课时提升作业(八) 2.1.2

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课时提升作业(八)数系的扩充和复数的概念(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值为( )A.1B.±1C.-1D.-2【解题指南】根据复数的概念,列方程求解.【解析】选 A.由x2-1=0得,x=±1,当x=-1时,x2+3x+2=0,不合题意,当x=1时,满足,故选A.【一题多解】本题还可用以下方法求解:选A.检验法:x=1时,原复数为6i,满足;x=-1时,原复数为0,不满足,当x=-2时,原复数为3,不满足.故选 A.2.(2015·银川高二检测)已知x，y∈R，且(x+y)+2i=4x+(x-y)i，则( )A. B. C. D.【解析】选 C.由复数相等的条件得解得【补偿训练】已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.求实数x，y的值.【解析】因为x，y是实数，所以解得3.(2015·临沂高二检测)若复数z1=sin2θ+icosθ，z2=cosθ+i sinθ，z1=z2，则θ等于( )A.kπ(k∈Z)B.2kπ+(k∈Z)C.2kπ±(k∈Z)D.2kπ+(k∈Z)【解题指南】由复数相等的定义，列方程组求解.【解析】选 D.由z1=z2，可知所以cosθ=，sinθ=.所以θ=+2kπ，k∈Z，故选 D.【补偿训练】 1.已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R)，z2=2cosθ+(λ+3cosθ)i(λ∈R)，若z1=z2，则λ的取值范围是.【解析】因为z1=z2，所以所以λ=4-cosθ.又因为-1≤cosθ≤1.所以3≤4-cosθ≤5.所以λ∈.答案：2.已知复数z1=x+2+(y+1)i，z2=2014+2015i，x，y∈R，若z1=z2，求x和y的值.【解析】根据复数相等的充要条件a+bi=c+di?a=c且b=d(a，b，c，d∈R)，可得解得4.已知关于x的方程x2-6x+9+(a-x)i=0(a∈R)有实数根b,则实数ab的值为( ) A.1 B.3 C.-3 D.9【解析】选 D.将b代入题设方程,整理得(b2-6b+9)+(a-b)i=0,则b2-6b+9=0且a-b=0,解得a=b=3,ab的值为9.5.下列说法正确的是( )A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B.若a，b∈R且a>b，则ai>biC.如果复数x+yi是实数，则x=0，y=0D.当z∈C时，z2≥0【解析】选 A.由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.故A正确；两个复数都是实数时才能比较大小，故B错误；复数x+yi∈R?故C错误；当z=i时，z2=-1<0，故D错误.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0,a的值为.【解析】因为a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0,所以解得a=2.答案:2【误区警示】在某一复数等于0时,要保证实部、虚部均为0.7.若2+ai=b-i,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a2+b2= .【解析】因为2+ai=b-i(a,b∈R),所以a=-1,b=2,所以a2+b2=5.答案:58.给出下列说法:①复数由实数、虚数、纯虚数构成;②满足x2=-1的数x只有i;③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数;④复数m+ni的实部一定是m.其中正确说法的个数为.【解析】③中b=0时bi=0不是纯虚数.故③正确.①中复数分为实数与虚数两大类;②中平方为-1的数为±i;④中m,n不一定为实数,故①②④错误.答案:1三、解答题(每小题10分，共20分)9.复数z=(m2-5m+6)+(m2+3m-10)i(m∈R),求满足下列条件的m的值.(1)z是实数.(2)z是虚数.(3)z是纯虚数.【解析】(1)若z是实数,则m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.(2)若z是虚数,则m2+3m-10≠0,解得m≠2且m≠-5.(3)若z是纯虚数,则解得m=3.10.集合M={1，2，(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i}，N={3，10}，且M∩N≠?，求实数m的值.【解题指南】通过M∩N≠?可得出(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i的值，再利用复数相等的充要条件求解.【解析】因为M∩N≠?，所以(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=3或(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=10，由(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=3得解得m=-2.由(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=10得解得m=-3.所以m的值为-2或-3.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·唐山高二检测)已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3},M∩P={3},则实数m的值为( )A.-1B.-1或4C.6D.6或-1【解题指南】应从M∩P={3}来寻找解题的突破口.【解析】选 A.因为M∩P={3},所以(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.所以所以m=-1,故选A.2.复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)是纯虚数,则有( )A.a≠0B.a≠2C.a≠-1且a≠2D.a=-1【解析】选 D.只需即a=-1时,复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)为纯虚数.二、填空题(每小题5分，共10分)3.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,则k= .【解析】因为z<0,所以z∈R,故虚部k2-5k+6=0,(k-2)(k-3)=0,所以k=2或k=3,但k=3时,z=0,故k=2.答案:2【补偿训练】若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1，则实数x的值是.【解析】因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1，所以解得x=-2.答案：-24.复数z=cos+sin i,且θ∈,若z是实数,则θ的值为;若z为纯虚数,则θ的值为.【解析】z=cos+sin i=-sinθ+icosθ,当z是实数时,cosθ=0,因为θ∈,所以θ=±;当z为纯虚数时又θ∈,所以θ=0.答案:±0三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·天津高二检测)已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数a分别取什么值时,z分别为:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.【解题指南】根据复数z为实数、虚数、纯虚数的条件,分别求出相应的a的值.【解析】(1)当z为实数时,则有所以所以a=6,即a=6时,z为实数.(2)当z为虚数时,则有a2-5a-6≠0且有意义,所以a≠-1且a≠6且a≠±1,所以a≠±1且a≠6.所以当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z为虚数.(3)当z为纯虚数时,有所以所以不存在实数a使z为纯虚数.【误区警示】解答本题注意使式子有意义的条件限制,防止在(1)(2)问解答中因忽视a≠±1而导致错误.6.设z1=m2+1+(m2+m-2)i,z2=4m+2+(m2-5m+4)i,若z1<z2,求实数m的取值范围.【解析】由于z1<z2,m∈R,所以z1∈R且z2∈R,当z1∈R时,m2+m-2=0,m=1或m=-2.当z2∈R时,m2-5m+4=0,m=1或m=4,所以当m=1时,z1=2,z2=6,满足z1<z2.所以z1<z2时,实数m的取值为m=1.【补偿训练】如果m为实数，z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i，z2=4m+2+(m3-5m2+4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1<z2的m值的集合又是什么？【解题指南】由于z1，z2可以比较大小，故其一定是实数.【解析】z1>z2或z1<z2，可知z1∈R，z2∈R，所以当z1>z2时，有由①②两个式子解得m=0，不能满足最后一个式子，所以使z1>z2的m的值的集合为空集. 由上面可知，当m=0时，m2+1<4m+2，所以使z1<z2的m值的集合为{0}.关闭Word文档返回原板块。

