对值不等式、二次不等式的解法．由|x 2－2|<2得－2<x 2－2<2，即0<x 2<4，所以－2<x <0或0<x <2.15.（2013·福建高考文）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( )A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0【解析】选B 本题主要考查线性规划问题中求目标函数的最值，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力．画出可行域(如图中阴影部分)，由图像可得，当y ＝－2x ＋z 经过点B (2,0)时，z max ＝4；当y ＝－2x ＋z 经过点A (1,0)时，z min ＝2，故选B.16．（2013·福建高考文）若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是 ( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 【解析】选D 本题主要考查基本不等式，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．∵2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y(当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y≤12， ∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2，故选D. 17．（2013·天津高考文）设变量x, y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y－2x的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2【解析】选A 本题主要考查线性规划，意在考查考生的数形结合能力．约束条件对应的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数y ＝2x ＋z 经过直线x －y －2＝0和y ＝3的交点(5,3)时，z 取得最小值－7.18.（2013·湖北高考文）某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为 ( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元 D ．38 400元【解析】选C 本题主要考查用二元一次不等式组解决实际问题的能力，考查线性规划问题，考查考生的作图、运算求解能力．设租A 型车x 辆，B 型车y 辆，租金为z ，则⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z ＝1 600x＋2 400y 在点N (5,12)处取得最小值36 800.19．（2013·陕西高考文）若点(x ，y )位于曲线y ＝ |x |与y ＝ 2所围成的封闭区域， 则 2x －y 的最小值是 ( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2【解析】选A 本题主要考查分段函数的图像和性质以及求解线性规划最优解的思维方法．作出函数y ＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ≥0 －x x ＜0和y ＝2围成的等腰直角三角形的可行域(如图阴影部分所示)，则可得过交点A (－2，2)时，2x －y 取得最小值－6.20．（2013·江西高考文）下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 【解析】选A 本题主要考查分式不等式的解法，考查考生化归与转化的能力．法一：取x ＝－2，知符合x ＜1x＜x 2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B ，C ，D.法二：由题知⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1x，1x ＜x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x ＋1x＜0， x －1 x 2＋x ＋1x＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或0＜x ＜1，x ＜0或x ＞1，得x ＜－1.21．（2013·四川高考文）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16【解析】选C 本题主要考查线性规划的应用，意在考查考生对基础知识的掌握．约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x ＝4，y ＝4时，a ＝z max ＝5×4－4＝16；当x ＝8，y ＝0时，b ＝z min ＝5×0－8＝－8，∴a －b ＝24.22．（2012·重庆高考理）不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．[－12，1]C ．(－∞，－12)∪[1，＋∞)D ．(－∞，－12]∪[1，＋∞)【解析】选A 由数轴标根法可知原不等式的解集为(－12，1]．23．（2012·广东高考理）已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为 ( ) A ．12 B ．11 C ．3 D ．－1 【解析】选B如右图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时， z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2，此时，z ＝y ＋3x ＝11.24．（2012·山东高考理）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x－y 的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1,6]D ．[－6，32]【解析】选A作出不等式组所表示的区域如图，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，平移直线y ＝3x ，由图像可知当直线经过点E (2,0)时，直线y ＝3x －z 的截距最小，此时z 最大为z ＝3×2－0＝6，当直线经过C 点时，直线y ＝3x －z 的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝－1，2x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3，此时z ＝3x －y ＝32－3＝－32，所以z ＝3x －y 的取值范围是[－32，6]．25．（2012·江西高考理）观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝ ( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199【解析】选C 记a n ＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.26．（2012·江西高考理）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表.年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50【解析】选B 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋0.9y ＝0，向上平移至过点B 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180，求得B (30,20)，故选B.27．（2012·四川高考理）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 ( ) A ．1 800元 B ．2 400元 C ．2 800元 D ．3 100元 【解析】选C设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x >0，y >0，z＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．28．（2012·辽宁高考理）设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 【解析】选D作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线y ＝－23x ，易知直线经过可行域上的点A (5,15)时，2x ＋3y 取得最大值55.29．（2012·辽宁高考理）若x ∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是 ( ) A ．e x≤1＋x ＋x 2B.11＋x≤1－12x ＋14x 2C ．cos x ≥1－12x 2D ．ln (1＋x )≥x －18x 2【解析】选C 对A ，因为e 3>1＋3＋32，故A 不恒成立；同理，当x ＝13时，11＋x >1－12x＋14x 2，故B 不恒成立；因为(cos x ＋12x 2－1)′＝－sin x ＋x ≥0(0∈[0，＋∞))，且x ＝0时，y ＝cos x ＋12x 2－1＝0，所以y ＝cos x ＋12x 2－1≥0恒成立，所以C 对；当x ＝4时，ln(1＋x )<x －18x 2，故D 不恒成立．30．（2012·大纲卷高考理）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE＝BF ＝37.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 ( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10【解析】选B 结合已知点E ，F 的位置，进行作图，推理可知，在反射过程中直线是平行的，那么利用平行关系，作图可以得到P 第一次碰到E 点时，需碰撞14次．31．（2012·福建高考理）下列不等式一定成立的是 ( ) A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 【解析】选C 取x ＝12，则lg(x 2＋14)＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D. 32．（2012·福建高考理）若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2【解析】选B 可行域如图中的阴影部分所示，函数y ＝2x的图象经过可行域上的点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x，x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2即函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点坐标为(1,2)，当直线x ＝m 经过点(1,2)时，实数m 取到最大值为1，应选B.33．（2012·四川高考文）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－3，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋4y的最大值是( )A ．12B ．26C ．28D ．33【解析】在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(如图)及直线3x ＋4y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点M (4,4)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，即z max ＝3× 4＋4×4＝28.【答案】C33（2012·辽宁高考文）设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 【解析】选D根据不等式组确定平面区域，再平移目标函数求最大值．作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线y ＝－23x ，易知直线经过可行域上的点A (5,15)时，2x ＋3y 取得最大值55.34（2012·天津高考文）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x－2y 的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．3 【解析】选B不等式表示的平面区域是如图所示的阴影部分，作辅助线l 0：3x －2y ＝0，结合图形可知，当直线3x －2y ＝z 平移到过点(0,2)时，z ＝3x －2y 的值最小，最小值为－4.35（2012·山东高考文）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x－y 的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1,6]D ．[－6，32]【解析】选A不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y 轴上截距的相反数，其最大值在点A (2,0)处取得，最小值在点B (12，3)处取得，即最大值为6，最小值为－32.36．（2012·福建高考文）若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32 D ．