2018版高考数学理科二轮复习： 专题限时集训11 直线与圆

2017年高三第二轮复习《直线与圆》专题复习题一、选择题1. 已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠= ，则m 的最大值为（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 2. 圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-= 3.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=相外切，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -4. 设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）⎡⎣ （D ）⎡⎢⎣⎦5. 设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A B C D 、 6. 设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )(A )(1，3) (B )(1，4) (C )(2，3) (D )(2，4)7.已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-8.过点(P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.]60π，（B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π，9. 直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ）（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或1210. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ， 21,P P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解11. 已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=12. 已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为( )A 、6B 、7C 、8D 、9 13.已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）5A.34D.3 二、填空题14. 若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=（O为坐标原点），则r =_____.15. 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .16. 已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.17. 若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________. 18. 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则: （1）=b ； （2）=λ .19. 如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________. 三、解答题20. （本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．21. （本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点. （I ）求k 的取值范围；（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .22．在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.答案：1.B 2.D 3.C 4.A 5.B 6.D 7.B 8.D 9.D 10.B 11.D 12.B 13.B14. 2 15. 22(2)(1)4x y -+-= 16. 0或6 17. 250x y +-= 18. （1）21-；（2）21 19.（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）1-. 20. （1）圆1C :22650x y x +-+=化为()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0（2）设线段AB 的中点00(,)x y M ，由圆的性质可得1C M 垂直于直线l . 设直线l 的方程为mx y =（易知直线l 的斜率存在），所以1C 1k m M ⋅=-，00mx y =，所以130000-=⋅-x y x y ，所以0320020=+-y x x ，即49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x .因为动直线l 与圆1C 相交，所以2132<+m m ，所以542<m . 所以202022054x x m y <=，所以20200543x x x <-，解得350>x 或00<x ，又因为300≤<x ，所以3350≤<x .（3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线.结合图形，492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x 表示的是一段关于x 轴对称，起点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35按逆时针方向运动到⎪⎪⎭⎫⎝⎛352,35的圆弧.根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧.设P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-352,35，则752354352=-=PT k ，而当直线L 与轨迹C 相切时，2314232=+-k k k，解得43±=k .在这里暂取43=k ，因为43752<，所以k k PT <.结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当0k ≤≤或34k =时，直线L 与x轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当0k ≤<或34k =-时，直线L 与x 轴对称上方的圆弧有且只有一个交点.综上所述，当752752≤≤-k 或34k =±时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点.21. （I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+. 因为l 与C1<.k <所以k 的取值范围是.k <<由题设可得24(1)8=121k k k +++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+.故圆心在直线l 上，所以||2MN =.22. （1）设()()12,0,,0A x B x ，则12,x x 是方程220x mx +-=的根，所以1212,2x x m x x +=-=-，则()()1212,1,112110AC BC x x x x ⋅=-⋅-=+=-+=-≠，所以不会能否出现AC ⊥BC 的情况。

2018届高考数学直线和圆复习题018
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高三数学练习题—直线和圆
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．直线关于x轴对称的直线方程为（）
A． B． c． D．
2．（05年高考江西卷）“a=b”是“直线”的（）
A．充分不必要条B．必要不充分条
c．充分必要条D．既不充分又不必要条
3．直线x－secα=0的倾斜角变化范围是（）
A． B．
c． D．
4．（05年高考浙江卷）设集合A＝{(x，)|x，，1－x－是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是（）
5．若三直线x－2+3=0，3x+4－21=0，2x+3－=0交于一点，则的值等于（）
A．13B．14c．15D．16
6．把直线绕原点按逆时针方向旋转，使它与圆相切，
则直线旋转的最小正角是（）
A． B． c． D．
7．（05年高考北京卷）从原点向圆 x2＋2－12＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（）
A．π B．2π c．4π D．6π
8．已知圆的弦长为时，则a=（）
A． B． c． D．。