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课时提升作业（八）等差数列（25分钟60分）一、选择题（每小题5分，共25分）l.x+1与yT 的等差中项为10,则x+y 等于（）【解析】选C.因为x+1与y-1的等差中项为10, 所以（x+l ） + （y-l ）=2X10, 所以 x+y 二20.2. （2015 -长沙高一检测）已知等差数列｛爲｝满足创二0, a 6+a 8=-10,则 &2016二（ ） A. 2014B. 2015C.-2014D. -2015【解析】选C.设等差数列｛&］的公差为d,则由已知条件可得 即裁j 解得&==-£所以数列心的通项公式为 Qn 二-n+2 ,故 32016~—2014. 【补偿训练】（2015 •吉安高二检测）在等差数列｛a 」中，若a 2=-5,&6二81+6,则 810 等于（ ）【解析】选A.由题意，得25分钟基础练＞A. 0B. 10C. 20D.不确定 A. 19B. 18C.-19D.-18严+ d = —5, 严=7 & + 5d = a 】+ 3d + 6, Id = 3,所以 a n =3n-11,所以 a w =19.3. （2015 -大连高二检测）在数列｛务｝中，屮2, 2亦一2箱1,则咖的 值为（）【解析】选A •因为2a n+-2a n =l, 所以 a n+i-a n =^,所以数列｛aj 是首项为2,公差为g 的等差数列， 所以 a ⑹二2+（101T ） X ；二52.4. （2015 •东营高二检测）首项为-24的等羌数列，从第10项起开始【误区警示】解决本题时容易忽视前9项是小于等于零的条件而选A.5•在等差数列-5, -3*, -2, W ，…中，每相邻两项之间插入一个数,使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为（）A. d>|3B. d<3 C ・？Wd 〈338D.E 〈dW33【解析】选 D ・设公差为d, a n =-24+(n-l)d.由题知I®9可得U1Q > E为正数，则公差d 的取值范围为（）得|〈dW3・A. 52B. 51C. 50D. 49—24 + 8d 吒(X —24 + 9d > 0,B. a n=-5-| (n~l)【解题指南】解答本题的关键是确定新等差数列的公差，实际上新数列的公差为原数列公差的一半.【解析】选A.首项为-5,公差为主上」，z 4“宀_匚、(八3_3 23所以a n——5+ (n—1) • —n—•4 4 4二、填空题(每小题5分，共15分)6. (2015 -五指山高二检测)已知等差数列&｝的前三项为a-1, a+1,2a+3,则此数列的通项公式为___________ ・【解析】因为a-1, a+1, 2a+3成等差数列，所以2 (a+1) -a_1 +2a+3,解得a-0.等差数列｛a」的前三项为-1,1, 3,其首项为T,公差为2,所以a n——1+ (n-1) X 2—2n—3.答案:a…=2n-37•若xHy,两个数列：x, a,, a2, a3, y 和x, b】，b2, b3, b4, y 都是等差数列，则—的值为________________________ ・【解析】设两个等差数列的公差分别为d], d2,【补偿训练】在-1和8之间插入两个数3, b(a<b),使这四个数成等即求学，由已知得答案订差数歹!b贝I」a二____ , b二________ .【解析】d二字空二3,所以a二-1+3=2, b二2+3二5・答案：2 58•在数列｛&」中，ai=3,对于任意大于1的正整数n,点(《乔、® 在直线x-y- V3=0上，则a,= __________________ ・【解析】由题意，得V^-vaT7=V3(n^2),又aF3,所以数列｛、：'瓦'｝是以\总为首项，w逗为公差的等差数列，所以、瓦"二\'3+ (n-1) X <3= v^n,所以a“二3nl答案：3n2三、解答题(每小题10分，共20分)9.在等差数列｛a」中,ai+a5=8, a4=7.(1)求数列的第10项.⑵问112是数列｛&｝的第几项?⑶数列｛a n｝从第几项开始大于30?⑷在80到110之间有多少项？【解析】设｛a」公差为d,则｛；：：；壮笄'解得占二厂(1)a10=a1+9d=-2+27=25.(2)a n=_2+ (n_1) X 3-3n_5,由112=3n-5,解得n二39.所以门2是数列｛aj的第39项.2(3)令3n-5>30 解得n>11-,所以从第12项开始大于30.(4)由80<3n-5<110,解得1 128-<n<38-,3 3’所以n的取值为29, 30,…，38,共10项.10.一位同学喜欢观察小动物的活动规律，他观察到随着气温的升高, 一种昆虫在相等的时间内发出的碉啾声次数也在逐渐增加•下表是他记录的数据，34上方及40下方的数据变得模糊不清了•但是该同学记得气温每升高rc他观察一次，而且观察到的数据成等差数列•请你为他补好这两个数据.【解析】设昆虫阴啾声次数组成等差数列｛a」，则3i~4, 35~20,温度为34°C时，勺二a〔+6d・又因为d仝厂屯-兰二4,所以a7=4+6 X 4二28.4 4若an二40,则4+(n-1) X4=40.所以n=10,所以温度为37°C.【补偿训练】某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元, 按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【解析】由题意可知，设第1年获利为a1?