26数列求和

数列求和的基本方法与技巧一、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n n n 3、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n 例1 金榜108页典例1二、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列。

例2. 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①例3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= ，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。

变式练习：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和。

三、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

形如：①{}n n b a +,其中{}{}⎩⎨⎧是等比数列；是等差数列；n n b a ②()()⎩⎨⎧∈=-==*Nk k n n g k n n f a n ,2,,12, 例 4.已知数列{}n a 的通项公式为,132-+=n a n n 求数列{}n a 的前n 项和.变式练习： 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭四、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

数列求和的基本方法与技巧（1） 姓名引言： 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考中占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 接下去的几节课我们一起来研究数列求和的基本方法和技巧.方法一、公式法：1、等差数列求和公式： d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n nn 3、1(1)1232nn k n nS k k n =+==+++++=∑ 方法二、错位相减法：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列或的前n 项和，其中分别是等差数列和等比数列.如：{}n n a b A {}n nab {},{}n n a b 若数列是首项为公差为d 的等差数列，数列是首先为，公比为q 的等比数{}n a 1,a {}n b 1b 列.（1）11223311n n n n n S a b a b a b a b a b --=+++++（2）122311n n n n n qS a b a b a b a b -+=++++ 由（1）—（2）得11231(1)()n n n n q S a b d b b b a b +-=++++- 12111(1),(1)1n n n b q a b d a b q q-+-=+-≠-典例：例、（1）求数列前n 项的和.⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n（2）求数列的前n 项和.{(1)(2)}nn +-A n S （3）求和121111135(21)333n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1（4）求和： 2311234n n S x x x nx-=++++⋅⋅⋅+()x R ∈实战演练：1、（07福建文科17）数列的前项和为，，．{}n a n n S 11a =*12()n n a S n +=∈N （1）求数列的通项；{}n a n a （2）求数列的前项和．{}n na n n T 2、 (2008年全国卷）在数列中，，.}{n a 11a =122nn n a a +=+(Ⅰ)设.证明：数列是等差数列；12nn n a b -=}{n b (Ⅱ)求数列的前项和}{n a n nS 3、（08陕西文）已知数列的首项，，…．{}n a 123a =121n n n a a a +=+1,2,3,n =（Ⅰ）证明：数列是等比数列；1{1}na -（Ⅱ）数列的前项和．{}nna n n S 数列求和的基本方法与技巧（2） 姓名方法三：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项相消法的实质是将数列中的每项（通项）分解，使之能前后能消去一些项，最终达到求和的目的.)()1(n f n f a n -+=如：可裂项的代数式结构有（1）设数列是首项为公差为d 的等差数列 （）{}n a 1a 0,0n a d ≠≠则 111111(n n n n n b a a d a a ++==-1111()()n m n m nc n m a a n md a a ==->-（2）111)1(1+-=+=n n n n a n （3）1111()(2)22n a n n n n ==-++ 123n S a a a =+++ 11111111111(1)(((2322421122n n n n =-+-++-+--++ 1111111111(1)232435122n n n n =-+-+-++-+--++ 1111(1)2212n n =+--++（4）1111[(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ==-+++++（5）n a ==(6)22221111()(2)4(2)n n n n n +=-++（6）数列为等比数列，公比为q ，前n 项和为，则{}n b n S 11111,n n n n n b S S S S +++=-11111(n n n n n b S S q S S ++=-例、求下列数列的前n 项和（1）11(42)()2n a n n =-+（2）13693n a n=++++ （3）首项1公比3，前n 项和是，求{}n a n S 1212231n n n n a a aT S S S S S S +=+++ 实战演练：有 党的建立业要论，认头牢立和主施）位开照党誓和入党誓想体组织次确集季度召”、““四师格党学习学系员合我础1、(10山东)已知等差数列满足：，，的前n 项和为．{}n a 37a =5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；n a n S （Ⅱ）令b n =(n N *)，求数列的前n 项和．