2020-2021学年天津市红桥区九年级上学期期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年天津市滨海新区九年级(上)期中数学试卷一、选择题(共12小题，每小题3分，满分36分)1．二次函数y=(x﹣2)2﹣1图象的顶点坐标是()A．(﹣2，﹣1) B．(2，﹣1) C．(﹣2，1) D．(2，1)2．抛物线y=x2﹣4x+m的顶点在x轴上，则m的值等于()A．2 B．4 C．6 D．83．下列图案中，可以看作是中心对称图形的有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知二次函数y=﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y=a(x﹣h)2+k的形式，结果是()A．y=﹣(x﹣1)2﹣2 B．y=﹣(x﹣1)2+2 C．y=﹣(x﹣1)2+4 D．y=﹣(x+1)2﹣45．抛物线y=x2+6x+m与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为(﹣1，0)，那么另一个交点的坐标为()A．(1，0) B．(﹣5，0) C．(﹣2，0) D．(﹣4，0)6．如图，△ABC内接于圆O，AD是圆O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD的度数等于()A．45°B．50°C．55°D．60°7．如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD的中点，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转后得到△ABF，则EF的长等于()A．3 B． C．2 D．38．如图，Rt△ABC中，∠A=60°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C，斜边A1B1与CB相交于点D，且DC=AC，则旋转角∠ACA1等于()A．2020B．25°C．30°D．35°9．如图，圆O的直径AB为4，点C在圆O上，∠ACB的平分线交圆O于点D，连接AD、BD，则AD的长等于()A．2 B．3 C．2 D．210．已知二次函数y=x2+2x+2，图象的顶点为A，图象与y轴交于点B，O为坐标原点，则AB的长等于()A．1 B．C．D．11．如图，AB是圆O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠C+∠D等于()A．60°B．75°C．80°D．90°12．如图所示的二次函数y═ax2+bx+c的图象，下列结论:①b2﹣4ac＞0；②c＞1；③2a﹣b＜0；④a+b+c＜0，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(共6小题，每小题3分，满分18分)13．把抛物线y=x2向左平移3个单位，所得到的图象的函数解析式为．14．如图，△ABC内接于圆O，∠P=60°，弧=弧，则△ABC的特殊形状是．15．如图，圆O的弦AB垂直平分半径OC，若圆O的半径为4，则弦AB的长等于．16．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，则DF与AC的数量关系是．17．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC边上，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转得到△ACE，连接DE，则图中与∠BAD相等的角，除∠CAE外，还有角．(用三个字母表示该角)18．二次函数y=x2+bx图象的对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t为实数)在﹣1≤x≤3的范围内有解，则t的取值范围是．三、解答题(共7小题，满分66分)19．(8分)如图，已知二次函数y=﹣x2+bx﹣6的图象与x轴交于一点A(2，0)，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．20208分)点E在正方形ABCD外，BE=4，CE=2，∠BEC=135°，将△BEC绕点B逆时针旋转得到△BFA，求FE、FC的长．21．(10分)如图，ABCD是圆O的内接四边形，BC是圆O的直径，∠ACB=2020D为弧的中点，求∠DAC的度数．22．(10分)如图所示，BC是圆O的直径，点A、F在圆O上，连接AB、BF．(1)如图1，若点A、F把半圆三等分，连接OA，OA与BF交于点E．求证:E为OA的中点；(2)如图2，若点A为弧的中点，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，AD与BF交于点G．求证:AG=BG．23．(10分)一经销商按市场价收购某种海鲜1000斤放养在池塘内(假设放养期内每个海鲜的重量基本保持不变)，当天市场价为每斤30元，据市场行情推测，此后该海鲜的市场价每天每斤可上涨1元，但是平均每天有10斤海鲜死去．假设死去的海鲜均于当天以每斤2020价格全部售出．(1)用含x的代数式填空:①x天后每斤海鲜的市场价为元；②x天后死去的海鲜共有斤；死去的海鲜的销售总额为元；③x天后活着的海鲜还有斤；(2)如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售，加上已经售出的死去的海鲜，销售总额为y1，写出y1关于x的函数关系式；(3)若每放养一天需支出各种费用400元，写出经销商此次经销活动获得的总利润y2关于放养天数x 的函数关系式．24．(10分)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C，旋转角为ɑ(0°＜ɑ＜90°)，连接BB1．设CB1交AB于点D，A1B1分别交AB、AC于点E，F．(1)求证:△BCD≌△A1CF；(2)若旋转角ɑ为30°，①请你判断△BB1D的形状；②求CD的长．25．(10分)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(﹣3，6)，并与x轴交于点B(﹣1，0)和点C，与y轴交于点E，顶点为P，对称轴与x轴交于点D(Ⅰ)求这个二次函数的解析式；(Ⅱ)连接CP，△DCP是什么特殊形状的三角形？并加以说明；(Ⅲ)点Q是第一象限的抛物线上一点，且满足∠QEO=∠BEO，求出点Q的坐标．2020-2021学年天津市滨海新区九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题3分，满分36分)1．(2020秋•天津期中)二次函数y=(x﹣2)2﹣1图象的顶点坐标是()A．(﹣2，﹣1) B．(2，﹣1) C．(﹣2，1) D．(2，1)【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标．【解答】解:∵y=(x﹣2)2﹣1，∴顶点坐标为(2，﹣1)，故选B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x﹣h)2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为(h，k)．2．(2020秋•天津期中)抛物线y=x2﹣4x+m的顶点在x轴上，则m的值等于()A．2 B．4 C．6 D．8【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点，由条件可得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解:∵y=x2﹣4x+m=(x﹣2)2+m﹣4，∴抛物线顶点坐标为(2，m﹣4)，∵抛物线y=x2﹣4x+m的顶点在x轴上，∴m﹣4=0，解得m=4，故选B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x﹣h)2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为(h，k)．3．(2020•河西区二模)下列图案中，可以看作是中心对称图形的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【解答】解:第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形，第二个图形是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，综上所述，看作是中心对称图形的有3个．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．(2020秋•天津期中)已知二次函数y=﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y=a(x﹣h)2+k的形式，结果是() A．y=﹣(x﹣1)2﹣2 B．y=﹣(x﹣1)2+2 C．y=﹣(x﹣1)2+4 D．y=﹣(x+1)2﹣4【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解:y=﹣x2+2x﹣3=﹣(x2﹣2x+1)+1﹣3=﹣(x﹣1)2﹣2，故选A．【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)；(2)顶点式:y=a(x﹣h)2+k；(3)交点式(与x轴):y=a(x﹣x1)(x﹣x2)．5．(2020秋•天津期中)抛物线y=x2+6x+m与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为(﹣1，0)，那么另一个交点的坐标为()A．(1，0) B．(﹣5，0) C．(﹣2，0) D．(﹣4，0)【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】把(﹣1，0)代入抛物线y=x2+6x+m求出m的值，再令y=0，求出x的值即可．【解答】解:∵抛物线y=x2+6x+m与x轴的一个交点是(﹣1，0)，∴1﹣6+m=0，解得m=5，∴抛物线的解析式为y=x2+6x+5，∴令y=0，则x2+6x+5=0，解得x1=﹣1，x2=﹣5，∴另一交点坐标是(﹣5，0)．故选B．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键．6．(2020秋•天津期中)如图，△ABC内接于圆O，AD是圆O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD的度数等于()A．45°B．50°C．55°D．60°【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】根据圆周角定理，得∠ADC=∠ABC=30°，再根据AD是⊙O的直径，则∠ACD=90°，由三角形的内角和定理即可求得∠CAD的度数．【解答】解:∵∠ABC=30°，∴∠ADC=30°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠CAD=90°﹣30°=60°．【点评】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于90°，以及三角形的内角和定理．解题的关键是:根据圆周角定理，求得∠ADC=∠ABC=30°．7．(2020秋•天津期中)如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD的中点，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转后得到△ABF，则EF的长等于()A．3 B． C．2 D．3【考点】旋转的性质；正方形的性质．【专题】计算题．【分析】先利用勾股定理计算出AE，再根据旋转的性质得∠EAF=∠BAD=90°，AE=AF，则可判断△AEF为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质计算EF的长．【解答】解:∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=∠D=90°，在Rt△ADE中，AE===，∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转后得到△ABF，∴∠EAF=∠BAD=90°，AE=AF，∴△AEF为等腰直角三角形，∴EF=AE=．故选B．【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．(2020秋•天津期中)如图，Rt△ABC中，∠A=60°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C，斜边A1B1与CB相交于点D，且DC=AC，则旋转角∠ACA1等于()A．2020B．25°C．30°D．35°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】先根据旋转的性质得∠A1=∠A=60°，CA1=CA，由DC=AC得到CA1=CD，则可判断△A1CD 为等边三角形，所以∠A1CD=60°，然后利用互余计算出∠ACA1=∠ACB﹣∠A1CD的度数．【解答】解:∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C，∴∠A1=∠A=60°，CA1=CA，∴CA1=CD，∴△A1CD为等边三角形，∴∠A1CD=60°，∴∠ACA1=∠ACB﹣∠A1CD=90°﹣60°=30°．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．9．(2020秋•天津期中)如图，圆O的直径AB为4，点C在圆O上，∠ACB的平分线交圆O于点D，连接AD、BD，则AD的长等于()A．2 B．3 C．2 D．2【考点】圆周角定理．【分析】连接OD．利用直径所对的圆周角是直角及勾股定理求出AB的长，再根据角平分线的性质求出∠ACD=45°；然后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得∠AOD=90°；最后根据在等腰直角三角形AOD中利用勾股定理求AD的长度【解答】解:连接OD．∴∠ACB=∠ADB=90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴D点为半圆AB的中点，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD=AB÷=2cm．故选C．【点评】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质．解答该题时，通过作辅助线OD 构造等腰直角三角形AOD，利用其性质求得AD的长度的．10．(2020秋•天津期中)已知二次函数y=x2+2x+2，图象的顶点为A，图象与y轴交于点B，O为坐标原点，则AB的长等于()A．1 B．C．D．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点坐标，再求利B点坐标，可求得AB的长．【解答】解:∵y=x2+2x+2=(x+1)2+1，∴A(﹣1，1)，在y=x2+2x+2中，令x=0可得y=2，∴B(0，2)，∴AB==，【点评】本题主要考查二次函数的性质，由顶点式求得A点坐标、令x=0求得B点坐标是解题的关键．11．(2020秋•天津期中)如图，AB是圆O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠C+∠D等于()A．60°B．75°C．80°D．90°【考点】圆周角定理．【分析】连接OE，根据圆周角定理即可求出答案．【解答】解:连接OE，根据圆周角定理可知:∠C=∠AOE，∠D=∠BOE，则∠C+∠D=(∠AOE+∠BOE)=90°，故选D．【点评】本题主要考查了圆周角定理，解题要掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．12．(2020秋•天津期中)如图所示的二次函数y═ax2+bx+c的图象，下列结论:①b2﹣4ac＞0；②c＞1；③2a﹣b＜0；④a+b+c＜0，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线与x轴有两个交点，可判断①，利用抛物线与y轴的交点的位置可判断②，由对称轴可判断③，利用当x=1时y＜0可判断④，可得答案．【解答】解:∵抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；∵当x=0时，0＜y＜1，∴c＜1，故②错误；∵﹣＞﹣1，且开口向下，即a＜0，∴b＞2a，即2a﹣b＜0，故③错误；∵当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故④正确；∴正确的有2个，故选B．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数中a、b、c与抛物线的图象的对应关系是解题的关键．二、填空题(共6小题，每小题3分，满分18分)13．(2020秋•天津期中)把抛物线y=x2向左平移3个单位，所得到的图象的函数解析式为y=x2+3x+．．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】据二次函数图象左加右减的平移规律进行求解．【解答】解:抛物线y=x2向左平移3个单位，得:y=(x+3)2；即y=x2+3x+．故答案为y=x2+3x+．【点评】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．14．(2020秋•天津期中)如图，△ABC内接于圆O，∠P=60°，弧=弧，则△ABC的特殊形状是等边三角形．【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】在同圆或等圆中，由弧相等则弦相等得:AC=BC，根据同弧所对的圆周角相等得:∠P=∠C=60°，所以△ABC是等边三角形．【解答】解:∵弧=弧，∴AC=BC，∵∠P=∠C，∠P=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形，故答案为:等边三角形．【点评】本题考查了三角形的外接圆，熟练掌握以下知识点:①在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弧有一组量相等，则其它各组量都相等，②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，③同弧所对的圆周角相等．15．(2020秋•天津期中)如图，圆O的弦AB垂直平分半径OC，若圆O的半径为4，则弦AB的长等于4．【考点】垂径定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理．【分析】连接OA，根据弦AB垂直平分半径OC可求出OE的长，再由勾股定理求出AE的长，进而可得出结论．【解答】解:连接OA，∵弦AB垂直平分半径OC，OC=4，∴OE=OC=2．∵OA2=OE2+AE2，即42=22+AE2，解得AE=2，∴AB=2AE=4．故答案为:4．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16．(2020秋•天津期中)如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE 绕点E旋转180°得到△CFE，则DF与AC的数量关系是DF=AC．【考点】旋转的性质；三角形中位线定理．【分析】根据三角形中位线和线段中点得出DE=BC，AE=AC，推出AE=DE，根据旋转的性质得出全等，推出AE=EC，DE=EF，推出AC=DF．