第n年获利为a n,则a n-a n_F-20 (n^2,n£N*),每年获利构成等差数列｛a」，且首项3^200, 公差d二-20,所以a n-ai+ (n~1) d =200+ (n-1) X (-20)二-20n+220.若a n<0,则该公司经销这一产品将亏损，由a=-20n+220<0,解得n>11, 即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.⑳分钟提升练'(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1. (2015 •常德高二检测)已知等差数列｛a n｝的公差dHO,且a：产2a,则◎的值为()A.-B.-6 5【解题指南】由题意可得d和內的关系，可得通项公式，代入要求的式子化简.【解析】选C.因为等差数列｛a」的公差dfO,且a3=2ai,所以a3=ai+2d=2ai,所以aF2d,所以a n=2d+ (n-1)d= (n+1)d,所以比+电_加+理屯+鮎3d4?d 42. (2015 -鹰潭高二检测)如图，按英文字母表A, B, C, D, E, F, G,II,…的顺序有规律排列而成的鱼状图案中，字母“0”出现的个数为VCCC9A. 27B. 29C. 31D. 33【解析】选B.由题意可得字母A有1个，B有3个，C有5个，D有7个…，它们构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以通项公式为a n-1+2 (n_l) =2n_l,因为字母“0”在第15个，所以字母“0”出现的个数315=2X15-1=29.二、填空题(每小题5分，共10分)3•数列｛a」是等差数列，&1与出的等差中项为1, a?与％的等慕中项为2,则公差d二 __________ .【解析】由题意得81+^2二2, a2+a3=4,所以(a2+a3)-(a〔+a2)二4-2二2,所以a3-ai=2,即2d=2,所以d=1・答案：1【补偿训练】若m和2n的等差中项为4, 2m和n的等差中项为5, 则m与n的等差中项是 _______________ ・【解析】因为m和2n的等差中项为4,所以m+2n=8.因为2m和n的等差中项为5,两式相加，得3m+3n=18,即m+n二6,故m 与n 的等差中项为巴竺二E 二3.答案：34. (2015 •遵义高一检测)已知在数列｛a n ｝中，ai=-l, a n+i • a n =a n+i-a n , 则数列通项a n =【解析】由题意可知a n *0, nWN ；所以由 a n+i • a n =3n +i —3n,1 1 两边同除以a n+1 - a n ,整理得 =-1,a n^i a n 所以数列｛十］是首项为T,公差为T的等差数列，11所以一+ (n-1) X (T)二一n,所以 a n =—• a n n 答案：-丄 n【延伸探究】将木题条件改为屮1, a 24, 结果又如何?2 a 】出a n a 】*2 i 1 【解析】由已知 --- —h --- 可得 1_ 1! _________ 1 an 十』&n+i i i 公差为 ---- =2-1=1的等差数列， 1 1所以一=1 + (n-1) X 1=n,故 a n —. a n n【拓展延伸】构造辅助数列巧求数列通项公式 观察递推公式的特征，构造恰当的辅助数列使之转化为等差数列问题. 常用方法有: 平方法、开平方法、倒数法等•例如， 数列｛a 」中，ai-1, a n +i — ,求 3n .a (t+2此题可取倒数，构造辅助数列｛彩｝来求解1是首项为一=1 ,315. 已知数列｛a 」满足：ai=10, a 2=5, a n -a n .2=2 (neN*).求数列｛a 」的通 项公式.【解析】因为 3i —10, 32—5, a n —a n +2~2 (n £ N ),所以数列｛a 」的奇数项、偶数项均是以-2为公差的等差数列. 当 n 为奇数时，a“二ai+(—T* — 1) X (-2) =11-n, 当 n 为偶数时，a=a 2+(^- 1)X (-2)=7-n,■ 一 4 F ・为奇数* 7 - n. n 为偶数. 6. (2015 •临沂高二检测)已知数列｛a,J 中， Z 数列｛捕满足亦話(心)•(1)求证:数列｛bn ｝是等差数列. 11又 bF^-=-ai-1 所以数列｛bj 是以三为首项，以1为公差的等差数列.7 1⑵由⑴知，b n =n--,则a=1+—2如2 =1+韵，设函数f (x )h+乔7， 所以an 二3 1&i 二二，為二| (n 2 2, n ⑵求数列｛缶｝中的最大值和最小值，并说明理由.【解析】(1)因为务=2 ------ (n^2, nEN*), b n =— a n-i 1 -|i所以当 n $2 时，b n -b n -i= ----- --------1 _ a n.-i 1_d—+ S)内为减函数.易知f (x)在区间当n二4时，令取得最大值3.【补偿训练】数列｛a」满足a n+1=3a…+n(nGN*)，问是否存在适当的使其是等差数列？【解题指南】假设存在，利用等差数列的定义求解确定.【解析】假设存在这样的4满足题目条件.a n+2=3a n+i+n+1 (n G N*).所以a n+2_an+i=2a n+i+n+1,由已知a n+i=3a n+n (n G N*)可得3n+i—3n—2a n+n,所以2a n+i+n+1-2a n+n,所以a n+1-a=4，满足等差数列的定义，故假设是正确的•即存在适当—的內的值使数列｛a」为公差为冷的等差数列.由已知条件a”i二3an+n,令n二1,所以a2=3ai+1,即ai~=3ai+1,解得。