211n a -∈{}n b n T 2、(08江西)数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，{}n a n a n n S {}n b 且，数列是公比为64的等比数列，.113,1a b =={}n a b 2264b S =（1）求；,n n a b （2）求证.1211134n S S S +++< 3、（06湖北卷）设数列的前n 项和为，点均在函数y ＝3x －2的图{}n a n S (,)()n n S n N *∈像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）设，是数列的前n 项和，求使得对所有都成立13+=n n n a a b n T {}n b 20n m T <n N *∈的最小正整数m.4、设数列满足且{}n a 10a =1111.11n na a +-=--（Ⅰ）求的通项公式；{}na （Ⅱ）设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明：1数列求和的基本方法与技巧（3） 姓名方法三：分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但是将这类数列通项公式适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.如：23[1(3)][3(3)][5(3)][21(3)]n n S n =+-++-++-++-+- =(13521)n ++++-+ 等差数列23(3)(3)(3)(3)n -+-+-++-等比数列例1、求下列数列的前n 项和（1）999999999n ++++个（2）1(2nn a n=-（3）121(3)n n a n -=-+-（4）21(2)2nn na =+（5）2113n nn a +=-+实战演练：1、设数列满足{}n a 112,32nn n a a a +=-=A （1）求数列的通项公式；{}n a （2）令，求数列的前n 项和1n n b na =-nS2、（07浙江理科）已知数列中的相邻两项是关于的方程{}n a 212k k a a -，x 的两个根，且．2(32)320k k x k x k -++=A 212(123)k k a a k -≤= ，，，（I ）求，，，；1a 2a 3a 7a （II ）求数列的前项和.{}n a 2n 2n S 3、（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n nn a a a n ++==++（I ）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式;（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S .数列求和的基本方法与技巧（4） 姓名方法四：奇偶项讨论、配对（并项）求和针对一些特殊的数列，如需对项数进行奇偶讨论、或者将某些项合并在一起就具有某种特殊的效果，因此，在数列求和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求和.引例：设数列的通项公式是，求该数列的前n 项和.{}n a 2(1)3nn a =+-A n S 方法一、对项数奇偶讨论当n 为奇数时(1)5(1)5(1)=n n S =-++-+++-项11(1)52322n n n +--⨯+⨯=-当n 为偶数时=(1)5(1)5(1)5=n n S =-++-+++-+ 项(1)5222n nn =-⨯+⨯=2n所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法二、奇偶项配对（并项求和）利用递推性质 ：当时，有成立2,*n n N ≥∈14n n a a -+=当n 为奇数时123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++ 14(1)232n n -=⨯+-=-当n 为偶数时12341()()()422n n n nS a a a a a a n -=++++++=⨯= 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法三、分组求和当n 为奇数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2223n =+++-个23n -当n 为偶数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2220n =++++个2n 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数1例：求下列数列的前n 项和（1），1,2n nn n a +⎧=⎨⎩为正奇数，n 为正偶数（2）2(1)(21)nnn a n =+--（3）22cos n a n n π=-+⨯实战演练：1、已知数列的前项和为，且，数列满足，且{}n a n n S *22()n n S a n N =-∈{}n b 11b =点在直线上.*1(,)()n n P b b n N +∈2y x =+（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）设，求数列的前项和22*sincos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈{}n c 2n 2n T 2、等差数列 的前n 项和为，且{}n a n S 21017,100a S ==（1）求数列的通项公式；{}n a n a （2）若数列满足，求数列的前n 项和.{}n b (1)nn n b a n =-+A {}n b n T。

求和公式是怎么样的求和公式有哪几种求和公式是数学中常见的一种表示方法，用于计算一系列数值之和。

在数学中，求和公式的形式和用途多种多样，下面将介绍一些常见的求和公式及其应用场景。

一、等差数列求和公式：等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。

常用的等差数列求和公式如下：\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]其中，\( S_n \) 表示等差数列前 n 项之和，\( a_1 \) 表示等差数列的首项，\( a_n \) 表示等差数列的末项，n 表示等差数列的项数。