2【解析】选B可行域如图阴影所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y －3＝0得交点A (1,2)，当直线x ＝m 经过点A (1,2)时，m 取到最大值为1.37（2012·安徽高考文）若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32 D ．3【解析】选A根据⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3.得可行域如图中阴影部分所示，根据z ＝x －y 得y ＝x －z ，平移直线y ＝x 得z 在点B (0,3)处取得最小值－3.38（2012·广东高考文）已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为 ( ) A ．3 B ．1 C ．－5 D ．－6 【解析】选C变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0表示的平面区域如图所示，作辅助线l 0：x ＋2y＝0，并平移到过点A (－1，－2)时，z ＝x ＋2y 达到最小，最小值为－5. 39（2012·湖南高考文）设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是 ( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③【解析】选D 由a >b >1，c <0得，1a <1b ，c a >c b；幂函数y ＝x c (c <0)是减函数，所以a c <b c；因为a －c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．40（2012·新课标高考文）已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是 ( ) A ．(1－3，2) B ．(0,2) C ．(3－1,2) D ．(0,1＋3) 【解析】选A 由题意知，正三角形的顶点C 的坐标为(1＋3，2)，当z ＝－x ＋y 经过点B 时，z max ＝2，经过点C 时，z min ＝1－ 3.41（2012·重庆高考文）不等式x －1x ＋2<0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】选C 不等式等价于(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1，故不等式的解集为(－2,1)． 42（2012·江西高考文）观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为 ( ) A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125【解析】选D ∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，59＝1953125,510＝9765625，… ∴5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2011)＝f (501× 4＋7)＝f (7)，∴52011与57的末四位数字相同，均为8125.故选D.43（2012·安徽高考文）设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别( ) A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1，－2 D ．2，－1【解析】选B 法一：特殊值验证：当y ＝1，x ＝0时，x ＋2y ＝2，排除A ，C ；当y ＝－1，x ＝0时，x ＋2y ＝－2，排除D ，故选B.法二：直接求解：如图，先画出不等式|x |＋|y |≤1表示的平面区域，易知当直线x ＋2y ＝u 经过点B ，D 时分别对应u 的最大值和最小值，所以u max ＝2，u min ＝－2. 44（2012·山东高考文）不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( )A ．[－5,7]B ．[－4,6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)【解析】选 D |x －5|＋|x ＋3|表示数轴上的点到－3,5的距离之和，不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是(－∞，－4]∪[6，＋∞)．45（2012·四川高考文）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元【解析】选C 设派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y ≥72x ＋y ≤122x ＋y ≤190≤x ≤80≤y ≤7，目标函数z ＝450x ＋350y ，画出可行域如图，当目标函数经过A (7,5)时，利润z 最大，为4 900元．46（2012·湖南高考文）设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞)【解析】选A 变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m<0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由y ＝mx ，x ＋y ＝1，得A (11＋m ，m 1＋m )，所以目标函数的最大值是11＋m ＋m 21＋m <2，即m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，故m 的取值范围是(1,1＋2)．47（2011·重庆高考）已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是 ( )A.72 B ．4 C.92 D ．5 【解析】选C 依题意得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ×4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4ab a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92，选C.48.（2011·重庆高考）设m ，k 为整数，方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m ＋k 的最小值为( )A ．－8B ．8C ．12D ．13【解析】选 D 依题意，记f (x )＝mx 2－kx ＋2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0f 1 ＝m －k ＋2＞00＜k2m ＜1Δ＝k 2－8m ＞0，即①⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，k ＞0k ＜m ＋2k ＜2m k ＞22m.通过验证发现当m ＝1,2时均不存在满足不等式组①的整数k .当m ＞2时，显然有m ＋2＜2m ，此时不等式组①可化为⎩⎨⎧m ＞0，k ＞0m ＋2＞k ＞22m ；又m ，k 均为整数，故可进一步化为②⎩⎨⎧m ＞0，k ＞0m ＋1≥k ＞22m，要使②成立，必有m ＋1＞22m ；又m ＞2，因此有m ＞3＋22，显然5＜3＋22＜6，于是有m ≥6.当m ＝6时，由②式得k ＝7，此时方程mx 2－kx ＋2＝6x 2－7x ＋2＝0的根是12、23满足题意．又当m 进一步增大时，满足②式的k 不会减小，所以m ＋k 取最小值时m 也取最小值，也就是说，当m ＝6，k ＝7时，m ＋k 取最小值13，选D.49（2011·广东高考）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM ―→·OA ―→的最大值为( )A．3 B ．4 C ．3 2 D ．4 2【解析】选B画出区域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM ―→·OA ―→＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z . 令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.50（2011·福建高考）已知O 是坐标原点，点A (－1,1)．若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA ―→·OM ―→的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]【解析】选C 平面区域如图中阴影部分所示的△BDN ，N (0,2)，D (1,1)，设点M (x ，y )，因点A (－1,1)，则z ＝OA ―→·OM ―→＝－x ＋y ，由图可知；当目标函数z ＝－x ＋y 过点D 时，z min ＝－1＋1＝0；当目标函数z ＝－x ＋y 过点N 时，z max ＝0＋2＝2，故z 的取值范围为[0,2]，即OA ―→·OM ―→的取值范围为[0,2]，故选C.51（2011·湖北高考）已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A ．[－2,2]B ．[－2,3]C ．[－3,2]D ．[－3,3] 【解析】选D 因为a⊥b ，所以a·b ＝0，所以2x ＋3y ＝z ，不等式|x |＋|y |≤1可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1 x ≥0，y ≥0 x －y ≤1 x ≥0，y ＜0 －x ＋y ≤1 x ＜0，y ≥0 －x －y ≤1 x ＜0，y ＜0，由图可得其对应的可行域为边长为2，以点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x ＋3y ＝z 过点(0，－1)时z 有最小值－3，当过点(0,1)时z 有最大值3.所以z 的取值范围为[－3,3]．52（2011·浙江高考）设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞0，2x ＋y －7＞0，x ≥0，y ≥0.若x ，y 为整数，则3x ＋4y的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．19【解析】选 B 对于线性区域内边界的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x ＋4y ＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x ＋4y ＝3×3＋4×2＝17，因此3x ＋4y 的最小值为16.53（2011·辽宁高考）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞) 【解析】选D 当x ≤1时，21－x≤2，解得，x ≥0，所以，0≤x ≤1；当x ＞1时，1－log 2x ≤2，解得，x ≥12，所以，x ＞1.综上可知x ≥0.54．（2011·辽宁高考）函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)【解析】选B 令函数g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2＞0，因此，g (x )在R 上是增函数，又因为g (－1)＝f (－1)＋2－4＝2＋2－4＝0.所以，原不等式可化为：g (x )＞g (－1)，由g (x )的单调性，可得x ＞－1.二. 填空题55.（2013·福建高考理）当x ∈R ，|x |<1时，有如下表达式： 1＋x ＋x 2＋…＋x n＋…＝11－x.两边同时积分得：∫1201d x ＋∫120x d x ＋∫120x 2d x ＋…＋∫120x n d x ＋…＝∫12011－x d x ，从而得到如下等式：1×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋1n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋…＝ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C 0n ×12＋12C 1n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋13C 2n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋1n ＋1C n n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝________.【解析】本题考查定积分、二项式定理、类比推理等基础知识，意在考查考生的转化和归能力、类比推理能力和运算求解能力．法一：设f (x )＝C 0n x ＋12×C 1n x 2＋13×C 2n x 3＋…＋1n ＋1×C n n x n ＋1，所以f ′(x )＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝∫120f ′(x )d x ＝∫120(1＋x )n d x ＝1n ＋1(1＋x )n ＋1120＝1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋1－1n ＋1(1＋0)n ＋1＝1n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－1.