2021年八年级物理上册课时提升作业十八透镜含解析新版新人教版一、选择题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)1.(xx·徐州中考)如图是把一副眼镜放在太阳光下,在地面上看到的情形。

由此可以判断镜片是( )A.凸面镜B.凹面镜C.凸透镜D.凹透镜【解析】选D。

本题考查凸透镜和凹透镜的区分。

由图可见,阳光通过眼镜形成的光斑中间较四周暗,对光线起发散作用,因此是凹透镜。

故选D。

2.如果把一个玻璃球分割成五块,其截面如图所示,再将这五块玻璃a、b、c、d、e分别放在太阳光下,那么能使光线发散的是( )A.aB.bC.cD.d【解析】选B。

凹透镜对光有发散作用,凹透镜是中间薄、边缘厚的透镜,a、c、d、e为凸透镜,故选B。

3.一种手电筒上所用的聚光电珠如图所示,其前端相当于一个玻璃制成的凸透镜,为了使灯丝发出的光经凸透镜后变成平行光,应把灯丝放在( )A.焦点处B.焦点以内C.焦点以外D.任意位置【解析】选A。

此题以日常生活中的聚光电珠作为研究对象,将物理知识应用到现实生活中,激发了学生的学习兴趣。

根据凸透镜对光的会聚作用,结合光路的可逆性可知,从焦点发出的光经凸透镜折射后将平行于主光轴,所以选A。

4.关于透镜,下列说法中不正确的是( )A.凸透镜和凹透镜都有焦点,凸透镜有实焦点,凹透镜有虚焦点B.凹透镜对光线有发散作用,但通过凹透镜的光线也可能会聚在一点C.凸透镜对光线有会聚作用,因此通过凸透镜的光线都一定会聚在一点D.平行于主光轴的光线,通过凸透镜后一定经过焦点【解析】选C。

本题考查对透镜焦点的理解和透镜对光线的作用。

凸透镜有两个实焦点,凹透镜有两个虚焦点,故A项说法正确。

凹透镜对光线有发散作用,但通过凹透镜的光线也可能会聚在一点,故B项说法正确。

根据光路的可逆性,放在凸透镜焦点上的点光源,它发出的光线经透镜折射后光线平行于主光轴,故C 项说法错误。

凸透镜对光线有会聚作用,只有平行于主光轴的光线才能会聚于焦点,故D项说法正确。

课时提升作业八圆锥曲线的参数方程一、选择题(每小题6分,共18分)1.参数方程(φ为参数)表示( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线【解析】选C.参数方程(φ为参数)的普通方程为+y2=1,表示椭圆.2.曲线(φ为参数)的焦点与原点的距离为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选 D.曲线(φ为参数)的普通方程为-=1,得c==5,所以焦点与原点的距离为5.3.已知曲线的参数方程为它表示的曲线是( )A.直线B.双曲线C.椭圆D.抛物线【解析】选D.将曲线的参数方程消去参数t,得到普通方程为y2=6-2x,它表示的曲线是抛物线.二、填空题(每小题6分,共12分)4.已知曲线C的参数方程是(θ为参数),当θ=时,曲线上对应点的坐标是________.【解析】当θ=时,故曲线上对应点的坐标是.答案:5.已知椭圆C:+=1和直线l:x-2y+c=0有公共点,则实数c的取值范围是________.【解题指南】利用椭圆的参数方程转化为三角函数求值域.【解析】设M(2cosθ,sinθ),θ∈[0,2π)是椭圆和直线的公共点,则有2cosθ-2sinθ+c=0,所以c=2sinθ-2cosθ=4sin∈[-4,4].答案:[-4,4]三、解答题(每小题10分,共30分)6.已知直线l:x+2y-6=0与抛物线y2=2x交于A,B两点,O为原点,求∠AOB 的值.【解析】设抛物线y2=2x的参数方程为(t是参数)代入x+2y-6=0,整理得3t2+2t-3=0,①因为A,B对应的参数t1,t2分别是方程①的两根,所以t1t2=-1,因为t表示抛物线上除原点外任一点与原点连线的斜率的倒数,所以·=-1,即k OA·k OB=-1,所以∠AOB=90°.7.如图所示,已知点M是椭圆+=1(a>b>0)上在第一象限的点,A(a,0)和B(0,b)是椭圆的两个顶点,O为原点,求四边形MAOB的面积的最大值.【解题指南】将椭圆的直角坐标方程化为参数方程,表示出点M的坐标,将四边形MAOB的面积表示为椭圆参数的函数,利用三角函数的知识求解.【解析】点M是椭圆+=1(a>b>0)上在第一象限的点,由于椭圆+=1的参数方程为(φ为参数)故可设M(acosφ,bsinφ),其中0<φ<,因此,S四边形MAOB=S△MAO+S△MOB=OA·y M+OB·x M=ab(sinφ+cos φ)=absin.所以,当φ=时,四边形MAOB的面积有最大值,最大值为ab.8.(2016·株洲高二检测)已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0,),F1,F2是圆锥曲线的左、右焦点.(1)求经过点F1垂直于直线AF2的直线l的参数方程.(2)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AF2的极坐标方程.【解析】(1)圆锥曲线化为普通方程为+=1,所以F1(-1,0),F2(1,0),则直线AF2的斜率k=-,于是经过点F1垂直于直线AF2的直线l的斜率k′=,直线l的倾斜角是30°,所以直线l的参数方程是(t为参数),即(t为参数).(2)直线AF2的斜率k=-,倾斜角是120°,设P(ρ,θ)是直线AF2上任一点,则=,ρsin(120°-θ)=sin60°,则ρsinθ+ρcosθ=.一、选择题(每小题5分,共10分)1.方程(t为参数)表示的图形是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.双曲线一支【解析】选D.由(t为参数)得x2-y2=e2t+2+e-2t-(e2t-2+e-2t)=4且x=e t+e-t≥2,故曲线为双曲线的右支.2.曲线(θ为参数)的一个焦点坐标为( )A.(3,0)B.(4,0)C.(-5,0)D.(0,5)【解析】选C.由于sec2φ-tan2φ=1,所以曲线的普通方程为-=1,所以双曲线的焦点为(±5,0).二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·深圳高二检测)在直角坐标系中,已知直线l:(s为参数)与曲线C:(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|=________.【解题指南】将直线和曲线的参数方程化为普通方程联立方程组,求交点的坐标计算距离.【解析】直线l:(s为参数)的普通方程为y=3-x,曲线C:(t为参数)的普通方程为y=(x-3)2,依题意,得(x-3)2=3-x,解得x1=3,y1=0;x2=2,y2=1,所以坐标为A(3,0),B(2,1),则|AB|=.答案:4.(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数)则C1与C2交点的直角坐标为____________.【解题指南】先将曲线C1的极坐标方程转化为直角坐标方程,曲线C2的参数方程转化为普通方程,再联立方程组求解.【解析】曲线C1的直角坐标方程为x+y=-2,曲线C2的普通方程为y2=8x,由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2,-4).答案:(2,-4)三、解答题(每小题10分,共20分)5.椭圆+=(a>b>0)与x轴的正方向交于点A,O为原点,若这个椭圆上总存在点P,使OP⊥AP,求椭圆离心率e的取值范围.【解题指南】利用椭圆的参数方程设点的坐标,通过直线垂直,转化为直线的斜率之积互为负倒数解决.【解析】设椭圆的参数方程为(a>b>0),则椭圆上的P(acosθ,bsinθ),A(a,0).因为OP⊥AP,所以·=-1,即(a2-b2)cos2θ-a2cosθ+b2=0,解得cosθ=或cosθ=1(舍去).因为-1<cosθ<1,所以-1<<1.把b2=a2-c2代入得-1<<1,即-1<-1<1,解得<e<1.6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(a>b>0,φ为参数)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心在极轴上,且经过极点的圆,已知曲线C1上的点M对应的参数φ=,射线θ=与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1,C2的普通方程.(2)若点A(ρ1,θ),B在曲线C1上,求+的值.【解析】(1)方法一:将M及对应的参数φ=代入得得所以曲线C1的方程为(φ为参数)化为普通方程为+y2=1.设圆C2的半径为R,由题意得圆C2的方程为ρ=2Rcosθ,将点D代入ρ=2Rcosθ得1=2Rcos,解得R=1,所以曲线C2的方程为ρ=2cosθ.化为普通方程为(x-1)2+y2=1.方法二:将点M及对应的参数φ=代入得解得故曲线C1的方程为+y2=1.由题意设圆C2的半径为R,则方程为(x-R)2+y2=R2,由D化直角坐标为代入(x-R)2+y2=R2得R=1, 故圆C2的方程为(x-1)2+y2=1.(2)因为点A(ρ1,θ),B在曲线C1上,所以+sin2θ=1,+sin2=1,即+cos2θ=1,所以+=+=.。

