河南省郑州市盛同学校高一数学下学期第一次月考试题A版

高一第一次质量检测数 学 试 题一、选择题：（本答题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.下列有4个命题：其中正确的命题有( )（1）第二象限角大于第一象限角；（2）不相等的角终边可以相同；（3）若α是第二象限角，则α2一定是第四象限角；（4）终边在x 轴正半轴上的角是零角. A.(1)(2) B.(3)(4) C.(2) D.(1)(2)(3)(4))(,0tan ,0cos .2是则且如果θθθ><A.第一象限的角 B ．第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 3.已知角θ的终边经过点)2,1(-，则=θsin （ ）A.21-B. －2C.55D.552-4.若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线x y 3-=上，则角α的取值集合是（ ） A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ,32ππαα ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k B ,322.ππαα⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k C ,32.ππαα D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ,3ππαα ()01020sin .5-等于（ ）A.21 B.21- C. 23 D. 23- 6..已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，tan 2α=-，则cos α=（ ） A ．35-B ．25- C.55- D ．255- 7.函数sin y x = 的一个单调增区间是（ ）A. ,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ． 3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8.在ABC ∆中，若()()C B A C B A +-=-+sin sin ,则ABC ∆必是（ ） A.等腰三角形 B ．等腰或直角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角 9.函数x x y sin sin -=的值域是 （ ）A.[]2,2-B. []2,0C.[]1,1-D.[]0,2-10.将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后，得到函数()f x 的图象，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛12πf （ ） A.264+ B.364+ C.32 D.2211.)42sin(log 21π+=x y 的单调递减区间是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππk k ,4 ()Z k ∈ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+-8,8ππππk k ()Z k ∈ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k ()Z k ∈ D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+-83,8ππππk k ()Z k ∈ 12.若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是 （ ）A.1120,,1243⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B.1120,,633⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C.12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（每小题5分，共20分）13.扇形的周长为cm 8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为_______. 14.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=3tan πx y 的定义域是_______..______21,25sin log ,70tan log .1525cos 2121，则它们的大小关系为设︒⎪⎭⎫⎝⎛=︒=︒=c b a16.已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 2πx x f ，则下列命题正确的是_________. ①函数()x f 的最大值为2；②函数()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π对称； ③函数()x f 的图象与函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2πx x h 的图象关于x 轴对称； ④若实数m 使得方程()x f ＝m 在[]π2,0上恰好有三个实数解321,,x x x ,则37321π=++x x x ； ⑤设函数()()x x f x g 2+=，若()()()πθθθ211-=+++-g g g ，则3πθ-=三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

河南高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合A={x|x 2≤4x}，B={x|x ＜1}，则A∩B 等于（ ） A ．（﹣∞，1） B ．[0，1） C ．[0，4]D ．[﹣4，+∞）2.集合A={1，x ，y}，B={1，x 2，2y}，若A=B ，则实数x 的取值集合为（ ） A ．{}B ．{，﹣}C ．{0，}D ．{0，,﹣}3.下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A ．y=x+1B ．y=﹣x2C ．D ．y=﹣x|x|4.函数的定义域是( ) A ．{x|2<x<3}B ．{x|x<2或x>3}C ．{x|x≤2或x≥3}D ．{x|x<2或x≥3}5.已知=，则的值为A ．2B ．3C ．4D ．56.设集合A=[﹣1，2]，B={y|y=x 2，x ∈A}，则A∩B=（ ） A ．[1，4] B ．[1，2] C ．[﹣1，0]D ．[0，2]7.已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）单调递减，则满足 的实数x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8.设函数，若f （x 0）＞1，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）9.已知函数f （x)＝ax 2－x －c ，不等式f （x)＞0的解集为{x|－2＜x ＜1}，则函数y ＝f （－x)的图象为（ ）10.设集合P={m|﹣1＜m≤0}，Q={m|mx 2+4mx ﹣4＜0对任意x 恒成立}，则P 与Q 的关系是 A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．P=Q D ．P∩Q=∅11.如果定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x），在（0，+∞）内是减函数，又有f（3）=0，则x•f（x）＜0的解集为（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}D．{x|x＜﹣3或x＞3}12.设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.若，则的值域是__________．（请用区间表示）2.若函数在上是单调函数，则的取值范围是____________.3.设的最大值为M，最小值为m，则M+m=____________．4.已知函数，若方程f（x）=t恰有3个不同的实数根，则实数t的取值范围是____．三、解答题1.已知A={x|x2≥9}，B={x|﹣1＜x≤7}，C={x||x﹣2|＜4}．（1）求A∩B及A∪C；（2）若U=R，求.2.（本题满分12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，函数f（x）的解析式为．（1）求当x＜0时函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上的是减函数．3.已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|x2-x<0}（1）若a=，求A∩B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．4.设定义域为的函数（1）在平面直角坐标系内直接作出函数的图象，并写出的单调区间（不需证明）；（2）设定义为的函数为奇函数，且当时，求的解析式.5.若二次函数满足，且方程的一个根为1.（1）求函数的解析式；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.6.（本小题满分12分）已知函数．（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）设，试比较与的大小；（3）是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．河南高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合A={x|x2≤4x}，B={x|x＜1}，则A∩B等于（）A．（﹣∞，1）B．[0，1）C．[0，4]D．[﹣4，+∞）【答案】B【解析】，，，选B.2.集合A={1，x，y}，B={1，x2，2y}，若A=B，则实数x的取值集合为（）A．{}B．{，﹣}C．{0， }D．{0，,﹣}【答案】A【解析】，则（1），当时，与集合的元素互异性矛盾，故舍去；当时，与集合的元素互异性矛盾，故舍去；（2），（舍去）或，当时，，符合题意，因此的取值集合为，选A.3.下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（）A．y=x+1B．y=﹣x2C．D．y=﹣x|x|【答案】D【解析】函数即不是奇函数也不是偶函数，在上为增函数，函数为偶函数，在上为减函数，在上为增函数，为奇函数，在上为减函数，在上为减函数，为奇函数，在上为减函数，故选D .4.函数的定义域是()A．{x|2<x<3}B．{x|x<2或x>3}C．{x|x≤2或x≥3}D．{x|x<2或x≥3}【答案】D【解析】，，或，则函数的定义域为.选D.5.已知=，则的值为A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】时，，，时，，故选A。