法二：C 0n ×12＋12C 1n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋13C 2n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋1n ＋1C n n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝1×12＋12×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋13×n n －1 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋1n ＋1×n n －1 ×…×2×1n n －1 ×…×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝1n ＋1(n ＋1)×12＋ n ＋1 n 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋n ＋1 n n －1 3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ＋1 n n －1 ×…×2×1 n ＋1 n n －1 ×…×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝1n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 1n ＋1×12＋C 2n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋C n ＋1n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1 ＝1n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋1－C 0n ＋1 ＝1n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－1. 【答案】1n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－1 56.（2013·浙江高考理）设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0，若z 的最大值为12，则实数k ＝________.【解析】本题考查用平面区域表示二元一次不等式组、直线方程中参数的几何意义以及分析问题、解决问题的能力．画出可行域，根据线性规划知识，目标函数取最大值12时，最优解一定为(4,4)，这时12＝4k ＋4，k ＝2. 【答案】257．（2013·陕西高考理）若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．【解析】本题考查分段函数的图象和线性规划的应用，考查考生的数形结合能力．由题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x ≥1 ，1－x x <1 ，作出曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点A (－1,2)时，2x －y 取最小值－4. 【答案】－458.（2013·陕西高考理）观察下列等式 12＝112－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________．【解析】本题考查考生的观察、归纳、推理能力．观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋12.【答案】12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋1259（2013·广东高考理）不等式x 2＋x －2<0的解集为________．【解析】本题考查一元二次不等式的解集，考查考生的运算能力及数形结合思想的领悟能力．令f (x )＝x 2＋x －2＝(x ＋2)·(x －1)，画出函数图象可知，当－2<x <1时，f (x )<0，从而不等式x 2＋x －2<0的解集为{x |－2<x <1}． 【答案】{x |－2<x <1}60．（2013·广东高考理）给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．【解析】本题考查线性规划、集合、直线方程等知识，考查考生的创新意识及运算能力、数形结合思想的应用．解决本题的关键是要读懂数学语言，x 0，y 0∈Z ，说明x 0，y 0是整数，作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线． 【答案】661．（2013·大纲卷高考理）记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D .若直线y＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．【解析】本题考查线性规划问题．画出可行域，易知直线y ＝a (x ＋1)过定点(－1,0)，当直线y ＝a (x ＋1)经过x ＋3y ＝4与3x ＋y ＝4的交点(1,1)时，a 取得最小值12；当直线y ＝a (x＋1)经过x ＝0与3x ＋y ＝4的交点(0,4)时，a 取得最大值4，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4. 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 62．（2013·湖北高考理）设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.【解析】本题主要考查不等式的性质与方程的求解，意在考查考生的运算求解能力和逻辑推理能力．根据柯西不等式可得，(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2＝14，所以要取到等号，必须满足x 1＝y 2＝z 3，结合x ＋2y ＋3z ＝14，可得x ＋y ＋z ＝3 147.【答案】3 14763．（2013·四川高考理）已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．【解析】本题考查二次函数、不等式、函数的奇偶性，意在考查考生的运算能力和化归的数学思想．当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ＜5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )＜5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)＜5的解集为(－7,3)． 【答案】(－7,3)64．（2013·四川高考理）设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点．在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段 AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)【解析】本题主要考查求函数最值，两点间的距离公式，建立坐标系，以及不等式的放缩等基础知识和基本技能，意在考查综合运用知识分析和解决问题的能力，推理论证和运算求解能力．对于①，不妨假设A ，C ，B 三点在平面直角坐标系xOy 中的x 轴上由左至右排列，A (0,0)，C (c,0)，B (b,0)，0＜c ＜b ，对于平面内任意一点M (x ，y )，|MA |＋|MB |＋|MC |＝x 2＋y 2＋x －b 2＋y 2＋ x －c 2＋y 2≥|x |＋|x －b |＋|x －c |.因为0＜c ＜b ，所以当x ＝c 时，(|MA |＋|MB |＋|MC |)min ＝b ，此时M (c,0)，也就是M 点与C 点重合，故①正确；对于②，设△ABC 中∠C 为直角，以C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，并设点A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0，M (x ，y )为平面内任意一点，AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，则|MA |＋|MB |＋|MC |＝ x －a 2＋y 2＋x 2＋ y －b 2＋ x 2＋y 2，当x ＝a2，y ＝b2时，|MA |＋|MB |＋|MC |＝32 a 2＋b 2，而当x ＝0，y ＝0时，|MA |＋|MB |＋|MC |＝a ＋b ，因为94(a 2＋b 2)－(a ＋b )2＝5a 2＋5b 2－8ab 4≥12ab ＞0，所以斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；对于③，不妨假设A ，B ，C ，D 四点在平面直角坐标系xOy 中的x 轴上由左至右排列，A (0,0)，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)，0＜b ＜c ＜d ，对于平面内任意一点M (x ，y )，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |＝x 2＋y 2＋ x －b 2＋y 2＋ x －c 2＋y 2＋ x －d 2＋y 2≥|x |＋|x －b |＋|x －c |＋|x －d |，因为0＜b ＜c ＜d ，所以当x ∈[b ，c ]时，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |取得最小值，此时M (x,0)，x ∈[b ，c ]，不唯一，故③错误；对于④，由①可知A ，C 的中位点为线段AC 之间的任意一点，B ，D 的中位点为线段BD 之间的任意一点，所以A ，B ，C ，D 的中位点为线段AC 与线段BD 的交点，也就是梯形对角线的交点，故④正确．答案为①④. 【答案】①④65．（2013·天津高考理）设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b 取得最小值.【解析】本题考查基本不等式的应用，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．因为12|a |＋|a |b＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b ＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b ，a ＜0，即a ＝－2，b ＝4时取等号，故12|a |＋|a |b取最小值时，a ＝－2.【答案】－266．（2013·北京高考文）设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】本题主要考查线性规划的简单应用，意在考查考生的运算能力、作图能力以及数形结合思想和转化思想．作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255. 【答案】25567．（2013·北京高考文）已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．【解析】本题主要考查平面向量、线性规划以及考生利用函数方程的思想解答问题的能力，是一道综合性较强的题目，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．设点P (x ，y )，由AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，得(x －1，y ＋1)＝λ(2,1)＋μ(1,2)，故⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2x －y －33，μ＝－x ＋2y ＋33，由1≤λ≤2,0≤μ≤1得，⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x －y －33≤2，0≤－x ＋2y ＋33≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x －y －3≤6，－3≤x －2y －3≤0.画出可行域如图中阴影部分所示，点B (3,0)到直线x －2y ＝0的距离d ＝|3|1＋4＝355，点B ，N 之间的距离|BN |＝5，故阴影部分的面积为3.【答案】368（2013·江苏高考文）抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界) .若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．【解析】本题考查导数的几何意义，线性规划等知识，意在考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力．因为y ′＝2x ，所以当x ＝1时，y ＝1，y ′＝2，则过点(1,1)的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，所以切线与两坐标轴围成的三角形区域端点为(0,0)，(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x ＋2y 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0处取得最大值12，在点(0，－1)处取得最小值－2，即x ＋2y 的取值范围为－2，12.【答案】－2，1269．（2013·江苏高考文）已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．【解析】本题考查奇函数的性质及一元二次不等式的解法，意在考查学生的化归能力及运算能力．由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 【答案】(－5,0)∪(5，＋∞)70．（2013·安徽高考文）若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．【解析】本题主要考查线性规划的有关知识和数形结合思想．。