课时跟踪检测（十一） 直线与圆1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 若a ≠0，则由l 1∥l 2，得a ＋11＝－a 2a ，所以2a ＋2＝－1，即a ＝－32；若a ＝0，则l 1∥l 2.所以a 的值为－32或0.2．在平面直角坐标系xOy 中，若圆x 2＋(y －1)2＝4上存在A ，B 两点关于点P (1,2)成中心对称，则直线AB 的方程为( )A ．x －y －3＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0 解析：选B 由题意得圆心(0,1)与点P (1,2)的连线垂直于直线AB ，所以k AB ·2－11－0＝－1，解得k AB ＝－1.而直线AB 过点P ，所以直线AB 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.3．(2017·沈阳一模)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选D 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为(0,3)，又直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则其斜率为1，故直线l 的方程为x －y ＋3＝0.4．(2017·菏泽一模)已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选A 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝112＋(－3)2＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2.5．(2017·惠州三调)已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)解析：选A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d ＜r ＋1＝3，即d ＝|－a |2＜3，解得－32＜a ＜3 2. 6．(2018届高三·湖北八校联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值为( )A.52 B ．4 C.92D ．9解析：选C 圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，因为直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，故直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)经过圆心(1,2)，即a ＋2b ＝6.又6＝a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝2b ＝3时取等号，故ab 的最大值为92.7．(2017·西安模拟)圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|PA |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设P (x ，y )，则由|PA |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个．9．(2016·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(x －a )2＋(y －b )2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为( )A ．2 5B ．5 2C ．4D ．8解析：选B ∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝(x ＋2)2＋(0－4)2＋(x ＋1)2＋(0－3)2，∴f (x )的几何意义为点M (x,0)到两定点A (－2,4)与B (－1,3)的距离之和，设点A (－2,4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝(－1＋2)2＋(3＋4)2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．2 5D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2， 所以2r ＝55，解得r ＝10. 11．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为( )A ．－1或1B ．0或－43C ．1D ．－1解析：选A 设直线l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kb1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2，k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝⎝⎛⎭⎫k ＋b x 1⎝⎛⎭⎫k ＋b x 2 ＝k 2＋kb ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2x 1x 2＋b 2x 1x 2＝k 2＋kb⎝⎛⎭⎫－2kb b 2－4＋b 2(1＋k 2)b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4， 由k OP ·k OQ ＝k 2，得b 2－4k 2b 2－4＝k 2， 解得k ＝±1.12．已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选A 如图，作OP ⊥AC 于P ，OQ ⊥BD 于Q ，则|OP |2＋|OQ |2＝|OM |2＝3，∴|AC |2＋|BD |2＝4(4－|OP |2)＋4(4－|OQ |2)＝20.又|AC |2＋|BD |2≥2|AC |·|BD |，则|AC |·|BD |≤10， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |≤12×10＝5，当且仅当|AC |＝|BD |＝10时等号成立， ∴四边形ABCD 面积的最大值为5.故选A.13．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是________．解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. 设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32，解得x ＝1或x ＝277.即点P 的坐标是(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 14．(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．解析：由题意得圆的半径为4，因为△ABC 是直角三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离为22，即|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1.答案：－115．在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为________．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C (3,0)，半径r ＝2，设过原点O 的动直线l 的方程为y ＝kx ，由题意，设A (a ，ka )，B (2a ，2ka )，将A 点坐标代入圆C 的方程得(1＋k 2)a 2－6a ＋5＝0. ①记AB 中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫32a ，32ka ， 所以CD ⊥AB ，所以32ka 32a －3＝－1k . ②联立①②，解得⎩⎨⎧a ＝54，k ＝±155，可得点D 坐标为⎝⎛⎭⎫158，±3158， 所以圆心C 到直线l 的距离为|CD |＝ ⎝⎛⎭⎫158－32＋⎝⎛⎭⎫31582＝364. 答案：36416．(2017·云南模拟)已知动圆C 过A (4,0)，B (0，－2)两点，圆心C 关于直线x ＋y ＝0的对称点为M ，过点M 的直线交圆C 于E ，F 两点，当圆C 的面积最小时，|EF |的最小值为________．解析：依题意知，动圆C 的半径不小于12|AB |＝5，即当圆C 的面积最小时，AB 是圆C 的一条直径，此时点C 是线段AB 的中点，即点C (2，－1)，点M 的坐标为(1，－2)，且|CM |＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝2＜5，所以点M 位于圆C 内，当点M 为线段EF 的中点(过定圆内一定点作圆的弦，以该定点为中点的弦最短)时，|EF |最小，其最小值等于2(5)2－(2)2＝2 3.答案：23。