例如，对于等差数列 1，3，5，7，9，求前 4 项之和，可使用等差数列求和公式进行计算：\[ S_4 = \frac{4}{2}(1 + 9) = 20 \]二、等比数列求和公式：等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列。

常用的等比数列求和公式如下：\[ S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \]其中，\( S_n \) 表示等比数列前 n 项之和，\( a_1 \) 表示等比数列的首项，q 表示等比数列的公比，n 表示等比数列的项数。

例如，对于等比数列 2，6，18，54，求前 3 项之和，可使用等比数列求和公式进行计算：\[ S_3 = \frac{2(1-3^3)}{1-3} = -26 \]三、级数求和公式：级数是指将数列的各项按照一定规律相加的运算。

常用的级数求和公式如下：\[ S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i \]其中，\( S_n \) 表示级数前 n 项之和，\( a_i \) 表示级数的第 i 项，n 表示级数的项数。

根据级数的性质，我们可以获得一些特殊的级数求和公式，如等差数列求和公式和等比数列求和公式。

四、其他求和公式：除了上述常见的求和公式，数学中还存在其他类型的求和公式，如调和级数求和公式、幂级数求和公式等。

这些求和公式在不同的数学领域和问题中起着重要的作用。

数列求和是知识掌握的重点，下面是为大家带来的数列求和教案，希望能帮助到大家!数列求和教案篇一汉滨高中李安锋教学目标:知识目标①复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;②记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;③学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。

能力目标培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。

情感目标培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界. 教学重点与难点教学重点等差等比数列求和及特殊数列求和的常用方法教学难点分析具体数列的求和方法及实际求解过程.教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. 学法指导为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法(1)自主性学习法,(2)探究性学习法,(3)巩固反馈法,教学过程(一)情景导入复习回顾:等差数列和等比数列的前n项和公式?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 等差数列求和公式Sn?22(q?1)?na1? 等比数列求和公式Sna1(1?qn)a1?anq ?(q?1)?1?q?1?q 教师引导学生回忆数列几种常见的求和方法?①公式法②分组求和法③裂项相消法④错位相减法(充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学)(二)自学指导若已知一个数列的通项,如何对其前n项求和?①an?3n ②an?3n?2n?1 ③an?n(n?1)④an?1 ⑤an?n?3n n(n?1)(通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,结合具体的实例、简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系)巩固检测题(1) a?a2?a3?an?________(2) 1+3+5+?+(2n+1)=(3)12?22?32n2?(复习等差与等比数列的求和公式:(1)中易忘讨论公比是否为1(2)中易错项数(3)与(4)是为用公式法求和作铺垫.)(三)例题展示例设Sn=1-3+5-7+9++101 求Sn分析: 拆并项求和思路? Sn=(1-3)+(5-7)+(9-11)+(97-99)+101=?Sn=1+(-3+5)+(-7+9)+(-11+13)+(-99+101)=? Sn=(1+5++101)-(3+7++99)=意图通过一题多解,开阔学生的思维.，分析①②③培养学生的拆项求和与并项求和的意识, 比较分析①②思考应留下。

第26讲-数列求和及数列的综合应用(解析版)第26讲-数列求和及数列的综合应用(解析版)数列是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将讨论数列求和的方法以及数列在各个领域中的综合应用。

一、数列求和方法介绍1.1 等差数列求和公式等差数列是数列中最常见的一种类型，它的每一项与前一项之差都相等。

对于一个等差数列a，其中首项为a1，公差为d，一共有n项。

那么等差数列的求和公式为：Sn = (n/2) * (2a1 + (n-1)d)其中Sn表示等差数列的前n项和。

1.2 等比数列求和公式等比数列是另一种常见的数列类型，它的每一项与前一项的比值都相等。

对于一个等比数列b，其中首项为b1，公比为q，一共有n项。

那么等比数列的求和公式为：Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中Sn表示等比数列的前n项和。