【解答】解:∵AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE=BC，AE=AC，∵AC=BC，∴AE=DE，∵将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，∴△ADE≌△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴AE=CE=DE=EF，∴AC=DF．故答案为:DF=AC．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及三角形中位线定理的运用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．熟练掌握旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小是解题的关键．17．(2020秋•天津期中)如图，△ABC是等边三角形，点D在BC边上，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转得到△ACE，连接DE，则图中与∠BAD相等的角，除∠CAE外，还有角∠EDC．(用三个字母表示该角)【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】利用旋转的性质、等边三角形的性质和三角形外角定理进行解答．【解答】解:图中与∠BAD相等的角，除∠CAE外，还有∠EDC．理由如下:∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60∠B=60°，又∵△ABD绕点A按逆时针方向旋转得到△ACE，∴∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°．又∵AD=AE，∴△DAE是等边三角形，∴∠ADE=60°．∴∠B=∠ADE=60°，∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∴∠BAD=∠EDC．故答案是:∠EDC．【点评】本题考查了旋转的性质和等边三角形的性质．根据题意推知△DAE是等边三角形是解题的难点．18．(2020秋•天津期中)二次函数y=x2+bx图象的对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx ﹣t=0(t为实数)在﹣1≤x≤3的范围内有解，则t的取值范围是﹣1≤t≤3．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到x=1、3时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx﹣t=0(t 为实数)在﹣1＜x＜3的范围内有解相当于y=x2+bx与y=t在x的范围内有交点解答．【解答】解:对称轴为直线x=﹣=1，解得b=﹣2，所以，二次函数解析式为y=x2﹣2x，y=(x﹣1)2﹣1，x=1时，y=1+2=﹣1，x=3时，y=9﹣2×3=3，∵x2+bx﹣t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，∴当﹣1≤t＜3时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．故答案为:﹣1≤t≤3【点评】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．三、解答题(共7小题，满分66分)19．(8分)(2020秋•天津期中)如图，已知二次函数y=﹣x2+bx﹣6的图象与x轴交于一点A(2，0)，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】由点A的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式，根据二次函数的解析式即可找出抛物线的对称轴，从而得出点C的坐标，再将x=0代入二次函数解析式求出点B的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解:将A(2，0)代入函数y=﹣x2+bx﹣6，得:0=﹣2+2b﹣6，解得:b=4，∴二次函数解析式为y=﹣x2+4x﹣6．当x=0时，y=﹣6，∴B(0，﹣6)，抛物线对称轴为x=﹣=4，∴C(4，0)，=AC•OB=×(4﹣2)×6=6．∴S△ABC【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．20208分)(2020秋•天津期中)点E在正方形ABCD外，BE=4，CE=2，∠BEC=135°，将△BEC绕点B逆时针旋转得到△BFA，求FE、FC的长．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】先由旋转的性质，得出△ABF≌△CBE进而得出BE=BF，再由正方形的得出∠EBF=∠CBE+∠CBF=90°，判断出△BEF为等腰Rt△BEF，再判断出△BEF为等腰Rt△BEF，用勾股定理即可得出结论．【解答】解:由旋转的性质可得:△ABF≌△CBE，所以∠ABF=∠CBE，BE=BF，因为正方形ABCD所以∠ABC=∠ABF+∠CBF=90°，所以∠EBF=∠CBE+∠CBF=90°，所以△BEF为等腰Rt△BEF根据勾股定理:EF=4，因为∠BEC=135°，∠BEF=45°，所以∠CEF=90°．所以△BEF为等腰Rt△BEF根据勾股定理:CF=6．【点评】此题是旋转的性质，主要考查了正方形性质，勾股定理解本题的关键是判断出△BEF，△BEF为都等腰Rt△BEF．21．(10分)(2020秋•天津期中)如图，ABCD是圆O的内接四边形，BC是圆O的直径，∠ACB=2020D 为弧的中点，求∠DAC的度数．【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得到∠BAC=90°，求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D=110°，根据圆心角、弧、弦三者的关系定理解答即可．【解答】解:∵BC为圆O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠B=90°﹣2020700．∵四边形ABCD为圆O内接四边形，∴∠B+∠D=180°，∴∠D=110°．因为D为弧AC中点，∴=，∴∠DAC=35°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．22．(10分)(2020秋•天津期中)如图所示，BC是圆O的直径，点A、F在圆O上，连接AB、BF．(1)如图1，若点A、F把半圆三等分，连接OA，OA与BF交于点E．求证:E为OA的中点；(2)如图2，若点A为弧的中点，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，AD与BF交于点G．求证:AG=BG．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】(1)先求出∠AOB的度数，故可判断出△OAB为等边三角形，再由A为弧BF中点可得出OA⊥BF，进而可得出结论；(2)连接AF，AC，根据弧相等可得出∠C=∠ABF，由圆周角定理可得出∠BAC=90°，再由直角三角形的性质得出∠ABG=∠BAG，进而可得出结论．【解答】证明:(1)∵A、F为半圆三等分点，∴∠AOB=×180°=60°，∵OA=OB，∴△OAB为等边三角形．∵A为弧BF中点，∴OA⊥BF，∴BE平分OA，∴E为OA中点．(2)连接AF，AC，∵A为弧BF中点，∴=，∴∠ABF=∠F．∵=，∴∠C=∠F，∴∠C=∠ABF．∵BC为圆O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°．∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD=90°，∴∠ABG=∠BAG，∴AG=BG．【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．(10分)(2020秋•天津期中)一经销商按市场价收购某种海鲜1000斤放养在池塘内(假设放养期内每个海鲜的重量基本保持不变)，当天市场价为每斤30元，据市场行情推测，此后该海鲜的市场价每天每斤可上涨1元，但是平均每天有10斤海鲜死去．假设死去的海鲜均于当天以每斤2020价格全部售出．(1)用含x的代数式填空:①x天后每斤海鲜的市场价为(30+x)元；②x天后死去的海鲜共有10x斤；死去的海鲜的销售总额为2020元；③x天后活着的海鲜还有1000﹣10x斤；(2)如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售，加上已经售出的死去的海鲜，销售总额为y1，写出y1关于x的函数关系式；(3)若每放养一天需支出各种费用400元，写出经销商此次经销活动获得的总利润y2关于放养天数x 的函数关系式．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】(1)直接根据题意得出x天后海鲜的市场价以及x天后活着的海鲜斤数；(2)根据活着海鲜的销售总额+死去海鲜的销售总额得出答案；(3)根据每放养一天需支出各种费用400元，再减去成本得出答案．【解答】解:(1)由题意可得:①x天后每斤海鲜的市场价为:(30+x)元；②x天后死去的海鲜共有:10x斤；死去的海鲜的销售总额为:2020元；③x天后活着的海鲜还有:(1000﹣10x)斤；故答案为:30+x；10x；2020；1000﹣10x；(2)根据题意可得:y1=(1000﹣10x)(30+x)+2020=﹣10x2+900x+30000；(3)根据题意可得:y2=y1﹣30000﹣400x=﹣10x2+500x=﹣10(x﹣25)2+6250，当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确表示出销量与每斤的利润是解题关键．24．(10分)(2020秋•天津期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C，旋转角为ɑ(0°＜ɑ＜90°)，连接BB1．设CB1交AB于点D，A1B1分别交AB、AC于点E，F．(1)求证:△BCD≌△A1CF；(2)若旋转角ɑ为30°，①请你判断△BB1D的形状；②求CD的长．【考点】几何变换综合题．【分析】(1)根据已知条件，利用旋转的性质及全等三角形的判定方法，来判定三角形全等．(2)①根据旋转的性质和等腰三角形的判定与性质得到△BB1D是等腰三角形；②如图，过D作DG⊥BC于G，设DG=x，通过解直角三角形和已知条件BC=1列出关于x的方程，通过解方程求得x的值，然后易得CD=2x．【解答】(1)证明:∵AC=BC，∴∠A=∠ABC．∵△ABC绕点C逆时针旋转角α(0°＜α＜90°)得到△A1B1C，∴∠A1=∠A，A1C=AC，∠ACA1=∠BCB1=α．∴∠A1=∠CBD，A1C=BC．在△CBD与△CA1F中，，∴△BCD≌△A1CF(ASA)．(2)解:①△BB1D是等腰三角形，理由如下:∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°．又由旋转的性质得到BC=B1C，则∠CB1B=∠CBB1，∴∠CB1B=∠CBB1===75°．∴∠B1BD=∠CBB1﹣∠CBA=75°﹣45°=30°，∴∠BDB1=480°﹣75°﹣30°=75°，∴∠BDB1=∠CB1B=∠DB1B=75°，∴BD=BB1，∴△BB1D是等腰三角形．②如图，过D作DG⊥BC于G，设DG=x，∵ɑ=30°，∠DBE=45°，∴BG=x，CG=x，∴x+x=1，解得x=，故CD=2x=﹣1．【点评】本题考查了几何变换综合题，其中涉及到了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质等知识点．本题中旋转的性质的利用可以帮我们得出很多关于全等三角形的判定的条件．25．(10分)(2020秋•天津期中)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(﹣3，6)，并与x轴交于点B(﹣1，0)和点C，与y轴交于点E，顶点为P，对称轴与x轴交于点D(Ⅰ)求这个二次函数的解析式；(Ⅱ)连接CP，△DCP是什么特殊形状的三角形？并加以说明；(Ⅲ)点Q是第一象限的抛物线上一点，且满足∠QEO=∠BEO，求出点Q的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】(Ⅰ)把A(﹣3，6)，B(﹣1，0)代入y=x2+bx+c，解方程组即可解决问题．(Ⅱ)结论:△DCP是等腰直角三角形．求出C、D、E三点坐标即可解决问题．(Ⅲ)如图，连接BE、DE．只要证明△EOB≌△EOD，得到∠DEO=∠BEO，所以直线DE与抛物线的交点即为所求的点Q．求出直线DE的解析式，解方程组即可．【解答】解:(Ⅰ)把A(﹣3，6)，B(﹣1，0)代入y=x2+bx+c，得到，解得，∴二次函数解析式为y=x2﹣x﹣．(Ⅱ)结论:△DCP是等腰直角三角形．理由:对于抛物线y=x2﹣x﹣，令y=0，则x2﹣x﹣=0，解得x=﹣1或3，∴点C坐标(3，0)，令x=0则y=﹣，∴点E坐标(0，﹣)，∵y=x2﹣x﹣=(x﹣1)2﹣2，∴顶点P坐标(1，﹣2)，点D坐标(1，0)，∴CD=PD=2，∵∠PDC=90°，∴△PDC是等腰直角三角形．(Ⅲ)如图，连接BE、DE．∵B(﹣1，0)，D(1，0)，E(0，﹣)，∴OB=OD，OE=OE，∠BOE=∠DOE，∴△EOB≌△EOD，∴∠DEO=∠BEO，∴直线DE与抛物线的交点即为所求的点Q．设直线DE的解析式为y=kx+b，则有，解得，∴直线DE的解析式为y=x﹣，由解得或，∴点Q坐标为(5，6)．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用解方程组求两个函数的交点坐标，所以中考常考题型．。

天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x2﹣2x﹣3=0 B．x2﹣2y﹣1=0 C．x2﹣x（x+3）=0 D．ax2+bx+c=02．将一元二次方程4x2+5x=81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．4，5，81 B．4，5，﹣81 C．4，5，0 D．4x2，5x，﹣813．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＞B．m=C．m＜D．m＜﹣5．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB=50°，那么∠AOB的度数是（）A．90°B．95°C．100° D．120°6．在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（）A．（3，2） B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）7．函数y=﹣x2+1的图象大致为（）A．B．C D．8．抛物线y=﹣x2+x﹣1，经过配方化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（）A．B．C． D．9．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣10．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OA交圆O于点F，则∠CBF等于（）A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°11．已知x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，记△=b2﹣4ac，M=（2ax1+b）2，则关于△与M大小关系的下列说法中，正确的是（）A．△＞M B．△=MC．△＜M D．无法确定△与M的大小12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x=3时，y=0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．已知方程x2+100x+10=0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于．14．将二次函数y=﹣x2+2x+4的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数的最大值为．15．如图，将Rt△ABC（∠B=25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于．16．某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，那么2011年的产量y与x间的关系式为（万件）．17．如图，直线L1∥L2，圆O与L1和L2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是L1和L2上的动点，MN沿L1和L2平移，圆O的半径为1，∠1=60°，当MN与圆相切时，AM的长度等于．18．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B 在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为．三、解答题（共7小题，满分66分）19．用适当的方法解下列方程：（1）x（x﹣1）=3﹣3x（2）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）20．如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C=60°．求证：△ABD为等边三角形．21．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中B点的坐标为（3，0）．（1）直接写出A点的坐标；（2）求二次函数y=ax2+bx﹣3的解析式．22．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．23．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为x米，则a=（用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？24．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．25．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．（1）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的角度；（2）试证明旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值；（3）折△MBN的周长为p，在旋转过程中，p值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x2﹣2x﹣3=0 B．x2﹣2y﹣1=0 C．x2﹣x（x+3）=0 D．ax2+bx+c=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：下列方程中，关于x的一元二次方程是x2﹣2x﹣3=0，故选A2．将一元二次方程4x2+5x=81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．4，5，81 B．4，5，﹣81 C．4，5，0 D．