第11讲 直线与圆题型1 圆的方程 (对应学生用书第38页)■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F ＞0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】 (考查应用圆的几何性质求圆的方程)(2017·山西运城二模)已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为________.【导学号：07804079】[解析] 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2. [答案] (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2【典题2】 (考查待定系数法求圆的方程)(2017·广东七校联考)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为________．[思路分析] 法一：利用圆心在直线x －3y ＝0上设圆心坐标为(3a ，a )→利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形列出关于a 的方程，求解a 的值→得出圆的方程； 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2→利用条件列出关于a ，b ，r 的方程组→解方程组，得出圆的方程；法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0→利用条件列出关于D 、E 、F 的方程组→解方程组，得出圆的方程．[解析] 法一：(几何法)∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.法二：(待定系数法：标准方程)设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则{ 由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9或(x －3)2＋(y －1)2＝9.法三：(待定系数法：一般方程)设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. [答案] x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 [类题通法] 求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．■对点即时训练………………………………………………………………………·1．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则点(k ，b )所在的圆为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋5)2＝1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －5)2＝1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －5)2＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋5)2＝1 A [由题意知直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0互相垂直，所以k ＝12.又圆上两点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，故直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心(2,0)，所以b ＝－4，结合选项可知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－4在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋5)2＝1上，故选A.]2．抛物线y 2＝4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点，其准线与x 轴的交点为M ，则过M ，A ，B 三点的圆的标准方程为________.【导学号：07804080】(x －1)2＋y 2＝4 [∵抛物线y 2＝4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点， ∴A ，B 两点的坐标分别为：(1,2)，(1，－2)， 又准线与x 轴的交点为M ，∴M 点的坐标为(－1,0)， 则过M ，A ，B 三点的圆的圆心在x 轴， 设圆心坐标为O (a,0)，则|OA |＝|OM |，即a －2＋22＝a －(－1)，解得a ＝1.∴圆心坐标为(1,0)，半径为2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.] ■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 1、T 3、T 11、T 13) 题型2 直线与圆、圆与圆的位置关系(对应学生用书第39页)■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．直线与圆的位置关系相交、相切和相离，直线与圆的位置关系的判断方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d ＜r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d ＞r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r2消去y ，得关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ＜0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ＞0. 2．圆与圆的位置关系设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d ＞r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切；(3)|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】 (考查弦长问题)(2016·全国Ⅲ卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.[解析] 由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt△CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos α＝23×23＝4.[答案] 4【典题2】 (考查直线与圆位置关系的综合应用)(2017·广东汕头高三期末)如图11­1，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．图11­1(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围.【导学号：07804081】[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)，因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y 0＜7.于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1，因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4①.因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤t ＋－6]2＋－2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此实数t的取值范围是[2－221，2＋221]．[类题通法] 解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题. ■对点即时训练………………………………………………………………………·1．已知P 是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．12B [将圆C 的方程化为标准方程，即x 2＋(y －1)2＝1，所以圆C 的半径为1.S 四边形PACB ＝|PA |·|AC |＝|PA |＝CP 2－CA 2＝CP 2－1，可知当|CP |最小，即CP ⊥l 时，四边形PACB 的面积最小，由最小面积CP 2－1＝2得|CP |min ＝5，由点到直线的距离公式得|CP |min ＝51＋k2＝5，因为k ＞0，所以k ＝2.故选B.]2．已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右两个焦点分别是F 1、F 2，O 为坐标原点，圆O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：5x －3y ＋t ＝0与圆O 有公共点，则实数t 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－4,4]D ．[0,4]C [双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点分别是F 1(－2，0)，F 2(2，0)，从而圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.