1.3 平方数列求和公式平方数列是指数列中每一项都是前一项的平方。

对于平方数列c，其中首项为c1，一共有n项。

那么平方数列的求和公式为：Sn = (2^(n+1) - 1) * c1其中Sn表示平方数列的前n项和。

二、数列的综合应用2.1 数列在几何问题中的应用数列在几何问题中有着广泛的应用。

比如，在计算几何中，我们经常需要计算等差数列的前n项和来求解某些图形的周长或面积。

在解答这类问题时，我们可以先通过观察找到数列的公差和首项，然后利用等差数列的求和公式求解。

2.2 数列在金融问题中的应用数列在金融问题中也有着重要的应用。

比如，在投资领域，我们经常需要计算等比数列的前n项和来求解复利问题或者计算某种投资的总收益。

同样地，我们可以通过观察数列的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式来进行计算。

2.3 数列在自然科学中的应用数列在自然科学中也扮演着重要的角色。

在物理学中，等差数列的前n项和可以用来计算运动物体的位移和速度。

在化学中，平方数列可以用来计算物质的化学计量位移。

三、总结数列求和方法为我们解决各类实际问题提供了有效的工具。

1到50的和的简便方法1到50的和的简便方法方法一：数列求和公式•首先，我们可以利用数列求和公式来快速计算1到50的和。

•数列求和公式是指当数列的首项为a，末项为b，共有n项时，数列的和为：S = (a + b) * n / 2•对于1到50的数列，首项a为1，末项b为50，共有50项，代入公式计算即可得到结果。

•所以，总和S = (1 + 50) * 50 / 2 = 25 * 51 = 1275。

方法二：逐个相加法•第二种方法是逐个相加法，即将1到50的所有数逐个相加。

•首先，我们先计算1加到10的和，得到55。

然后，我们计算11加到20的和，得到165。

以此类推，直到计算41加到50的和，得到455。

•最后，将这十个和相加即可得到1到50的和。

•所以，总和为55 + 165 + … + 455 = 1275。

方法三：等差数列求和公式•第三种方法是利用等差数列求和公式。

•1到50的数列是一个公差为1的等差数列，首项a为1，末项b 为50，共有50项。

•等差数列求和公式为：S = (n / 2) * (a + b)，其中n为项数。

•将公式代入，即可得到结果：S = (50 / 2) * (1 + 50) = 25 *51 = 1275。

方法四：巧用对称性•第四种方法是巧用对称性。

•我们观察到1加到50的和的对称性。

即第一个数1和倒数第一个数50相加等于51，第二个数2和倒数第二个数49相加等于51，以此类推。

•因此，总和即为51乘以一半的项数，即25个51，即总和为25 * 51 = 1275。

总结•通过数列求和公式、逐个相加法、等差数列求和公式和对称性这四种方法，我们可以简便地计算出1到50的和为1275。

•这些方法都有各自的特点，可以根据实际情况选择适合的方法来计算其他数列的和。

方法五：利用数列元素之和公式•第五种方法是利用数列元素之和公式。

•数列元素之和公式是指当数列的首项为a，末项为b，共有n项时，数列元素之和为：S = n * (a + b) / 2•对于1到50的数列，首项a为1，末项b为50，共有50项，代入公式计算即可得到结果。

