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1中考数学人教版专题复习：相似三角形一、教学内容相似三角形和三角形相似的条件 1. 了解相似三角形、相似比的含义．2. 掌握两个三角形相似的判断条件，并能够运用三角形相似的判断方法解决一些简单的问题．二、知识要点1. 相似三角形（1）相似三角形：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形． （2）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比．（3）表示方法：用符号“∽”来表示相似，读作“相似于”．如图所示，△ABC 和△A ’B ’C ’相似，记作“△ABC ∽△A ’B ’C ’”，读作“△ABC 相似于△A ’B ’C ’”．A B CA'C'B'说明：（1）这个定义告诉我们：①如果两个三角形的角对应相等、边对应成比例，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等、对应边成比例．（2）相似比是有顺序的．例如：若△ABC ∽△A ’B ’C ’，相似比为k ，则△A ’B ’C ’∽△ABC ，那么相似比为1k ．2. 三角形相似的条件（1）如果两个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．2例如：如图所示，若∠A ＝∠A ’，∠B ＝∠B ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’； 若∠A ＝∠A ’，∠C ＝∠C ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’； 若∠C ＝∠C ’，∠B ＝∠B ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’．说明：只要有两对角对应相等，这两个三角形就相似．“对应”不一定非得是“A 对A ’，B 对B ’，C 对C ’”．A B CA'C'B'（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．例如：如上图所示，若AB A ’B ’＝BCB ’C ’，∠B ＝∠B ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’； 若BC B ’C ’＝CAC ’A ’，∠C ＝∠C ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’； 若AB A ’B ’＝ACA ’C ’，∠A ＝∠A ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’． （3）三边对应成比例的两个三角形相似．例如：如上图所示，若AB A ’B ’＝BC B ’C ’＝CAC ’A ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’．三、重点难点本讲重点是相似三角形的定义和三角形相似的条件，难点是应用三角形相似的三个条件解决一些问题．【典型例题】例1. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的一点，当∠1＝__________，∠2＝__________时，或ACAB ＝__________＝__________时，△ADC ∽△ACB ．3ABCD12分析：要使△ADC ∽△ACB ，根据相似三角形的定义，三组对应角分别相等，三组对应边成比例，由图可知，∠A 为公共角，∠1的顶点与∠ACB 的顶点重合．∴点A 与点A 对应，点C 与点B 对应，点D 与点C 对应，∴∠1＝∠B ，∠2＝∠ACB ，AC AB ＝AD AC ＝DCCB ． 解：∠B ，∠ACB ，AD AC ，DCCB评析：在找对应边、对应角时，应先观察图形，找出图形中的条件，如公共角、公共边等，再找出对应顶点、对应边和对应角．在写相似表达式时，应尽量把对应顶点的字母写在对应的位置上．例 2. （1）若△AED ∽△ABC ，AD ＝6cm ，AC ＝12cm ，则△AED 与△ABC 的相似比为__________．（2）有一个三角形的三边长为2、3、4，若另一个和它相似的三角形的最短边长为8，则第二个三角形的周长为__________．分析：（1）相似三角形的相似比就是其对应边的比．∵△AED ∽△ABC ，∴边AD 与AC 对应．∴相似比为AD AC ＝612＝12．（2）由题意知，要求周长，应知道三边长，两个三角形相似，则对应边成比例，这里的对应指大边对大边，小边对小边，题目中给出的第二个三角形的最短边长是8，因此应找出第一个三角形的最短边与之对应，这条对应边长应为2，所以相似比为28＝14，设另两边长分别为x 、y ，则3x ＝4y ＝14，解得x ＝12，y ＝16，∴第二个三角形的周长为8＋12＋16＝36． 解：（1）12（2）36评析：（1）①求相似比时要注意顺序，哪个三角形在前，它的对应边就作为比的前项．②相似比实际上反映的是一个图形的放大或缩小，相似比大于1，说明图形被放大；相似比小于1，说明图形被缩小；相似比等于1，说明两个图形全等．