第六章化学反应与能量李仕才第三节电解池金属的电化学腐蚀与防护考点三金属的腐蚀与防护1．金属的腐蚀(1)概念：金属的腐蚀是指金属或合金跟周围接触到的化学物质发生化学反应而腐蚀损耗的过程。

(2)本质：金属失去电子而被损耗，M－ne－===M n＋(M表示金属)，发生氧化反应。

(3)类型①化学腐蚀与电化学腐蚀②析氢腐蚀与吸氧腐蚀以钢铁的腐蚀为例进行分析：铁锈的形成：4Fe(OH)2＋O2＋2H2O===4Fe(OH)3，2Fe(OH)3===Fe2O3·xH2O(铁锈)＋(3－x)H2O。

2.金属的保护判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．干燥环境下金属不被腐蚀。

( ×)2．Al、Fe、Cu在潮湿的空气中腐蚀均生成氧化物。

( ×)3．钢铁发生电化学腐蚀的负极反应式为Fe－3e－===Fe3＋。

( ×)4．镀铜铁制品镀层受损后，铁制品比镀铜前更容易生锈。

( √)5．在潮湿空气中，钢铁表面形成水膜，金属发生的一定是吸氧腐蚀。

( ×)6．外加电流的阴极保护法是将被保护金属接在直流电源的正极。

( ×)7．在船体外嵌入锌块，可以减缓船体的腐蚀，属于牺牲阴极的保护法。

( ×)1．金属的腐蚀主要分为化学腐蚀和电化学腐蚀，其中以电化学腐蚀为主。

2．钢铁发生电化学腐蚀时，负极铁失去电子生成Fe2＋，而不是生成Fe3＋。

3．铜暴露在潮湿空气中发生的是化学腐蚀，而不是电化学腐蚀，生成铜绿的化学成分是Cu2(OH)2CO3。

一、金属的腐蚀与防护1．下列与金属腐蚀有关的说法，正确的是( )A ．图1中，铁钉易被腐蚀B ．图2中，滴加少量K 3[Fe(CN)6]溶液，没有蓝色沉淀出现C ．图3中，燃气灶的中心部位容易生锈，主要是由于高温下铁发生化学腐蚀D ．图4中，用牺牲镁块的方法来防止地下钢铁管道的腐蚀，镁块相当于原电池的正极 解析：A 项，图1中，铁钉处于干燥环境，不易被腐蚀；B 项，负极反应为Fe －2e －===Fe 2＋，Fe 2＋与[Fe(CN)6]3－反应生成Fe 3[Fe(CN)6]2蓝色沉淀；D 项，为牺牲阳极的阴极保护法，镁块相当于原电池的负极。

一、单项选择题1．在1 100 ℃，一定容积的密闭容器中发生反应：FeO(s)＋＋CO2(g)ΔH ＝a kJ·mol－1(a＞0)，该温度下K＝0.263，下列有关该反应的说法正确的是() A．若生成1 mol Fe，则吸收的热量小于a kJB．若升高温度，正反应速率加快，逆反应速率减慢，则化学平衡正向移动C．若容器内压强不随时间变化，则可以判断该反应已达到化学平衡状态D．达到化学平衡状态时，若c(CO)＝0.100 mol/L，则c(CO2)＝0.026 3 mol/L解析：生成1 mol Fe吸收a kJ热量；升高温度，正反应速率升高，逆反应速率也升高，只是对该吸热反应而言，正反应速率升高得更多，平衡向正反应方向移动；该反应是气体物质的量不变的反应，反应过程中压强不变；平衡时，c(CO2)＝c(CO)×K＝0.026 3 mol·L－1。