第五节数列求和课程标准1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.考情分析考点考法:高考命题常以等差、等比数列为载体,考查裂项相消、错位相减求和等数列求和方法,涉及奇偶项的求和问题是高考的热点,常以解答题的形式出现.核心素养:数学建模、数学运算、逻辑推理.【核心考点·分类突破】考点一分组、并项、倒序相加求和[例1](1)数列112,214,318,…的前n项和为S n=()A.2-1B.(r1)2+2nC.(r1)2-12+1D.2-1【解析】选C.数列112,214,318,...的前n项和为S n=(1+2+3+...+n)+(12+14+18+ (12)=(r1)2+12(1-12)1-12=(r1)2-12+1.(2)设f(x)=21+2,则f(12024)+f(12023)+…+f(1)+f(2)+…+f(2024)=________.【解析】因为f(x)=21+2,所以f(x)+f(1)=1.令S=f(12024)+f(12023)+…+f(1)+f(2)+…+f(2024),①则S=f(2024)+f(2023)+…+f(1)+f(12)+…+f(12024),②所以2S=4047,所以S=40472.答案:40472(3)(2023·深圳模拟)已知公差为2的等差数列的前n项和为S n,且满足S2=a3.①若a1,a3,a m成等比数列,求m的值;②设b n=a n-2,求数列的前n项和T n.【解析】①由题意知数列是公差为2的等差数列,设公差为d,则d=2,又因为S2=a3,所以a1+a2=a3,即2a1+d=a1+2d,得a1=d=2,所以a n=a1+(n-1)d=2n(n∈N*).又因为a1,a3,a m成等比数列,即32=a1a m,所以36=2×2m,得m=9.②因为b n=a n-2=2n-4n,所以T n=(2×1-41)+(2×2-42)+…+(2×n-4n)=2×(1+2+…+n)-(41+42+…+4n)=2×(r1)2-4×(1-4)1-4=n(n+1)-43×(4n-1)=n2+n+43-4r13.【解题技法】分组转化与并项求和法(1)数列的项可以拆分成两类特殊数列,分别对这两类数列求和,再合并后即为原来的数列的前n项和;(2)数列的项具有一定的周期性,相邻两项或多项的和是一个有规律的常数,可以将数列分成若干组求和.【对点训练】1.已知数列的通项公式为a n=n cos(n-1)π,S n为数列的前n项和,则S2023=()A.1009B.1010C.1011D.1012【解题提示】将a n=n cos(n-1)π化为a n=n×-1-1,利用并项法求和.【解析】选D.因为当n为奇数时cos(n-1)π=1,当n为偶数时cos(n-1)π=-1,所以cos(n-1)π=-1-1,所以a n=n cos(n-1)π=n×-1-1.S2023=(1-2)+(3-4)+…+(2021-2022)+2023=-1011+2023=1012.2.设f(x)=44+2,若S=f(12024)+f(22024)+…+f(20232024),则S=________.【解析】因为f(x)=44+2,所以f(1-x)=41-41-+2=22+4,所以f(x)+f(1-x)=44+2+22+4=1.S=f(12024)+f(22024)+…+f(20232024),①S=f(20232024)+f(20222024)+…+f(12024),②①+②,得2S=[f(12024)+f(20232024)]+[f(22024)+f(20222024)]+…+[f(20232024)+f(12024)]=2023,所以S=20232.答案:202323.已知是公差d≠0的等差数列,其中a2,a6,a22成等比数列,13是a4和a6的等差中项;数列是公比q为正数的等比数列,且b3=a2,b5=a6.(1)求数列和的通项公式;(2)令c n=a n+b n,求数列的前n项和T n.【解析】(1)因为a2,a6,a22成等比数列,所以62=a2a22,即(1+5)2=(a1+d)(a1+21d)①.因为13是a4和a6的等差中项,所以a4+a6=26,即(a1+3d)+(a1+5d)=26②,由①②可得:a1=1,d=3,所以a n=1+(n-1)×3=3n-2,从而b3=a2=4,b5=a6=16.