直角三角形全等的条件(HL)

直角三角形的全等判定方法hl
具体来说，假设有两个直角三角形ABC和DEF，其中∠BAC =
∠EDF = 90°。

如果这两个三角形满足以下条件：
1. 三角形ABC和DEF的斜边AB和DE相等，即AB = DE；
2. 三角形ABC和DEF的高BC和EF相等，即BC = EF。

那么根据直角三角形的全等判定方法hl，可以得出三角形ABC
和DEF是全等的。

这种全等判定方法hl的原理是基于直角三角形的性质和全等三
角形的定义。

直角三角形的斜边和高可以唯一确定一个直角三角形，因此当两个直角三角形的斜边和高分别相等时，这两个三角形就是
全等的。

需要注意的是，这种判定方法只适用于直角三角形，对于一般
的三角形，需要使用其他的全等判定方法，如SSS、SAS、ASA等。

综上所述，直角三角形的全等判定方法hl是利用斜边和高来判
定两个直角三角形是否全等，通过对斜边和高的相等性进行比较来判断三角形的全等关系。

2.8 直角三角形全等的判定学习目标1.探索两个直角三角形全等的条件。

2.掌握两个直角三角形全等的条件（HL ）。

知识详解1.直角三角形全等的判定定理（Ⅰ）文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（角写为“HL ”） （Ⅱ）数学语言：在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'''''AB AC AB C A ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴Rt △ABC ≌Rt △A'B'C'（HL ）说明：证明两个直角三角形全等时，一定要分清用判定定理“HL ”，还是用一般三角形全等的判定定理。

书写证明的格式也要注意区分，不要混淆。

2.定理的运用：“HL ”是直角三角形独有的判定定理，对于一般三角形不成立，“HL ”定理是直角三角形全等判定的补充。

3.角平分线的性质定理（Ⅰ）文字语言：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（Ⅱ）数学语言：∵OP 是∠AOB 的平分线PE ⊥OA 于E ，PD ⊥OB 于D∴PD ＝PE （角平分线性质）（Ⅲ）定理的作用：证明线段相等4.角平分线的判定定理（性质定理的逆命题）（Ⅰ）文字语言：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

（Ⅱ）数学语言：∵点P 在∠AOB 的内部PD ⊥OA 于DPE ⊥OB 于E∴点P 在∠AOB 的平分线上（角平分线的判定定理）（Ⅲ）定理的作用：证明角相等【典型例题】例1：1.已知：如图，A 、E 、F 、B 四点在一条直线上，AC ⊥CE ，BD ⊥DF ，AE ＝BF ，AC ＝BD 求证：CF ＝DE 。

【答案】证明：因为AC ⊥CE ，BD ⊥DF所以∠ACE ＝∠BDF ＝90°在Rt △ACE 和Rt △BDF 中AE ＝BF （已知）AC ＝BD （已知）∴Rt △ACE ≌Rt △BDF （HL ）∴∠A ＝∠B∵AE ＝BF∴AE+EF ＝BF+EF即AF ＝BE在△ACF 和△BDE 中AF BE A B AC BD =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪()()()已证已证已知∴△ACF ≌△BDE （SAS ）∴CF ＝DE【解析】证线段相等，通常利用三角形全等的性质证明，但往往证一次全等不能解决问题，本题利用两次全等实现了最终目的，第一次全等为第二次全等创造条件。