一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．向量与向量是相等向量ABBA B ．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 a b a b = a b > a b <C ．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D ．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D【分析】根据向量的基本概念辨析可知.【详解】解：对于A ，向量与向量是相反向量，所以A 错误；ABBA 对于B ，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B 错误； 对于C ，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C 错误； 对于D ，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D 正确. 故选：D2．已知向量，满足，，则（ ）a b 2= a 2a b ⋅=-()2a a b ⋅-= A ． B ． C ． D ．121086【答案】B【分析】利用数量积律以及运算性质即可求解【详解】，||2,2a a b =⋅=-所以()22224210a a b a a b ⋅-=-⋅=⨯+= 故选：B3．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且，E 是AD 的中点，则（ ）2CD BD =BE =A ．B ．2136AB AC -2136AB AC +C ．D ． 2136AB AC -- 2136AB AC -+ 【答案】D【分析】利用向量的线性运算即得. 【详解】因为，2CD BD =所以．()1133BD BC AC AB ==- 因为是的中点，E AD 所以，12AE AD = ()()1111122636AB BD AB AC AB AB AC =+=+-=+则．2136BE AE AB AB AC =-=-+故选：D ．4．已知非零向量满足，则“”是“”的（ ）条件． ,a ba b = 33a b a b +=- a b ⊥ A ．充要 B ．必要不充分C ．充分不必要D ．既不充分也不必要【答案】A【分析】由题可得等价于，结合充分条件，必要条件的定义即得. 33a b a b +=- 0a b ⋅= 【详解】∵，2222336996a b a b a a b b a a b b +=-⇔+⋅+=-⋅+ ，0a b =≠∴等价于. 33a b a b +=- 0a b a b ⋅=⇔⊥ 故选：A ．5点在上，且，设 0,OA OB ⋅=C AB AOC ∠30=︒，则等于(,)OC mOA nOB m n R =+∈ mnA ．B ．3CD 13【答案】B【分析】由已知得，以OA ，OB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设，写出点坐标，OA OB ⊥OC t =C 代入，可得结论．OC mOA nOB =+【详解】因为所以，以OA ，OB 为x 、y 轴建立直角坐标系，A (1，0)，B （0，0,OA OB ⋅=OA OB ⊥，设，则C ，）， OC t = 12t，，因为，1,)2OC t = ()mOA nOB m += OC mOA nOB =+所以，所以，m =12t =3m n =故选：B ．【点睛】本题考查平面向量线性运算的坐标表示，考查向量垂直与数量积的关系．解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标表示向量．6．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中提出了已知三角形的三边求面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”以上文字用公式表示就是a ，S =b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，S 是△ABC 的面积，在△ABC 中，若，，3a =5b =，则△ABC 的内切圆的面积为（ ）6c =A ．B C ．D ．7π28π79π7【答案】C【分析】由内心性质得（l 为△ABC 周长），即可求出内切圆半径为r ，即可求内切圆的12ABC S lr =A 面积.【详解】因为，，， 3a =5b =6c =所以 ABCS ===A △ABC 的周长， 35614l =++=设△ABC 的内切圆半径为r ，由，解得．12ABC S lr =A r =所以△ABC 的内切圆的面积为． 28ππ7r =故选：C ．7．已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足∈R .||||(sin sin AB AB AC ACOP OA C Bλλ⋅⋅=++则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】C【解析】利用正弦定理化简已知条件，由此判断出的轨迹经过重心. P 【详解】设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，ABC R 2sin sin AB AC R CB==所以，||||()sin sin AB AB AC ACOP OA C Bλ⋅⋅=++2()OA R AB AC λ=+⋅⋅+2()AP R AB AC λ=⋅⋅+ 根据向量加法的几何意义可知：表示以为邻边的平行四边形的对角线，AB AC +,AB AC 此对角线与三角形中线重合，所以在三角形的中线上，也即点的轨迹一定通过三角形P ABC P 的重心.ABC 故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理的运用，考查向量加法的几何意义，属于中档题.8．在中，角，，所对的边分别为，，，是边上一点，平分，ABC A A B C a b c D AB CD ACB ∠且，若，则的最小值是（ ） CD =cos cos 2cos a B b A c C +=2a b +A ．B ．6C ．D ．44+3+【答案】C【分析】根据正弦定理与的内角关系可得，由角平分线得，根据ABC A π3C =π6ACD BCD ∠=∠=面积公式由可得，于是可转化为关于的式子，结合基本不等ACB ACD BCD S S S =+△△△ab b a =+2a b +a 式即可得最值.【详解】解：∵，cos cos 2cos a B b A c C +=由正弦定理得， sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=∴，∴， ()sin 2sin cos A B C C +=sin 2sin cos C C C =∵，∴，∴，即，∴.0πC <<sin 0C >1cos 2C =π3C =π6ACD BCD ∠=∠=∵，ACB ACD BCD S S S =+△△△∴， 1π1π1πsin 232626ab =+∴，∴. ab b a =+1111a b a a ==+--∵，∴， 0b >1a >∴， ()1122121311a b a a a a +=++=-++--33≥+=+当且仅当，即 ()1211a a -=-1a =+所以最小值为3+故选：C.二、多选题9．在水流速度为10的自西向东的河中，如果要使船以的速度与河的南岸垂直到达km/h 北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（ ） A ．北偏西30° B ．北偏西60°C ．20D ．30km/h km/h 【答案】AC【分析】如图所示，设，，解三角形即可得出． 10AB = AC =【详解】如图所示，设，，而10AB = AC = 20=tan CBA ∠=，所以，即船出发时行驶速度的大小为20，方向为北偏西30°． 60CBA ∠= km/h 故选：AC ．10．定义两个非零平面向量的一种新运算：，其中表示，的夹角，则sin ,a b a b a b ⊗= ,a b a b对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的是（ ）a bA ．B ．a b b a ⊗=⊗ ()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗ C ．D ．若，则与平行()()a b a b λλ⊗=⊗ 0a b ⊗= a b【答案】AD【分析】根据向量的新运算逐个分析判断.【详解】，∴A 正确； sin ,sin ,b a b a b b a b a a b a ⊗===⊗ 对于选项B ，如图，在平行四边形中，取，，， ABCD AD a = AB b = AC c =则表示的面积的两倍，表示的面积的两倍，a c ⊗ ACD Abc ⊗ABC A 表示平行四边形的面积的两倍，而，故B 错误； a c b c ⊗+⊗ABCD ()0a b c +⊗= 对于选项C ，，()sin ,a b a b a b λλ⊗=，当时，不成立，故C 错误；()sin ,a b a b a b λλλ⊗=0λ<由，∴，∵， 0a b ⊗=sin ,0a b = ,[0,]a b π∈ ∴或，即与平行，故D 正确.,0a b = ,a b π= a b11．已知向量，则下列说法正确的是（ ） ()()2,1,1,a b t =-=A ．若，则t 的值为-2 //a b r rB ．的最小值为1a b + C ．若，则t 的值为2a b a b +=- D ．若a 与b 的夹角为钝角，则t 的取值范围是 2t <【答案】BC【分析】A 选项：利用向量共线列方程，求出t ，即可判断；B 选项：求出a +=C 选项：由列方程，即可判断； a b a b +=-D 选项：利用向量夹角公式直接求解.【详解】A 选项：若，则，解得：，故A 错；//a b r r 210t --=12t =-B 选项：，所以t =-1时，取得最小值为()1,1a b t +=-+ a +=1，故B 正确；C 选项：， ()1,1a b t +=-+ ()3,1a b t -=--若，即，故C 正确；a b a b +=- =2t =D 选项：若与的夹角为钝角，则且，a b cos ,0a b < cos ,1a b ≠-cos ,a b a b a b⋅==⋅ ，所以，解得：且，故D 错误．20t -+<1≠-2t <12t ≠-故选：BC12．在中，为边上的一点，且，若为边上的一点，且满足ABC A D AC 12AD DC =P BD （、），则下列结论正确的是（ ） AP mAB nAC =+0m >0n >A ． 1m n +=B ．的最大值为 mn 14C ．的最小值为 41m n+7+D ．