两个直角三角形全等的判定条件

全等三角形全等三角形指两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。

定义：能够完全重合（大小，形状都相等的三角形）的两个三角形称为全等三角形。

两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

全等判定定理：1．三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)2．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

3．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

4．有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5．直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL 或“斜边，直角边”)6..三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形全等性质三角形全等的条件：1．全等三角形的对应角相等。

2．全等三角形的对应边相等3．全等三角形的对应顶点位置相等。

4．全等三角形的对应边上的高对应相等。

5．全等三角形的对应角的角平分线相等。

6．全等三角形的对应中线相等。

7．全等三角形面积相等。

8．全等三角形周长相等。

9．全等三角形可以完全重合。

相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形判定相似(1)两角对应相等两三角形相似.(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)(3)三边对应成比例,两个三角形相似.(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似。

直角三角形相似：1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方1.两个全等的三角形一定相似。

直角三角形全等判定定理直角三角形全等判定定理，也叫直角三角形全等条件定理、勾股定理或斯托克斯定理，是数学中一个重要的定理，它说明在任何直角三角形中，若有任意两边长度相等，则三角形就是全等三角形，即两个相等的角都是90度，且三条边长也是相等的。

斯托克斯定理曾是希腊数学家欧几里得的儿童时代创造，后来被苏格拉底改写为定理形式。

斯托克斯定理是一个有关直角三角形的数学定理，它告诉我们，如果两条边的长度相等，则该三角形是一个直角三角形。

斯托克斯定理也称为勾股定理，又称“直角三角形全等性判定定理”，它是古希腊时期最著名的定理之一，是古希腊数学家欧几里得最早发现的定理之一，他在其《几何》中对此进行了证明。

斯托克斯定理可以用来证明所有直角三角形都具有三条边和两个相等的角，这种特殊的三角形称为全等三角形。

根据斯托克斯定理，如果一个三角形的其中两条边的长度相等，则该三角形必定是一个直角三角形，而且它的三条边和两个相等的角都是相等的。

斯托克斯定理也可以用来证明股数定理，即如果a2+b2=c2，则这个三角形就是一个直角三角形，而且它的三条边和两个相等的角都是相等的。

斯托克斯定理是数学中一个重要的定理，它能够提供一个简单而又有效的方法来验证一个三角形是否为直角三角形。

它可以被用来证明某一个三角形是否全等，也可以用来检验三角形的长度是否相等。

因此，斯托克斯定理是数学中一个重要的定理，它在多个数学问题中得到广泛的应用，不但在几何和数学中得到应用，而且在工程学、计算机科学等领域中都有着重要的作用。

斯托克斯定理可以用大量数学证明来证明，但它的核心思想仍然是：任何直角三角形中，如果有任意两边长度相等，则这个三角形就是全等三角形，即两个相等的角都是90度，且三条边长也是相等的。

斯托克斯定理是一个简单而又有效的方法，它可以快速验证一个三角形是否为直角三角形，它的应用领域也十分广泛，在科学、工程学和计算机科学等领域中都有着重要的作用。

全等三角形证明一、三角形全等的判定：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。

4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。

5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

二、全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

②全等三角形的周长、面积相等。

③全等三角形的对应边上的高对应相等。

④全等三角形的对应角的角平分线相等。

⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

三、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。

缺个角的条件：1、公共角2、对顶角3、两全等三角形的对应角相等4、等腰三角形5、同角或等角的补角（余角）6、等角加（减）等角7、平行线8、等于同一角的两个角相等缺条边的条件：1、公共边2、中点3、等量和4、等量差5、角平分线性质6、等腰三角形7、等面积法8、线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等9、两全等三角形的对应边相等10、等于同一线段的两线段相等四、构造辅助线的常用方法：1、关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。

关于角平分线常用的辅助线方法：（1）截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA 上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