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课时提升作业(八)八年级上册Units 6、7(45分钟100分)Ⅰ. 单项选择(30分)1. (2014·长春模拟)There isn’t airport near my hometown. nearest one is about two hundred kilometers away.A. a; TheB. an; TheC. the; AD. the; An【解析】选B。

考查冠词。

an要用于以元音音素开头的单词前; 最高级nearest 前用the。

2. (2014·溧水模拟)Ann is a careful girl. She always checks her exercises carefully tothere are no mistakes.A. look forB. find outC. make sureD. think about【解析】选C。

考查短语辨析。

look for寻找; find out查出; make sure确保; think about考虑。

句意: Ann是个细心的女孩。

她总是认真地检查她的练习以确保没有错误。

故选C。

3. The lady dancing as a hobby in her sixties, and she is really good at it now.A. dressed upB. looked upC. took upD. put up【解析】选C。

考查短语辨析。

句意: 这位女士在她六十多岁时开始把跳舞当作一个爱好, 并且她现在很擅长它。

take up意为“学着做; 开始做”, 符合句意。

dress up意为“打扮”; look up意为“查阅; 仰望”; put up意为“张贴”, 均不符合句意。

课时提升作业(二)运动的描述(30分钟40分)一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1.关于机械运动，下列说法正确的是( )A.空气的流动不属于机械运动B.运动路线是直的，运动路程不变的运动才是机械运动C.一个物体位置改变就是运动的，位置没有改变就是静止的D.判断一个物体是否运动和怎样运动，离开了参照物就失去了意义【解析】选D。

本题考查对机械运动的理解。

A项空气流动是宏观运动，B项机械运动是位置变化，运动轨迹可以是直的，也可以是弯的，C项没有说相对于哪个物体，D项描述一个物体的运动必须有参照物，否则无法确定这个物体的运动情况。

故选D。

2.(2014·岳阳中考)如图所示，用手缓慢地推动书，使书带着笔沿桌面缓慢移动。

我们认为“笔是静止的”，选择的参照物是( )A.地面B.书C.桌面D.桌面上静止的橡皮【解析】选B。

本题考查参照物的选取。

对于正在运动的书，笔相对于书的位置没有发生变化，所以说笔是静止的，选择的参照物应该是书，故选B。

3.(2015·盐城亭湖新区实验期末)摄影师抓拍到了一个有趣的场面(如图所示)：一只乌鸦站在飞翔的老鹰背上休憩。

下列说法正确的是( )A.以乌鸦为参照物，老鹰是静止的B.以老鹰为参照物，乌鸦是运动的C.以地面为参照物，乌鸦是静止的D.以地面为参照物，老鹰是静止的【解析】选A。