的最小值为 229m n +12【答案】CD【分析】根据三点公式求得，结合基本不等式判断BCD 选项的正确性.,,B D P 31m n +=【详解】A 选项，，∵、、三点共线，∴，A 错. 3AP mAB nAC mAB nAD =+=+B D P 31m n +=B 选项，由A 选项可知（当且仅当时取等号），B 错. 21131333212m n mn m n+⎛⎫=⨯≤⨯= ⎪⎝⎭132m n ==C 选项，， ()4141123777n m m n m n m n m n⎛⎫+=+⨯+=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当，即C 对. 12n mm n=4m ==-D 选项，（当且仅当时取等号），D 对.()22231922m n m n ++≥=132m n ==故选：CD三、填空题13．在等边中，若，，()，且，则的ABC A 2AB =2BD DC =AE AC AB λ=- R λ∈4AD AE ⋅=- λ值为_______.【答案】##-0.425-【分析】将分别用来表示后，即可求解.,AD AE ,AB AC【详解】由已知得，22cos 602AB AC ⋅=⨯⨯=，2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ∴， 12212()()24424333333AD AE AB AC AC AB λλλ⋅=+⋅-=⨯+⨯-⨯-⨯=- 解得.25λ=-故答案为：25-四、双空题14．已知平面向量，其中，的夹角是，则____________；若为任,a b ||2,||1a b == ,a b 3π2a b -= t 意实数，则的最小值为____________． a tb +【答案】 2【解析】根据平面向量的数量积和模的运算公式，即可求得的值，再由模的运算公式，化简2a b -r r得到.a tb =+ 【详解】由题意，平面向量，其中，的夹角是，,a b ||2,||1a b == ,a b 3π可得，cos 21cos 133a b a b ππ⋅=⋅=⨯⨯= 则，所以，22224444414a b a b a b -=+-⋅=+-⨯= 22a b -=又由a tb ==+==所以当时，的最小值为1t =-a tb + 故答案为：2【点睛】求平面向量的模的2种方法：1及，把向量模的运算转化为数量积的运算；22()2a b a a b b +=±⋅+2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.五、填空题 15．若满足的△ABC 恰有一解，则实数m 的取值范围是3ABC AC π∠==，BC m =___________． 【答案】({}0,4⋃【分析】利用余弦定理即可求解. 【详解】设边长AB=x .由余弦定理得，，即 2222cos b x m mx B =+-22120x mx m -+-=因为恰有一解，所以关于x 的方程只有一个正根，ABC A 所以或 ()224120m m ∆=--=()222Δ41201200m m m m ⎧=-->⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎩解得：或． 4m =0m <≤故答案为：({}0,4⋃16．在中，已知，若，且，则AOB A 145OB AOB =∠=︒ ，OP OA OB λμ=+ 22λμ+=OA在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则的取值范围是_________． OP me eOP m 【答案】 1⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】先求得在上的投影向量为， 再分，OAOP··OA OP me e e OP ==2λ<-，和讨论求解.20λ-≤<0λ=0λ>【详解】解：因为， 145OB AOB =∠=︒ ，所以由余弦定理得，1OA =由已知得：， ··12OA OP OA OA OB λλ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ，21122OA OA OB λλλ⎛⎫=+-⋅=+ ⎪⎝⎭OP ==故在上的投影向量为， OA OP··OA OP me e e OP ==当时，，2λ<-m ==；0⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭当时，； 20λ-≤<0m ⎡=⎢⎣当，； 0λ=m =当，0λ>1.m ⎤==⎥⎦综上的取值范围是．m 1⎛⎤⎥ ⎝⎦故答案为： 1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦六、解答题17．在平面直角坐标系中，已知．()()1,2,3,4a b =-=(1)若，求实数k 的值； ()()3a b a kb -+ ∥(2)若，求实数t 的值．()-⊥a tb b rr r 【答案】(1)13k =-(2)15t =-【分析】（1）由共线向量的坐标公式，可得答案； （2）由垂直向量的数量积为零，根据坐标公式，可得答案.【详解】（1）因为．所以，()()1,2,3,4a b =-= ()()()331,23,40,10a b -=--=- ，因为()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-()()3a b a b -+ ∥所以，解得．()10310k -+=13k =-（2），因为， ()()()1,23,413,24a tb t t -=--=---()a tb b -⊥ 所以，解得．()()()313424a tb b t t -⋅=⨯-+⨯-- 2550t =--=15t =-18．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，1e 2e 122AB e e =+ 12e e BE λ=-+ 122EC e e =-+且，，三点共线． A E C (1)求实数的值；λ(2)若，，求的坐标；()13,1e = ()21,2e =-- BC(3)已知，在（2）的条件下，若，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点1,32D ⎛⎫- ⎪⎝⎭A B C D 的坐标．A 【答案】(1)32λ=-(2) 17,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3) ()8,5A【分析】（1），利用共线向量的坐标表示即可求解； //AE EC （2），利用向量加法的坐标表示即可求解； BC BE EC =+u u u r u u r u u u r（3）根据题意得，即可求解．AD BC =【详解】（1）， ()()()12121221AE AB BE e e e e e e λλ=+=++-+=++ 因为，，三点共线，所以存在实数，使得，A E C k AE k EC =即，得．()()121212e e k e e λ++=-+ ()1212(1)k e k e λ+=-- 因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以解得，．1e 2e 12010k k λ+=⎧⎨--=⎩12k =-32λ=-（2）121212312322BC BE EC e e e e e e u u u r u u r u u u r u r u r u r u r u r u r=+=---+=--()()()111733,11,29,3,1,2222⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯--=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）因为，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以，设，所以A B C D AD BC =(),A x y ，因为，1,32AD x y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 17,22BC ⎛⎫-- ⎪⎝=⎭所以，解得，所以1172232x y ⎧--=-⎪⎨⎪-=-⎩85x y =⎧⎨=⎩()8,5A 19．如图，在梯形，，，，，.ABCD //AB CD 3BAD π∠=2AB AD ==3CD =AE AB λ=(1)若，求的值；AC DE ⊥λ(2)若，求与的夹角的正切值. 12λ=AC DE 【答案】(1) 78(2)【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，由，即可得到，根据数AC DE ⊥ 0AC DE ⋅=u u u r u u u r量积的坐标运算得到方程，解得即可；（2）根据向量的夹角公式求出，再根据同角三角函数的基本关系计算可得； cos ,AC DE【详解】（1）解：如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，A 则，，，，因为，则，()0,0A ()2,0B (D (C AE AB λ=()2,0E λ所以，，(AC =u uu r (21,DE λ=- 因为，所以，解得AC DE ⊥ ()(4210A DE C λ⋅=-= 78λ=（2）解：当时，，，12λ=(AC =u u ur(0,DE =所以，3ACDE ⋅=-=所以，cos ,AC DEAC DE AC DE ⋅===⋅所以sin ,AC DE ==所以，sin ,tan ,cos ,ACDE AC DE AC DE===故与的夹角的正切值为AC DE20．如图，在海岸A 处，发现北偏东方向，距离A 为海里的B 处有一艘走私船，在45︒1)-A 处北偏西方向，距离A 为20海里的C 处有一艘缉私艇奉命以海里/小时的速度追截走私75︒船，此时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行30︒驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．【答案】缉私艇沿北偏东60︒【分析】设缉私艇在点D 处追上走私船，所需t 小时，在中，利用余弦定理求得，再利ABC A BC 用正弦定理求得，从而可得，在中，由正弦定理即可得出答案. ABC ∠CBD ∠BCD △【详解】解：设缉私艇在点D 处追上走私船，所需t 小时，则海里，海里， 10BD t =CD =因为，4575120BAC ∠=︒+︒=︒在中，由余弦定理得，ABC A 2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠即， 2221)2021)20cos120600BC ⎡⎤=+-⨯⨯⨯︒=⎣⎦所以BC =由正弦定理得sin sin AC BAC ABC BC ⋅∠∠===所以，=45ABC ∠︒所以BC 为东西方向，所以， 120CBD ∠=︒在中，由正弦定理得，BCD △sin 1sin 2BD CBD BCD CD ⋅∠∠===所以，所以，30BCD ∠=︒30BDC ∠=︒所以，即，即，BD BC ==10t =t所以缉私艇沿北偏东小时.60︒21．在△ABC 中，A 为钝角，．()222tan b c a A +-⋅=(1)求A ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，求BC 边上高线的长．