答案：D2．在密闭容器中，在一定条件下，进行下列反应：NO(g)＋12N2(g)＋CO2(g)ΔH＝－373.2 kJ/mol，达到平衡后，为提高该反应的速率和NO的转化率，采取的正确措施是()A．加催化剂同时升高温度B．加催化剂同时增大压强C．升高温度同时充入N2D．降低温度同时增大压强解析：提高速率，不宜降低温度；若升高温度，平衡逆向移动，NO转化率降低。

答案：B3．I 2在KI溶液中存在下列平衡：I2(aq)＋I－－3(aq)。

测得不同温度下该反应的平衡常数如下表：A．反应I2(aq)＋I－I－3(aq)的ΔH＞0B．利用该反应可以除去硫粉中少量的碘单质C．在上述平衡体系中加入苯，平衡不移动D．25 ℃时，向溶液中加入少量KI固体，平衡常数K小于680解析：根据表中数据，温度升高时，平衡常数减小，说明升温平衡向逆反应方向移动，则逆反应为吸热反应，正反应为放热反应，ΔH＜0，A项错误；向混有碘单质的硫粉中加入含有I－的溶液，碘单质能溶解，B项正确；向平衡体系中加入苯，I2能溶于苯，c(I2)减小，平衡向逆反应方向移动，C项错误；25 ℃时，向溶液中加入少量KI固体，平衡向正反应方向移动，由于温度不变，因此平衡常数不变，D项错误。

第六章 第三节 三元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 课下练兵场一、选择题1.满足条件202305350y x x y x y -⎧⎪++>⎨⎪+-<⎩≤的可行域中共有整点的个数为 ( )A.3B.4C.5D.6解析：画出可行域，由可行域知有4个整点，分别是(0,0)，(0，－1)， (1，－1)，(2，－2). 答案：B2.点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是( ) A.[0,5] B.[0,10] C.[5,10] D.[5,15]解析：因x ，y 满足－14≤x －y ≤7， 则点P(x ，y)在14x y x y -⎧⎨--⎩≤7≥所确定的区域内， 且原点也在这个区域内. 又点0在直线4x ＋3y ＝0上，430,14x y x y -=⎧⎨-=-⎩解得430(6,8).,(3,4).14x y A B x y -=⎧-⎨-=-⎩解得P 到坐标原点的距离的最小值为0， 又|AO |＝10，|BO |＝5，故最大值为10.∴其取值范围是[0,10]. 答案：B3.设二元一次不等式组2190,80,2140x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是 ( ) A.[1,3] B.[2，10] C.[2,9] D.[10，9]解析：画出可行域如图由.80,2190,x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得交点A(1,9)，2140,2190,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩由 得交点B (3,8)，当y ＝a x 的图象过点A (1,9)时，a ＝9，当y ＝a x 的图象过点B (3,8)时，a ＝2，∴2≤a ≤9. 答案：C4.如果点P 在平面区域22021030x y x y x y ++⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最 小值为 ( ) A .5－1 B .45－1 C .22－1 D .2－1解析：由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P 到Q 的距离最小为到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离d ＝|0－2·(－2)＋1|12＋(－2)2＝5，此时点P 恰好是(－1,0)，符合题意. ∴|PQ |min ＝d －1＝5－1. 答案：A5.(2009·湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ( ) A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 800元 解析：设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意，得线性约束条件2010100,04,08,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值. 解得当4,2x y =⎧⎨=⎩时，z min ＝2 200.答案：B6.(2010·海口模拟)已知约束条件340210,380x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≥≤若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为 ( ) A.0＜a ＜13 B.a ≥13 C.a ＞13 D.0＜a ＜12解析：画出已知约束条件的可行域为△ABC 内部(包括边 界)，如图，易知当a ＝0时，不符合题意；当a ＞0时，由目 标函数z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋z a ，则由题意得－3＝k AC ＜－1a＜0，故a ＞13.综上所述，a ＞13.答案：C 二、填空题7.能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是 .解析：由阴影部分知x≤0,0≤y≤1，又2×0－0＋2＞0，故2x－y＋2≥0，∴所求二元一次不等式组为01. 220 xyx y⎧⎪⎨⎪-+⎩≤≤≤≥答案：01. 220 xyx y⎧⎪⎨⎪-+⎩≤≤≤≥8.(2009·上海高考)已知实数x、y满足2,2y xy xx⎧⎪⎨⎪⎩≤≥-,≤3则目标函数z＝x－2y的最小值是.解析：如图作出阴影部分为可行域，由2,3,36,y x xx x==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩得即A(3,6)，经过分析可知直线z＝x－2y经过A点时z取最小值为－9. 答案：－99.若线性目标函数z＝x＋y在线性约束条件3020x yx yy a+-⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≤下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是.解析：作出可行域如图：由图可知直线y＝－x与y＝－x＋3平行，若最大值只有一个，则直线y＝a必须在直线y＝2x与y＝－x＋3的交点(1,2)的下方，故a≤2.答案：a≤2三、解答题10.求由约束条件2600x y x y x +⎧⎪+⎨⎪⎩≤5≤≤≥确定的平面区域的面积S 和周长c.解：由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分)，其四个顶点为O (0,0)，B (3,0)，A (0,5)，P (1,4).过P 点作y 轴的垂线，垂足为C . 则AC ＝|5－4|＝1，PC ＝|1－0|＝1， OC ＝4，OB ＝3，AP ＝2， PB ＝(4－0)2＋(1－3)2＝2 5. 得S △ACP ＝12AC ·PC ＝12，S 梯形COBP ＝12(CP ＋OB )·OC ＝8.所以S ＝S △ACP ＋S 梯形COBP ＝172， c ＝OA ＋AP ＋PB ＋OB ＝8＋2＋2 5.11.某班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大小彩球装点联欢晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？解：设可购买大球x 个，小球y 个.依题意有21001020,x y x y x N x N**⎧+<⎪⎪⎪⎨⎪∈⎪⎪∈⎩≥≥其整数解为102030,,,203030x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩35,29x y =⎧⎨=⎩…都符合题目要求(满足2x ＋y －100＜0即可). 12.某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B ，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？解：设搭载产品A x 件，产品B y 件， 预计总收益z ＝80x ＋60y.则2030300105110,x y x y x N y N +⎧⎪+⎨⎪∈∈⎩≤≤，作出可行域，如图.作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，2330,222x y x y +=⎧⎨+=⎩解得9,4x y =⎧⎨=⎩，即M (9,4).所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元).答：搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元.。