因为数列是公比q为正数的等比数列,所以b5=b3q2,即16=4q2,所以q=2,从而b n=b3q n-3=2n-1.(2)由于b n=2n-1,所以b1=1.因为c n=a n+b n,所以T n=c1+c2+…+c n=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(a n+b n)=(a1+a2+…+a n)+(b1+b2+…+b n)=+(-1)2×3+1-21-2=2n+32n2-12n-1.考点二裂项相消法求和[例2](1)已知函数f(x)=x a的图象过点(4,2),令a n=1(r1)+(),n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2025=________.【解析】由f(4)=2可得4a=2,解得a=12,则f(x)=12,所以a n=1(r1)+()==+1-,S2025=a1+a2+a3+…+a2025=(2-1)+(3-2)+(4-3)+…+(2025-2024)+(2026-2025)=2026-1.答案:2026-1(2)已知数列的各项均为正数,S n是其前n项的和.若S n>1,且6S n=2+3a n+ 2(n∈N*).①求数列的通项公式;②设b n=1r1,求数列的前n项和T n.【解析】①因为6S n=2+3a n+2,(i)n=1时,6S1=6a1=12+3a1+2,即12-3a1+2=0,解得a1=2或a1=1,因为S n>1,所以a1=2;(ii)n≥2时,由6S n=2+3a n+2,有6S n-1=-12+3a n-1+2,两式相减得6(S n-S n-1)=2--12+3a n-3a n-1,所以6a n=2--12+3a n-3a n-1,所以2--12-3a n-3a n-1=0,所以(a n+a n-1)(a n-a n-1)-3(a n+a n-1)=0,所以(a n+a n-1)(a n-a n-1-3)=0.因为数列的各项均为正数,所以a n+a n-1≠0,所以a n-a n-1-3=0,即a n-a n-1=3,综上所述,是首项a1=2,公差d=3的等差数列,所以a n=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1,所以数列的通项公式为a n=3n-1.②由①知a n=3n-1,所以a n+1=3(n+1)-1=3n+2,所以b n=1r1=1(3-1)(3r2)=13×(3r2)-(3-1)(3-1)(3r2)=13×(13-1-13r2),所以T n=13×(12-15)+13×(15-18)+13×(18-111)+…+13×(13-1-13r2)=13×(12-15+15-18+18-111+…+13-1-13r2)=13×(12-13r2)=13×3r2-22(3r2)=6r4,所以数列的前n项和T n=6r4.【解题技法】破解裂项相消求和的关键点(1)定通项:根据已知条件求出数列的通项公式.(2)巧裂项:根据通项公式的特征进行准确裂项,把数列的每一项,表示为两项之差的形式.(3)消项求和:通过累加抵消掉中间的项,达到消项的目的,准确求和.(4)常见的裂项结论:①设等差数列的各项不为零,公差为d(d≠0),则1r1=1(1-1r1);②142-1=12(12-1-12r1);③1(r1)(r2)=12(r1)(1-1r2)=12[1(r1)-1(r1)(r2)];④242-1=14(42-1)+1442-1=14+18(12-1-12r1);⑤a n=2(2+)(2r1+)=12+-12r1+;⑥a n=r12(r2)2=14[12-1(r2)2].提醒:要注意正负相消时,可以通过写出前几项观察消去规律的方法,确定消去了哪些项,保留了哪些项,不可漏写未被消去的项.【对点训练】1.