本题考查运动和静止的相对性。

老鹰和乌鸦的运动方向和速度相同，所以二者以对方为参照物都是静止的，故A正确，B错误；以地面为参照物，二者的位置都发生了变化，都是运动的，故C、D 错误。

【方法归纳】两步描述物体的运动(1)选定参照物。

(2)被研究的物体与所选参照物之间是否有位置变化。

若位置有变化，则物体相对于参照物是运动的；若位置没有变化，则物体相对于参照物是静止的。

4.(2014·嘉兴中考)甲乙两车并排停着，当甲车司机看着乙车时，忽然感觉自己的车正在缓慢运动，但当他看地面时，却发现自己的车并没动。

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课时提升作业(二)三角形的高、中线与角平分线三角形的稳定性(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.小华在电话中问小明:“已知一个三角形三边长分别是4,9,12,如何求这个三角形的面积?”小明提示说:“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是 ()【解析】选C.作最长边上的高,必过三角形最长边所对的顶点且垂直于最长边.2.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AD,垂足为点D,下列说法中正确的个数为()①点A与点B的距离是线段AB的长;②点A到直线CD的距离是线段AD的长;③线段CD是△ABC边AB上的高;④线段CD是△BCD边BD上的高.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.①根据两点间的距离的定义得出:点A与点B的距离是线段AB的长,∴①正确;②点A到直线CD的距离是线段AD的长,∴②正确;③根据三角形的高的定义,△ABC边AB上的高是线段CD,∴③正确;④根据三角形的高的定义,△BCD边BD上的高是线段CD,∴④正确.综上所述,正确的是①②③④共4个. 【变式训练】下列说法正确的有( )①三角形的高是三角形顶点到对边的距离;②直角三角形的高只有一条;③三角形的高是一条垂线;④直角三角形的高没有交点.A.1个B.2个C.3个D.0个【解析】选A.三角形的高是一个顶点到对边的距离,是垂线段,所有的三角形都有三条高,直角三角形的高线的交点是直角顶点,只有①正确.3.如图,在△ABC中E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,设△ABC,△ADF,△BEF的面积分别为S△ABC,S△ADF,S△BEF,且S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF= ( )A.1B.2C.3D.4【解题指南】在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积,并将△ADF与△BEF 的面积之差转化为△ABD与△ABE的面积之差.【解析】选B.∵S△ABC=12,EC=2BE,点D是AC的中点,∴S△ABE=×12=4,S△ABD=×12=6,∴S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2.二、填空题(每小题4分,共12分)4.有一个六边形钢架ABCDEF(如图1所示),它由6条钢管绞接而成.在生活中,要保持该钢架稳定且形状不变,必须在接点处增加一些钢管绞接.通过实践至少再用三根钢管.请同学们想一想,下面固定方法中(如图2所示)能保持该六边形钢架稳定且形状不变的有(只填序号).【解析】观察图形可知,图形②④⑥中所加的三根钢管把图形分成的都是三角形,能保持该六边形钢架稳定且形状不变.答案:②④⑥5.已知AD为△ABC的中线,AB=5cm,且△ACD的周长比△ABD的周长少2cm,则AC=cm.【解析】∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD,∵△ACD的周长比△ABD的周长少2cm,∴(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2cm,∴AC=AB-2=5-2=3(cm).答案:3【变式训练】已知AD为△ABC的中线,且△ACD的周长比△ABD的周长少2cm,AB 与AC的和为8cm,则AC= cm.【解析】∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD,∵△ACD的周长比△ABD的周长少2cm,∴(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2cm,又AB+AC=8cm,∴AC=3cm.答案:36.如果一个三角形的三条高所在的直线的交点不在三角形内部,那么这个三角形的形状是 .【解析】一个三角形的三条高所在的直线的交点在三角形内部的只有锐角三角形,钝角三角形和直角三角形均不在三角形内部.答案:钝角三角形或直角三角形【易错提醒】如果一个三角形的三条高所在的直线的交点不在三角形内部,有可能在三角形外部,也有可能在三角形上.三、解答题(共26分)7.(8分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,且AB=13cm,BC=12cm,AC=5cm.求:(1)△ABC的面积.(2)CD的长.【解析】(1)△ABC的面积为BC×AC=30(cm2).(2)由(1)知△ABC的面积为30cm2,则CD=cm.【知识归纳】三角形的面积1.公式:三角形的面积等于底乘以高的一半.2.方法:三角形有三条边,每条边上都对应着一条高,所以三角形的面积理论上有三种计算方法.3.应用:三角形的面积、三角形的高、与高对应的边长,这三者中只要已知两个量就可以求第三个量.8.(8分)如图,请你在△ABC内画三条线段,把这个三角形分成面积相等的四部分,看谁的方法多?【解题指南】由于“三角形的一条中线将原三角形分成面积相等的两部分”,所以我们可以从画三角形的中线入手,充分利用“三角形等底同高必等积”进行分析说明.【解析】如图所示(答案不唯一,只列几种):【培优训练】9.(10分)如图,AD是∠CAB的平分线,DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点O.请问:(1)DO是∠EDF的平分线吗?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.(2)若将DO是∠EDF的平分线与AD是∠CAB的平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换,所得命题正确吗?若正确,请选择一个证明.【解析】(1)DO是∠EDF的平分线.证明:∵AD是∠CAB的平分线,∴∠EAD=∠FAD,∵DE∥AB,DF∥AC,∴∠EDA=∠FAD,∠FDA=∠EAD,∴∠EDA=∠FDA,∴DO是∠EDF的平分线.(2)正确.①若和AD是∠CAB的平分线交换,正确,理由与(1)证明过程相似;②若和DE∥AB交换,理由是:∵DF∥AC,∴∠FDA=∠EAD,∵AD是∠CAB的平分线,∴∠EAD=∠FAD,∵DO是∠EDF的平分线,∴∠EDA=∠FDA,∴∠EDA=∠FAD,∴DE∥AB,正确.③若和DF∥AC交换,正确,理由与②类似.关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业(八)内燃机(30分钟40分)一、选择题(本大题共4小题；每题5分；共20分)1.汽车已走进很多现代家庭；如图为汽车的四冲程汽油机气缸的工作示意图；按吸气、压缩、做功、排气的顺序排列；下列排序正确的是( )A.乙丙甲丁B.甲丁乙丙C.丙乙甲丁D.丙丁甲乙【解题指南】解答本题抓住以下关键点：(1)确定进气门和排气门的开闭情况；进气门和排气门都关闭的为做功冲程和压缩冲程。