三角形全等的条件（五）主讲：黄冈中学高级教师余国琴一周强化一、一周知识概述1、直角三角形全等的判定条件——HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.2、直角三角形全等的判定方法的综合运用.判定两个直角三角形全等的方法有五种，即SSS、SAS，ASA、AAS，HL.3、判定条件的选择技巧（1）上述五种方法是判定两直角三角形全等的方法，但有些方法不可能运用.如SSS，因为有两边对应相等就能够判定两个直角三角形全等.（2）判定两个直角三角形全等，必须有一组对应边相等.（3）证明两个直角三角形全等，可以从两个方面思考：①是有两边相等的，可以先考虑用HL，再考虑用SAS；②是有一锐角和一边的，可考虑用ASA或AAS.二、重难点知识归纳灵活运用SAS、ASA、AAS、HL判定两个直角三角形全等.三、典型例题剖析例1、如图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE=________.本题解决问题的关键是证明Rt△ABC≌Rt△DEF，由此，我们也知道三角形全等是解决问题的有力工具.解：由现实意义及图形提示可知CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90°.又因为BC=EF，AC=DF，可知Rt△ABC≌Rt△DEF.得∠DFE=∠ACB.因为∠ACB＋∠ABC=90°，故∠ABC＋∠DFE=90°.例2、如图所示，△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F.求证BE=CF.解：在△AED和△AFD中，所以△AED≌△AFD （AAS）.所以DE=DF（全等三角形的对应边相等）.在Rt△BDE和Rt△CDF中，所以Rt△BDE△Rt△CDF（HL）.所以BE= CF（全等三角形的对应边相等）.例3、如图所示，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF=DF.要证CF=DF，可连接AC、AD后，证△ACF≌△ADF即可.证明：连结AC、AD.在△ABC和△AED中，所以AC＝AD（全等三角形的对应边相等）.因为AF⊥CD（已知），所以∠AFC=∠AFD=90°（垂直定义）.在Rt△ACF和Rt△ADF中，所以Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）.所以CF=DF（全等三角形的对应边相等）.例4、已知在△ABC与△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高，且AC=A′C′，AB=A′B′，CD=C′D′，试判断△ABC与△A′B′C′是否全等，说说你的理由.分析：分析已知条件，涉及到三角形的高线，而三角形的高线有在三角形内、外或形上三种情形，故需分类讨论.解：情形一，如果△ABC与△A′B′C′都为锐角三角形，如图所示.因为CD、C′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高.所以∠ADC=∠A′D′C′=90°.在△ADC和△A′D′C′中∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′则∠A=∠A′在△ABC与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′情形二，当△ABC为锐角三角形，△A′B′C′为钝角三角形，如图.显然△ABC与△A′B′C′不全等.情形三，当△ABC与△A′B′C′都为钝角三角形时，如图.由CD、C′D′分别为△ABC和△A′B′C′的高，所以∠ADC=∠A′D′C′=90°，在Rt△ADC和Rt△A′D′C′中，CD=C′D′，AC=A′C′∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠CAD=∠C′A′D′.∴∠CAB=∠C′A′B′，在△ABC与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′.例5、阅读下题及证明过程：如图，已知D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上一点，EB=EC，∠BAE=∠CAE，求证：∠ABE=∠ACE.证明：在△ABE和△ACE中∴△ABE≌△ACE第一步∴∠ABE=∠ACE第二步上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据，若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程.分析：用三角形全等的判定条件去判断，易发现错在第一步，它不符合全等三角形的条件，因此需另辟途径.由题设知，当结论成立时，必有△ABE≌△ACE，而由已知条件不能求证这两个三角形全等，故需将这两个三角形中重新构造出全等三角形.解：上面的证明过程不正确，错在第一步，正确的证明过程如下：过E作EG⊥AB于G，EH⊥AC于H.如图所示则∠BGE=∠CHE=90°在△AGE与△AHE中∴△AGE≌△AHE∴EG=EH在Rt△BGE与Rt△CHE中，EG=EH，BE=CE.∴Rt△BGE≌Rt△CHE，∴∠ABE=∠ACE.例6、已知：如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD.（1）求证：BE⊥AC；（2）若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？（1）证明：因为AD⊥BC（已知），所以∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.在Rt△BDF和Rt△ADC中，所以Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）.所以∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.因为∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.因为∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），所以∠BEC=90°.所以BE⊥AC（垂直定义）；（2）证明：命题成立，因为BE⊥AC，AD⊥BC，所以∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）.所以∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°.所以∠1=∠DAC（同角的余角相等）.在△BFD与△ACD中，所以△BFD≌△ACD（AAS）.所以BF=AC（全等三角形的对应边相等）.。