4x2，5x，﹣81【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．【解答】解：一元二次方程4x2+5x=81化为一般形式为4x2+5x﹣81=0，二次项系数，一次项系数，常数项4，5，﹣81，故选：B．3．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．故选C．4．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＞B．m=C．m＜D．m＜﹣【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜．故选C．5．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB=50°，那么∠AOB的度数是（）A．90°B．95°C．100° D．120°【考点】圆周角定理．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB=50°，∴∠AOB=100°．故选C．6．在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（）A．（3，2） B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．【解答】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，∵P点坐标为（﹣3，2），∴点P′的坐标（3，﹣2）．故选：D．7．函数y=﹣x2+1的图象大致为（）A．B．C． D．【考点】二次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵二次项系数a＜0，∴开口方向向下，∵一次项系数b=0，∴对称轴为y轴，∵常数项c=1，∴图象与y轴交于（0，1），故选B．8．抛物线y=﹣x2+x﹣1，经过配方化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（）A．B．C． D．【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：=﹣（x2﹣2x）﹣1=﹣ [（x﹣1）2﹣1]﹣1=﹣（x﹣1）2﹣．故选：C．9．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣【考点】二次函数的性质．【分析】选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c中，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；B、﹣=﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；C、y=x2+5x+4=﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；D、﹣=﹣，抛物线的对称轴是x=﹣，D正确．故选D．10．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OA交圆O于点F，则∠CBF等于（）A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°【考点】圆周角定理；平行四边形的性质；垂径定理．【分析】先根据平行四边形的性质得出AB=BC，故可得出△OAB是等边三角形，所以∠AOB=60°，再由OF⊥OA可知∠AOF=90°，OF⊥BC，故可得出∠BOF的度数，进而得出∠COF的度数，由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=BC，OA∥BC．∵OA=OC，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°．∵OF⊥OA，∴∠AOF=90°，OF⊥BC，∴∠BOF=∠COF=90°﹣60°=30°，∴∠CBF=∠COF=15°．故选B．11．已知x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，记△=b2﹣4ac，M=（2ax1+b）2，则关于△与M大小关系的下列说法中，正确的是（）A．△＞M B．△=MC．△＜M D．无法确定△与M的大小【考点】根的判别式．【分析】根据题意可以先对M化简，从而可以得到M和△的关系，本题得以解决．【解答】解：∵x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，∴ax12+bx1+c=0，∴ax12+bx1=﹣c，∴M=（2ax1+b）2==4a（ax12+bx1）+b2=4a÷（﹣c）+b2=b2﹣4ac=△，故选B．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x=3时，y=0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①由抛物线的顶点坐标的横坐标可得出抛物线的对称轴为x=1，结合抛物线的对称性及点A的坐标，可得出点B的坐标，由点B的坐标即可断定①正确；②由抛物线的开口向下可得出a＜0，结合抛物线对称轴为x=﹣=1，可得出b=﹣2a，将b=﹣2a代入3a+b中，结合a＜0即可得出②不正确；③由抛物线与y轴的交点的范围可得出c的取值范围，将（﹣1，0）代入抛物线解析式中，再结合b=﹣2a即可得出a的取值范围，从而断定③正确；④结合抛物线的顶点坐标的纵坐标为，结合a的取值范围以及c的取值范围即可得出n的范围，从而断定④正确．综上所述，即可得出结论．【解答】解：①由抛物线的对称性可知：抛物线与x轴的另一交点横坐标为1×2﹣（﹣1）=3，即点B的坐标为（3，0），∴当x=3时，y=0，①正确；②∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴抛物线的对称轴为x=﹣=1，∴b=﹣2a，3a+b=a＜0，②不正确；③∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3．令x=﹣1，则有a﹣b+c=0，又∵b=﹣2a，∴3a=﹣c，即﹣3≤3a≤﹣2，解得：﹣1≤a≤﹣，③正确；④∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），∴n==c﹣，又∵b=﹣2a，2≤c≤3，﹣1≤a≤﹣，∴n=c﹣a，≤n≤4，④正确．综上可知：正确的结论为①③④．故选C．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．已知方程x2+100x+10=0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于110．【考点】根与系数的关系．【分析】由根与系数的关系找出x1+x2=﹣100、x1•x2=10，将代数式x1x2﹣x1﹣x2变形为只含x1+x2、x1•x2的代数式，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵方程x2+100x+10=0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2=﹣100，x1•x2=10，∴x1x2﹣x1﹣x2=x1x2﹣（x1+x2）=10﹣（﹣100）=110．故答案为：110．14．将二次函数y=﹣x2+2x+4的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数的最大值为4．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣1）2+5，将该函数的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4，所以该抛物线顶点坐标是（1，4），所以所得图象对应函数的最大值为4．故答案是：4．15．如图，将Rt△ABC（∠B=25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于115°．【考点】旋转的性质．【分析】由三角形的外角性质得出∠BAB1=∠C+∠B=115°，即可得出结论．【解答】解：∵C，A，B1在同一条直线上，∠C=90°，∠B=25°，∴∠BAB1=∠C+∠B=115°，即旋转角等于115°．故答案为：115°．16．某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，那么2011年的产量y与x间的关系式为y=（1+x）2（万件）．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，即可得出2011年的产量y与x间的关系式为y=（1+x）2．【解答】解：∵某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，2009年产量为1万件，∴2010年产量为：1×（1+x）；2011年的产量y与x间的关系式为：y=1×（1+x）×（1+x）=（1+x）2；即：y=（1+x）2．故答案为：y=（1+x）2．17．如图，直线L1∥L2，圆O与L1和L2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是L1和L2上的动点，MN沿L1和L2平移，圆O的半径为1，∠1=60°，当MN与圆相切时，AM的长度等于或．【考点】切线的性质；平行线的性质；平移的性质．【分析】当MN在左侧与⊙O相切时，连接OM、OA，则OM平分∠1，在Rt△OAM中可求得AM；当MN在右侧与⊙O相切时，连接OM、OA，则OM平分∠AMN，在Rt△OAM中可求得MA的长，可求得答案．【解答】解：当MN在左侧与⊙O相切时，连接OM、OA，如图1，∵MA、MN是⊙O的切线，∴OM平分∠AMN，OA⊥MA，∴∠AMO=30°，∴OM=2OA=2，在Rt△OAM中，MA==；当MN在右侧与⊙O相切时，连接OM、OA，如图2，∵∠1=60°，∴∠AMN=120°，同上可知∠AMO=∠AMN=60°，∴OM=2AM，在Rt△OAM中，MA2=OM2﹣OA2，即MA2=4MA2﹣1，解得MA=；综上可知MA的长度为或，故答案为：或．18．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B 在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣x+．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先求出点A的坐标，再根据中位线定理可得顶点C的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出b的值，再求出点D的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，把点A、D的坐标代入进行计算即可得解．【解答】解：∵令x=0，则y=，∴点A（0，），根据题意，点A、B关于对称轴对称，∴顶点C的纵坐标为×=，即=，解得b1=3，b2=﹣3，由图可知，﹣＞0，∴b＜0，∴b=﹣3，∴对称轴为直线x=﹣=，∴点D的坐标为（，0），设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，则，解得，所以，y=x2﹣x+．故答案为：y=x2﹣x+．三、解答题（共7小题，满分66分）19．用适当的方法解下列方程：（1）x（x﹣1）=3﹣3x（2）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）将原方程移项、合并同类项即可得出（x﹣1）（x+3）﹣0，解之即可得出结论；（2）利用完全平方公式将原方程边形为2（x﹣1）2﹣3=0，开方后即可得出结论．【解答】解：（1）x（x﹣1）=3﹣3x=3（1﹣x），移项、合并同类项，得：（x﹣1）（x+3）﹣0，解得：x1=﹣3，x2=1；（2）2x2﹣4x﹣1=2（x2﹣2x）﹣1=2（x﹣1）2﹣3=0，∴（x﹣1）2=，解得：x﹣1=±，∴x1=1+，x2=1﹣．20．如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C=60°．求证：△ABD为等边三角形．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定．【分析】根据垂径定理求出AE=DE，根据线段垂直平分线性质得出BA=BD，根据圆周角定理求出∠D=60°，根据等边三角形判定推出即可．【解答】证明：∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，∴AE=DE，∴BD=BA，∵∠D=∠C=60°，∴△ABD为等边三角形．21．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中B点的坐标为（3，0）．（1）直接写出A点的坐标；（2）求二次函数y=ax2+bx﹣3的解析式．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）根据抛物线的对称性直接写出点A的坐标；（2）把点A、B的坐标分别代入函数解析式列出关于a、b的方程组，通过解方程组来求它们的值．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），∴A点横坐标为：=﹣1，∴A点的坐标为：（﹣1，0）；（2）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3得：，解得：．故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3．22．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【考点】根的判别式；等腰三角形的性质．【分析】（1）先计算判别式的值得到△=4k2﹣12k+9，配方得到△=（2k﹣3）2，根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）分类讨论：当b=c时，则△=（2k﹣3）2=0，解得k=，然后解方程得到b=c=2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程可解得k=，则方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后计算△ABC 的周长．【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×4（k﹣）=4k2+4k+1﹣16k+8，=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2，∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，∴无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）解：当b=c时，△=（2k﹣3）2=0，解得k=，方程化为x2﹣4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣）=0，解得k=，方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，所以△ABC的周长=4+4+2=10．23．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为x米，则a=（用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）根据通道宽度为x米，表示出a即可；（2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a=；故答案为：（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•=2430，解得x1=2，x2=38（不合题意，舍去）．答：中间通道的宽度为2米．24．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b 的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点D的坐标；（2）利用点A、B、C的坐标来求线段AB、AC、BC的长度，得到AC2+BC2=AB2，则由勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．利用待定系数法求得直线C′D的解析式，然后把y=0代入直线方程，求得．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线上，∴，解得，∴抛物线的解析式为．∵，∴顶点D的坐标为；（2）△ABC是直角三角形．理由如下：当x=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2），则OC=2．当y=0时，，∴x1=﹣1，x2=4，则B（4，0），∴OA=1，OB=4，∴AB=5．∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．设直线C′D的解析式为y=ax+b（a≠0），则，解得，∴．当y=0时，，则，∴．25．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．（1）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的角度；（2）试证明旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值；（3）折△MBN的周长为p，在旋转过程中，p值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）只要证明△AOM≌△CON，推出∠AOM=∠CON=22.5°即可解决问题．（2）如图2中，过点O作OF⊥MN于F，延长BA交y轴与E点，则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=45°﹣∠AOM．先证明△OAE≌△OCN（ASA），再证明△OME≌△OMN（SAS），推出∠OME=∠OMN，利用角平分线性质定理即可解决问题．（3）由（2）可知，MN=AM+CN，可以推出△BMN的周长为BA+BC是定值．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形OABC是正方形，∴∠BAC=∠BCA=45°，BA=BC，OA=OC，∠OAB=∠OCB=90°∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN，∴AM=CN．在△OAM与△OCN中，∴△OAM≌△OCN（SAS），∴∠AOM=∠CON，∴∠AOM=∠CON=22.50，∴MN∥AC时，旋转角为22.50．（2）证明：如图2中，过点O作OF⊥MN于F，延长BA交y轴与E点，则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=45°﹣∠AOM．∴∠AOE=∠CON．在△OAE与△OCN中，∴△OAE≌△OCN（ASA），∴OE=ON，AE=CN．在△OME与△OMN中，∴△OME≌△OMN（SAS），∴∠OME=∠OMN．∵MA⊥OA，MF⊥OF．∴OA=OF=2，∴在旋转过程中，高为定值．\（3）旋转过程中，p值不变化．理由：∵△OME≌△OMN，∴ME=MN，∵AE=CN，∴MN=ME﹣AM+AE=AM+CN．∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+AC=4．∴△MBN的周长p为定值．2017年1月19日。