③若△ABC 与△A'B'C'的相似比为4k ，则△A'B'C'与△ABC 的相似比为1k ．（2）找两个相似三角形的对应边、对应角的方法有两种：①如果给出相似表达式，就先找对应顶点，再找对应边、对应角．②如果已知对应角，那么对应角所对的边就是对应边；如果已知对应边，那么对应边所对的角就是对应角．找两个相似三角形的对应边还有一个原则：大边对大边，小边对小边．例3. 如图所示，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似的三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对ABCDGEF分析：由AD ∥BG ，可得∠DAE ＝∠G ，∠ADB ＝∠DBG ，可推出△AED ∽△GEB ，同理可推出△AFD ∽△GFC ；由AB ∥DC 可得到△AEB ∽△FED 和△ABG ∽△FCG ，由相似图形的传递性，知△GAB ∽△AFD ，又△ABD ∽△CDB ，∴图中共有6对相似三角形，故正确答案为D ． 解：D评析：充分利用题目中的条件，如平行、垂直等推出相等的角，如公共角，对顶角等．例4. 如图所示，BC 平分∠ABD ，AB ＝4，BD ＝5，当BC ＝__________时，△ABC ∽△CBD ．AB CD分析：因为BC 平分∠ABD ，所以得到∠ABC ＝∠CBD ，又题目中给出的条件是边，所以要使△ABC ∽△CBD ，只要两边对应成比例且夹角相等即可，所以只需AB BC ＝BC BD ，即BC 2＝AB ·BD ．又AB ＝4，BD ＝5，所以BC 2＝4×5＝20，所以BC ＝25． 解：2 55例5. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的平分线． （1）△ABC 和△BCD 相似吗？ （2）试说明AD 2＝DC ·AC ； （3）若AC ＝5＋1，求BC 的长．ABCD分析：有一个角为36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，故∠CBD ＝36°，则可推出△ABC ∽△BCD ，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．解：（1）因为∠A ＝36°，AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ＝72°．又因为BD 平分∠ABC ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝36°． 所以AD ＝BD ＝BC ，所以△ABC ∽△BCD ． （2）因为△ABC ∽△BCD ，所以BC AB ＝CDBC ，所以BC 2＝AB ·CD ，即AD 2＝AC ·CD ．（3）由AD 2＝AC ·CD ，得D 为线段AC 的黄金分割点，所以AD ＝5－12·AC ＝5－12·（5＋1）＝2， 而BC ＝AD ，故BC ＝2．评析：识别三角形相似的思路：①有一对等角，找⎩⎨⎧另一对等角等角的两边对应成比例 ；②有两边对应成比例，找⎩⎨⎧夹角相等第三边成比例 ；③直角三角形，找一对锐角相等；④等腰三角形，找6⎩⎨⎧顶角相等一对底角相等底和腰成比例．例6. 为了测量校园内一棵不可攀登的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索： 如图所示，把镜子放在离树（AB ）8.7米的点E 处，然后沿着BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.7米，观察者目高CD ＝1.6米，请你计算出树的高度．（精确到0.1米）ABC DE解：因为∠D ＝∠B ＝90°，∠CED ＝∠AEB ，所以△CDE ∽△ABE ， 所以CD AB ＝DEBE ．因为CD ＝1.6，DE ＝2.7，BE ＝8.7， 所以1.6AB ＝2.78.7，所以AB ≈5.2． 答：树的高度约是5.2米．评析：光线的入射角和反射角是相等的，故可得∠CED ＝∠AEB ，然后可利用相似三角形的性质解决问题．【方法总结】1. 三角形相似的条件有三个：①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似．2. 相似三角形判定方法的作用：①可以用来判定两三角形相似；②间接说明角相等，7线段成比例；③间接为计算线段长度及角的大小创造条件．3. 有关三角形相似的基本图形：①如图1所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ；②如图2所示，若∠ADE ＝∠B ，则△ADE ∽△ABC ；③如图3所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ．A BC D E ABC DE AB C DE图1图2图3【模拟试题】（答题时间：50分钟） 一、选择题1. 已知△ABC ∽△A'B'C'，如果∠A ＝75°，∠B ＝25°，则∠C'的度数为（ ） A ．80°B ．70°C ．60°D ．50°2. 下列说法中正确的个数是（ ）①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的等边三角形都相似．