因为直线5x －3y ＋t ＝0与圆O 有公共点，所以有|t |5＋3≤2，即|t |≤4，从而实数t 的取值范围是[－4,4]，故选C.]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 2、T 4、T 5、T 6、T 7、T 8、T 9、T 10、T 12、T 14)三年真题| 验收复习效果 (对应学生用书第40页)1．(2016·全国Ⅱ卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C. 3D ．2A [圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，由圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1可知|a ＋4－1|a 2＋12＝1，解得a ＝－43，故选A.]2．(2015·全国Ⅱ卷)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )【导学号：07804082】A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10C [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝46，故选C.]3．(2015·全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]4．(2017·全国Ⅲ卷)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． (1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． [解] (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x2，y 2)，l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x可得y 2－2my －4＝0， 则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝y 1y 224＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB ，故坐标原点O 在圆M 上． (2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝m 2＋2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10， 圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854， 圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.。

2018年高考理科数学考前集训：直线与圆（解析版）[考情分析]直线与圆的方程为高考命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题呈现，多作为条件结合圆锥曲线进行综合考查，直线与圆的位置关系问题单独考查的几率较小.1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3D ．2解析：因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.答案：A2．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________. 解析：由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6. 画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt△CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos π6＝23×23＝4.答案：43．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254直线与直线方程[方法结论]1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.4．与已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)平行的直线可改为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，垂直的直线可设为Bx －Ay ＋m ＝0. 5．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， 直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， 当l 1⊥l 2时，有A 1A 2＋B 1B 2＝0，当l 1∥l 2时，A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0.[题组突破]1．(2017·重庆一中检测)若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A.12 B.32 C.14D.34解析：由已知得3(a －1)＋a ＝0，解得a ＝34，故选D.答案：D2．“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：因为两条直线平行，所以斜率相等，即－2a ＝－b2，可得ab ＝4，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，故选C. 答案：C3．经过直线l 1：2x －3y ＋2＝0与l 2：3x －4y －2＝0的交点，且平行于直线4x －2y ＋7＝0的直线方程是( ) A ．x －2y ＋9＝0 B ．4x －2y ＋9＝0 C ．2x －y －18＝0D ．x ＋2y ＋18＝0解析：联立两条直线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋2＝03x －4y －2＝0，解得x ＝14，y ＝10.所以l 1，l 2的交点坐标是(14,10)．设与直线4x －2y ＋7＝0平行的直线方程为4x －2y ＋c ＝0(c ≠7)，因为4x －2y ＋c ＝0过l 1与l 2的交点(14,10)，所以c ＝－36，所以所求直线方程为4x －2y －36＝0，即2x －y －18＝0.故选C. 答案：C [误区警示]1．求直线方程时易忽视斜率k 不存在情形．2．利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不存在情形． 3．有关截距问题易忽视截距为零这一情形． 圆的方程[方法结论]1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心、D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．[题组突破]1．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0，由x ＋1＝0且x ＋y －1＝0，解得x ＝－1，y ＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 答案：C2．(2017·北京西城模拟)与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2解析：由题意知，曲线为(x －6)2＋(y －6)2＝18，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为2，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 答案：D3．一束光线从圆C 的圆心C (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程刚好是圆C 的直径，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝16D．(x＋1)2＋(y－1)2＝25解析：圆C1的圆心C1的坐标为(2,3)，半径为r1＝1.点C(－1,1)关于x轴的对称点C′的坐标为(－1，－1)．因为C′在反射线上，所以最短路程为|C′C1|－r1，即[2－(－1)]2＋[3－(－1)]2－1＝4.故圆C的半径为r＝12×4＝2，所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，故选A.答案：A[误区警示]方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是D2＋E2－4F＞0，易忽视这一点．直线与圆的位置关系[方法结论]1．直线和圆的位置关系的判断方法直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系如表.2.(1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2r2－d2(其中d为弦心距)．