东北大学材料科学基础课件10

根据边界条件 x ,

可以得到
x , C C2 2 Dt x x , , C C1 2 Dt
C2

0
Ae
2
d B A

2
B
C1

0
Ae
2
d B A

2
B

上式利用了高斯误差积分

10.1.1 菲克第一扩散定律及应用

菲克第一定律：在单位时间内通过垂直于扩散方向单 位截面积的物质流量（称为扩散通量）与该截面处的 浓度梯度成正比
C J D x

(10-1)
各点浓度不随时间变化的一维稳态扩散时
dC J D dx
(10-2)
各参量意义： J：扩散通量，单位kg/(s· 2 )或原子数/s· 2 m m D：扩散系数，m2/s，它的物理意义，在数值上 等于əC/əx =1时的扩散通量。 C：扩散组元的体积浓度，单位kg/m3或体积原子 数m-3 əC/əx（dC/dt）：扩散组元浓度沿X方向的变化 率--浓度梯度 负号：扩散方向与梯度方向相反，扩散由高浓度 区向低浓度区进行。
第十章
扩散
10.1 稳态扩散和非稳态扩散的经典理论
固态材料中的扩散虽然比气体和液体中的慢，但 也控制着固态材料中的一些重要物理化学过程。 合金成分均匀化、钢的化学热处理、金属的扩散 焊接等与扩散有关 从浓度变化角度来定义固体中的扩散： 稳态扩散—扩散过程中各点的浓度不随时间改变 非稳态扩散—扩散过程中各点的浓度随时间变化

根据(10-20)和(10-21)，二元系A,B两组元各自 相对于观察者的扩散通量分别为
J A 总 CA vm vD A CAvm J A J B 总 CB vm vD B CBvm J B

(10-22)
由菲克第一定律得到

10.1.2.2 半无限长物体中的扩散

低碳钢工件渗碳处理是扩散原理在工业生产中 应用的实例。 设低碳钢工件原始含碳量为C1，在渗碳气氛中 将其加热至奥氏体相区某一温度(如930℃)进行 渗碳处理。 渗碳开始后工件表面碳浓度很快达到一恒定值。 由于渗碳过程中碳原子的扩散仅发生在至工件 表面一定深度之内，心部碳浓度始终保持不变， 因此这种扩散可视为在半无限长物体中的扩散。
C C 2C D C D D 2 t x x x x x

(10-29)
式中由于əD/əx的出现使得对其求解变得更为复杂。 此时，感兴趣的不是C与x，t的关系，而是利用实 测的C-x关系及扩散第二方程求得给定时间不同浓 度的扩散系数。

若圆柱体的长度为l，则碳原子经过圆柱体半径 为r处由内向外的扩散通量为
q 1 q J t 2rl 2rlt

(10-3)
由式(10-2)与式(10-3)得
dC q D dr 2 rlt
dC dC q D(2 lt ) D(2 lt ) dr dInr r
( JA) J J 2 A J1 A dx J1 A Adx x x
J J1 A J 2 A Adx x
(10-5)

从另一角度看，单位时间内体积元中扩散物质的 积存量又可用浓度随时间的变化来描述，即 (10-6) (C A dx ) C
t

引入误差函数后，对于无限长扩散偶的情况，第二扩 散方程的解可写为
C1 C 2 C1 C 2 C erf ( ) 2 2 C1 C 2 C1 C 2 x erf 2 2 2 Dt
(10-16)
C
C1 C 2 C1 C 2 erf ( ) 2 2 C1 C 2 C1 C 2 x erf 2 2 2 Dt

x 2 Dt

根据上述变量代换，得到
C dC dC t d t 2t d
2C dC 1 d 2C ( ) x 2 x d x 4Dt d 2
(10-11)
(10-12)

将式(10-11)与(10-12)代入式(10-9)
C J D x
扩散第一定律的应用


将一个由纯铁制成的空心圆柱体臵于炉子的恒 温区进行加热保温，并在圆柱体内通入渗碳气 体，圆柱体外通脱碳气体，这样碳原子就会从 圆柱体内壁渗入而从圆柱体外表面逸出。 经过一定时间后，这种碳原子的扩散将达到稳 定状态，即沿圆柱体横截面从内到外各点的浓 度值不再随时间变化，此时，单位时间内扩散 通过圆柱体壁的碳量q/t为一恒定值。
dC 1 dC D 2 2t d 4Dt d
2
(10-13)
d 2C dC 2 2 d d