等比数列及其前n项和挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点等比数列的定义及通项公式①理解等比数列的概念.②掌握等比数列的通项公式.③了解等比数列与指数函数的关系2018课标全国Ⅰ,17,12分等比数列判定及通项公式递推公式★★★2017课标全国Ⅱ,17,12分等比数列基本量计算等差数列基本量计算等比数列的性质及其应用能利用等比数列的性质解决相应的问题2015课标Ⅱ,9,5分等比数列下标和定理等比数列通项公式★★☆等比数列的前n项和掌握等比数列的前n项和公式2016课标全国Ⅰ,17,12分等比数列前n项和等差数列基本量计算★★★2018课标全国Ⅲ,17,12分等比数列前n项和公式等比数列通项公式2017课标全国Ⅰ,17,12分等比数列前n项和计算等差数列的判定2015课标Ⅰ,13,5分等比数列前n项和计算等比数列定义分析解读本节在高考中主要考查等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式及等比中项等相关内容.对等比数列的定义、通项公式、性质及等比中项的考查,常以选择题、填空题的形式出现,难度较小.对前n项和以及与其他知识(函数、不等式)相结合的考查,多以解答题的形式出现,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.本节内容在高考中分值为5分左右,难度不大.破考点【考点集训】考点一等比数列的定义及通项公式1.(2019届某某某某模拟,6)已知等比数列{a n}各项均为正数,满足a1+a3=3,a3+a5=6,则a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7=( )A.62B.62√2C.61D.61√2答案 A2.(2018某某八校第一次联考,17)已知数列{a n}满足a1=1,a2=4,a n+2=4a n+1-4a n.(1)求证:{a n+1-2a n}是等比数列;(2)求{a n}的通项公式.解析(1)证明:由a n+2=4a n+1-4a n得a n+2-2a n+1=2a n+1-4a n=2(a n+1-2a n)=22(a n-2a n-1)=…=2n(a2-2a1)≠0,∴a a+2-2a a+1a a+1-2a a=2,∴{a n+1-2a n}是等比数列.(2)由(1)可得a n+1-2a n=2n-1(a2-2a1)=2n,∴a a+12a+1-a a2a=12,∴{a a2a}是首项为12,公差为12的等差数列,∴a a2a=a2,则a n=n·2n-1.考点二等比数列的性质及其应用1.(2018某某马某某第二次教学质量监测,5)已知等比数列{a n}满足a1=1,a3·a5=4(a4-1),则a7的值为( )A.2B.4C.92D.6答案 B2.(2019届某某某某新华区模拟,9)已知正数组成的等比数列{a n}的前8项的积是81,那么a1+a8的最小值是( )A.2√3B.2√2C.8D.6答案 A考点三等比数列的前n项和1.(2018某某某某教学质量检测(二),16)数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=3-2a+32a,n∈N*,则a1+a2+…+a n=.答案1-12a2.(2019届某某某某模拟,15)设等比数列{a n}的前n项和为S n,8a2-a5=0,则公比q的值为,若-a a2a有最大值-2,则a1的值为.答案2;43.(2018某某(长郡中学、某某八中)、某某(某某二中)等十四校第二次联考,17)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,a1=1,b1=2,b2=2a2,b3=2a3+2.(1)求{a n },{b n }的通项公式; (2)若{a aa a}的前n 项和为S n ,求证:S n <2.解析 (1)设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q, 由题意得{2a =2(1+a ),2a 2=2(1+2d)+2,解得{a =1,a =2或{a =-1,a =0(舍), ∴a n =n,b n =2n. (2)证明:由(1)知a a a a =a2a, ∴S n =12+222+323+…+a -12a -1+a2a, 则12S n =122+223+324+…+a -22a -1+a -12a+a 2a +1,两式相减得12S n =12+122+123+…+12a -a2a +1=12[1-(12)a ]1-12-a2a +1,∴S n =2-(12)a -1-a2a ,∴S n <2.炼技法 【方法集训】方法 等比数列的判定方法1.(2019届某某某某模拟,15)如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形两直角边上再连接正方形,……,如此继续下去,若共得到1 023个正方形,设初始正方形的边长为√2,则最小正方形的边长为.答案 1162.(2017某某仿真模拟,16)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足:a 1=1,a 2=2,S n +1=a n+2-a n+1(n∈N *),若不等式λS n >a n 恒成立,则实数λ的取值X 围是. 答案 (1,+∞)过专题【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2018课标全国Ⅰ,17,12分)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =a aa. (1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式. 解析 (1)由条件可得a n+1=2(a +1)aa n .将n=1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以a 2=4. 将n=2代入得,a 3=3a 2,所以a 3=12. 从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得a a +1a +1=2a aa,即b n+1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得a a a=2n-1,所以a n =n·2n-1.2.(2017课标全国Ⅱ,17,12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若a 3+b 3=5,求{b n }的通项公式; (2)若T 3=21,求S 3.解析 设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q,则a n =-1+(n-1)d,b n =q n-1. 由a 2+b 2=2得d+q=3①. (1)由a 3+b 3=5得2d+q 2=6②. 联立①和②解得{a =3,a =0(舍去),或{a =1,a =2.因此{b n }的通项公式为b n =2n-1. (2)由b 1=1,T 3=21得q 2+q-20=0. 解得q=-5或q=4.当q=-5时,由①得d=8,则S 3=21. 当q=4时,由①得d=-1,则S 3=-6.考点二 等比数列的性质及其应用(2015课标Ⅱ,9,5分)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A.2B.1C.12D.18答案 C考点三 等比数列的前n 项和1.(2015课标Ⅰ,13,5分)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n=. 答案 62.(2018课标全国Ⅲ,17,12分)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设得a n =q n-1. 由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故a n =(-2)n-1或a n =2n-1. (2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)a3.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解. 若a n =2n-1,则S n =2n-1.由S m =63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6.3.(2017课标全国Ⅰ,17,12分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q)=2,a 1(1+q +a 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n. (2)由(1)可得S n =a 1(1-a a )1-a =-23+(-1)n·2a +13. 由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n·2a +3-2a +23=2[-23+(-1)a·2a +13]=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2018,5,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A.√23fB.√223f C.√2512fD.√2712f答案 D2.(2014某某,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2√2.过点A 作BC 的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;……,依此类推.设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,……,A 5A 6=a 7,则a 7=.答案 14考点二 等比数列的性质及其应用(2015某某,13,5分)若三个正数a,b,c 成等比数列,其中a=5+2√6,c=5-2√6,则b=. 答案 1考点三 等比数列的前n 项和1.(2017某某,9,5分)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 答案 32解析 设等比数列{a n }的公比为q. 当q=1时,S 3=3a 1,S 6=6a 1=2S 3,不符合题意,∴q≠1,由题设可得{a 1(1-a 3)1-a =74,a 1(1-a 6)1-a=634,解得{a 1=14,a =2,∴a 8=a 1q 7=14×27=32.2.(2018某某,18,13分)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.解析 (1)设等比数列{b n }的公比为q.由b 1=1,b 3=b 2+2,可得q 2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故b n =2n-1.所以,T n =1-2a1-2=2n-1.设等差数列{a n }的公差为d.由b 4=a 3+a 5,可得a 1+3d=4. 由b 5=a 4+2a 6,可得3a 1+13d=16,从而a 1=1,d=1,故a n =n, 所以,S n =a (a +1)2.(2)由(1),有T 1+T 2+…+T n =(21+22+ (2))-n=2×(1-2a )1-2-n=2n+1-n-2.由S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n 可得a (a +1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n 2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4. 所以,n 的值为4.3.(2016,15,13分)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设=a n +b n ,求数列{}的前n 项和. 解析 (1)等比数列{b n }的公比q=a 3a 2=93=3,(1分)所以b 1=a 2a=1,b 4=b 3q=27.(3分)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 1=b 1=1,a 14=b 4=27, 所以1+13d=27,即d=2.(5分) 所以a n =2n-1(n=1,2,3,…).(6分) (2)由(1)知,a n =2n-1,b n =3n-1. 因此=a n +b n =2n-1+3n-1.(8分)从而数列{}的前n 项和S n =1+3+…+(2n -1)+1+3+…+3n-1=a (1+2a -1)2+1-3a1-3=n 2+3a -12.(13分)C 组 教师专用题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2014某某,17,12分)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n ;(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)设{a n }的公比为q,依题意得{a 1q =3,a 1a 4=81,解得{a 1=1,a =3.