(2)切线长的计算：过点P向圆引切线P A，则|P A|＝|PC|2－r2(其中C为圆心)．[典例](2017·常州模拟)如图，已知圆心坐标为M(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M相切，且与x轴及直线y＝3x均相切，切点分别为C，D.(1)求圆M与圆N的方程；(2)过点B 作MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦长．解析：(1)由于圆M 与∠BOA 的两边相切，故M 到OA ，OB 的距离相等，则M 在∠BOA 的平分线上，同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且直线ON 为∠BOA 的平分线，因为M (3，1)，所以M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，所以圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.设圆N 的半径为r ，连接AM ，CN ，则Rt △OAM ∽Rt △OCN ，得OM ON ＝MA NC ，即23＋r ＝1r ，解得r ＝3，OC ＝33，所以圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求弦长为过点A 的MN 的平行线被圆N 截得的弦长，此弦所在直线的方程为y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N 到该直线的距离d ＝|33－33－3|1＋3＝32，故弦长为2r 2－d 2＝33. [类题通法]1．圆上的点到直线的距离的化归思想(1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解．(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解．(3)直接设点，利用方程思想解决． 2．数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中是关键点．[演练冲关]1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交． 答案：B2．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( ) A ．30 B ．18 C ．6 2D ．5 2解析：由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为32，则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为|2＋2－14|2＋32＝82，最小距离为|2＋2－14|2－32＝22，故最大距离与最小距离的差为6 2. 答案：C3．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解析：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以 |PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k 2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627.所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或|AB |＝187. 直线、圆与其他知识的交汇问题高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线与圆和函数、不等式、平面向量、三角、数列及圆锥曲线等知识交汇，体现命题创新． [典例] (1)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7 ≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( ) A ．5 B ．29 C ．37D ．49解析：平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD ，因圆心C (a ，b )∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为y ＝1(－2≤x ≤6)，由图形得，当点C 在点N (6，1)处时，a 2＋b 2取得最大值62＋12＝37，故选C.答案：C(2)(2017·抚顺模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值．解析：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.[类题通法]对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系，其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化等思想方法．[演练冲关]1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若圆上一点C 满足OC →＝54OA →＋34OB →，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．2 5D. 5解析：已知OC →＝54OA →＋34OB →，两边平方化简得OA →·OB →＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2，所以2r ＝55，解得r ＝10.答案：B2．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为( ) A ．－1或1 B ．0或－43C ．1D ．－1解析：设直线l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kb 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2，k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝(k ＋b x 1)(k ＋b x 2)＝k 2＋kb (x 1＋x 2x 1x 2)＋b 2x 1x 2＝k 2＋kb (－2kb b 2－4)＋b 2(1＋k 2)b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4，由k OP ·k OQ ＝k 2，得b 2－4k 2b 2－4＝k 2，解得k ＝±1，故选A. 答案：A3．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．解析：设D (x ，y )，由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3,0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即(3－1)2＋(0＋3)2＋1＝1＋7. 答案：1＋7。

专题限时集训(十一) 直线与圆(对应学生用书第99页)(限时：40分钟)1．(2017·豫北名校4月联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4D [设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.]2．(2017·陕西教学质量检测(一))圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2A [将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A.]3．(2017·福建厦门4月联考)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )【导学号：07804083】A ．0B ．1C ．2D ．3B [方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.]4．(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设条件p ：0＜r ＜3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|12＋32＝2.当0＜r ＜1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1； 当r ＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1； 当1＜r ＜2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当r ＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当2＜r ＜3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1.综上，当0＜r ＜3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0＜r ＜3，故p 是q 的充分必要条件，故选C.]5．