2020-2021天津市九年级数学上期中试题(及答案)一、选择题1．如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°2．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0.其中所有正确的结论是()A．①③B．②③C．②④D．②③④4．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣5，﹣3） B．（﹣2，0） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）5．下列事件中，属于必然事件的是（）A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是 180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上6．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（）A ．310B ．925C ．425D ．110 7．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－2且3 8．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( ) A ．(3，4) B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4) 9．将函数y=kx 2与y=kx+k 的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（ ） A ． B ． C ． D ．10．设a b ，是方程220190x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．202011．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）A ．30ºB ．35ºC ．25ºD ．60º二、填空题13．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是______．14．关于x 的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a=15．如图，Rt ABC ∆中，已知90C =o ∠，55B ∠=o ，点D 在边BC 上，2BD CD =．把线段BD 绕着点D 逆时针旋转α（0180α<<o o ）度后，如果点B 恰好落在Rt ABC ∆的边上，那么α=__________．16．女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是 ．17．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．18．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．19．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 ．20．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若直角边AC ＝5，BC ＝12，则此三角形的内切圆半径为________．三、解答题21．2021年我省开始实施“ 3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（ 必考）， 物理和历史两个科目中任选 1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选 2门，共计6门科目，总分750 分， 假设小丽在选择科目时不考虑主观性． （1）小丽选到物理的概率为 ；（2）请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、 地理、 化学、生物四门科目中任选 2门选到化学、生物的概率．22．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ．（1）求证：△AEC ≌△ADB ；（2）若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．23．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A ：特别好，B ：好，C ：一般，D ：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．24．已知二次函数243y x x =-+.（1）求函数图象的顶点坐标，对称轴和与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象. （2）若1122(,),(,)A x y B x y 是函数243y x x =-+图象上的两点，且121x x <<，请比较12y y 、的大小关系（直接写出结果）.25．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A ，B 中，可随机选择其中的一个通过．（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A 通道通过的概率是 ；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC 的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理2．B解析：B【解析】连接OC ，∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC ，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选B.3．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧， ∴﹣2b a＞0， ∴b ＞0， ∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故②正确；③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确；④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．4．D解析：D【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。

2020-2021学年天津市红桥区九年级上学期数学期末试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）A. 两个小球的标号之和等于3B. 两个小球的标号之和等于6C. 两个小球的标号之和大于0D. 两个小球的标号之和等于1【答案】A【解析】【分析】分别利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．【详解】∵两个不透明的口袋中各有两个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于3，是随机事件，符合题意；两个小球的标号之和等于6，是不可能事件，不符合题意；两个小球的标号之和大于0，是必然事件，不符合题意；两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；故选：A．【点评】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，解决此类问题，要掌握三类事件的定义，学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．2. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20 50 100 200 400 1000“射中9环以上”的次数15 41 78 158 320 800“射中9环以上”的频率0.75 0.82 0.78 0.79 0.80 0.80根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率约是（ ）A. 0.75B. 0.82C. 0.78D. 0.80 【答案】D【解析】【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】解：根据表格数据可知：根据频率稳定在0.8，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.80．故选：D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是理解当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．3. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．【详解】解：A．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；B．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意；C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．4. 若x m+1+6x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）A. ﹣1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】利用一元二次方程的定义，可得出m+1＝2，解之即可得出m的值．【详解】解：∵x m+1+6x+1＝0是关于x的一元二次方程，∴m+1＝2， ∴m＝1． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．5. 如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为ABCD O BCD ∠120︒BOD ∠（ ）A. B. C. D.100︒110︒120︒130︒【答案】C 【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A＝180°−∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°， 故选：C ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6. 若x 2+5x+m ＝（x+n ）2，则m ，n 的值分别为（ ）． A. m ＝，n ＝B. m ＝，n ＝5 C. m ＝25，n ＝5 D. m ＝5，n25452254＝52【答案】A 【解析】【分析】根据完全平方公式和整式的性质计算，得到m 和n 的关系式，通过计算即可得到答案．【详解】∵x 2+5x+m ＝（x+n ）2＝x 2+2nx+n 2 ∴2n＝5，m ＝n 2∴m＝，n ＝25452故选：A ．【点睛】本题考查了整式、乘法公式、一元一次方程、乘方的知识；解题的关键是熟练掌握整式、完全平方公式的性质，从而完成求解． 7. 方程x 2+x-12=0的两个根为（ ） A. x 1=-2，x 2=6 B. x 1=-6，x 2=2C. x 1=-3，x 2=4D. x 1=-4，x 2=3 【答案】D 【解析】【分析】将x 2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论． 【详解】x 2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0 则x+4=0，或x﹣3=0 解得：x 1=﹣4，x 2=3． 故选D ．【点睛】考点：解一元二次方程-因式分解法8. 如图，AB 为⊙O 的切线，点A 为切点，OB 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，连接AD ，CD ，OA ，若∠ADC＝28°，则∠ABO 的大小（ ）A. 28°B. 34°C. 56°D. 62°【答案】B 【解析】【分析】根据切线的性质得∠OAB＝90°，再根据圆周角定理得到∠AOC＝56°，然后利用互余计算出∠ABO 的度数．【详解】解：∵AB 为⊙O 的切线，点A 为切点， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°，∵∠AOB＝2∠ADC＝2×28°＝56°， ∴∠ABO＝90°﹣∠AOB＝90°﹣56°＝34°．故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理．9. 参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛90场，设共有个队参加比赛，x 则下列方程正确的是（ ） A.B. ()11902x x +=()190x x +=C.D.()11902x x -=()190x x -=【答案】C 【解析】【分析】根据每个队都要和除自己以外的球队比一场，并且要考虑到重复的情况，那么比赛场次用x 表示应该是x(x −1) ． 12【详解】解：每个球队都要和除自己以外的球队比一场，∴一共是 x(x −1) 场，但是其中有重复的，∴实际上是 x(x −1) 场，可以列式 x(x −1)=90 ． 1212故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程．10. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式y ＝﹣0.2x 2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（ ） A. 3min B. 3.75minC. 5minD. 7.5min【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：根据题意：y ＝﹣0.2x 2+1.5x﹣2，当x ＝﹣ ＝3.75时，y 取得最大值，()1.520.2⨯-则最佳加工时间为3.75min ． 故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求最值问题是解题的关键． 11. 如图，半径为的扇形中，，为上一点，，10AOB 90AOB ∠=︒C AB CD OA ⊥，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为（ ）CE OB ⊥D E CDE ∠36︒A. B. C. D.10π9π8π6π【答案】A 【解析】【分析】本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC 面积减去扇形AOC 面积求解本题．【详解】连接OC 交DE 为F 点，如下图所示： 由已知得：四边形DCEO 为矩形． ∵∠CDE=36°，且FD=FO ，∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE 面积等于△DCO 面积．．2290105410==10360360AOB AOC S S S πππ∙∙∙∙--=阴影扇形扇形故选：A ．【点睛】本题考查几何面积求法，在扇形或圆形题目中，需要构造辅助线利用割补法，即大图形面积减去小图形面积求解题目，扇形面积公式为常用工具．12. 如图，二次函数y ＝a +bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴的正半轴2x 交于点C ，它的对称轴为直线x ＝﹣1．有下列结论：①abc＞0；②4ac﹣＞0；③c﹣a＞2b 0；④当x ＝﹣﹣2（n 为实数）时，y≥c．其中，正确结论的个数是（ ）2nA. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴的位置，二次函数的性质，二次函数的图像与x 轴的交点情况去分析判断即可．【详解】解：由图象开口向上，可知a ＞0， 与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c ＞0， 又对称轴为直线x ＝﹣1， ∴﹣＜0， 2ba∴b＞0， ∴abc＞0， 故①正确；∵二次函数y ＝a +bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点， 2x ∴﹣4ac＞0， 2b ∴4ac﹣＜0， 2b 故②错误； ∵﹣＝﹣1， 2ba∴b＝2a ，∵当x ＝﹣1时，y ＝a﹣b+c＜0， ∴a﹣2a+c＜0， ∴c﹣a＜0， 故③错误；当x ＝﹣﹣2（n 为实数）时，2n y ＝a +bx+c ＝a +b （﹣﹣2）+c ＝a （+2）+c ， 2x 22(2)n --2n 2n 2n ∵a＞0，≥0，+2＞0， 2n 2n ∴y＝a （+2）+c≥c，2n 2n故④正确， 故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____． 【答案】37【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个， ∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是， 37故答案为． 37【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝． mn14. 如图，AB 为的直径，弦于点H ，若，，则OH 的长度为O CD AB ⊥10AB =8CD =__．【答案】3 【解析】【分析】连接OC ，由垂径定理可求出CH 的长度，在Rt△OCH 中，根据CH 和⊙O 的半径，即可由勾股定理求出OH 的长． 【详解】连接OC ，Rt△OCH 中，OC=AB=5，CH=CD=4； 1212由勾股定理，得：；3==即线段OH 的长为3． 故答案为：3．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．15. 若关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx+k 2﹣k+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】k ＞1 【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k ）2﹣4（k 2﹣k+1）＞0，求出k 的取值范围．【详解】解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△＝b 2﹣4ac＝（2k ）2﹣4（k 2﹣k+1）＝4k﹣4＞0， 解得k ＞1； 故答案为：k ＞1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．16. 已知⊙O 的周长为_____． 【答案】4π 【解析】【分析】如图，连接OA 、OB ，证出△AOB 是等边三角形，根据锐角三角函数的定义即可求得半径，然后求得周长即可． 【详解】如图所示，连接OA 、OB ， ∵多边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠AOB＝60°， ∵OA＝OB ，∴△AOB 是等边三角形， ∴∠OAM＝60°， ∴OM＝OA•sin∠OAM，∴OA＝＝2， sin 60OM︒∴⊙O 的周长为4π， 故答案为：4π．【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OA 是解决问题的关键．17. 当x ＞m 时，二次函数y ＝﹣x 2+3x 的函数值y 随x 的增大而减小，则实数m 的取值范围是_____． 