12.2 直角三角形全等的判定（HL）一、内容和内容解析（一）内容直角三角形全等的判定：“斜边、直角边”．（二）内容解析本课是在学习了全等三角形的四个判定方法（“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”）的基础上，进一步探索两个直角三角形全等的判定方法．直角三角形是三角形中的一类，判定两个直角三角形全等，可以用已学过的所有全等三角形的判定方法，但两个直角三角形中已有一对直角是相等的，因此在判定两个直角三角形全等时，只需另外找到两个条件即可，由于直角三角形的这种特殊性，判定两个直角三角形全等的方法又有别于其它的三角形．教科书首先给出一个“思考”，让学生认识到判定两个直角三角形全等与判定两个普通三角形全等的不同之处．然后通过探究5的作图实验操作，让学生经历探究满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等的过程，然后在学生总结探究出的规律的基础上，直接以定理的方式给出“斜边、直角边”判定方法．最后，教科书给出一个例题，让学生在具体问题中运用“斜边、直角边”证明两个直三角形全等，并得到对应边相等．基于以上分析，本节课的重点是：“斜边、直角边”判定方法的运用．二、目标及目标解析（一）目标1．理解“斜边、直角边”能判定两个直角三角形全等．2．能运用“斜边、直角边”证明两个直角三角形全等，并得到对应边、对应角相等．（二）目标解析1．学生经历探索两个直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．2．学生能从具体的问题中找出符合“斜边、直角边”条件的两个直角三角形，并能证明这两个直角三角形全等．三、教学问题诊断分析由于直角三角形是特殊的三角形，它具备一般三角形所没有的特殊性质．例如，对一般三角形来说，已知两边和其中一边的对角分别相等，不能判定两个三角形全等，而对于直角三角形来说，已知斜边和一直角边分别相等，能够得到两个直角三角形全等．直角三角形的斜边和一直角边确定了，根据勾股定理，得到第三边也是确定的，从而可以利用“边边边”或“边角边”证明满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．但是勾股定理是后面学习的内容，在这里不能运用勾股定理来证明这个结论，只能通过实验操作、观察得出定理．基于以上分析本节课的难点是：“斜边、直角边”判定方法的理解．四、教学过程设计引言前面我们学习了全等三角形的四个判定方法（“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”），本节课我们继续研究两个直角三角形全等的判定方法．问题1：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足哪几个条件，这两个直角三角形就全等了？两个直角三角形满足的条件：两条直角边分别相等(SAS）；一个锐角和一条直角边分别相等“ASA”或（AAS）；一个锐角和斜边分别相等（AAS）追问：如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？师生活动：师生共同得出上面的三个判定方法，学生思考猜想：满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等．设计意图：直接进入本节课学习的内容，培养学生分类讨论的思想．让学生大胆提出猜想．1.探索新知问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？问题2 画一个与已知直角三角形纸板全等的Rt △ABC ，有∠C =90°，再画一个Rt △DEF ，使∠F=90°，EF=BC ，DE=AB ，然后把已知直角三角形纸板放在画好的Rt △DEF 上，你发现了什么？2.归纳概括“HL ”判定方法和 分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL ”）．注意：前提条件是 。