(2017·安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，125A [因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋y －2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋a －2≤3.由a 2＋a －2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋a －2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.故选A.]6．(2017·武汉4月模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2,6]B ．[－3,5]C ．[2,6]D ．[3,5]C [由题意，圆C 上存在两点使MA ⊥MB ，则|CM |＝－2＋t －2≤20⇒2≤t ≤6，故选C.]7．(2017·石家庄一模)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A.12 B ．32C.34D ．34 D [因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝24－44a 2＋b2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )1＋2b2≤122·12·[(22a )2＋(1＋2b 2)2]＝142[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 24a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34，故选D.]8．(2017·安徽淮北一模)已知直线l 1与圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于不同的A ，B 两点，对平面内任意的点Q 都有QC →＝λQA →＋(1－λ)QB →.设P 为直线l 2：3x ＋4y ＋4＝0上的动点，则PA →·PB →的最小值为( )【导学号：07804084】A ．21B ．9C ．5D ．0C [由QC →＝λQA →＋(1－λ)QB →可知，A ，B ，C 三点共线，即弦AB 为圆C 的直径．又因为P 为直线l 2：3x ＋4y ＋4＝0上的动点，且PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝PC →2－CB →2＝PC →2－4，故PA →·PB →的最小值为PC →2－4的最小值．又因为圆心C (1,2)到直线l 2：3x ＋4y ＋4＝0的距离为3＋8＋45＝3，故|PC →|min ＝3，所以PA →·PB →的最小值为9－4＝5.故选C.]二、填空题9．(2017·湖南五市十校联考)已知直线l ：mx ＋y ＋3＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝2相交，弦长为2，则m ＝________.33 [由已知可得圆心(－1,0)到直线的距离d ＝|3－m |m 2＋1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|3－m |m 2＋12＋1＝2， 解得m ＝33.] 10．(2016·承德二模)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．－43或－34 [由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0. 又因为光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.]11．(2016·郑州二模)已知⊙M 的圆心在第一象限，过原点O 被x 轴截得的弦长为6，且与直线3x ＋y ＝0相切，则圆M 的标准方程为________．10 [法一：(几何性质法)设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(a ＞0，b ＞0，r ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋9＝r 2，|3a ＋b |32＋12＝r ，a 2＋b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝10，故⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.法二：(待定系数法)因为圆M 过原点，故可设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，又被x 轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 22＝32，故D ＝－6，与3x ＋y ＝0相切，则－E2－D 2＝13，即E ＝13D ＝－2，因此所求方程为x 2＋y 2－6x －2y ＝0.故⊙M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.]12．(2017·广东五校联考)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．1 [两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0配方得，(x ＋a )2＋y 2＝4，x2＋(y －2b )2＝1，依题意得两圆相外切，故a 2＋4b 2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，1a 2＋1b2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 29＋4b 29⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝19＋a 29b 2＋4b 29a 2＋49≥59＋2a 29b 2×4b 29a 2＝1，当且仅当a 29b 2＝4b 29a2，即a 2＝2b 2时等号成立，故1a 2＋1b2的最小值为1.]三、解答题13．(2017·河北衡水中学调研)已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．[解] (1)法一：(直接法)设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二：(定义法)设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．14．(2016·湖南六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【导学号：07804085】[解] (1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)存在．当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k x 1－x 1－t＋k x 2－x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒k 2－k 2＋1－2k2t ＋k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，x 轴平分∠ANB .。

专题11：直线与圆、圆与圆问题归类篇类型一：圆的方程一、前测回顾1.经过三点A (4，3)，B (5，2)，C (1，0)的圆的方程为 ．2.一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 ．3.已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线y ＝2x ＋1上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是 ______.答案：1. x 2＋y 2－6x －2y ＋5＝0 2. (x ±32) 2＋y 2＝254; 3. ⎝⎛⎭⎫x ＋132＋⎝⎛⎭⎫y －132＝19 二、方法联想求圆的方程方法1：三点代入圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，求解D 、E 、F ． 方法2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心． 方法3：直角三角形外接圆的直径为斜边．优先判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，用方法3；若只涉及圆心，可用方法2；方法1可直接求出圆心和半径． 三、归类巩固*1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点C (t ，2t )(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆过原点O,直线2x ＋y －4＝0 与圆C 交于M,N 两点，若OM ＝ON,则圆C 的标准方程为 .