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. △ABC ∽△A'B'C'，且相似比为23，△A'B'C'∽△A''B''C''，且相似比为54，则△ABC 与△A''B''C''的相似比为（ ）A ．56B ．65C ．56或65D ．8154. 具备下列各组条件的△ABC 和△A'B'C'，不能判定它们相似的是（ ） A ．∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B' B ．∠A ＝∠A'，∠B ＝∠C' C ．∠A ＝∠B'，∠B ＝∠C'D ．∠A ＝∠A'，∠B ＝∠A'5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）8ABCABCD*6. 已知，如图所示，D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且△AED ∽△ABC ，∠A ＝35°，∠C ＝85°，则下列结论错误的是（ ）A ．AD ·AB ＝AE ·AC B ．∠AED ＝60° C ．DE BC ＝AD ACD ．DE BC ＝AD ABA BCDE7. 下列4个三角形中，与右边三角形相似的是（ ）ABC5555575°30°D5540°**8. 如图，AB ∥CD ，AE ∥FD ，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中共有相似三角形（ ） A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对A BCD EF G H二、填空题1. 若两个三角形的相似比是1，则这两个三角形__________．92. 已知△ABC ∽△DEF ，则∠A ＝__________，∠B ＝__________，∠C ＝__________，ABDE ＝__________＝__________．3. △ABC 的各边之比为2∶5∶6，与其相似的另一个△A'B'C'的最大边长为18cm ，那么△A'B'C'的最小边长为__________．4. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1、DE ＝2、BD ＝3，则BC ＝__________．A D EC B5. 如图所示，△ABC ∽△DBE ，且AD ＝12AB ，则△ABC 与△DBE 的相似比为__________．ABCDE6. 如图所示，（1）若AE AB ＝__________，则△AEF ∽△ABC ，理由是__________；（2）若__________∥__________，则△AEF ∽△ABC ．AB CEF*7. 如图所示，AC 、BD 相交于O ，若给出__________＝__________，则可以使△AOB ∽△DOC ，若给出DC 2＝DO ·DB ，则可以使__________∽__________．ABC DO10**8. 如图所示，△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，要使△ABD ∽△ACE ，已具备的条件是__________，还需要添加的条件是__________或__________或__________．A BCDE三、解答题1. 依据下列各组条件判定△ABC 与△A ’B ’C ’是否相似，并说明理由．（1）∠A ＝45°，AB ＝12cm ，AC ＝15cm ，∠A ’＝45°，A ’B ’＝16cm ，A ’C ’＝20cm ； （2）∠B ＝80°，AB ＝1.5cm ，BC ＝2cm ，∠B ’＝80°，A ’B ’＝2.8cm ，B ’C ’＝2.1cm ．2. 如图所示，若∠A ＝∠C ，那么△OAB 与△OCD 相似吗？OA ·OD ＝OB ·OC 吗？为什么．ABCDO3. 如图所示，已知△ADE ∽△ABC ，△DBF ∽△ABC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，求BF 的长．A BCDEF*4. 请你制作两个三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个11三角形框架的一边长为2，如何选料可使这两个三角形相似？**5. 四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，指出图中有哪些相似三角形，并说明理由．如图所示．ABCDEO123412【试题答案】 一、选择题1. A2. B3. A4. D5. A6. D7. C8. C 二、填空题1. 全等2. ∠D ，∠E ，∠F ，AC DF ，BC EF3. 6cm4. 85. 2∶16.（1）AFAC ；两边对应成比例，且它们的夹角是对顶角（相等）（2）EF ，BC 7. ∠ABO （或∠BAO ），∠BDC （或∠ACD ），△BDC ，△CDO 8. ∠A ＝∠A ，∠ABD ＝∠ACE ，∠ADB ＝∠AEC ，AD AE ＝AB AC三、解答题1. （1）相似，因为AB A ’B ’＝1216＝34，∠A ＝∠A ’＝45°，AC A ’C ’＝1520＝34．（2）相似，因为ABB ’C ’＝1.52.1＝57，BC A ’B ’＝22.8＝57，且它们的夹角∠B ＝∠B ’＝80°，所以△ABC ∽△C ’B ’A ’．（点A 的对应顶点是C ’，点B 的对应顶点是B ’，点C 的对应顶点是A ’）2. ∵∠A ＝∠C ，∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ∽△COD ，∴OA OC ＝OBOD ，∴OA ·OD ＝OB ·OC 3. ∵△ADE ∽△ABC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，∴AD AB ＝DE BC ，∴44＋8＝5BC ，∴BC＝15cm 。