【答案】m≥ 32【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当x 为何值时，y 随x 的增大而减小，从而可以得到m 的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+3x ＝﹣（x﹣）2+，3294∴当x≥时，y 随x 的增大而减小， 32∵当x ＞m 时，二次函数y ＝﹣x 2+3x 的函数值y 随x 的增大而减小， ∴m≥， 32故答案为：m≥． 32【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到ABC 108BAC ∠=︒ABC A ．若点恰好落在边上，且，则的度数为______．AB C ''△B 'BC AB CB ''=C '∠【答案】24︒【解析】【分析】根据旋转可得，由已知条件，根据等边对等角可得AB AB '=AB CB ''=，，根据三角形的外角性质可得，根据三角形B AC C '∠=∠AB B B '∠=∠2AB B C '∠=∠内角和可得，根据即可求得的度数1802BAB B '∠=︒-∠108BAC ∠=︒C '∠【详解】AB CB ''=B AC C '∴∠=∠2AB B C '∴∠=∠将绕点按逆时针方向旋转得到．ABC A AB C ''△，AB AB '∴=C C '∠=∠AB B B '∴∠=∠1802BAB B '∴∠=︒-∠1804C =︒-∠108BAC ∠=︒ 1802BAC CAB B AB C B ''∴∠=∠+∠=∠+︒-∠18041803C C C =∠+︒-∠=︒-∠24C ∴∠=︒24C '∴∠=︒故答案为：24︒【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．（1）请用画树形图或列表的方法写出两次取出的小球所能产生的全部结果；（2）求两次取出的小球标号相同的概率；（3）求两次取出的小球标号的和等于4的概率．【答案】（1）见解析；（2）；（3） 14316【解析】【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数即可；（2）两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．【详解】解：画树状图如图：共有16种等可能的结果数；（2）由树状图得：共有16种等可能的结果数，两次取出的小球标号相同的结果有4个， ∴两次取出的小球标号相同的概率为 ； 41=164（3）如图：共有16种等可能的结果数两次取出的小球标号的和等于4的有3种，∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为 ． 316【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20. 解下列关于x 的方程．（1）x （x+1）＝3x+3；（2）5x 2﹣3x＝x+1．【答案】（1）x 1＝﹣1，x 2＝3；（2）x 1＝1，x 2＝﹣0.2【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）先整理成一般式，再利用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）∵x（x+1）＝3x+3，∴x（x+1）﹣3（x+1）＝0，则（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3；（2）5x 2﹣3x＝x+1整理，得：5x 2﹣4x﹣1＝0，∴（x﹣1）（5x+1）＝0，则x﹣1＝0或5x+1＝0，解得x 1＝1，x 2＝﹣0.2．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21. 已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（Ⅰ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD 的长．【答案】（Ⅰ）求AC ＝8，BD ＝CD ＝；（Ⅱ）BD ＝5【解析】【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB 和△DCB 是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC 的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB 也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD ＝CD ＝ ；（Ⅱ）如图②，连接OB ，OD ．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD 是等边三角形，则BD ＝OB ＝OD ＝5．【详解】解：（Ⅰ）如图①，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB 中，BC ＝10，AB ＝6，∴由勾股定理得到：AC8==∵AD 平分∠CAB，∴ ， CDBD =∴CD＝BD ．在直角△BDC 中，BC ＝10，CD 2+BD 2＝BC 2，∴易求BD ＝CD ＝；（Ⅱ）如图②，连接OB ，OD ．∵AD 平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，12∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∴BD＝OB ＝OD ．∵⊙O 的直径为10，则OB ＝5，∴BD＝5．【点睛】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD 是等边三角形．22. 已知抛物线y ＝x 2﹣bx+c（b ，c 为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M （t﹣1，y 1），N （t ，y 2）在该抛物线上，当t ＜1时，比较y 1与y 2的大小；（3）若点P （m ，n ）在该抛物线上，求m﹣n 的最大值．【答案】（1）y ＝x 2﹣4x+3；（2）y 1＞y 2；（3）m ＝时，m﹣n 有最大值，最大值为 52134【解析】【分析】（1）利用顶点式直接写出抛物线的解析式；（2）根据二次函数的性质判断y 1与y 2的大小；（3）先用m 表示m﹣n 得到m﹣n＝﹣m 2+5m﹣3，然后配成顶点式，从而得到m﹣n 的最大值．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝x 2﹣bx+c（b ，c 为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线的解析式为y ＝（x﹣2）2﹣1，即y ＝x 2﹣4x+3；（2）∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，而t ＜1，∴点M （t﹣1，y 1），N （t ，y 2）对称轴的左侧的抛物线上，∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧y 随x 增大而减小，∵t﹣1＜t ，∴y 1＞y 2；（3）∵点P （m ，n ）在该抛物线上，∴n＝m 2﹣4m+3，∴m﹣n＝m﹣（m 2﹣4m+3）＝﹣m 2+5m﹣3＝﹣（m﹣）2+， 52134∴当m ＝时，m﹣n 有最大值，最大值为． 52134【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．23. 如图，是的外接圆，是的直径，．O ABC AB O DCA B ∠=∠（1）求证：是的切线；CD O （2）若，垂足为交于点F ；求证：是等腰三角形．DE AB ⊥,E DE AC DCF 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)连接OC ，由AB 是圆O 的直径得到∠BCA=90°，进一步得到∠A+∠B=90°，再根据已知条件，且∠A=∠ACO 即可证明∠OCD=90°进而求解；DCA B ∠=∠(2)证明，再由DE⊥AB，得到∠A+∠AFE=90°，进而得到90∠+∠=︒A DCA ∠DCA=∠AFE=∠DFC，得到DC=DF ，进而得到△DFC 为等腰三角形．【详解】解：(1)证明：连接，OC,OC OA =Q,OCA A ∴∠=∠为圆的直径，AB O90,BCA ∠=︒∴90,A B ∴∠+∠=o 又,DCA B ∠=∠Q90,OCA DCA OCD ∴∠+∠=∠=o,OC CD ∴⊥又点在圆上，C O 是的切线．CD ∴O (2)90,OCA DCA ∠+∠=o Q,OCA A ∠=∠90,A DCA ∴∠+∠=︒,DE AB ⊥90,A EFA ∴∠+∠=︒,DCA EFA ∴∠=∠又,EFA DFC ∠=∠Q,DCA DFC ∴∠=∠是等腰三角形．DCF ∴ 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定理是解决此类题的关键．24. 在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （2，0），点B （0，2），把△ABO 绕点B 逆时针旋转，得△A′BO′，点A ，O 旋转后的对应点为A′，O′．记旋转角为α．（1）如图①，当点O′落在边AB 上时，求点O′的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求AA′的长及点A′的坐标．【答案】（1）点O′的坐标为（）；（2）AA′＝，点A′的坐标为（，【解析】【分析】（1）根据点A （2，0），点B （0，2），可得△ABO 是等腰直角三角形，当点O′落在边AB 上时，α＝45°，可得点O′的横坐标为AB ，纵坐标为，即可得答案；12（2）根据勾股定理得AB ，由旋转性质可得∠A′BA＝60°，A′B＝AB ，继而得出AA′和点A′的坐标．【详解】解：（1）如图①，∵点A(2，0)，点B(0，2)，∴OA＝OB ＝2，△ABO 是等腰直角三角形，∴AB＝，当点O′落在边AB 上时，α＝45°，∴点，纵坐标为，∴点O′的坐标为)；（2）如图②，当α＝60°时，∴∠ABA′＝60°，AB ＝A′B，∴△ABA′为等边三角形，∴AA′＝A′B＝AB ＝，连接OA′，在△OBA′和△OAA′中，，OB OA OA OA A A A B '''=⎧='⎪⎨⎪=⎩∴△OBA′≌△OAA′（SSS ），∴∠BOA′＝∠AOA′，∠BA′O＝∠AA′O，∴直线OA′的函数解析式为y ＝x ，∴OA′⊥AB，，∴点A′的坐标为，．【点睛】本题主要考查旋转的性质及全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．25. 如图，抛物线交x 轴于，两点，与y 轴交于点C ，24y ax bx =++(3,0)A -(4,0)B AC ，BC ．M 为线段OB上的一个动点，过点M 作轴，交抛物线于点P ，交BC 于点PM x ⊥Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作，垂足为点N ．设M 点的坐标为，请用含m 的代数式表PN BC ⊥(,0)M m 示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2），当时，PN 有最大211433y x x =-++2PN =+2m =值，最大值为（3）满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：，()1,3Q ．Q 【解析】【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得点C 坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，然后用m 表示出PN ，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分别求解即可．【详解】解：（1）将，代入，得，解(3,0)A -(4,0)B 24y ax bx =++934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩之，得． 1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，抛物线的表达式为． 211433y x x =-++（2）由，得． 211433y x x =-++(0,4)C 将点、代入，得，解之，得． (4,0)B (0,4)C y kx b =+404k b b +=⎧⎨=⎩14k b =-⎧⎨=⎩所以，直线BC 的表达式为：．4y x =-+由，得，． (,0)M m 211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭4(),Q m m -+∴ 221114443333PQ m m m m m =-+++-=-+∵，∴．OB OC =45ABC OCB ∠=∠=︒∴．45PQN BQM ∠=∠=︒∴． 2214sin 4533PN PQ m m ⎫=︒=-+=+⎪⎭22)m =-∵ 0<∴当时，PN ． 2m =（3）存在，理由如下：由点，，知．(3,0)A -(0,4)C 5AC =①当时，过Q 作轴于点E ，易得AC CQ =QE y ⊥，222222[4(4)]2CQ EQ CE m m m =+=+--+=由，得（舍） 2225m =1m =2m =此时，点； Q ②当时，则．AC AQ =5AQ AC ==在中，由勾股定理，得．Rt AMQ △22[(3)](4)25m m --+-+=解之，得或（舍）1m =0m =此时，点；()1,3Q ③当时，CQ AQ =由，得（舍）． 2222[(3)](4)m m m =--+-+252m =综上知所述，可知满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：，．()1,3Q Q 【点睛】本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．。

2020-2021学年天津市红桥区九年级上学期数学期中试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A. B.3561x x -=-（）2310x y -+=C. D. 2270x x --=213x x=+【答案】C【解析】 【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此判断即可．【详解】解：A 、该方程中的未知数x 的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项不符合题意；B 、该方程中含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意；C 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；D 、该方程不属于整式方程，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：C ．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这20ax bx c ++=是在做题过程中容易忽视的知识点．2. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】据中心对称图形概念，逐项检验作答．【详解】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，只有选项B 可以看作是中心对称图形．故选：B ．【点睛】考查中心对称图形，容易题，错误原因是不会区分轴对称图形和中心对称图形．3. 一元二次方程化为一般形式后，，，的2531x x x -=+()200++=≠ax bx c a a b c 值分别是（ ）A. ，，B. ，， 5a =4b =-1c =-5a =4b =1c =C. ，，D. ，，4a =5b =-1c =5a =-4b =1c =-【答案】A【解析】【分析】直接利用移项、合并同类项，即可得出a ，b ，c 的值．【详解】一元二次方程化为一般形式后， 2531x x x -=+20ax bx c ++=，25410x x --=则，，．5a =4b =-1c =-故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．4. 一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为269x +=（），则另一个一元一次方程为（ ）63x +=A. B. C. D. 63x -=-69x +=-69x +=63x +=-【答案】D【解析】【分析】利用直接开平方法求解可得答案．【详解】解：∵，269x +=（）∴x+6=3或x+6=-3，故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5. 用配方法解方程时，配方所得的方程为（ ）2640x x ++=A. B. C. D. ()235x +=()234-=x ()2313x +=()265x +=【答案】A【解析】【分析】把常数项4移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．【详解】解：∵，2640x x ++=∴，264x x +=-∴，即．2695x x ++=()235x +=故选：A ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6. 已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可x 20x px q ++=12x =23x =-化为（ ）A.B. ()()230x x ++=()()230+-=x xC.D. ()()230x x --=()()230x x -+=【答案】D【解析】【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程的两根分别为=2，=-3， 20x px q ++=1x 2x ∴2-3=-p，2×（-3）=q ，∴p=1，q=-6，∴原方程为，260x x +-=∴原方程可化为（x-2）（x+3）=0．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．7. 一元二次方程的两个根分别为和，则二次函数 20ax bx c ++=3-1-2y ax bx c =++的对称轴是（ ）A.B. C. D. 2x =-2x =3x =-1x =-【答案】A【解析】【分析】根据两根之和公式可以求出对称轴公式．【详解】解：∵一元二次方程的两个根为−3和−1， 20ax bx c ＋＋＝∴ ＝−4． 12b x x a-＋＝∴二次函数的对称轴为x ＝−＝． 2y ax bx c =++2b a ()114222b a ⎛⎫⨯-=⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A ．【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．8. 若点，，都在二次函数的图象上，则，1(3,)A y -()2B 2,y -()32,C y 223y x x =--1y ，的大小关系是（ ）2y 3y A. B. C. D. 123y y y <<213y y y <<321y y y <<312y y y <<【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x ＜1时，y 随x 的增大而减小，即可得出答案．