(利用直线OC 与已知直线垂直求出圆心，利用线圆位置关系舍一解 ) 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5.**2．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ，则C 的方程是________．(三点代入圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，求解D 、E 、F ；设而不求法求外接圆方程) 答案： x 2＋y 2＋2x －( b ＋1) y ＋b ＝0***3．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点M (4,0)，过原点的直线(不与 x 轴重合)与圆O 交于A ，B 两点，则△ABM 的外接圆的面积的最小值为________． (求外接圆半径的最值) 答案：254π类型二：直线与圆相切问题一、 前测回顾1.过点P (1，0)作圆C ： (x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A 、B ，则切线方程为 ； 切线长P A 为 ；直线AB 的方程为 ．2.经过点A (4，－1)，且与圆：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0相切于点B (1，2)的圆的方程为 ．3.圆C 1:x 2＋y 2＝16与C 2:(x －4)2+(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直,则r ＝ ． 答案：(1) x ＝1或5x ＋12y －5＝0；2；3x ＋2y －7＝0． (2)(x －3)2＋(y －1)2＝5．(3)3 二、方法联想 相切问题 (1) 位置判断：方法1：利用d ＝r ；方法2：在已知切点坐标的情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直．(2)如图，在Rt △P AC 中，切线长P A ＝PC 2－R 2； 当圆外一点引两条切线时，(1)P 、A 、B 、C 四点共圆(或A 、B 、C 三点共圆)，其中PC 为直径； (2)两圆的方程相减可得切点弦的直线方程．(3)PC 为∠APB 的平分线，且垂直平分线段AB ． 三、归类巩固*1．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．(已知直线与圆相切，圆心到直线的距离即为半径，求半径的最值；或者紧扣直线过定点解题) 答案：(x －1)2＋y 2＝2．**2.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的长的取值范围是________．(直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化)答案：[2314,22)**3 .已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________． (∠BAC 最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题) 答案：[1，5]***4.平面直角坐标系xOy 中，点P 在x 轴上，从点P 向圆C 1：x 2＋(y －3)2＝5引切线，切线长为d 1，从点P 向圆C 2：(x －5)2＋(y ＋4)2＝7引切线，切线长为d 2，则d 1＋d 2的最小值为_____．(求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题)答案：5 2解：设点P (x ，0)，则d 1＝x 2＋(－3)2－5，d 2＝(x －5)2＋42－7，d 1＋d 2＝x 2＋4＋(x －5)2＋9， 几何意义：点P (x ，0)到点M (0，2)，N (5，－3)的距离和．当M ，P ，N 三点共线时，d 1＋d 2有最小值52，此时P (2，0) 类型三：直线与圆的相交问题 一、 前测回顾1.已知过定点P (1，2)的直线l 交圆O ：x 2＋y 2＝9于A ，B 两点，若AB ＝42，则直线l 的方程为 ； 当P 为线段AB 的中点时，则直线l 的方程为 ．2.已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(－1，4)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ．答案：＝1或3x －4y ＋5＝0；x ＋2y －5＝0．;二、方法联想 相交弦问题直线与圆的位置关系判断方法： 代数法和几何法.(1) 圆心角θ、弦长L 、半径R 和弦心距d 中三个量可以建立关系式．如：(L2)2＋d 2＝R 2，d ＝R cos θ2，L 2＝R sin θ2．(2)相交弦的垂直平分线过圆心．(3)过圆内一定点，最长的弦为直径，最短的弦与过定点的直径垂直． 三、归类巩固*1.直线l 1：y ＝kx ＋3与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的的取值范围是________．(已知弦长范围，求参数取值范围)答案： [－33,33]*2.过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ,B 两点,若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为________．(已知弦的性质，求直线方程) 答案：x ±3y ＋4＝0**3.已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线交x 轴于C ，D 两点，若AB ＝23，则CD ＝ ． (已知弦长，求直线方程及有关量的取值) 答案：4***4.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －6)2＝25，圆C 2：(x －17)2＋(y －30)2＝r 2.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A ，B ，满足P A ＝2AB ，则半径r 的取值范围是________．(已知两弦长关系求参数范围问题) 答案：[5，55]类型四：圆上点到直线或点的距离问题一、 前测回顾1.已知实数x,y 满足x 2＋y 2＝4， 则(x －3)2＋(y －4)2的范围是 .2.圆C ：x 2＋(y －2)2＝R 2(R ＞0)上恰好存在2个点，它到直线y ＝3x －2上的距离为1，则R 的取值范围为 ．答案：1. [9，49]; ＜R ＜3． 二、方法联想 圆上的点到直线的距离(1)当直线与圆相离时，圆上点到直线距离，在点A 处取到最大值d ＋R ，在点B 取到最小值d －R ．(2)当直线与圆；在圆外时，圆上的点到点的最大距离是d ＋R ，最小距离是d －R ．(1) 当点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是d ＋R ，最小距离是R －d . 圆上的点到点的距离(1)当已知点在圆外时，圆上点到已知点距离最大值d ＋R ，最小值d －R ．(2) 当已知点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是d ＋R ，最小距离是R －d . 三、 归类巩固 *1.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上有且仅有四个点到直线12x -5y +c =0的距离为1，则实数c 的取值范围是 .答案：（－13，13）(已知圆上点到直线距离求参数范围)**2.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5 ，圆C 与y 轴交于点O,B ，其中O 为原点．设P 为直线l:x ＋y ＋2＝0上的动点，Q 为圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标．答案：PB+PQ 的最小值为25,此时P 点坐标为(－43，－23)(考查点圆距离与点线距离的综合问题)类型五：两圆的位置关系问题一、 前测回顾1.已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若两圆相交，实数C B Am 的取值范围为 ．2.已知圆O 1：x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，圆O 2：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋6＝0，则两圆的公共弦长度为 ．答案：1.－5＜m ＜－2或－1＜m ＜2;．二、方法联想位置关系 d 与r 1，r 2的关系公切线条数外离 d ＞r 1＋r 2 4 外切 d ＝r 1＋r 2 3 相交 |r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 22 内切 d ＝|r 1－r 2| 1 内含0＜d ＜|r 1－r 2|两圆相交问题(1)两圆的方程相减可得相交弦的直线方程．(2)两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦． 两圆相切问题两圆相切时，两圆圆心的连线过两圆的切点． 三、归类巩固*1. 