条件①：；条件②：，3C B =7a =sin 5sin 3B C =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) 23A π=(2)选条件①，不合题意；选条件②， BC【分析】（1）由已知结合余弦定理可解；（2）选条件①，根据内角和可的角B 、C ，然后判断；选条件②，根据正弦定理可得，然后53b c =结合余弦定理可得b 、c ，然后可解.【详解】（1）由题知， ()222sin cos Ab c a A+-⋅=则由余弦定理可得222sin sin cos 2cos cos b c a A A A bc A A +-⋅=⋅=所以sin A =，所以． 2A ππ<<23A π=（2）选条件①： 3C B =由（1）知：，则，代入，解得：，， 23A π=π3C B +=3C B =π12B =π4C =此时△ABC 存在但不唯一，不合题意，舍去； 选条件②：． sin 57,sin 3B aC ==由正弦定理，及，得． sin sin b c B C =sin 5sin 3B C =53b c =在△中，，设，由余弦定理得， ABC 7a =5,3(0)b x c x x ==>222a b c bc =++所以，解得．符合要求． 2227(5)(3)53x x x x =++⋅1,5,3x b c ===设BC 边上高线的长为由， ,h 11sin 22ABC S bc A ah ∆==得，解得 1153722h ⨯⨯=⨯h =22．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且. ABC A B C a b c cos sin c A A a b =+(1)求角的大小；C(2)若与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围. c =A B D ABD △【答案】(1)； π3C =(2). (3【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C C小；（2）设,利用正弦定理,三角形面积公式及三角恒等变换可得DAB α∠=.26ABD S πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A 【详解】（1）根据正弦定理有 sin cos sin sin sin C A CA AB =+即 ()sin cos sin sin sinC A C A AA C =++, sin sin sin cos C A A A C =+，，，π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0A ∴≠1cos C C =+，,π2sin 16C ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭π1sin 62C ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,0,,,2663C C ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，.∴ππ66C -=π3C ∴=（2）由题意可知,设, 2π3ADB ∠=π,3DAB ABD αα∠=∴∠=-,又，π022α<<ππ20,,,32124B πππαα⎛⎫⎛⎫=--∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在中,由正弦定理可得:.ABD △sin sinAB ADADB ABD=∠∠即， 4sin 3sin 3AD AD παπα⎛⎫=∴=- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，11sin 4sin sin 223ABD S AB AD πααα⎛⎫∴=⋅⋅=⨯-⎪⎝⎭A，26sin cos 26παααα⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,2,,2,124633πππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， sin 26πα⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(236πα⎛⎫∴+⎪⎝⎭所以三角形面积的取值范围为.(3。

高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知平面向量，，则向量（ ）()1,1a =()1,1b =- 1322a b -= A ． B ． ()2,1--()2,1-C ． D ．()1,0-()1,2-【答案】D【分析】利用平面向量坐标的线性运算法则可得出的坐标.1322a b -【详解】，，， ()1,1a =r Q ()1,1b =-r ()()()131311311,11,1,,1,222222222a b ⎛⎫⎛⎫∴-=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r 故选D.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，解题的关键就是利用平面向量坐标的运算律，考查计算能力，属于基础题. 2．若，则（ ） i 2i z =+z =A ． B ．C ．D ．12i +12i -+12i -12i --【答案】A【分析】根据复数的运算规则以及共轭复数的定义即可. 【详解】， ； 2i12i iz +==-12i z =+故选：A.3．已知中，，则c =（ ）ABC A 3,,612a A B ππ===A ．1 BC ．D【答案】C【分析】根据三角形内角和求出，再根据正弦定理求出. C c 【详解】因为，所以， 3,,612a A B ππ===36124Cππππ=--=由正弦定理可得，sin sin a Cc A===故选：C.4．如图，是水平放置的的直观图，则的面积是'''O A B ∆OAB ∆OAB ∆A ．6B ．C ．D ．12【答案】D【详解】由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，直角边，AOB ∆'6,2''4OA OA OB O B ====，故选D. 11641222AOB S OA OB ∆∴=⋅=⨯⨯=5．已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么a b 6032a b +=A B ．1 C D ．4【答案】C【详解】由题意，，所1cos 602a b ⋅=︒=22232(32)9124a b a b a a b b +=+=+⋅+ 19124192=+⨯+=以C ．32a b+=点睛：向量的数量积的性质之一：，由此公式求向量模的运算常常转化为向量的平方（数22a a = 量积）计算．6．在中，分别是角的对边，若，则角等于（ ） ABC A ,,a b c ,,A B C 222a b c -=A A ． B ．或 135 60 120 C ． D ．或45 135 45 【答案】C【分析】由余弦定理化简后求解【详解】，又余弦定理得222a b c -=222cos 2b c a A bc +-==故 45A =︒故选：C7．若复数满足 (为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） z ()12i 13i z -+=+i z A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先求，再用复数的乘除运算法则进行计算，从而得到复数在复平面内对应的点所13i +z 在的象限.【详解】1+z ==复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. z ⎛⎝故选：C8．已知圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的表面积为（ ） A ． B ．C ．D ．30π18π24π27π【答案】C【分析】根据圆锥的母线长为5，高为4，求得圆锥的底面半径，然后由圆锥的表面积公式求解. 【详解】因为圆锥的母线长为5，高为4， 所以圆锥的底面半径为3，所以圆锥的表面积为． 235324πππ⨯⨯+⨯=故选：C9．如图，在平行四边形中，E 是的中点．若，，则（ ）ABCD DC AB a = AD b =BE =A ．B ．C ．D ．12a b -+ 12a b -- 12a b + 12a b - 【答案】A【分析】根据图形，利用向量的加，减，数乘运算，即可判断选项. 【详解】12BE BC CE BC DC =+=- .1122AD AB b a =-=- 故选：A10．已知，若的终点坐标为（3，-6），则的起点坐标为（ ） ()1,2a =- a a A ．（-4，-8） B ．（-4，8）C ．（4，-8）D ．（4，8）【答案】C【分析】用向量的坐标运算求解即可.【详解】设的起点坐标为，a(),x y 的终点坐标为（3，-6）， a rQ，(3,6)(,)(3,6)a x y x y ∴=-=---又， ()1,2a =- ，解得，3162x y -=-⎧∴⎨--=⎩48x y =⎧⎨=-⎩的起点坐标为， a()4,8-故选：C.11．在中，角所对的边分别为，向量，若ABC A ,,A B C ,,a b c (cos ,cos ),()m A B n a b ==- //m nu r r，则内角A 的大小为（ ） A ．B ．C ．D ．π36ππ2π4【答案】D【分析】利用向量平行列出方程，结合正弦定理求得的大小.A【详解】由于，所以，//m n u r r)cos cos A b a B ⋅-=由正弦定理得，)cos sin sin cos AC B A B -=，cos sin cos sin cos C A B A A B -=，()cos sin cos sin cos sin sin C A A B B A A B C =+=+=由于， 0π,sin 0C C <<>， 1,cos 0A A ==>所以三角形的内角为锐角，所以. ABC A π4A =故选：D12．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的个数是（ ） （1）与平行 （2）与是异面直线 AF CN BM AN （3）与是异面直线 （4）与是异面直线AF BM BN DEA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】把平面图还原正方体，由正方体的结构特征判断（1）与（2）；由异面直线的定义判断（3）与（4）．【详解】解：把正方体的平面展开图还原原正方体如图，由正方体的结构特征可知，与异面垂直，故（1）错误；AF CN 与平行，故（2）错误；BM AN 平面，平面，平面，，BM ⊂BCMF F ∈BCMF A ∉BCMF F BM ∉由异面直线定义可得，与是异面直线，故（3）正确； AF BM 平面，平面，平面，，DE ⊂ADNE N ∈ADNE B ∉ADNE N DE ∉由异面直线定义可得，与是异面直线，故（4）正确． BN DE 所以正确的个数是2个. 故选：B ．二、填空题13．已知平面向量，，若，则___________. ()1,2a = ()3,b m =- a b ⊥ m =【答案】32##1.5【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】由，得，即，解得.a b ⊥ 0a b ⋅=320-+=m 32m =故答案为：3214．