(2)确定活塞的运动情况；活塞向下运动的是吸气冲程和做功冲程。

(3)确定有无电火花产生；有电火花产生的为做功冲程。

【解析】选C。

本题考查汽油机的工作过程。

甲图中的两气门都关闭；火花塞打火；活塞下行；气缸容积变大；是做功冲程；乙图中的两气门都关闭；活塞上行；气缸容积变小；是压缩冲程；丙图中的进气门打开；气体流入气缸；是吸气冲程；丁图中的排气门打开；气体流出气缸；是排气冲程；故排列顺序是丙、乙、甲、丁；故选C。

2.(·自贡中考)下列流程图是用来说明单缸四冲程汽油机的一个工作循环及涉及的主要能量转化情况。

关于对图中①②③④的补充正确的是( )A.①做功冲程②内能转化为机械能③压缩冲程④机械能转化为内能B.①压缩冲程②内能转化为机械能③做功冲程④机械能转化为内能C.①压缩冲程②机械能转化为内能③做功冲程④内能转化为机械能D.①做功冲程②机械能转化为内能③压缩冲程④内能转化为机械能【解析】选C。

本题考查热机的四个冲程：吸气冲程、压缩冲程、做功冲程、排气冲程。

压缩冲程中；活塞上升；压缩气缸内的气体；使气体内能增大；机械能转化为内能；做功冲程中；燃料燃烧产生高温高压的燃气推动活塞向下运动；内能转化为机械能。

故选C。

3.内燃机在做功冲程中；高温气体迅速膨胀而做功；此时气体的温和内能变化的情况是( )A.温降低；内能减小B.温不变；内能不变C.温升高；内能增大D.温降低；内能增大【解析】选A。