直角三角形全等判定hl证明过程在几何学中，直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。

当两个直角三角形的斜边和一个锐角边分别相等时，我们可以判定这两个三角形全等。

这种判定方法被称为hl全等判定法。

接下来，我们将详细介绍hl全等判定法的证明过程。

证明开始前，我们先假设有两个直角三角形ABC和DEF，其中∠C 和∠F是直角，而AC、DF是斜边。

我们需要证明的是，如果AC = DF，且∠A = ∠D，则三角形ABC与DEF全等。

证明过程如下：第一步：根据题设，我们已知AC = DF，∠A = ∠D。

第二步：假设三角形ABC和DEF不全等，即它们不具有完全相等的对应边和对应角。

第三步：根据直角三角形的性质，我们可以得知∠C = ∠F = 90度。

第四步：根据已知条件，我们可以得出∠A + ∠B + ∠C = 180度，以及∠D + ∠E + ∠F = 180度。

第五步：由于∠C = 90度，所以∠A + ∠B + 90度 = 180度，可以得出∠A + ∠B = 90度。

第六步：由于∠F = 90度，所以∠D + ∠E + 90度 = 180度，可以得出∠D + ∠E = 90度。

第七步：根据已知条件∠A = ∠D，可以得出∠B = ∠E。

第八步：根据第五步和第六步的结果，我们可以得出∠A + ∠B = ∠D + ∠E，即∠A + ∠B = ∠A + ∠B。

第九步：根据等量关系性质，我们可以得出∠A = ∠A，∠B = ∠B，即两个三角形的角度对应相等。

第十步：根据已知条件AC = DF，我们可以得出三角形ABC与DEF的两边对应相等。

第十一步：根据第九步和第十步的结果，我们可以得出三角形ABC 与DEF的两边角度对应相等，即两个三角形全等。

根据hl全等判定法的证明过程，我们可以得出结论：当两个直角三角形的斜边和一个锐角边分别相等时，且这两个三角形的对应角度也相等时，这两个三角形全等。

通过这个证明过程，我们可以理解hl全等判定法的原理，并且在实际的几何问题中应用它来判断三角形的全等关系。

证明直角三角形全等hl1. 引言嘿，大家好！今天咱们来聊聊一个有趣的话题，直角三角形的全等。

相信很多人小时候都在学校里学过这个，可能一开始觉得有点晦涩，不过别担心，咱们会轻松愉快地把它搞明白。

就像吃糖果一样，越吃越上瘾，知识也可以这么甜！直角三角形全等，简单来说，就是说如果两个直角三角形的某些边和角一样，那它们就完全一样了，咋样？这听起来是不是很简单？今天，我们就从直角三角形的特点开始，深入探讨一下这个全等的秘密。

2. 直角三角形的特点2.1 直角的魅力首先，咱们得了解直角三角形的特点。

直角三角形，顾名思义，就是其中有一个角是90度的三角形。

想象一下，它就像一块披萨，切得刚刚好。

这样一来，其他两个角的和就自然是90度了。

用一个简单的公式，咱们可以知道这三角形里的每个角都是如何互相关联的，简直是天衣无缝！而且，直角三角形的边长关系也很有趣，著名的勾股定理可谓是经典中的经典，给我们提供了一个绝佳的工具去计算边长。

2.2 边与角的关系再来说说这个三角形的边。

直角三角形有三条边，分别叫做斜边和两条直角边。

斜边可算是个大块头，永远对着直角的一面，其他两条边就负责支撑它，真是一对好搭档。

很多时候，如果你知道了两条边的长度，就可以轻松算出第三条边。

就像生活中，有时候你只需要找到一个关键点，就能推导出一切！3. 全等的条件3.1 直角三角形的全等条件好了，咱们现在来谈谈全等的问题。

直角三角形的全等条件可分为几个小点。

首先，最简单的就是“直角边直角边斜边”（HL）。

就是说，如果两个直角三角形的两条直角边和斜边相等，那它们就是全等的。

想象一下，如果两个人都是身高175，腿长90，那不管他们的脸是什么样子，他们的身材就差不多，简直是兄弟般的存在啊！3.2 另外的全等条件还有其他一些条件，比如“斜边角斜边”（ASA），或者“边角边”（SAS），这些条件也能帮助我们确认三角形的全等。