如图，是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为E 1111ABCD A B C D -11C D 1BD CE ___________.【分析】取的中点，连接，根据题意得出为异面直线与所成的11A B F 1,,BF EF D F 1FBD ∠1BD CE 角，利用余弦定理求值即可.【详解】取的中点，连接，11A B F 1,,BF EF D F 因为分别为的中点，所以, ,F E 1111,A B C D //,=EF BC EF BC 所以四边形为平行四边形，所以， BCEF //BF CE 所以为异面直线与所成的角.1FBD ∠1BD CE设正方体的棱长为2，则1111ABCD A B C D -1BD ==， 1D F BF ===所以根据余弦定理，得1cos FBD ∠===. 15．一船以每小时的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在北偏东处；行驶后，15km A B 60︒4h 船到达处，看到这个灯塔在北偏东处.这时船与灯塔的距离为_______. C 15︒km 【答案】.【分析】由题意画出示意图，求出各角的度数后，由正弦定理即可得解. 【详解】解：由题意画出示意图，如图：可得，，， 30CAB ∠= 105BCA ∠= 60AC =则，1803010545B ∠=--= 在中，由正弦定理得，即，ABCA sin sin BC ACCAB B=∠12CB =解得. CB =故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了转化化归思想，属于基础题. 16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ．若，，△ABC 的面积为3A π=4c =，则△ABC 的外接圆的半径为________． 【答案】2【分析】利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径.2b =a =【详解】由．．解得．14sin 23b π⨯⋅=2b =22224224cos 123a π∴=+-⨯⨯=a =，解得．24R ∴==2R =故答案为:．2三、解答题17．当实数m 满足什么条件时，复数分别满足下列条件？()()22563i m m m m -++-(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数；【答案】(1)或 0m =3m =(2)且 0m ≠3m ≠(3) 2m =【分析】由复数的概念列出方程求出的值.m 【详解】（1）当，即或时，复数为实数； 230m m -=0m =3m =()()22563i m m m m -++-（2）当，即且时，复数为虚数；230m m -¹0m ≠3m ≠()()22563i m m m m -++-（3）当，解得2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩2m =所以当时，复数为纯虚数.2m =()()22563i m m m m -++-18．已知，求分别在下列条件下的值.||4,||2a b ==a b ⋅ (1)；,120a b 〈〉=(2)； a b ⊥ (3).//a b 【答案】(1)； 4-(2)； 0(3). 8±【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可； （2）根据互相垂直的两个向量数量积的性质进行求解即可；（3）根据平面向量数量积的定义，结合共线向量的性质进行求解【详解】（1）1cos1204242a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭（2）因为，所以.a b ⊥ 0a b ⋅=（3）因为，所以与的夹角为或，a bA a b 0 180 所以.()428a b a b ⋅=±=±⨯=±19．在中，角所对的边分别为.已知. ABC A ,,A B C ,,a b c 2,3,3===πa c B （1）求的值； b （2）求的面积. ABC A S 【答案】（12 【分析】（1）由a ，c 及cosB 的值，利用余弦定理即可求出b 的值； （2）利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积． 【详解】（1） ，由余弦定理可得2,3,3a c B π=== ,2222cos 7b a c ac B =+-=,∴b =（2）1sin 2S ac B ==【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．20．如图，棱锥中，底面是平行四边形，为的中点.求证：面.S ABCD -E SD //SB AEC【答案】证明见解析【分析】连接交于，连接,先证明，再证明面.BD AC O EO //OE SB //SB AEC【详解】 .连接交于，连接BD AC O EO 四边形为平行四边形，ABCD 为的中点.∴O AC 为中点,.E SD //OE SB ∴又面，面， OE ⊂AEC SB ⊄AEC 面.//SB ∴AEC 【点睛】本题主要考查空间直线平面平行的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．在中，角、、所对的边分别为、、． ABC A A B C a b c cos sin C c B =+(1)求角的值；B(2)若外接圆的半径面积的最大值． ABC A R =ABC A 【答案】(1)3B π=(2)【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得tan B B 角的值；B （2）求出的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式可b ac 求得面积的最大值．ABC A【详解】（1， cos sin C c B =+cos sin sin B C C B A +=， ()cos sin sin cos sin B C C B B C B C B C +=+=因为，则，所以，，则， ()0,C π∈sin 0C >sin B B =tan B =，因此，.()0,B π∈ 3B π=（2）解：由正弦定理可得，2sin 6b R B ==由余弦定理可得，即， 22222262cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+-≥-=36ac ≤当且仅当时，等号成立，6a c ==第 11 页 共 11 页故面积的最大值为ABC A 136sin 23π⨯⨯=22．已知向量，且，求： 33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）及；a b ⋅ ||a b + （2）若的最小值为，求实数的值． ()2||f x a b a b λ=⋅-+ 32-λ【答案】（1）， （2）. cos 2a b x ⋅= ||2cos a b x += 12λ=【分析】（1）利用向量的数量积和向量的模的坐标运算公式，直接运算，即可求解；（2）由（1）求得函数，令，得到2()2cos 4cos 1,[0,]2f x x x x πλ=--∈cos [0,1]t x =∈，结合二次函数的性质，即可求解. 2241,[0,1]y t t t λ=--∈【详解】（1）由题意，向量， 33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 可得， 33333cos ,sin cos ,sin cos cos sin sin cos()cos 22222222222x x x x x x a b x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1=所以.||2cos a b x +==== （2）由（1）可得， ()2||cos 24cos ,[0,]2f x a b a b x x x πλλ=⋅-+=-∈ 即， 2()cos 24cos 2cos 4cos 1,[0,2f x x x x x x πλλ=-=--∈令，所以，cos [0,1]t x =∈2241,[0,1]y t t t λ=--∈对称轴为，t λ=若，则，不符合题意；0λ≤min 1y =-若，则，解得（舍去）； 1λ≥min 3142y λ=-=-58λ=若，则，解得， 01λ<<2min 3122y λ=--=-12λ=综上可得：. 12λ=。

河南高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.集合用列举法表示为（）．A．{0,1,2,3,4}B．{－1,0,1,2,3,4}C．{1,2,3,4}D．{1,2,3,4,5}2.下列集合中表示同一集合的是（）．A．M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{（1,2）}3.设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a＜2D．a≤24.设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则（）∩（）等于（）．A．B．{4}C．{1,5}D．{2,5}5.如下图给出的四个对应关系，其中构成映射的是（）．A．（1）（2）B．（1）（4）C．（1）（2）（4）D．（3）（4）6.函数的定义域是（）．A．[2，＋∞）B．（3，＋∞）C．[2,3）∪（3，＋∞）D．（2,3）∪（3，＋∞）7.已知则的值等于（）．A．－2B．4C．2D．－48.|的图象是（）．9.已知集合A＝{1,3， }，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（）．A．0或B．0或3C．1或D．1或310.已知，则的解析式为（）．A．B．C．D．11.函数的值域是（）．A．B．（0,1）C．D．（0，＋∞）12.已知集合，，则M∪N等于（）．A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＞2}D．{x|x＞2或x＜0}二、填空题1.设全集U＝R，，，则图中阴影表示的集合为．2.已知集合，，则A∩B＝．3.已知函数的定义域为（－1,1），则函数＋的定义域是．4.下列图形是函数的图象的是．三、解答题1.已知集合M是由三个元素－2,，组成，若，求x．2.已知是一次函数，满足，求的解析式．3.已知若，求的值．4.已知集合，，若B⊆A，求实数m组成的集合．5.已知，．（1）当m＝1时，求A∪B；（2）若B⊆，求实数m的取值范围．6.某地上年度电价为0．8元，年用电量为1亿千瓦时，本年度计划将电价调至0．55元～0．75元之间，经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量（亿千瓦时）与（－0．4）元成反比例．又当＝0．65时，＝0．8．（1）求与之间的函数关系式；（2）若每千瓦时电的成本价为0．