因此,a n =3n-1.(2)因为b n =log 3a n =n-1, 所以数列{b n }的前n 项和S n =a (a 1+a a )2=a 2-n2.2.(2014,15,13分)已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }为等比数列. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,由题意得 d=a 4-a 13=12-33=3.所以a n =a 1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n -a n }的公比为q,由题意得 q 3=a 4-a 4a 1-a 1=20-124-3=8,解得q=2.所以b n -a n =(b 1-a 1)q n-1=2n-1. 从而b n =3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由(1)知b n =3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n 项和为32n(n+1),数列{2n-1}的前n 项和为1×1-2a1-2=2n-1. 所以数列{b n }的前n 项和为32n(n+1)+2n-1.3.(2013某某,16,12分)在等比数列{a n}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{a n}的首项、公比及前n项和.解析设该数列的公比为q.由已知,可得a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2,所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1.由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去.故公比q=3,首项a1=1.所以数列的前n项和S n=3a-12.4.(2013某某,19,14分)已知首项为32的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明S n+1a a ≤136(n∈N*).解析(1)设等比数列{a n}的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q=a4a3=-12.又a1=32,所以等比数列{a n}的通项公式为a n=32×(-12)a-1=(-1)n-1·32a.(2)证明:S n=1-(-12)a,S n+1a a=1-(-12)a+11-(-12)a={2+12a(2a+1),n为奇数,2+12a(2a-1),n为偶数.当n为奇数时,S n+1a a 随n的增大而减小,所以S n+1a a≤S1+1a1=136.当n为偶数时,S n+1a a 随n的增大而减小,所以S n+1a a≤S2+1a2=2512.故对于n∈N*,有S n+1a a ≤136.考点二等比数列的性质及其应用1.(2018某某,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则( )A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4答案 B2.(2014大纲全国,8,5分)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.64答案 C3.(2013某某,14,5分)已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.答案63考点三等比数列的前n项和1.(2013课标Ⅰ,6,5分)设首项为1,公比为2的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )3A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n答案 D2.(2013某某,12,5分)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于.答案 63.(2013,11,5分)若等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和S n=.答案2;2n+1-24.(2015某某,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和为T n,求T n.(2)设数列{1a a解析(1)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n =2n.(2)由(1)得1a a=12a .所以T n =12+122+…+12a =12[1-(12)a ]1-12=1-12a .5.(2015某某,16,13分)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设{a n }的公差为d,则由已知条件得 a 1+2d=2,3a 1+3×22d=92,化简得a 1+2d=2,a 1+d=32, 解得a 1=1,d=12, 故通项公式a n =1+a -12,即a n =a +12.(2)由(1)得b 1=1,b 4=a 15=15+12=8.设{b n }的公比为q,则q 3=a 4a 1=8,从而q=2,故{b n }的前n 项和T n =a 1(1-a a )1-a =1×(1-2a )1-2=2n-1.6.(2014某某,19,12分)设等差数列{a n }的公差为d,点(a n ,b n )在函数f(x)=2x的图象上(n∈N *). (1)证明:数列{b n }为等比数列;(2)若a 1=1,函数f(x)的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln2,求数列{a n a a 2}的前n 项和S n . 解析 (1)证明:由已知可知,b n =2a a >0, 当n≥1时,a a +1a a=2a a +1-a a =2d, 所以数列{b n }是首项为2a 1,公比为2d的等比数列.(2)函数f(x)=2x的图象在(a 2,b 2)处的切线方程为y-2a 2=(x-a 2)2a 2ln 2,该切线在x 轴上的截距为a 2-1ln2.由题意知,a 2-1ln2=2-1ln2,解得a 2=2. 所以d=a 2-a 1=1,a n =n,b n =2n,a n a a 2=n·4n.于是,S n =1×4+2×42+3×43+…+(n -1)×4n-1+n×4n,4S n =1×42+2×43+…+(n -1)×4n +n×4n+1, 因此S n -4S n =4+42+ (4)-n×4n+1=4a +1-43-n×4n+1=(1-3a )4a +1-43.所以S n =(3a -1)4a +1+49.7.(2013某某,19,13分)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2+a 3+a 4=-18. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得S n ≥2 013?若存在,求出符合条件的所有n 的集合;若不存在,说明理由.解析 (1)设数列{a n }的公比为q,则a 1≠0,q≠0.由题意得{a 2-a 4=a 3-a 2,a 2+a 3+a 4=-18,即{-a 1a 2-a 1a 3=a 1a 2,a 1q(1+q +a 2)=-18, 解得{a 1=3,a =-2.故数列{a n }的通项公式为a n =3×(-2)n-1. (2)由(1)有S n =3·[1-(-2)a]1-(-2)=1-(-2)n.若存在n,使得S n ≥2 013,则1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012.当n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;当n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即2n≥2 012,则n≥11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N ,k≥5}.【三年模拟】 时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018某某某某一模,3)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2=3,S 6=63,则S 5=( ) A.-33 B.15 C.31 D.-33或31 答案 D2.(2018某某某某调研,4)已知等比数列{a n }的公比为正数,前n 项和为S n ,a 1+a 2=2,a 3+a 4=6,则S 8等于( ) A.81-27√3 B.54C.38-1D.80 答案 D3.(2019届某某模拟,6)设数列{(n 2+n)a n }是等比数列,且a 1=16,a 2=154,则数列{3na n }的前15项和为( )A.1415B.1516C.1617D.1718答案 B4.(2019届某某渝中区模拟,7)已知各项均为正的等比数列{a n }中,a 2与a 8的等比中项为√2,则a 42+a 62的最小值是( ) A.1B.2C.4D.8答案 C5.(2019届某某双台子区模拟,5)已知等比数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,且满足:a 1+3a 3=72,S 3=73,则a 4=( ) A.14B.18C.4D.8答案 A6.(2019届某某杨浦区模拟,11)在数列{a n }中,a 1=1,a 2=64,且数列{a a +1a a}是等比数列,其公比q=-12,则数列{a n }的最大项等于( ) A.a 7B.a 8C.a 6或a 9D.a 10答案 C二、填空题(共5分)7.(2019届某某某某模拟,15)已知等比数列{a n }的前n 项和S n =3n+r,则a 3-r=,若数列{a (a +4)(23)a}的最大项是第k 项,则k=. 答案 19;4三、解答题(共20分)8.(2018某某福安一中考试,17)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 2=4,a 3+a 4=24. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }的前n 项和S n =n 2+n+2n+1-2(n∈N *),求证:数列{a n -b n }是等差数列. 解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q,依题意知q>0. 因为{a 2=4,a 3+a 4=24,所以{a 1q =4,a 1a 2+a 1a 3=24,两式相除得q 2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).所以a 1=a2a =2. 所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1·q n-1=2n.(2)证明:当n=1时,b1=4;当n≥2时,b n=S n-S n-1=n2+n+2n+1-2-(n-1)2-(n-1)-2n+2=2n+2n,又b1=4符合此式,∴b n=2n+2n(n∈N*).设=a n-b n,则=-2n,当n≥2时,--1=-2,∴{}即{a n-b n}是等差数列.9.(2019届某某模拟,18)已知等比数列{a n}的公比q>1,且满足:a2+a3+a4=28,a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n lo g12a n,S n=b1+b2+…+b n,求使S n+n·2n+1>62成立的正整数n的最小值.解析(1)由a3+2是a2,a4的等差中项,得a2+a4=2(a3+2).因为a2+a3+a4=28,所以a2+a4=28-a3,所以2(a3+2)=28-a3,解得a3=8,所以a2+a4=20,所以{a1q+a1a3=20,a1a2=8,解得{a1=2,a=2,或{a1=32,a=12.又q>1,所以{a n}为递增数列. 所以a1=2,q=2,所以a n=2n.(2)b n=a n lo g12a n=2n·log122n=-n·2n.S n=b1+b2+…+b n=-(1×2+2×22+…+n×2n)①,则2S n=-(1×22+2×23+…+n×2n+1)②,②-①,得S n=(2+22+…+2n)-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1, 即数列{b n}的前n项和S n=2n+1-2-n·2n+1,由S n+n·2n+1=2n+1-2>62,得n>5,所以正整数n的最小值为6.。