生活中有很多地方都能找到这样的对应关系，就像两个人有着相似的兴趣爱好，性格也差不多，最后成为好朋友。

三角形全等的条件（五）主讲：黄冈中学高级教师余国琴一周强化一、一周知识概述1、直角三角形全等的判定条件——HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.2、直角三角形全等的判定方法的综合运用.判定两个直角三角形全等的方法有五种，即SSS、SAS，ASA、AAS，HL.3、判定条件的选择技巧（1）上述五种方法是判定两直角三角形全等的方法，但有些方法不可能运用.如SSS，因为有两边对应相等就能够判定两个直角三角形全等.（2）判定两个直角三角形全等，必须有一组对应边相等.（3）证明两个直角三角形全等，可以从两个方面思考：①是有两边相等的，可以先考虑用HL，再考虑用SAS；②是有一锐角和一边的，可考虑用ASA或AAS.二、重难点知识归纳灵活运用SAS、ASA、AAS、HL判定两个直角三角形全等.三、典型例题剖析例1、如图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE=________.本题解决问题的关键是证明Rt△ABC≌Rt△DEF，由此，我们也知道三角形全等是解决问题的有力工具.解：由现实意义及图形提示可知CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90°.又因为BC=EF，AC=DF，可知Rt△ABC≌Rt△DEF.得∠DFE=∠ACB.因为∠ACB＋∠ABC=90°，故∠ABC＋∠DFE=90°.例2、如图所示，△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F.求证BE=CF.解：在△AED和△AFD中，所以△AED≌△AFD （AAS）.所以DE=DF（全等三角形的对应边相等）.在Rt△BDE和Rt△CDF中，所以Rt△BDE△Rt△CDF（HL）.所以BE= CF（全等三角形的对应边相等）.例3、如图所示，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF=DF.要证CF=DF，可连接AC、AD后，证△ACF≌△ADF即可.证明：连结AC、AD.在△ABC和△AED中，所以AC＝AD（全等三角形的对应边相等）.因为AF⊥CD（已知），所以∠AFC=∠AFD=90°（垂直定义）.在Rt△ACF和Rt△ADF中，所以Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）.所以CF=DF（全等三角形的对应边相等）.例4、已知在△ABC与△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高，且AC=A′C′，AB=A′B′，CD=C′D′，试判断△ABC与△A′B′C′是否全等，说说你的理由.分析：分析已知条件，涉及到三角形的高线，而三角形的高线有在三角形内、外或形上三种情形，故需分类讨论.解：情形一，如果△ABC与△A′B′C′都为锐角三角形，如图所示.因为CD、C′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高.所以∠ADC=∠A′D′C′=90°.在△ADC和△A′D′C′中∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′则∠A=∠A′在△ABC与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′情形二，当△ABC为锐角三角形，△A′B′C′为钝角三角形，如图.显然△ABC与△A′B′C′不全等.情形三，当△ABC与△A′B′C′都为钝角三角形时，如图.由CD、C′D′分别为△ABC和△A′B′C′的高，所以∠ADC=∠A′D′C′=90°，在Rt△ADC和Rt△A′D′C′中，CD=C′D′，AC=A′C′∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠CAD=∠C′A′D′.∴∠CAB=∠C′A′B′，在△ABC与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′.例5、阅读下题及证明过程：如图，已知D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上一点，EB=EC，∠BAE=∠CAE，求证：∠ABE=∠ACE.证明：在△ABE和△ACE中∴△ABE≌△ACE第一步∴∠ABE=∠ACE第二步上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据，若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程.分析：用三角形全等的判定条件去判断，易发现错在第一步，它不符合全等三角形的条件，因此需另辟途径.由题设知，当结论成立时，必有△ABE≌△ACE，而由已知条件不能求证这两个三角形全等，故需将这两个三角形中重新构造出全等三角形.解：上面的证明过程不正确，错在第一步，正确的证明过程如下：过E作EG⊥AB于G，EH⊥AC于H.如图所示则∠BGE=∠CHE=90°在△AGE与△AHE中∴△AGE≌△AHE∴EG=EH在Rt△BGE与Rt△CHE中，EG=EH，BE=CE.∴Rt△BGE≌Rt△CHE，∴∠ABE=∠ACE.例6、已知：如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD.（1）求证：BE⊥AC；（2）若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？（1）证明：因为AD⊥BC（已知），所以∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.在Rt△BDF和Rt△ADC中，所以Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）.所以∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.因为∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.因为∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），所以∠BEC=90°.所以BE⊥AC（垂直定义）；（2）证明：命题成立，因为BE⊥AC，AD⊥BC，所以∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）.所以∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°.所以∠1=∠DAC（同角的余角相等）.在△BFD与△ACD中，所以△BFD≌△ACD（AAS）.所以BF=AC（全等三角形的对应边相等）.。