3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加20%？[收益＝用电量×（实际电价－成本价）]河南高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.集合用列举法表示为（）．A．{0,1,2,3,4}B．{－1,0,1,2,3,4}C．{1,2,3,4}D．{1,2,3,4,5}【答案】B【解析】因为，所以选B．【考点】集合的表示方法．2.下列集合中表示同一集合的是（）．A．M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{（1,2）}【答案】B【解析】A选项中的两个集合表示的是点集，点的坐标不同所以A错；C选项中的两个集合,集合表示的是点集，集合表示的是数集所以C错；D选项中的两个集合,集合表示的是数集,集合表示的是点集所以D错；B选项中的两个集合都表示的是数集且元素相同所以B正确．【考点】函数的三要素．3.设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a＜2D．a≤2【答案】B【解析】有分析题意可知：集合的范围比集合的范围要小即所覆盖的范围比所覆盖的范围大，所以．考点:集合间的基本关系．4.设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则（）∩（）等于（）．A．B．{4}C．{1,5}D．{2,5}【答案】C【解析】因为U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}；所以，，所以（）∩（）．【考点】集合的运算．5.如下图给出的四个对应关系，其中构成映射的是（）．A．（1）（2）B．（1）（4）C．（1）（2）（4）D．（3）（4）【答案】A【解析】由映射的定义可知：集合A中的元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应；但是（2）中的元素1,4没有象与之对应，（3）中的1,2都有两个象，所以（1）（4）正确．【考点】映射的定义．6.函数的定义域是（）．A．[2，＋∞）B．（3，＋∞）C．[2,3）∪（3，＋∞）D．（2,3）∪（3，＋∞）【答案】C【解析】因为，所以．【考点】函数的定义域．7.已知则的值等于（）．A．－2B．4C．2D．－4【答案】B【解析】当时，，当时，，所以．【考点】函数求值．8.|的图象是（）．【答案】B【解析】首先把的图像画出，然后再画|的图象；即把轴下方的图像对应翻到上方去即可．【考点】含绝对值函数的图像．9.已知集合A＝{1,3， }，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（）．A．0或B．0或3C．1或D．1或3【答案】B【解析】因为A＝{1,3， }，B＝{1，m}且A∪B＝A，所以或，由集合元素的相异性的特征可知：或．【考点】集合相等．10.已知，则的解析式为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】令因为所以，所以的解析式为．【考点】函数的解析式．11.函数的值域是（）．A．B．（0,1）C．D．（0，＋∞）【答案】D【解析】当时，；当时，，所以函数的值域为．【考点】函数的值域．12.已知集合，，则M∪N等于（）．A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＞2}D．{x|x＞2或x＜0}【答案】A【解析】因为,,所以M∪N．【考点】集合的运算．二、填空题1.设全集U＝R，，，则图中阴影表示的集合为．【答案】【解析】因为，，所以．【考点】集合间的基本的运算．2.已知集合，，则A∩B＝．【答案】【解析】因为，，所以．【考点】集合间的基本的运算．3.已知函数的定义域为（－1,1），则函数＋的定义域是．【答案】【解析】因为函数的定义域为（－1,1），所以所以函数＋的定义域为．【考点】函数的定义域．4.下列图形是函数的图象的是．【答案】③【解析】作分段函数的图像可以先画出在R上的图像然后再截取对应区间上的图像，剩下的这部分是相同的，所以应选③．【考点】分段函数的图像．三、解答题1.已知集合M是由三个元素－2,，组成，若，求x．【答案】【解析】首先根据元素与集合间的基本关系可得：或，然后再用分类讨论的思想逐一验证，这就需要把集合元素的三个特征牢记在心．象这类题目在这三个特征中用到最多的是互异性．试题解析：因为,所以或；当时，，经检验可知：都不满足元素的互异性，所以舍去．当时，，经检验可知：都符合题意．所以【考点】元素与集合的关系．2.已知是一次函数，满足，求的解析式．【答案】【解析】因为是一次函数，所以首先设函数的解析式为，然后根据可得，所以由对应系数相等列方程组为进而可求得系数的值，最后可确定函数解析式．试题解析：因为是一次函数，所以设，又因为满足，所以，所以，所以所以．【考点】求函数的解析式．3.已知若，求的值．【答案】【解析】像这样解分段函数的方程应逐一求解，首先分段求解如：当时，求解后再分析结果是否在对应范围内；当时，也是如此最后得出的值．试题解析：（1）当时，或（舍），所以．当时，都不符合的范围；所以综上可得：．【考点】分段函数的应用．4.已知集合，，若B⊆A，求实数m组成的集合．【答案】【解析】首先把集合中的元素确定，然后根据两集合间的关系B⊆A，把集合B的所有情况判断出来即：．下面根据集合B的情况讨论m的取值如：当时，；当时，；当时，；这样既可得到实数m的所有值．试题解析：因为且B⊆A，所以，当时，；当时，；当时，；所以综上可得：实数m组成的集合为．【考点】集合间的基本关系．5.已知，．（1）当m＝1时，求A∪B；（2）若B⊆，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）首先把集合中的元素确定，然后借助数轴求出并集；（2）根据两集合间的关系B⊆，把集合B的所有情况判断出来，下面根据集合B的情况讨论m的取值即当时应满足；当时，应满足；这样既可得到实数m的所有值．试题解析：（1）当m＝1时，，所以；因为所以，又因为所以当时应满足；当时，应满足即；综上可得：或．【考点】集合间的基本关系及运算．6.某地上年度电价为0．8元，年用电量为1亿千瓦时，本年度计划将电价调至0．55元～0．75元之间，经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量（亿千瓦时）与（－0．4）元成反比例．又当＝0．65时，＝0．8．（1）求与之间的函数关系式；（2）若每千瓦时电的成本价为0．3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加20%？[收益＝用电量×（实际电价－成本价）]【答案】（1）；（2）0．6【解析】（1）设出函数解析式，代入时，，即：根据（亿度）与成反比例可得到与之间的函数关系式，利用待定系数法求解即可；（2）利用收益=用电量×（实际电价-成本价），建立方程，即可求得结论．试题解析：（1）由题意，设，因为当时，，所以，所以，从而．（2）根据题意，得．整理得所以．又，所以．故当电价调至0．6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%．【考点】函数模型的应用．。

一．选择题（本大题共12个小题，满分60分，每小题5分）1．下列各式中，值为的是（ ）A ． B.C ． D.2．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．3．的值是 （ ）A ．B ．C ．D ．4．若，则角是 （ ）A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第二或第四象限角5．下列函数中，在区间(0，)上为增函数,且以为周期的函数是( )A ．B ．C ．D ．6．已知，，，则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．函数的最小正周期为（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题共90分）14．已知cos 0()1(1)02x x f x f x x π->⎧⎪=⎨+-≤⎪⎩，则的值等于_____ 。

15． .16．如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则它的解析式是 .三、解答题：（本大题共5个小题，共70 17．(本小题10分）若为偶函数，求a 的值 ．πx y 2cos -=,,a b c b a c <<()(1)cos f x x x =+2π18．(本小题12分） 已知全集{ x Z| 1x 5 }U =∈≤≤，集合A={ x|x 2 —6x ＋8=0 }，集合B={ 3，4，5 }． (1) 求；（2） 求(∁U A)∩B .19.本小题共12分)已知函数φ(x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且φ⎝⎛⎭⎫13＝16，φ(1)＝8，求φ(x )．20．(本题满分12分)已知函数，． （1）设是函数的零点，求及的值；（2）求函数的单调递增区间．、 1()1sin 22g x x =+()()()h x f x g x =+21．(本题满分12分)．已知+1. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期及其图像对称中心的坐标和对称轴的方程； （Ⅱ）当时，求f(x)的值域.22．（本小题满分12分）已知函数.（1）求证：不论为何实数总是为增函数；（2）确定的值，使为奇函数；（3）当为奇函数时，求的值域．高一数学参考答案1-12BBADDC A13．14．15．416. 17．解：∵2(1)a x a +--y=(x+1)x-a)=x ,且y 是偶函数。