【详解】解：∵，()222314y x x x =--=--∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1，C （2，）关于直线x=1的对称点是（0，），3y 3y ∵-3＜-2＜0＜1，∴＜＜，3y 2y 1y 故选：C ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．9. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（ ）A. x （x+1）=28B.12(1)28x x -=C.D. x （x-1）=28 (1)28x x +=12【答案】D【解析】 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设比赛组织者应邀请x 个队参赛， 根据题意得：x （x-1）=4×7， 12即x （x-1）=28． 12故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．10. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处．那么旋转的角度等于（ ）A. 55°B. 60°C. 65°D. 80°【答案】B【解析】 【详解】试题分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出△ABB 1是等边三角形，即可得出旋转角度．解：∵在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处，∴AB 1=BC ，BB 1=B 1C ，AB=AB 1，12∴BB 1=AB=AB 1，∴△ABB 1是等边三角形，∴∠BAB 1=60°，∴旋转的角度等于60°．故选B ．11. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A.B. C. D. 8101214【答案】B【解析】【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染了x 个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x （x+1）人，依题意列方程：1+x+x （1+x ）=121，解方程即可求解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，依题意得1+x+x （1+x ）=121，即，2(1)121x +=解方程得=10，=-12（舍去）．1x 2x 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1．E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH ，设小正方形EFGH 的面积为S ，AE 为，则S 关于的函数图象大致是（ ）x xA. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件可知，设为，则，AEH BFE CGF DHG △≌△≌△≌△AE x 1AH x =-根据勾股定理，进而可求出函数解析式，由此可求出答22222(1)EH AE AH x x =+=+-案．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，∴，，AB BC CD DA ===90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒又∵，AE BF CG DH ===∴，BE CF DG AH ===（SAS ）．AEH BFE CGF DHG ∴△≌△≌△≌△设为，则，AE x 1AH x =-根据勾股定理，得，22222(1)EH AE AH x x =+=+-即22(1)s x x =+-2221x x =-+22()1x x =-+ 2112(144x x =-+-+， 2112()22x =-+所求函数图象是一条开口向上的抛物线，对称轴是直线． ∴12x =由题意可知自变量的取值范围是．01x <<故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用以及二次函数的综合运用．关键是根据题意，列出函数关系式，判断二次函数的自变量取值范围，开口方向及对称轴．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 在平面直角坐标系中，为原点，将点绕点逆时针旋转得点，则点O ()2,0A O 90︒A 'A '的坐标为_____． 【答案】02（，）【解析】【分析】利用图象法，画出图形解决问题即可．【详解】解：如图，观察图象可知，A′（0，2）．故答案为：（0，2）．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．14. 二次函数的最大值为_______．22y x x =-+【答案】1【解析】【分析】根据二次函数的性质直接求解即可．【详解】解：22y x x =-+∵a=-1＜0∴当时有最大值 2=--12-2b x a ==即：2=-1211y +⨯=故答案为：1．【点睛】本题考查二次函数的最值，根据抛物线的开口方向，在时，函数有最值． =-2b x a 15. 若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的2610x x -+=()20x p q ++=p q +值为______．【答案】11-【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤得出p 、q 的值，据此可得答案．【详解】解：∵-6x+1=0，2x ∴-6x=-1，2x ∴-6x+9=-1+9，即，2x ()()2380x +-+-=⎡⎤⎣⎦∴p=-3，q=-8，则p+q=-3-8=-11，故答案为：-11．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16. 若，则关于的方程的实数根的个数为_______．2k ≥x 22210x k x k k -+-+=【答案】2【解析】【分析】计算根的判别式，根据k 的取值范围，得到判别式的取值范围，即可得到结论．【详解】解：∵，22210x k x k k -+-+=∴△= 22(2)4(1)k k k ---+=，4(1)k -因为，2k ≥所以，4(1)0k -＞故方程有两个不相等的实数根，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．17. 某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元，则2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为______【答案】10%【解析】【分析】设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为，根据题意列一元二次方程，x 解方程可得答案．【详解】解：设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为，则x()220000124200,x +=()21 1.21,x ∴+=或 1 1.1x ∴+=1 1.1,x +=-1210%, 2.1,x x ∴==-经检验：不合题意，舍去，2 2.1x =-答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%.故答案为：10%.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，增长率问题，掌握一元二次方程的增长率问题的解答是求解的关键．18. 若抛物线（为常数）与轴的两个交点都在轴的正半轴上，则的取2y x x k =--k x x k 值范围是______．【答案】## 104-<<k 0.250k -<<【解析】【分析】根据题意可得：抛物线与y 轴交于正半轴，从而 且()()2140k ∆=--⨯-> ，即可求解．0k ->【详解】解：设x 1，x 2是抛物线和x 轴的交点横坐标，∵抛物线y ＝x 2﹣x﹣k 与x 轴的两个交点都在x 轴正半轴上，∴ 且 ，()()2140k ∆=--⨯->12·0x x k =->解得：． 104-<<k 故答案为：． 104-<<k 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和图象，熟练掌握二次函数的性质和图象，运用数形结合思想是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． ABC ()50A ，()32B -，()13C --，（1）请在图中作出关于原点对称的，并写出各顶点的坐标；ABC A B C '''V A B C '''V （2）求的面积．A B C '''V S 【答案】（1）见解析 （2）的面积A B C '''V 8S =【解析】【分析】（1）先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点A′，点B′，点C′的坐标，然后描出点A′，点B′，点C′，最后顺次连接点A′，点B′，点C′即可；（2）根据△A′B′C′的面积等于其所在的长方形面积减去周围三个小三角形面积求解即可．【小问1详解】关于原点对称的图形如图所示．ABC点A 的对称点的坐标为； A '()50-，点的对称点的坐标为； B B '()32-，点的对称点的坐标为． C C '()13，【小问2详解】解：由题意可得： 11185256382222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯．18=【点睛】本题主要考查了画中心对称图形，关于原点对称的点的坐标特征，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征．20. 解下列关于的方程．x （1）；()2130x --=（2）．23620x x --=【答案】（1），11x =-21x =（2）， 1x =2x =【解析】【分析】（1）直接利用开平方的方法解方程即可；（2）利用公式法求解即可．【小问1详解】解：移项，得． 213x -=（）开方得：，1-=x解得，11x =-21x =【小问2详解】解：∵23620x x --=∴，，．3a =6b =-2c =-∴．()()2246432600b ac ∆=-=--⨯⨯-=>∴方程有两个不等的实数根∴ x =解得，． 1x =2x =【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．21. 已知关于的一元二次方程（为常数）．x 220x x m ++=m（1）若是该方程的一个实数根，求的值；1x =m （2）当时，求该方程的实数根；6m =-（3）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．m 【答案】（1）3m =-（2）， 132x =22x =-（3）的取值范围是 m 18m <【解析】 【分析】（1）代入x=1可得出关于m 的方程，解之即可得出m 的值；（2）代入m=-6，利用因式分解法解一元二次方程，即可得出方程的实数根；（3）根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围．【小问1详解】解：将x=1代入原方程，得：2+1+m=0，解得：m=-3，∴m 的值为-3；【小问2详解】解：当m=-6时，原方程为，2260x x +-=∴（2x-3）（x+2）=0，解得：=，=-2， 1x 322x ∴该方程得实数根为=，=-2； 1x 322x 【小问3详解】解：∵该方程有两个不相等的实数根，∴，21420m ∆=-⨯⨯>∴m＜， 18∴m 的取值范围为m ＜． 18【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）代入x=1求出m 值；（2）代入m 的值，解一元二次方程；（3）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”．22. 已知二次函数的图象为抛物线．243y x x =-+C （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；C （2）当时，求该二次函数的函数值的取值范围；23x -≤≤y （3）将抛物线先向左平移个单位长度，得到抛物线；再将抛物线向上平移个单C 11C 1C 2位长度，得到抛物线．请直接写出抛物线，对应的函数解析式．2C 1C 2C 【答案】（1）抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为C C 2x =()2,1-（2）函数值的取值范围是y 115y -≤≤（3）抛物线对应的函数解析式为；抛物线对应的函数解析式为1C 22y x x =-2C ．222y x x -=+【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质进行解题即可；（2）根据二次函数的增减性进行解题即可；（3）根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减进行解题即可．【小问1详解】解：∵，=10a >∴抛物线的开口向上．C ∵，224321y x x x =-+=--（）∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．C 2x =21-（，）【小问2详解】解：∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 22x -≤≤y x 23x ≤≤y x ∵当时，；当时，，x=2时，y=-1，2x =-15y =3x =0y =∴函数值的取值范围是：．y 115y -≤≤【小问3详解】解：∵抛物线向左平移个单位长度：，1222+11=2y x x x =---（）∴抛物线对应的函数解析式为；1C 22y x x =-∵再向上平移两个单位：222y x x -=+∴抛物线对应的函数解析式为．2C 222y x x -=+【点睛】本题考查二次函数的性质和平移．熟练掌握二次函数的性质和平移规律是解题的关键．23. 一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个30A ∠=︒90C ∠=︒12AB =矩形CDEF ，其中，点D ，E ，F ，分别在AC ，AB ，BC 上．设AE 的长为x ，矩形CDEF 的面积为S ．（1）写出S 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当矩形CDEF 的面积为AE 的长；（3）当AE 的长为多少时，矩形CDEF 的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1） ()2012CDEF S x x =+<<矩形（2）AE 的长为4或8（3）当点E 为AB 的中点时，矩形CDEF 的面积最大，最大面积是【解析】【分析】（1）先确定，再由矩形的性质得到，根据含30°角直角012x <<90AFE ∠=︒三角形的性质解得，，接着由勾股定理得到12EF AE =162BC AB ==，最后根据矩形的面AC ==CF AC AF AE =-=积公式解答即可；（2）由矩形CDEF 的面积为，再)26x -+=利用直接开平方解题；（3）利用配方法得到，据此解答． )26CDEF S x =-+矩形【小问1详解】解：解：∵，，点E 与点A 点B 均不重合，12AB =AE x =∴，012x <<∵四边形CDEF 是矩形，∴，90AFE ∠=︒∵，30A ∠=︒∴， 12EF AE =在中，，，，Rt ABC △90C ∠=︒30A ∠=︒12AB =∴， 162BC AB ==根据勾股定理得：AC ==∴， CF AC AF AE =-=∴； ()210122CDEF S CF EF x x x x ⎛⎫=⋅==+<< ⎪ ⎪⎝⎭矩形【小问2详解】根据题意得，2CDEF S x =+=矩形2(6)36x ⎡⎤--=⎣⎦， )26x -+=()264x -=62x ∴-=±解得：，，14x =28x =∴AE 的长为4或8； 【小问3详解】∵ ()2012CDEF S x =+<<矩形212)x x =-2221266)x x =-+-2(6)36x ⎤=--⎦， )26x =-+∴当时，矩形CDEF 的面积最大，6x =即当点E 为AB 的中点时，矩形CDEF 的面积最大，最大面积是．【点睛】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，涉及解一元二次方程、求二次函数的最值、矩形的性质、含30°角直角三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．24. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点Rt ABC △90ACB ∠=︒ABC C DEC 的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接．B E A D AB DE BC F BE（1）求证：平分；DC ADE ∠（2）试判断与的位置关系，并说明理由；BE AB （3）若， 求的大小（直接写出结果即可）．BE BD =ABC ∠【答案】（1）见解析 （2），理由见解析BE AB ⊥（3）的大小为ABC ∠22.5︒【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可；（2）结论：AB⊥BE．证明∠DBE+∠DCE=180°，即可解决问题；（3）连接AF ．过点B 作BH⊥CD 交CD 的延长线于H ，作BT⊥CE 于T ，证明△BHD≌△BTE，推出CB 是∠DCE 的角平分线，得到∠ACD=45°，据此求解即可解决问题．【小问1详解】证明：∵△DCE 是由△ACB 旋转得到，∴CA=CD，∠A=∠CDE，∴∠A=∠CDA，∴∠CDA=∠CDE，∴CD 平分∠ADE；【小问2详解】解：结论：BE⊥AB．由旋转的性质可知，∠ACD=∠BCE，∵CA=CD，CB=CE ，∴∠CAD=∠CDA=∠CBE=∠CEB，∵∠ABC+∠CAB+∠ACD+∠DCB=180°，∴∠ABC+∠CBE+∠DCB+∠BCE=180°，∴∠DCE+∠DBE=180°，∵∠DCE=90°，∴∠DBE=90°，∴BE⊥AB；【小问3详解】解：如图，连接AF ，过点B 作BH⊥CD 交CD 的延长线于H ，作BT⊥CE 于T ，∵∠H=∠BTC=∠HCT=90°，∴∠HBT=∠DBE=90°，∴∠DBH=∠EBT，∵BD=BE，∠H=∠BTE=90°，∴△BHD≌△BTE（AAS ），∴BH=BT，∵BH⊥CH，BT⊥CE，∴CB 是∠DCE 的角平分线， ∴∠DCB=∠ECB=∠DCE=45°，12∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠FCD=45°，∵AC=CD， ∴∠CAD=∠ADC==67.5°， 180452︒-︒∴∠ABC=90°-∠CAD=22.5°．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明△BHD≌△BTE．25. 已知抛物线（为常数，）交轴于点，点，26y ax bx =++a 0a ≠x ()6,0A ()1,0B -交轴于点．y C （1）求点的坐标和抛物线的解析式；C （2）是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴平行线，交直线于点，P AC P y ACD 当取得最大值时，求点的坐标；PD P（3）是抛物线的对称轴上一点，为抛物线上一点；当直线垂直平分的M l N AC AMN 边时，求点的坐标．MN N【答案】（1）y ＝−x 2＋5x ＋6，C （0，6）；（2）P （3，12）；（3）（）或72） 72【解析】【分析】（1）当x ＝0时，y ＝6，可求点C 坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）先求出直线AC 的解析式，再设D （t ，−t ＋6）（0＜t ＜6），知P （t ，−t 2＋5t ＋6），从而得PD ＝−（t −3）2＋9，据此可得答案；（3）先判断出NF∥x 轴，进而求出点N 的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线经过点A （6，0），B （−1，0）， 26y ax bx =++∴， 6036660a b a b -+=⎧⎨++=⎩∴， 15a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y ＝−x 2＋5x ＋6，当x ＝0时，y ＝6，∴点C （0，6）；（2）如图（1），∵A（6，0），C （0，6），∴直线AC 的解析式为y ＝−x ＋6，设D （t ，−t ＋6）（0＜t ＜6），则P （t ，−t 2＋5t ＋6），∴PD＝−t 2＋5t ＋6−（−t ＋6）＝−t 2＋6t ＝−（t −3）2＋9，当t ＝3时，PD 最大，此时，−t 2＋5t ＋6＝12，∴P（3，12）；（3）如图（2），设直线AC 与抛物线的对称轴l 的交点为F ，连接NF ，∵点F 在线段MN 的垂直平分线AC 上，∴FM＝FN ，∠NFC＝∠MFC，∵l∥y 轴，∴∠MFC＝∠OCA＝45°，∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，∴NF∥x 轴，由（2）知，直线AC 的解析式为y ＝−x ＋6，由（1）可知：抛物线的对称轴为直线x= 52当x ＝时，y ＝， 5272∴F（，）， 5252∴点N 的纵坐标为， 72设N 的坐标为（m ，−m 2＋5m ＋6），∴−m 2＋5m ＋6＝， 72或m∴点N ，，）． 7272【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD ＝PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键．。