中考数学复习第23课时《相似三角形》教学设计一. 教材分析《中考数学复习第23课时：相似三角形》是对初中数学中相似三角形知识的梳理和巩固。
相似三角形是初中数学中的重要内容，也是中考的热点题型。
本课时通过对相似三角形的定义、性质、判定和应用的复习，帮助学生建立完整的知识体系，提高解题能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了相似三角形的定义、性质、判定和应用的基本知识，但部分学生对相似三角形的理解不够深入，解题方法不够灵活。
针对这一情况，教师应加强对学生的个别辅导，引导学生运用已学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解和掌握相似三角形的定义、性质、判定和应用，提高解题能力。
2.过程与方法：通过复习相似三角形的基本知识，培养学生的逻辑思维能力和数学抽象能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的定义、性质、判定和应用。
2.难点：相似三角形的灵活运用和解题策略。
五. 教学方法1.引导法：教师引导学生回顾相似三角形的基本知识，帮助学生建立知识体系。
2.案例分析法：教师通过典型例题的分析，引导学生掌握相似三角形的解题方法。
3.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教材：《中考数学复习第23课时：相似三角形》教材。
2.课件：教师制作的课件，包括相似三角形的定义、性质、判定和应用的内容及典型例题。
3.练习题：针对相似三角形的不同类型题目，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾相似三角形的基本知识，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师利用课件呈现相似三角形的定义、性质、判定和应用的内容，让学生初步了解本节课的学习目标。
3.操练（10分钟）教师给出典型例题，引导学生运用相似三角形的知识解决问题。
三、例题精讲;21)1(==ECAEDBAD例2如图，在△ABC中，AB=8cm,AC=16cm ,点P从点A出发，以每秒2cm的速度向B运动，点Q从点C出发，以每秒3cm的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也停止运动，设运动时间为t(s).（1）用含t的代数式表示AP、AQ的长度；（2）当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.教师在黑板上板书分析，规范解答格式。
成，点名学生回答。
教学引导学生分析，完成。
性质和判定。
例2是一个相似三角形判定、相似三角形性质的小综合题，训练学生灵活运用的能力。
;21)2(=ACAE;21)3(=BCDE;31)4(=的周长△的周长△ABCADE;31)5(=的面积△的面积△ABCADE四、针对训练1.如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为_________2.如图，在△ABC中，EF∥BC,21=EBAE,8=BCFES梯形，则ABCS△的面积是（）A. 9B. 10C. 12D. 13（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，点P在△ABC的边AC上，添加一个条件不能判定△ABP∽△ACB的是（）A.CABP∠=∠ B. ABCAPB∠=∠C.ACABABAP= D.CBACBPAB=4.如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为（）A.4B.24 C.6 D.34学生独立完成，教师点评纠错。
夯实基础，利用A字型模型解决相似三角形中常见问题，巩固相似三角形的性质和判定。
五、课堂小结今天你有什么收获？学生交流，归纳总结本节课所学知识。
培养学生语言表达能力及归纳能力，提炼归纳本节课所学知识，培养学生良好的学习习惯。
5.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，六、作业布置AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD＝3，AB＝5，求AGAF的值．6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？7.如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为____________学生回家独立完成。