[基础落实练]1．关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法正确的是()A．只有重力和弹力作用时，机械能才守恒B．当有其他外力作用时，只要合力为零，机械能守恒C．当有除重力或系统内弹力以外的其他外力作用时，只要其他外力不做功，机械能守恒D．炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒解析：机械能守恒的条件是“只有重力或系统内弹力做功”而不是“只有重力和弹力作用”，“做功”和“作用”是两个不同的概念，A项错误；物体受其他外力作用且合力为零时，机械能可以不守恒，如拉一物体匀速上升，合力为零，物体的动能不变，重力势能增加，故机械能增加，B项错误；在炮弹爆炸过程中产生的内能转化为机械能，机械能不守恒，D 项错误。

答案：C2．某同学将手中的弹簧笔竖直向下按压在水平桌面上，如图1所示，当他突然松手后弹簧笔将竖直向上弹起，其上升过程中的E k­h图像如图2所示，则下列判断正确的是()A．弹簧原长为h1B．弹簧最大弹性势能大小为E kmC．O到h3之间弹簧的弹力先增加再减小D．h1到h2之间弹簧笔的弹性势能和动能之和减小解析：弹簧笔竖直向上弹起过程，所受重力保持不变，弹簧弹力减小，当二力平衡时，加速度为零，速度达到最大，动能最大，此时弹簧还有一定的形变量，不是原长，所以弹簧最大弹性势能大于E km，故A、B、C错误；运动过程中，对系统来说，只有重力和弹簧弹力做功，所以系统机械能守恒，h1到h2之间弹簧笔的弹性势能和动能之和减小，重力势能增加，故D正确。

答案：D3．(2022·湖北卷)如图所示，质量分别为m和2m的小物块P和Q，用轻质弹簧连接后放在水平地面上，P通过一根水平轻绳连接到墙上。

P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

用水平拉力将Q 向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力后，Q 恰好能保持静止。

弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k ，重力加速度大小为g 。