2020-2021学年天津市九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在平面直角坐标系中，点P(4,−2)关于原点对称的点的坐标是()A. (−4,2)B. (4,2)C. (−2,4)D. (−4,−2)2.已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为()A. a>0，b>0B. a<0，b>0C. a>0，b<0D. a<0，b<03.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A. B. C. D.4.如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=40°，∠APD=75°，则∠B的度数是()A. 15°B. 40°C. 75°D. 35°5.在抛物线y=2x2−3x+1上的点是()A. (0,−1)B. (0,1)C. (−1,5)D. (3,4)6.二次函数y=2(x−1)(x−2)的图象与y轴的交点坐标是()A. (0,1)B. (0,2)C. (0,4)D. (0,−4)7.一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长是()A. 10mB. 12mC. 13mD. 14m8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BOD的度数为()A. 70°B. 90°C. 110°D. 140°9.抛物线y=x2−2x−3与x轴的交点个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.等边△ABC如图放置，A(1,1)，B(3,1)，等边三角形的中心是点D，若将点D绕点A旋转90°后得到点D′，则D′的坐标()A. (1+√33,0)B. (1−√33,0)或(1+√33,2)C. (1+√33,0)或(1−√33,2)D. (2+√33,0)或(2−√33,0)11.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是()A. AC=ADB. AB⊥EBC. BC=DED. ∠A=∠EBC12.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标为(1,n)，与y轴的交点在(0,2)与(0,3)之间(包含端点)，下列结论：①当x>3时，y<0；②−1≤a≤−2；③3≤n≤4；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．其3中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.方程x2−1=0的根为______ ．14.周长为10cm的长方形的一边长为xcm，其面积y(cm2)与x(cm)之间的关系式为______．15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC=_________．16.已知圆O的半径长为6，若弦AB=6√3，则弦AB所对的圆心角等于______ ．17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△ADE可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，点D与点B是对应点，点E与点C是对应点)，连接CE，则∠CED的度数是______．18.如图，线段AB的长为6，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作两个等边三角形△ACD和△BCE，连接DE，则DE的最小值是_____________．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.已知二次函数y=x2+bx−3(b是常数)(1)若抛物线经过点A(−1,0)，求该抛物线的解析式和顶点坐标；(2)P(m,n)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′，当点P′落在该抛物线上时，求m的值；(3)在−1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是−6，求b的值．四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）20.在同一坐标系中，画出下列二次函数的图象，并标出对称轴和顶点坐标(1)y=12(x+2)2−2(2)y=12(x−1)2+221.在方格纸中画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°后的△A′BC′．22.如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE=DF，求证：(1)△OEF是等腰三角形．(2)AC⏜=BD⏜．23.某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，每个支干长出的小分支是多少？24.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE。

九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。

2016-2017学年天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．x 2﹣2x ﹣3=0 B ．x 2﹣2y ﹣1=0 C ．x 2﹣x （x+3）=0D ．ax 2+bx+c=02．将一元二次方程4x 2+5x=81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A ．4，5，81B ．4，5，﹣81C ．4，5，0D ．4x 2，5x ，﹣81 3．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＞B ．m=C ．m ＜D ．m ＜﹣5．如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，已知∠ACB=50°，那么∠AOB 的度数是（ ）A ．90°B ．95°C ．100°D ．120°6．在平面直角坐标系中，把点P （﹣3，2）绕原点O 顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（ ） A ．（3，2） B ．（2，﹣3）C ．（﹣3，﹣2）D ．（3，﹣2）7．函数y=﹣x 2+1的图象大致为（ ）A ．B ．C D ．8．抛物线y=﹣x 2+x ﹣1，经过配方化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式是（ ）A ．B ．C ．D ．9．二次函数y=ax 2+bx+c ，自变量x 与函数y 的对应值如表：下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下B ．当x ＞﹣3时，y 随x 的增大而增大C ．二次函数的最小值是﹣2D ．抛物线的对称轴是x=﹣10．如图，点A 、B 、C 是圆O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥OA 交圆O 于点F ，则∠CBF 等于（ ）A ．12.5°B ．15°C ．20°D ．22.5°11．已知x 1是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的一个根，记△=b 2﹣4ac ，M=（2ax 1+b ）2，则关于△与M 大小关系的下列说法中，正确的是（ ）A ．△＞MB ．△=MC ．△＜MD ．无法确定△与M 的大小12．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x=3时，y=0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．已知方程x2+100x+10=0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于．14．将二次函数y=﹣x2+2x+4的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数的最大值为．15．如图，将Rt△ABC（∠B=25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于．16．某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，那么2011年的产量y与x间的关系式为（万件）．17．如图，直线L1∥L2，圆O与L1和L2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是L1和L2上的动点，MN沿L1和L2平移，圆O的半径为1，∠1=60°，当MN与圆相切时，AM的长度等于．18．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为．三、解答题（共7小题，满分66分）19．用适当的方法解下列方程：（1）x（x﹣1）=3﹣3x（2）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）20．如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C=60°．求证：△ABD为等边三角形．21．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，交y轴于C 点，其中B点的坐标为（3，0）．（1）直接写出A点的坐标；（2）求二次函数y=ax2+bx﹣3的解析式．22．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．23．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为x米，则a= （用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？24．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．25．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．（1）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的角度；（2）试证明旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值；（3）折△MBN的周长为p，在旋转过程中，p值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．2016-2017学年天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x2﹣2x﹣3=0 B．x2﹣2y﹣1=0 C．x2﹣x（x+3）=0 D．ax2+bx+c=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：下列方程中，关于x的一元二次方程是x2﹣2x﹣3=0，故选A2．将一元二次方程4x2+5x=81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．4，5，81 B．4，5，﹣81 C．4，5，0 D．4x2，5x，﹣81【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．【解答】解：一元二次方程4x2+5x=81化为一般形式为4x2+5x﹣81=0，二次项系数，一次项系数，常数项4，5，﹣81，故选：B．3．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．故选C．4．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＞B．m= C．m＜D．m＜﹣【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜．故选C．5．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB=50°，那么∠AOB的度数是（）A．90° B．95° C．100°D．120°【考点】圆周角定理．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB=50°，∴∠A OB=100°．故选C．6．在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（）A．（3，2）B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．【解答】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，∵P点坐标为（﹣3，2），∴点P′的坐标（3，﹣2）．故选：D．7．函数y=﹣x2+1的图象大致为（）A．B．C． D．【考点】二次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵二次项系数a＜0，∴开口方向向下，∵一次项系数b=0，∴对称轴为y轴，∵常数项c=1，∴图象与y轴交于（0，1），故选B．8．抛物线y=﹣x2+x﹣1，经过配方化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（）A．B．C． D．【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：=﹣（x2﹣2x）﹣1=﹣ [（x﹣1）2﹣1]﹣1=﹣（x﹣1）2﹣．故选：C．9．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣【考点】二次函数的性质．【分析】选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c中，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；B、﹣=﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；C、y=x2+5x+4=﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；D、﹣=﹣，抛物线的对称轴是x=﹣，D正确．故选D．10．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OA交圆O于点F，则∠CBF等于（）A．12.5°B．15° C．20° D．22.5°【考点】圆周角定理；平行四边形的性质；垂径定理．【分析】先根据平行四边形的性质得出AB=BC，故可得出△OAB是等边三角形，所以∠AOB=60°，再由OF⊥OA可知∠AOF=90°，OF⊥BC，故可得出∠BOF的度数，进而得出∠COF 的度数，由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=BC，OA∥BC．∵OA=OC，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°．∵OF⊥OA，∴∠AOF=90°，OF⊥BC，∴∠BOF=∠COF=90°﹣60°=30°，∴∠CBF=∠COF=15°．故选B．11．已知x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，记△=b2﹣4ac，M=（2ax1+b）2，则关于△与M大小关系的下列说法中，正确的是（）A．△＞M B．△=MC．△＜M D．无法确定△与M的大小【考点】根的判别式．【分析】根据题意可以先对M化简，从而可以得到M和△的关系，本题得以解决．【解答】解：∵x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，∴ax12+bx1+c=0，∴ax12+bx1=﹣c，∴M=（2ax1+b）2==4a（ax12+bx1）+b2=4a÷（﹣c）+b2=b2﹣4ac=△，故选B．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x=3时，y=0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①由抛物线的顶点坐标的横坐标可得出抛物线的对称轴为x=1，结合抛物线的对称性及点A的坐标，可得出点B的坐标，由点B的坐标即可断定①正确；②由抛物线的开口向下可得出a＜0，结合抛物线对称轴为x=﹣=1，可得出b=﹣2a，将b=﹣2a代入3a+b中，结合a＜0即可得出②不正确；③由抛物线与y轴的交点的范围可得出c的取值范围，将（﹣1，0）代入抛物线解析式中，再结合b=﹣2a即可得出a的取值范围，从而断定③正确；④结合抛物线的顶点坐标的纵坐标为，结合a的取值范围以及c的取值范围即可得出n的范围，从而断定④正确．综上所述，即可得出结论．