{a n }是等比数列,a 2=12,a 5=116,b n =r1(+1)(r1+1),则数列{b n }的前n 项和为()A .2-12(2+1)B .2-12+1C .12+1D .2-12+2【解析】选A .a 5=a 2·q 3,所以q 3=18,所以q =12,a 1=1,所以a n =(12)n -1.b n =(12)[(12)-1+1][(12)+1]=1(12)+1-1(12)-1+1,所以b 1+b 2+b 3+…+b n =[1(12)1+1-1(12)0+1]+[1(12)2+1-1(12)1+1]+[1(12)3+1-1(12)2+1]+…+[1(12)+1-1(12)-1+1]=1(12)+1-12=2-12(2+1).2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=8,S n =r12-n -1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)n 项和T n .【解析】(1)因为a 2=8,S n =r12-n -1,所以a 1=S 1=22-2=2.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=r12-n -1-(2-n ),即a n +1=3a n +2.又a 2=8=3a 1+2,所以a n +1=3a n +2,n ∈N *,所以a n +1+1=3(a n +1),所以数列{a n +1}是等比数列,且首项为a 1+1=3,公比为3,所以a n +1=3×3n -1=3n ,所以a n =3n -1.(2)因为2×3=2×3(3-1)(3r1-1)=13-1-13r1-1,r1n 项和T n =(13-1-132-1)+(132-1-133-1)+…+(13-1-13r1-1)=12-13r1-1.考点三错位相减法求和[例3]已知数列中,a 1=8,且满足a n +1=5a n -2·3n .(1)证明:数列-3为等比数列,并求数列的通项公式;(2)若b n =n (a n -3n ),求数列的前n 项和S n .【解析】(1)因为a n +1=5a n -2·3n ,所以a n +1-3n +1=5a n -5·3n =5(a n -3n ),所以数列-3是以a 1-31=5为首项,以5为公比的等比数列,所以a n -3n =5×5n -1=5n ,所以a n =3n +5n .(2)因为a n =3n +5n ,所以b n =n (a n -3n )=n ×5n ,所以S n =b 1+b 2+b 3+…+b n ,即S n =1×51+2×52+3×53+…+n ×5n ①,所以5S n =1×52+2×53+3×54+…+n ×5n +1②,由①-②得:-4S n =1×51+1×52+1×53+…+1×5n -n ×5n +1,-4S n =5(1-5)1-5-n ×5n +1,化简得:S n =5+(4-1)×5r116.【解题技法】错位相减法求和的解题策略(1)巧分拆,即将数列的通项公式分拆为等差数列与等比数列积的形式,并求出公差和公比.(2)构差式,即写出S n的表达式,再乘公比或除以公比,然后将两式相减.(3)后求和,根据差式的特征准确进行求和.提醒:错位相减法求和的注意点①在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“S n-qS n”的表达式.②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果q=1,应用公式S n=na1.【对点训练】已知数列的前n项和为S n=3n2+8n-6,是等差数列,且a n=b n+b n+1(n≥2).(1)求数列和的通项公式;(2)令c n=b n·2n+2n+1,求数列的前n项和T n.【解析】(1)S n=3n2+8n-6,所以n≥2时,S n-1=3(n-1)2+8(n-1)-6,所以a n=S n-S n-1=6n+5.n=1时,a1=S1=5,不满足a n=6n+5,所以a n=5(=1)6+5(≥2);设的公差为d,a n=b n+b n+1(n≥2),所以a n-1=b n-1+b n(n≥3),所以a n-a n-1=b n+1-b n-1,所以2d=6,所以d=3.因为a2=b2+b3,所以17=2b2+3,所以b2=7⇒b1=4,所以b n=3n+1;(2)c n=3(n+1)2n,所以T n=3×2+3×22+…+(+1)2①,所以2T n=32×22+3×23+…+(+1)2r1②,①-②得,-T n=3[2×2+22+23+…+2n-(n+1)2n+1]+1)2r1=-3n·2n+1,所以T n=3n·2n+1,所以数列的前n项和T n=3n·2n+1.。