本题考查做功冲程。

气体膨胀对外做功；本身内能减小；温降低。

演绎推理一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,求证:a<b.证明:因为∠A=30°,∠B=60°,所以∠A<∠B.所以a<b.其中,划线部分是演绎推理的( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论【解析】选B.由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提.2.演绎推理是以下列哪个为前提推出某个特殊情况下的结论的推理方法( )A.一般的原理B.特定的命题C.一般的命题D.定理、公式【解析】选A.演绎推理是根据一般的原理,对特殊情况做出的判断.故其推理的前提是一般的原理.3.(2014·厦门高二检测)“因为四边形ABCD是矩形,所以四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推理的大前提是( )A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形【解析】选B.由大前提、小前提、结论三者的关系,知大前提是:矩形是对角线相等的四边形.故应选B.4.“π是无限不循环小数,所以π是无理数”以上推理的大前提是( )A.实数分为有理数和无理数B.π不是有理数C.无理数都是无限不循环小数D.有理数都是有限循环小数【解析】选C.用三段论推导一个结论成立,大前提应该是结论成立的依据.因为无理数都是无限不循环小数,π是无限不循环小数,所以π是无理数,故大前提是无理数都是无限不循环小数.5.《论语·子路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是( )A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理D.一次三段论【解析】选C.这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次三段论,属演绎推理形式.6.(2014·郑州高二检测)在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立,则( )A.-1<a<1B.0<a<2C.-<a<D.-<a<【解题指南】应用演绎推理结合不等式进行推理.【解析】选C.因为x⊗y=x(1-y),所以(x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a),即原不等式等价于(x-a)(1-x-a)<1即x2-x-(a2-a-1)>0.所以Δ=1+4(a2-a-1)<0即4a2-4a-3<0.解得-<a<.二、填空题(每小题4分,共12分)7.以下推理过程省略的大前提为: ______________________________.因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab.【解析】由小前提和结论可知,是在小前提的两边同时加上了a2+b2,故大前提为:若a≥b,则a+c≥b+c. 答案:若a≥b,则a+c≥b+c8.(2014·苏州高二检测)一切奇数都不能被2整除,2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除,其演绎推理的“三段论”的形式为______________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________.【解析】大前提指的是已知的一般原理,小前提指的是所研究的特殊情况,而结论是根据一般原理,对特殊情况做出的判断,故此处的大前提是一切奇数都不能被2整除,小前提是2100+1是奇数,结论是2100+1不能被2整除,故可用三段论表示为:一切奇数都不能被2整除,…………………………………大前提2100+1是奇数,………………………………………………………小前提所以2100+1不能被2整除.…………………………………………结论答案:一切奇数都不能被2整除,…………………………………大前提2100+1是奇数,………………………………………………………小前提所以2100+1不能被2整除.…………………………………………结论9.不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.【解析】不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立,即(a+2)x2+4x+a-1>0对一切x∈R恒成立.(1)若a+2=0,显然不成立.(2)若a+2≠0,则所以a>2.答案:(2,+∞)三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图,△ABC是斜边为2的等腰直角三角形,点M,N分别为AB,AC上的点,过M,N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分.(1)问AM+AN是否为定值?请说明理由.(2)如何设计,方能使四边形BMNC的面积最小?【解析】(1)AM+AN是定值,理由如下,△ABC是斜边为2的等腰直角三角形,所以AB=AC==.因为M,N分别为AB,AC上的点,过MN的直线将该三角形分成周长相等的两个部分,所以AM+AN+MN=MB+BC+NC+MN,所以AM+AN=MB+BC+NC.又(AM+AN)+(MB+BC+NC)=AM+MB+BC+AN+NC=AB+BC+AC=2+2,所以AM+AN=MB+BC+NC=+1,所以AM+AN为定值.(2)当△AMN的面积最大时,四边形BMNC的面积最小,AM+AN=+1.令AM=x,则AN=+1-x,S△AMN=AM·AN=x(+1-x)=-,当x=时,S△AMN有最大值,四边形BMNC的面积最小,即当AM=AN=时,四边形BMNC的面积最小.11.(2014·西安高二检测)已知y=f(x)在(0,+∞)上有意义,单调递增,且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),(1)求证:f(x2)=2f(x).(2)求f(1)的值.(3)若f(x)+f(x+3)≤2,求x的取值范围.【解析】(1)因为f(xy)=f(x)+f(y),所以f(x2)=f(x·x)=f(x)+f(x)=2f(x).(2)因为f(1)=f(12)=2f(1),所以f(1)=0.(3)因为f(x)+f(x+3)=f(x(x+3))≤2=2f(2)=f(4),且函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以解得0<x≤1.一、选择题(每小题4分,共16分)1.“三角函数是周期函数,y=tanx,x∈是三角函数,所以y=tanx,x∈是周期函数.”在以上演绎推理中,下列说法正确的是( )A.推理完全正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.推理形式不正确【解析】选C.y=tanx,x∈只是三角函数的一部分,并不能代表一般的三角函数,所以小前提错误,导致整个推理结论错误.2.在“△ABC中,E,F分别是边AB,AC的中点,则EF∥BC”的推理过程中,大前提是( )A.三角形的中位线平行于第三边B.三角形的中位线等于第三边长的一半C.E,F为AB,AC的中点D.EF∥BC【解析】选A.本题的推理形式是三段论,其大前提是一个一般的结论,即三角形中位线定理.3.已知函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为α,令A=,B=,则( )A.A>BB.A<BC.A=BD.A与B的大小不确定【解析】选C.作出函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)的图象,如图所示,要使两个函数有且仅有三个交点,则由图象可知,直线在内与f(x)相切.设切点为P(α,-sinα),当x∈时,f(x)=|sinx|=-sinx,此时f′(x)=-cosx,x∈.所以-cosα=-,即α=tanα,所以=====.即A=B.4.在证明f(x)=2x+1为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是大前提;④函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是( )A.①④B.②④C.①③D.②③【解析】选A.根据三段论特点,过程应为:大前提是增函数的定义;小前提是f(x)=2x+1满足增函数的定义;结论是f(x)=2x+1为增函数,故①④正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·长春高二检测)已知sinα=,cosα=,其中α为第二象限角,则m的值为. 【解题指南】利用sin2α+cos2α=1结合α为第二象限角解决.【解析】由sin2α+cos2α=+==1得m(m-8)=0,所以m=0或m=8.又α为第二象限角,所以sinα>0,cosα<0.所以m=8(m=0舍去)答案:8【误区警示】本题易忽略α为第二象限角这一条件出现两个答案的错误.6.(2013·聊城高二检测)已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任意m,n∈N*都有:①f(m,n+1)=f(m,n)+2 ②f(m+1,1)=2f(m,1)给出以下三个结论:(1)f(1,5)=9.(2)f(5,1)=16.(3)f(5,6)=26.其中正确结论为.【解析】由条件可知,因为f(m,n+1)=f(m,n)+2,且f(1,1)=1,所以f(1,5)=f(1,4)+2=f(1,3)+4=f(1,2)+6=f(1,1)+8=9.又因为f(m+1,1)=2f(m,1),所以f(5,1)=2f(4,1)=22f(3,1)=23f(2,1)=24f(1,1)=16,所以f(5,6)=f(5,1)+10=24f(1,1)+10=26.故(1)(2)(3)均正确.答案:(1)(2)(3)三、解答题(每小题12分,共24分)7.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D,E分别为C1C与AB的中点,A1B交AB1于点G.(1)求证:A1B⊥AD.(2)求证:EC∥平面AB1D.【解题指南】(1)线线垂直→线面垂直→线线垂直.(2)线线平行→线面平行.【证明】(1)连接A1D,DG,BD.因为三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱, 所以四边形A1ABB1为正方形.所以A1B⊥AB1.因为点D是C1C的中点,所以△A1C1D≌△BCD.所以A1D=BD.所以点G为A1B与AB1的交点,所以G为A1B的中点.所以A1B⊥DG.又因为DG∩AB1=G,所以A1B⊥平面AB1D.又因为AD⊂平面AB1D,所以A1B⊥AD.(2)连接GE,所以EG∥A1A,所以GE⊥平面ABC.因为DC⊥平面ABC,所以GE∥DC.又因为GE=DC=a,所以四边形GECD为平行四边形.所以EC∥GD.又因为EC⊄平面AB1D,DG⊂平面AB1D,所以EC∥平面AB1D.8.(2014·广州高二检测)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=4a n-3n+1,n∈N*.(1)证明数列{a n-n}是等比数列.(2)求数列{a n}的前n项和S n.(3)证明不等式S n+1≤4S n,对任意n∈N*皆成立.【解析】(1)因为a n+1=4a n-3n+1,所以a n+1-(n+1)=4(a n-n),n∈N*.又a1-1=1,所以数列{a n-n}是首项为1,且公比为4的等比数列. (2)由(1)可知a n-n=4n-1,于是数列{a n}的通项公式为a n=4n-1+n.所以数列{a n}的前n项和S n=+.(3)对任意的n∈N*,S n+1-4S n=+-4=-(3n2+n-4)≤0.所以不等式S n+1≤4S n,对任意n∈N*皆成立.【变式训练】已知函数f(x)=(x∈R).(1)判定函数f(x)的奇偶性.(2)判定函数f(x)在R上的单调性,并证明.【解析】(1)对任意x∈R有-x∈R,并且f(-x)===-=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)方法一:f(x)在R上单调递增,证明如下:任取x1,x2∈R,并且x1>x2,f(x1)-f(x2)=-==.因为x1>x2,所以>>0,即->0,又因为+1>0,+1>0.所以>0.所以f(x1)>f(x2).所以f(x)在R上为单调递增函数.方法二:f(x)在R上单调递增,f′(x)=>0, 所以f(x)在R上为单调递增函数.。