2022-2023学年河南省郑州市高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．PA BC BA +-=（）A ．PBB ．CPC ．ACD ．PC【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得PA BC BA PA AC PC +-=+=.故选：D.2．已知向量a ，b 的夹角为π3，3a b ⋅=，2b = ，则a = （）A ．2B ．3C ．6D ．12【答案】B【分析】直接利用向量的数量积运算即可求解．【详解】依题意，π1cos 2332a b a b a a ⋅=⋅⋅=⋅⋅==.故选：B.3．已知向量a 与b 的方向相反，()2,3b =-r ，213a =，则a = （）A ．()6,4-B ．()4,6-C ．()4,6-D ．()6,4-【答案】C【分析】根据共线定理，可得两向量的数乘关系，设出向量坐标，建立方程，可得答案.【详解】∵a 与b的方向相反，∴a b λ= （0λ<）．设(),a x y = ，则()(),2,3x y λ=-，于是2,3.x y λλ=-⎧⎨=⎩由213a = ，得2252x y +=，即222491352λλλ+==，∴24λ=，∴2λ=-，∴()4,6a =-．故选：C.4．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，43a =，12b =，60B =︒，则A =（）A ．30°B ．45°C ．150°D ．30°或150°【答案】A【分析】运用正弦定理，结合三角形大边对大角的性质进行求解即可.【详解】因为43a =，12b =，60B =︒，所以由正弦定理可得343sin 12sin 122a B A b⨯===，所以30A =︒或150°．因为b a >，所以B A >，所以30A =︒．故选：A5．已知在ABC 中，5AB =，4BC =，4cos 5B =，则cos A =（）A ．35B ．34C ．32D ．25【答案】A【分析】直接利用余弦定理可解得3AC =，由此可知ABC 为直角三角形，所以3cos 5AC A AB ==.【详解】由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，解得3AC =，所以222AB AC BC =+，所以ABC 为直角三角形，则在Rt ABC △中，3cos 5AC A AB ==．故选：A.6．如图，在ABC 中，π3ABC ∠=，E 为AB 边的中点，F 为BC 边上的点，且34BF BC = ，2AB =，4BC =，则AC EF ⋅=（）A ．6B ．9C ．10D ．19【答案】B【分析】运用向量运算法则将AC EF ⋅ 转化为51224AC EF BA BC ⋅-⋅+=，再代入向量数量积公式πcos 3BA BC BA BC ⋅⋅⋅= 即可求解.【详解】依题意，()()()3142AC EF BC BA BF BE BC BA BC BA ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭223131512242424BC BA BC BA BC BA BA BC =-⋅-⋅+=-⋅+5π5114cos 142494342BA BC =-⋅⋅=-⨯⨯⨯= ．故选：B.7．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上靠近点A 的三等分点，F 为AB 边上靠近点B 的四等分点，且线段EF 交AC 于点P ．若AB a=，AD b = ，则AP = （）A ．3344a b+ B ．331313a b +C ．51142a b+ D ．19416a b+ 【答案】B【分析】AP AC λ= ，将AP 用,AE AF表示，再根据E ，F ，P 三点共线，求得λ，从而可的答案.【详解】∵E 为AD 边上靠近点A 的三等分点，F 为AB 边上靠近点B 的四等分点，∴13AE AD = ，34AF AB = ，设()433AP AC AB AD AF AE λλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，∵E ，F ，P 三点共线，∴4313λλ+=，解得313λ=，于是()()333131313AP AB AD AB AD a b λ=+=+=+ ．故选：B.8．已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()2cos cos cos 3sin A B C B +=，7a =，6bc =，则b c +=（）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】C【分析】利用诱导公式、两角和的余弦公式化简已知条件，求得A ，利用余弦定理求得b c +.【详解】∵()2cos cos cos 3sin A B C B +=，πA B C ++=，∴()2cos cos 2cos π3sin A B A B B +--=，()2cos cos 2cos 3sin A B A B B -+=，∴2sin sin 3sin A B B =．∵ABC 为锐角三角形，∴sin 0B ≠，∴3sin 2A =．而π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π3A =．由余弦定理可得222π2cos 3a b c bc =+-，∴2276b c =+-，∴2213b c +=，则()222213125b c b c b c bc +=+=++=+=．故选：C二、多选题9．已知向量()()2,1,2,4a b ==- ，则（）A ．5a =B ．1//()4a ab +C ．a b⊥ D ．a b a b+=+ 【答案】AC【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，结合向量的平行坐标表示和数量积的坐标运算公式，逐项判定，即可求解.【详解】由()2,1a =r，可得5a = ，所以A 正确；由()()2,1,2,4a b ==- ，可得13(,2)42a b += ，因为322102⨯-⨯≠，所以a 与14a b + 不共线，所以B 错误；由2(2)140a b ⋅=⨯-+⨯=r r ，所以a b ⊥，故C 正确；由()()2,1,2,4a b ==- ，可得241(2)0⨯-⨯-≠，可得a 与b 的方向不相同，所以a b a b +≠+，故D 错误．故选：AC.10．下列说法中正确的有（）A ．若AB与CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上B ．若向量()1,3a = ，()1,3a b -=--，则a b∥C ．若平面上不共线的四点O ，A ，B ，C 满足320OA OB OC -+=，则2AB BC=D ．若非零向量a ，b 满足a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角是π3【答案】BC【分析】对于A ，根据向量共线的定义，可得其正误；对于B ，利用向量共线定理，可得其正误；对于C ，根据向量减法，结合共线定理，可得其正误；对于D ，根据向量模的求解以及夹角公式，可得答案.【详解】AB与CD 是共线向量，也可能是AB CD ，故A 错误；设(),b x y = ，∵()1,3a = ，()1,3a b -=--，∴11,33,x y -=-⎧⎨-=-⎩解得2,6,x y =⎧⎨=⎩∴()2,6b = ，又∵16320⨯-⨯=，∴a b∥，故B 正确；由已知得()()220OA OB OC OB BA BC -+-=+= ，∴2AB BC =，∴2AB BC=，故C 正确；由()22a a b =- 整理可得22b a b =⋅，设a 与a b + 的夹角是θ，则()22222213322cos 232a b a a a b a a b a a a b a bθ+⋅+====⋅+⋅++⋅ ，∴a 与a b + 的夹角是π6，故D 错误．故选：BC.11．已知向量a ，b的夹角为π6，3a = ，1= b ，R t ∈，则（）A ．b 在a 方向上的投影向量的模为32B ．3a b + 在a 方向上的投影向量的模为32C ．ta b + 的最小值为14D ．ta b +取得最小值时，()a ta b⊥+ 【答案】AD【分析】AB 选项，利用投影向量的定义求解判断；CD 选项，利用数量积的运算律求解判断.【详解】因为b 在a 方向上的投影向量的模为π3cos 62b = ，故A 正确；因为3a b + 在a 方向上的投影向量的模为()22π3331cos 339632a b a a b a a a +⨯⨯⨯+⋅+⋅=== ，故B 错误；22222223331292193319264ta b t a ta b b t t t t t ⎛⎫+=+⋅+=+⨯+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭，当36t =-时，ta b + 取得最小值12，此时()233333990262a ta b ta a b t ⎛⎫⋅+=+⋅=+=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以()a tab ⊥+，故C 错误，D 正确．故选：AD.12．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin sin a A B c C b B -=-，则下列说法正确的是（）A ．π6C =B ．若ABC 的面积为3，则c 的最小值为2C ．若1a =，5π12B =，则ABC 的面积为338+D ．若3b =，7c =，则满足条件的ABC 有且仅有一个【答案】BC【分析】由正、余弦定理及已知得π3C =，再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积公式求解．【详解】∵()sin sin sin sin a A B c C b B -=-，∴由正弦定理可得22()a a b c b -=-，即222a b c ab +-=，对于A 选项，由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +-==，∵0πC <<，∴π3C =，故A 错误；对于B 选项，由题可知13sin 324ab C ab ==，∴4ab =，由余弦定理可得222222cos 24c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-==，∴2c ≥，当且仅当2a b ==时等号成立，故c 的最小值为2，故B 正确；对于C 选项，由题可知π4A =，由正弦定理得sin sin a c A C =，∴3sin 62sin 222a C c A ===∴ABC 的面积为1165π6ππsin 1sin sin()22212446ac B =⨯⨯=+66233448++=⨯=，故C 正确；对于D 选项，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即2793a a =+-，2320a a -+=，解得1a =或2a =，故D 错误．故选：BC ．三、填空题13．已知向量()1,3a =- ，(),0b x =，()2,1c = ，若()c a b ⊥+ ，则实数x 的值为．【答案】12-/0.5-【分析】利用平面向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】因为向量()1,3a =- ，(),0b x = ，则()1,3a b x +=-，又()2,1c = ，且()c a b ⊥+ ，因此2(1)30x -+=，解得12x =-，所以实数x 的值为12-.故答案为：12-14．已知14AB BC = ，且BA mAC =，则实数m =．【答案】15-/-0.2【分析】利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：∵()1144BA AB BC BA AC =-=-=-+，∴15BA AC mAC =-=，∴15m =-．故答案为：15-15．如图所示，向量OA 与OB 的夹角为5π6，向量OP 与OB 的夹角为π6，2OA OP == ，4OB = ，若OP mOA nOB =+ ，（m ，n R ∈），则m n +=．【答案】312+【分析】建立直角坐标系，利用共线向量坐标表达公式进行求解即可.【详解】以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 且向上的方向为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0B ．