数列求和及其推导数列是数学中一个重要的概念，它以一定的规则依次排列的一组数的总称。

数列中的每一个数被称为项，项之间的规则通常被称为公式。

数列有很多种不同的类型，如等差数列、等比数列等等。

其中，数列求和是数学中一个重要的概念，本文将围绕数列求和及其推导展开探讨。

一、等差数列求和首先，我们来看等差数列求和。

对于一个公差为d的等差数列，其前n项的和为Sn = n * [2a1 + (n-1)d]/2，其中a1为首项，n为项数。

这个公式可以通过逐项相加得到，也可以通过推导得到。

推导过程如下：首先，将该数列反转，将首项变为末项，将末项变为首项，同时将正向公差变为负向公差。

[模板公式]S=a1+aN+a2+a(N-1)+......+a(N-2)+a3+a(N-1)+a2+aN+a1将式子两边相加，得到2S = (a1+aN) + (a2+a(N-1)) + ... + (a(N-2)+a3) + (a(N-1)+a2) + (aN+a1)2S = (n/2) * [a1 + aN]即S = n * [a1 + aN]/2其中，a1为首项，aN为末项，n为项数，公差d在推导中被省略了，因为反转后它的符号会改变。

这个公式可以用来计算各种等差数列的和，例如1, 3, 5, 7, 9的和为25，而-2, -5, -8, -11的和为-26。

等差数列求和是数学中一个很基础的概念，它的推导非常简单，但却很有用。

二、等比数列求和接下来，我们来看等比数列求和。

对于一个公比为q的等比数列，其前n项的和为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中a1为首项，n为项数，q不等于1。

这个公式同样可以通过逐项相加得到，也可以通过推导得到。

推导过程如下：由于公比不等于1，因此我们可以将数列中的每一个数都乘以公比q，得到一个新的数列：a1, a1*q, a1*q^2, ..., a1*q^(n-1)。

将原数列和新数列相减，得到[模板公式]S - qS = a1 - a1*q^n即S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，a1为首项，n为项数，q为公比。

数列求和公式总结数列是数学中一种基本的概念，它可以将多个数字按照一定的规律排列起来的结构，相当于是一种数字的列表。

数列中的数项JSJKL 按照一定的规律来排列，因此对于数列中的数项，可以使用数列求和公式来计算它们的总和。

数列求和公式具有多种类型，其中比较常见的有等差数列求和公式、等比数列求和公式、指数数列求和公式以及无穷数列求和公式。

等差数列是指公差d相等的数列，等差数列求和公式是比较常见的一种，其公式如下：Sn=n(a1+an)/2其中，Sn表示数列的和，a1为数列的首项，an为数列的末项，n为数列的项数。

例如，a1=2， an=18，n=8，则Sn=8(2+18)/2=88。

等比数列是指每一项比前一项的比例相同的数列。

等比数列求和公式为：Sn=a1(1-qn)/1-q其中，Sn表示数列的和，a1为数列的首项，q为数列的比例，n 为数列的项数。

例如，a1=2，q=1/2，n=6，则Sn=2(1-1/26)/1-1/2=28。

指数数列是指每一项以某种等比比例来计算的数列，指数数列求和公式为：Sn=a1(1-rn)/1-r其中，Sn表示数列的和，a1为数列的首项，r为数列的比例，n 为数列的项数。

例如，a1=2，r=1/4，n=4，则Sn=2(1-1/44)/1-1/4=14。

无穷数列是指数列中某一项到无穷大时，数列和也到无穷大。

无穷数列求和公式为：Sn=lim(n→∞)∑nk=1ak其中，Sn表示数列的和，ak为数列的项。

以上就是数列求和公式总结，不管是等差数列、等比数列、指数数列，还是无穷数列，都可以使用相应的求和公式来计算数列的总和，为了准确的计算出数列的总和，要认真的分析具体的数列，然后再使用相应的求和公式来计算。

汇总归纳小学数学中有关等差数列3个最重要的求和、求末项、求项数的万能公式
小学数学中有关等差数列的三个最重要的万能公式是求和、求末项和求项数。

在小学的计算题中，有时候会出现等差数列的问题，比如___巧算从1加到100的结果是多少。

下面介绍
三个重要的公式。

第一个公式是求等差数列的总和，公式为：等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2.比如，求1+2+3+4+5+……+100的总和，可以用这个公式很快算出：（1+100）×（100÷2）
=101×50=5050.练题：求下面的这个等差数列的总和：
10,13,16,19，……61.
第二个公式是求等差数列的末项，公式为：末项=首项+
公差×（项数－1）。

比如，16，21,26,31,36，……，问：这个
数列的第50个数（从16开始）是多少呢？根据公式，很快算出：16＋5×（50－1）＝261.假如，这道题要让你计算这50个
数的总和，可以根据已知的末项261和第一个公式求和公式，很容易算出总和：（16+261）×50÷2＝6925.
第三个公式是求等差数列的项数，公式为：项数=（末项－首项）÷公差＋1.比如，3，9,15,21,27，……1077（最后一个数），这个数列共多少个数？根据这个公式，（1077－3）÷6＋1=180，所以，这个数列共180个数。