令P=dC/dβ，则有dP/P=-2 βd β，积分得
dC 2 P Ae d dC Ae
2
d

再积分得
C Ae d B
2 0

(10-14)
对于焊接面，x=0, β=0, erf(β)=0, C=(C1+C2)/2。 即扩散偶界面处的浓度值是一个与时间无关的常数，且 等于扩散偶的平均浓度 x 若令C为常数，则 2 Dt 也为常数。 在扩散偶的不同位臵可通过不同的扩散时间获得同样 的浓度值，且达到相同浓度值所需的扩散时间t与至 界面距离x成抛物线关系 当扩散偶的一侧不存在原始浓度时，如C1=0，则(1016)式为 C2 x C 1 erf (10-17) 2 2 Dt



0
e d
2

2
由上可解A与B
C1 C2 C1 C2 A ,B 2

将A与B代入式(10-14)得
C1 C 2 C1 C 2 2 C 2 2


0
e
2
d
(10-15)

上式中
2



0
e
2
d


定义为误差函数，记为erf(β), 该函数具有如下性质： erf(0)=0; erf(∞)=1; erf(- β)=- erf(β)。 其他不同β值所对应的erf(β)值可查误差函数表。
10.1.3.3 D随C改变时扩散方程的解


对于间隙扩散，由于扩散系数随浓度变化较小， 因而假定扩散系数为常数不会引起很大的误差。 对于代位式扩散，具有实际意义的是互扩散系数， 该值随合金浓度明显变化，因而在这种情况下不 能把扩散系数视为常数。


由于扩散系统中存在浓度梯度，扩散系数随浓度 变化时必然也随位臵而改变。 这种情况下的菲克第二扩散定律为
(10-10)
定律表达式的推导

在一沿x方向扩散的 系统中考虑一个横截 面积为A，厚度为dx 的微小体积元。体积 元两端浓度，和流入 流出的扩散通量如右 图所示。

C 0
J J1 J2
(a)
x1 x2
x
(b)
0 J1 A dx J2
x (c)




单位时间内扩散物质流入体积元的质量(或原子数） =J1A 单位时间内扩散物质流出体积元的质量(或原子数） =J2A 单位时间内扩散物质在体积元内积存的质量（或原 子数）=J1A-J2A 由于体积元很小，所以


此问题的边界条件为 t>0, x=0, β=0, C=Cs x=∞, β= ∞,C=C1 将此边界条件代入式(10-14) 求得两积分常数分别为
A
C Ae d B
2 0

2 C1 Cs

, B Cs

扩散第二方程的解为
x C Cs Cs C1 erf 2 Dt
J A DA J B DB dC A dx dC B dx
(10-23)

将式(10-23)代入式(10-22)得
J A 总 C Avm D A J B 总

dC A dx dC B C B v m DB dx
(10-24)
假定在扩散过程中各处单位体积的摩尔数保持不 变，则应有(JA)总=-(JB)总，由此得
由于合金棒很长，且固态下原子扩散很慢，因此在扩散 过程中棒两端的浓度不受影响而保持恒定 确定其初始条件和边界条件为： 初始条件： t=0, x<0, C=C2 x>0, C=C1 边界条件： t0, x=-∞，C=C2 x= ∞, C=C1

采用变量代换的方法及上述边界条件(或初始条件) 对扩散方程进行求解，确定C(x,t)的表达式。 为了将C=C(x,t)转化为C=C(β)的单变量关系，从 而将偏微分方程转化为常微分方程，首先令

(10-26)
再将式(10-26)代入式(10-24)得达肯方程
dC A dC D A dx dx dC dC J B 总 X B DA X A DB B D B dx dx
J A 总 X B DA X A DB
(10-27)
互扩散系数 本征扩散系数


t
Adx
由(10-5)和(10-6)得到
C J t x
(10-7)
C J C (D ) t x x x
(10-8)
10.1.2.1 无限长物体中的扩散


设A、B分别表示两根很长、且截面相同的均匀固溶 体合金棒。A浓度为C1，B的浓度为C2 ，且C2 〉 C1 。 将A、B两合金棒对焊在一起制成扩散偶，并使焊合 面垂直于x轴（棒的轴线），其所在位臵取为坐标原 点（x=0）。 将此扩散偶加热至足够高的温度保温，溶质原子在 浓度梯度的作用下将进行扩散。