【解答】解：①由抛物线的对称性可知：抛物线与x轴的另一交点横坐标为1×2﹣（﹣1）=3，即点B的坐标为（3，0），∴当x=3时，y=0，①正确；②∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴抛物线的对称轴为x=﹣=1，∴b=﹣2a，3a+b=a＜0，②不正确；③∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3．令x=﹣1，则有a﹣b+c=0，又∵b=﹣2a，∴3a=﹣c，即﹣3≤3a≤﹣2，解得：﹣1≤a≤﹣，③正确；④∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），∴n==c﹣，又∵b=﹣2a，2≤c≤3，﹣1≤a≤﹣，∴n=c﹣a，≤n≤4，④正确．综上可知：正确的结论为①③④．故选C．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．已知方程x2+100x+10=0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于110 ．【考点】根与系数的关系．【分析】由根与系数的关系找出x1+x2=﹣100、x1•x2=10，将代数式x1x2﹣x1﹣x2变形为只含x1+x2、x1•x2的代数式，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵方程x2+100x+10=0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2=﹣100，x1•x2=10，∴x1x2﹣x1﹣x2=x1x2﹣（x1+x2）=10﹣（﹣100）=110．故答案为：110．14．将二次函数y=﹣x2+2x+4的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数的最大值为4 ．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣1）2+5，将该函数的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4，所以该抛物线顶点坐标是（1，4），所以所得图象对应函数的最大值为4．故答案是：4．15．如图，将Rt△ABC（∠B=25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于115°．【考点】旋转的性质．【分析】由三角形的外角性质得出∠BAB1=∠C+∠B=115°，即可得出结论．【解答】解：∵C，A，B1在同一条直线上，∠C=90°，∠B=25°，∴∠BAB1=∠C+∠B=115°，即旋转角等于115°．故答案为：115°．16．某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，那么2011年的产量y与x间的关系式为y=（1+x）2（万件）．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，即可得出2011年的产量y 与x间的关系式为y=（1+x）2．【解答】解：∵某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，2009年产量为1万件，∴2010年产量为：1×（1+x）；2011年的产量y与x间的关系式为：y=1×（1+x）×（1+x）=（1+x）2；即：y=（1+x）2．故答案为：y=（1+x）2．17．如图，直线L1∥L2，圆O与L1和L2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是L1和L2上的动点，MN沿L1和L2平移，圆O的半径为1，∠1=60°，当MN与圆相切时，AM的长度等于或．【考点】切线的性质；平行线的性质；平移的性质．【分析】当MN在左侧与⊙O相切时，连接OM、OA，则OM平分∠1，在Rt△OAM中可求得AM；当MN在右侧与⊙O相切时，连接OM、OA，则OM平分∠AMN，在Rt△OAM中可求得MA的长，可求得答案．【解答】解：当MN在左侧与⊙O相切时，连接OM、OA，如图1，∵MA、MN是⊙O的切线，∴OM平分∠AMN，OA⊥MA，∴∠AMO=30°，∴OM=2OA=2，在Rt△OAM中，MA==；当MN在右侧与⊙O相切时，连接OM、OA，如图2，∵∠1=60°，∴∠AM N=120°，同上可知∠AMO=∠AMN=60°，∴OM=2AM，在Rt△OAM中，MA2=OM2﹣OA2，即MA2=4MA2﹣1，解得MA=；综上可知MA的长度为或，故答案为：或．18．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣x+．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先求出点A的坐标，再根据中位线定理可得顶点C的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出b的值，再求出点D的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，把点A、D的坐标代入进行计算即可得解．【解答】解：∵令x=0，则y=，∴点A（0，），根据题意，点A、B关于对称轴对称，∴顶点C的纵坐标为×=，即=，解得b1=3，b2=﹣3，由图可知，﹣＞0，∴b＜0，∴b=﹣3，∴对称轴为直线x=﹣=，∴点D的坐标为（，0），设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，则，解得，所以，y=x2﹣x+．故答案为：y=x2﹣x+．三、解答题（共7小题，满分66分）19．用适当的方法解下列方程：（1）x（x﹣1）=3﹣3x（2）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）将原方程移项、合并同类项即可得出（x﹣1）（x+3）﹣0，解之即可得出结论；（2）利用完全平方公式将原方程边形为2（x﹣1）2﹣3=0，开方后即可得出结论．【解答】解：（1）x（x﹣1）=3﹣3x=3（1﹣x），移项、合并同类项，得：（x﹣1）（x+3）﹣0，解得：x1=﹣3，x2=1；（2）2x2﹣4x﹣1=2（x2﹣2x）﹣1=2（x﹣1）2﹣3=0，∴（x﹣1）2=，解得：x﹣1=±，∴x1=1+，x2=1﹣．20．如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C=60°．求证：△ABD为等边三角形．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定．【分析】根据垂径定理求出AE=DE，根据线段垂直平分线性质得出BA=BD，根据圆周角定理求出∠D=60°，根据等边三角形判定推出即可．【解答】证明：∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，∴AE=DE，∴BD=BA，∵∠D=∠C=60°，∴△ABD为等边三角形．21．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，交y轴于C 点，其中B点的坐标为（3，0）．（1）直接写出A点的坐标；（2）求二次函数y=ax2+bx﹣3的解析式．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）根据抛物线的对称性直接写出点A的坐标；（2）把点A、B的坐标分别代入函数解析式列出关于a、b的方程组，通过解方程组来求它们的值．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，其中B 点的坐标为（3，0），∴A点横坐标为： =﹣1，∴A点的坐标为：（﹣1，0）；（2）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3得：，解得：．故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3．22．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【考点】根的判别式；等腰三角形的性质．【分析】（1）先计算判别式的值得到△=4k2﹣12k+9，配方得到△=（2k﹣3）2，根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）分类讨论：当b=c时，则△=（2k﹣3）2=0，解得k=，然后解方程得到b=c=2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程可解得k=，则方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后计算△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×4（k﹣）=4k2+4k+1﹣16k+8，=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2，∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，∴无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）解：当b=c时，△=（2k﹣3）2=0，解得k=，方程化为x2﹣4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣）=0，解得k=，方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，所以△ABC的周长=4+4+2=10．23．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为x米，则a= （用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）根据通道宽度为x米，表示出a即可；（2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a=；故答案为：（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•=2430，解得x1=2，x2=38（不合题意，舍去）．答：中间通道的宽度为2米．24．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b 的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点D的坐标；（2）利用点A、B、C的坐标来求线段AB、AC、BC的长度，得到AC2+BC2=AB2，则由勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．利用待定系数法求得直线C′D的解析式，然后把y=0代入直线方程，求得．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线上，∴，解得，∴抛物线的解析式为．∵，∴顶点D的坐标为；（2）△ABC是直角三角形．理由如下：当x=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2），则OC=2．当y=0时，，∴x1=﹣1，x2=4，则B（4，0），∴OA=1，OB=4，∴AB=5．∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．设直线C′D的解析式为y=ax+b（a≠0），则，解得，∴．当y=0时，，则，∴．25．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．（1）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的角度；（2）试证明旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值；（3）折△MBN的周长为p，在旋转过程中，p值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）只要证明△AOM≌△CON，推出∠AOM=∠CON=22.5°即可解决问题．（2）如图2中，过点O作OF⊥MN于F，延长BA交y轴与E点，则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=45°﹣∠AOM．先证明△OAE≌△OCN（ASA），再证明△OME≌△OMN（SAS），推出∠OME=∠OMN，利用角平分线性质定理即可解决问题．（3）由（2）可知，MN=AM+CN，可以推出△BMN的周长为BA+BC是定值．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形OABC是正方形，∴∠BAC=∠BCA=45°，BA=BC，OA=OC，∠OAB=∠OCB=90°∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN，∴AM=CN．在△OAM与△OCN中，∴△OAM≌△OCN（SAS），∴∠AOM=∠CON，∴∠AOM=∠CON=22.50，∴MN∥AC时，旋转角为22.50．（2）证明：如图2中，过点O作OF⊥MN于F，延长BA交y轴与E点，则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠C ON=45°﹣∠AOM．∴∠AOE=∠CON．在△OAE与△OCN中，∴△OAE≌△OCN（ASA），∴OE=ON，AE=CN．在△OME与△OMN中，∴△OME≌△OMN（SAS），∴∠OME=∠OMN．∵MA⊥OA，MF⊥OF．∴OA=OF=2，∴在旋转过程中，高为定值．\（3）旋转过程中，p值不变化．理由：∵△OME≌△OMN，∴ME=MN，∵AE=CN，∴MN=ME﹣AM+AE=AM+CN．∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+AC=4．∴△MBN的周长p为定值．。

2020-2021学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）A ．两个小球的标号之和等于3B ．两个小球的标号之和等于6C ．两个小球的标号之和大于0D ．两个小球的标号之和等于12．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20 50 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 41 78 158 320 800 “射中9环以上”的频率0.750.820.780.790.800.80根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率约是（ ） A ．0.75B ．0.82C ．0.78D ．0.803．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若x m +1+6x +1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．25．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BCD 为120°，则∠BOD 的度数为（ ） A ．100° B ．110° C ．120°D ．130°6．若x 2+5x +m ＝（x +n ）2，则m ，n 的值分别为（ ） A ．m ＝425，n ＝25 B ．m ＝425，n ＝5 C ．m ＝25，n ＝5 D ．m ＝5，n ＝257．方程x 2+x ﹣12＝0的两个根为（ ） A ．x 1＝﹣2，x 2＝6B ．x 1＝﹣6，x 2＝2C ．x 1＝﹣3，x 2＝4D ．x 1＝﹣4，x 2＝38．如图，AB 为⊙O 的切线，点A 为切点，OB 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上， 连接AD ，CD ，OA ，若∠ADC ＝28°，则∠ABO 的大小（ ） A ．28° B ．34°C ．56°D ．62°9．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x 个队参加比赛，则x 满足的关系式为（ ） A ．21x （x +1）＝90 B ．21x （x ﹣1）＝90C ．x （x +1）＝90D ．x （x ﹣1）＝9010．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式y ＝﹣0.2x 2+1.5x ﹣2，则最佳加工时间为（ ） A ．3minB ．3.75minC ．5minD ．7.5min11．如图，半径为10的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，C 为AB 上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．若∠CDE 为36°，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π第11题 第12题12．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝﹣1．有下列结论：①abc ＞0；②4ac ﹣b 2＞0；③c ﹣a ＞0；④当x ＝﹣n 2﹣2（n 为实数）时，y ≥c ． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．14．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，若AB ＝10，CD ＝8，则OH 的长度为 ．15．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +k 2﹣k +1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ． 16．已知⊙O 的内接正六边形的边心距为3，则⊙O 的周长为 ．⌒17．当x＞m时，二次函数y＝﹣x2+3x的函数值y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是．18．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．（1）请用画树形图或列表的方法写出两次取出的小球所能产生的全部结果；（2）求两次取出的小球标号相同的概率；（3）求两次取出的小球标号的和等于4的概率．20．解下列关于x的方程．（1）x（x+1）＝3x+3；（2）5x2﹣3x＝x+1．21．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．22．已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M（t﹣1，y1），N（t，y2）在该抛物线上，当t＜1时，比较y1与y2的大小；（3）若点P（m，n）在该抛物线上，求m﹣n的最大值．23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠DCA＝∠B．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，2），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′．记旋转角为α．（1）如图①，当点O′落在边AB上时，求点O′的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求AA′的长及点A′的坐标．25．抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB 上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。