若两点A (1，0)，B (3，23)到直线l 的距离均等于1，则直线l 的方程为 ． (转化为两圆位置关系看公切线条数或者研究直线与线段A B 平行和过线段A B 中点两种情况) 答案：3x －y ＋2－3＝0或3x －y －2－3＝0或x －3y ＋1＝0或x －2＝0.**2.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为________．(已知两圆位置关系，求参数取值范围) 答案：[－34,＋∞)***3.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2P A 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．(已知两圆切线长的关系，求参数取值范围) 答案： (－203,4)综合应用篇一、例题分析例1．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 上一点P （0，2）到椭圆C 的右焦点的距离为6． *（1）求椭圆C 的方程；***（2）过点P 作互相垂直的两条直线l 1，l 2，且l 1交椭圆C 于A ，B 两点，直线l 2交圆Q 于C ，D 两点，且M 为CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围．解：(1)x 28＋y 24＝1(2) 记△MAB 的面积为S ，当直线l 1的斜率不存在时，可求得S ＝4.当直线l 1的斜率存在时，设为k (k ≠0),则l 1:y ＝kx ＋2，l 2:y ＝－1k x ＋ 2 设A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1y ＝kx ＋2得(1＋2k 2)x 2＋42kx －4＝0 ，则x 1＋x 2＝－42k 1＋2k 2，x 1x 2＝－41＋2k 2， AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)(4k 2＋1)2k 2＋1又圆心Q (2，2)到l 2的距离d 1＝21＋k2＜2 ，得k 2＞1又MP ⊥AB ，QM ⊥CD ，所以M 点到AB 的距离等于Q 点到AB 的距离，设为d 2，即 d 2＝|2k －2＋2|1＋k 2＝2|k |1＋k2所以△MAB 面积S ＝12|AB |d 2＝4|k |4k 2＋12k 2＋1＝4k 2(4k 2＋1)(2k 2＋1)2令t ＝2k 2＋1∈(3，＋∞)，，则1t∈(0，13)，S ＝42t 2－3t ＋12t 2＝412(1t －32)2－18∈(453，4)， 综上，MAB ∆面积的取值范围为(453，4].〖教学建议〗（1）问题归类与方法： 1.相交弦问题直线与圆的位置关系判断方法： 代数法和几何法.○1圆心角θ、弦长L 、半径R 和弦心距d 中三个量可以建立关系式． 如：(L2)2＋d 2＝R 2，d ＝R cos θ2，L 2＝R sin θ2．○2相交弦的垂直平分线过圆心． 2.直线与椭圆的位置关系 3.换元法求函数的最值（2）方法选择与优化：本题计算面积时求高的方法不同，导致解题的繁简程度不同，答案中巧妙的运用圆的几何性质避开求M 点坐标，也可以利用勾股定理求高22,MQ PM PQ MQ =-即是点Q 到PD 的距离，此题也可以设直线PD 的斜率为k ，简化PM 的形式.例2．在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知A 1、A 2、B 1、B 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点，△A 1B 1B 2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M.* (1) 求椭圆C 及圆M 的方程；(2) 若点D 是圆M 劣弧A 1B 2︵上一动点(点D 异于端点A 1、B 2)，直线B 1D 分别交线段A 1B 2、椭圆C 于点E 、G ，直线B 2G 与A 1B 1交于点F.* * * (ⅰ) 求GB 1EB 1的最大值；* * (ⅱ) 试问：E 、F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．解：(1) 由题意知，B 2(0，1)，A 1(－3，0)， 所以b ＝1，a ＝3，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.易得圆心M ⎝⎛⎭⎫－33，0，A 1M ＝233，所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋332＋y 2＝43. (2) 设直线B 1D 的方程为y ＝kx －1⎝⎛⎭⎫k ＜－33，与直线A 1B 2的方程y ＝33x ＋1联立，解得点E(233k －1，3k ＋13k －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 23＋y 2＝1，消去y 并整理，得(1＋3k 2)x 2－6kx ＝0，解得点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 3k 2＋1，3k 2－13k 2＋1，(ⅰ) GB 1EB 1＝|x G ||x E |＝|6k 3k 2＋1||233k －1|＝3k 2－3k3k 2＋1＝1－3k ＋13k 2＋1＝1＋1－（3k ＋1）＋2－（3k ＋1）＋2≤1＋122＋2＝2＋12，当且仅当k ＝－6＋33时，取“＝”，所以GB 1EB 1的最大值为2＋12.(ⅱ) 直线B 2G 的方程为y ＝3k 2－13k 2＋1－16k 3k 2＋1x ＋1＝－13k x ＋1，与直线A 1B 1的方程y ＝－33x －1联立，解得点F(－6k 3k －1，3k ＋13k －1)， 所以E 、F 两点的横坐标之和为233k －1＋－6k 3k －1＝－2 3.故E 、F 两点的横坐标之和为定值，该定值为－2 3.〖教学建议〗 （1） 问题归类与方法： 1.求圆的方程方法1：三点代入圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，求解D 、E 、F ． 方法2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心． 方法3：直角三角形外接圆的直径为斜边． 2.联立两直线方程求交点坐标 3.共线或平行的弦长比转化为坐标之比 4.利用基本不等式求函数最值（2）方法选择与优化：（1）问中求圆的方程方法1与2都可以，考虑到正三角形直接求重心即圆心，得圆标准方程比较快些，本问椭圆易错成“a ＝2”；（2）问中斜率k 的范围易错，以斜率k 为自变量时，利用基本不等式求函数最值，或者导数法.也可以借助椭圆参数方程设G (3cos α，sin α)(π2＜α＜π) , 上面的方法中的k ＝k GB 1＝sin α＋13cos α，最后GB 1EB 1＝sin α－cos α＋12＝2sin(α－π4)＋12形式比较简洁,此法也可以参考.例3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E :x 22＋y 2＝1 ，如图，动直线l ：13y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且122k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率. 解：设A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1y ＝k 1x －32得(4k 21＋2)x 2－43k 1x －1＝0，由题意知△＞0，且x 1＋x 2＝23k 12k 21＋1，x 1x 2＝－12(2k 21＋1)，所以|AB |＝1＋k 21|x 1－x 2|＝21＋k 211＋8k 212k 21＋1 .由题意可知圆M 的半径r 为r ＝2231＋k 121＋8k 122k 12＋1由题设知k 1k 2＝24，所以k 2＝24k 1因此直线OC 的方程为y ＝24k 1x .联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1y ＝24k 1x 得x 2＝8k 211＋4k 21，y 2＝11＋4k 21，因此|OC |＝x 2＋y 2＝1＋8k 211＋4k 21. 由题sin ∠SOM ＝r r ＋OC＝11＋OC rOC r ＝OC 23AB ＝1＋8k 211＋4k 21·32121＋k 211＋8k 212k 21＋1＝322k 21＋14k 21＋12k 21＋2 ≥322k 21＋1(4k 21＋1)＋(2k 21＋2)2＝32×23＝1 当且仅当4k 21＋1＝2k 21＋2 即k 1＝±22取等 当OC r ＝1 时，(sin ∠SOM )max ＝12 ，y ＝sin x 在(0，π2) 上单调增，(∠SOT )max ＝π6(∠SOT )max ＝π3综上∠SOT 最大值为π3 ，取得最大值时直线l 的斜率为±22.〖教学建议〗（1）问题归类与方法： 1.相切问题如图，当圆外一点引两条切线时，在Rt △P AC 中. PC 为∠APB 的平分线，且垂直平分线段AB ． 2. 直线与二次曲线的弦长公式.3.利用换元法或基本不等式法等求函数最值.（2）方法选择与优化：求函数最值时可以通过换元法令t ＝1＋2k 21(t ＞1) 最终化为OC r ＝321－(1t －12)2＋94 此方法比较基本.当然也可以分子分母展开后利用分离常数法求最值。