设()11,P x y ，()22,A x y ，于是1π2cos36x ==，1π2sin 16y ==，且25π2cos36x ==-，25π2sin 16y ==．由OP mOA nOB =+得()()()3,13,14,0m n =-+，∴334,1,m n m ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩解得1,3,2m n =⎧⎪⎨=⎪⎩∴312m n +=+．故答案为：312+16．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4A =，22222b a c =+，则sin C =．【答案】255【分析】综合运用正、余弦定理求解即可．【详解】由22222b a c =+得2222c a b =-，而π4A =，由余弦定理可得222222cos 2a b c bc A b c bc =+-=+-，即222222c b b c bc -=+-，整理可得324b c =，所以222222952828c c a b c c =-=-=，于是522a c =，由正弦定理可得sin 5sin 22a A c C ==，所以22π25sin sin 455C ==，故答案为：255．四、解答题17．已知向量()1,2a =r，()1,b t = （R t ∈）．(1)若()()a b a b +-，求t 的值；(2)若1t =，a与a mb + 的夹角为锐角，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2t =(2)()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示即可求t 值；（2）根据平面向量夹角的定义及其坐标表示即可求m 的取值范围．【详解】（1）由题可知(1,2)(1,)(2,2)a b t t +=+=+ ，(1,2)(1,)(0,2)a b t t -=-=-∵()()a b a b +- ，∴2(2)0t -=，∴2t =．（2）若1t =，则()1,1b = ，(1,2)a mb m m +=++，∵a与a mb + 的夹角为锐角，∴()0a a mb ⋅+> ，且a与a mb + 不共线，∴12(2)02(1)2m m m m+++>⎧⎨+≠+⎩，解得53m >-且0m ≠，∴m 的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭．18．已知1e 、2e 为单位向量，且1e 、2e 的夹角为120 ，向量122a e e =+，21b e e =-．(1)求a b ⋅ ；(2)求a 与b的夹角．【答案】(1)32-(2)120【分析】（1）利用平面向量数量积的定义求出12e e ⋅的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得a b ⋅的值；（2）求出a r 、b ，设a 与b的夹角为θ，求出cos θ的值，结合向量夹角的取值范围可得出θ的值.【详解】（1）解：因为1e 、2e 为单位向量，且1e 、2e 的夹角为120，则12121cos1202e e e e ⋅=⋅=- ，又因为122a e e =+，21b e e =-，则()()221221112213222122a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=-+⋅+=--+=- .（2）解：由已知条件可得()222121211222244a e e e e e e e e =+=+=+⋅+144132⎛⎫=+⨯-+= ⎪⎝⎭，()222212121*********b e e e e e e e e ⎛⎫=-=-=-⋅+=-⨯-+= ⎪⎝⎭，设向量a 、b的夹角为θ，则0180θ≤≤ ，因为()2312cos 23a b a b θ-⋅===-⋅ ，故120θ= ，因此，向量a 、b的夹角为120 .19．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2sin B B =．(1)求B ；(2)若a c >，且3a c b +=，证明：2a c =．【答案】(1)π3B =(2)证明见解析【分析】（1）由正弦二倍角公式进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合已知进行运算证明即可.【详解】（1）因为sin 2sin B B =，即2sin cos sin B B B =，所以1cos 2B =．因为()0,πB ∈，所以π3B =；（2）由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，所以222122a c b ac +-=，即222ac a c b =+-．①因为3a c b +=，所以3a cb +=．②将②代入①，得()2222123ac a c a ac c =+-++，整理得()()220a c a c --=．因为a c >，所以2a c =．20．已知ABC 的外心为点O ，且()CO CA CB λ=+（R λ∈），P 为边AB 的中点．(1)求证：CP AB ⊥；(2)若514λ=，求ACB ∠的余弦值．【答案】(1)证明见及解析(2)25【分析】（1）连接OB ，OC ，OP ，CP ，由ABC 的外心为点O ，P 为边AB 的中点，得到OP AB ⊥，再由()CO CA CB λ=+ ，得到C ，O ，P 三点共线即可；（2）由（1）知CP AB ⊥，P 为边AB 的中点，得到CA CB =，结合OB OC =，得到2POB PCB ACB ∠=∠=∠．再由cos OP OP POB OB OC ∠==，514λ=求解.【详解】（1）如图，连接OB ，OC ，OP ，CP ．∵ABC 的外心为点O ，P 为边AB 的中点，∴OP AB ⊥．∵2CA CB CP += ，∴()2CO CA CB CP λλ=+= ，∴C ，O ，P 三点共线，∴CP AB ⊥．（2）由（1）知CP AB ⊥．又P 为边AB 的中点，∴CA CB =，∴PCA PCB ∠=∠．∵OB OC =，∴PCB OBC ∠=∠，∴2POB PCB ACB ∠=∠=∠．∵cos OP OP POB OB OC ∠==，514λ=，∴()5577CO CP CO OP ==+ ，∴2577CO OP = ，即25CO OP = ，∴25OP OC =，即2cos 5ACB ∠=．21．已知E 为ABC 内一点，F 为AC 边的中点．(1)若30EA EB EC ++= ，求证：52BE BF = ；(2)若230EA EB EC ++= ，EBC ，ABC 的面积分别为S '，S ，求证：6S S ='．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用平面向量的加减数乘运算的几何意义，结合三角形中几何性质，可得答案；（2）利用三角形线段的比例关系，结合三角形面积的等积变换，可得答案.【详解】（1）∵30EA EB EC ++= ，∴3EA EC EB +=- ．又F 为AC 边的中点，∴233EF EB BE =-= ．∵BE EF BF += ，∴32BE BE BF += ，∴52BE BF = ．（2）如图，设BC 边的中点为P ，连接EF ，EP ．∵230EA EB EC ++= ，∴()2EA EC EB EC +=-+ ，∴24EF EP =- ，即2EF EP =- ，∴F ，E ，P 三点共线．设点E ，F 到BC 的距离分别为1d ，2d ，则12:1:3d d =．设点A 到BC 的距离为3d ．∵F 是AC 的中点，∴23:1:2d d =，∴13:1:6d d =，∴13::1:6S S d d =='，即6S S ='．22．如图，已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22223sin sin sin sin sin sin 3A CB A BC +-=-⋅．(1)求B ；(2)若2223a c c b ++=，152BA BC ⋅=- ，点D 在边AC 上，且BD 在BC 和BA 上的投影向量的模相等，求线段BD 的长．【答案】(1)2π3B =(2)158【分析】（1）综合运用正、余弦定理即可求解；（2）由（1）及已知可求得5c =，7b =，又由BD 在BC 和BA 上的投影向量的模相等，知BD 为ABC∠的平分线，由角平分线定理得358AD =，再在ABC 和ABD △中应用正弦定理求解即可．【详解】（1）∵22223sin sin sin sin sin sin 3A B C A C B -+-=，∴由正弦定理可22223sin 3a cb ac B =+--，由余弦定理可得222cos 2a c b B ac+-=，∴232cos s 3ac B ac inB =-即tan 3B =-，∵()0,πB ∈，∴2π3B =．（2）由（1）知2π3ABC ∠=，∴2222cos ac ABC ac a c b ∠=-=+-又2223a c c b ++=，∴2222(3)ac a c a c c -=+-++，解得3a =．∵152BA BC ⋅=- ，∴15cos 22ac ac ABC ∠=-=-，可得5c =，由2223a c c b ++=可得292515b ++=212559b ++=，解得7b =．∵BD 在BC 和BA 上的投影向量的模相等，∴BD 为ABC ∠的平分线，由角平分线的性质知AD c b AD a =-，即573AD AD =-，解得358AD =，在ABC 中，由正弦定理可得143sin sin 3a b A ABC ==∠，∴33sin 14A =，在ABD △中，π3ABD ∠=，由正弦定理可得sin sin BD AD A ABD =∠，即358333142BD =，解得158BD =．。

一、单选题1．若，则的坐标为（ ） (3,2),(0,1)a b ==- 43a b +A ．B ．C ．D ．(5,12)(12,6)(12,5)(12,5)--【答案】C【分析】根据题意和平面向量运算的坐标表示直接得出结果.【详解】因为，(3,2),(0,1)a b ==-所以. 43(12,5)a b +=故选：C.2．已知点，向量，则（ ）(1,3),(2,7)A B (0,2)AC =- BC =A ．B ．C ．D ．(1,4)(1,4)--(1,6)(1,6)--【答案】D【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可.【详解】，所以. ()1,4AB = ()1,6BC AC AB =-=--故选：D.3．设向量，若表示向量的有向线段首尾相接(1,3),(2,4),(1,2)a b c =-=-=--4,42,2(),a b c a c d -- 能构成四边形，则向量为（ ）dA ．B ．C ．D ．(2,6)()2,6-(2,6)-(2,6)--【答案】D【分析】根据向量线性运算的坐标表示，结合题意求解即可.【详解】由题可知：，442220a b c a c d +-+-+=即. ()()()()6446,188,164,82,6d a b c =--+=-+-+--=--故选：D.4．若函数在上有最大值，则实数a 的值为（ ）()213ax a f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭[)1,+∞19A ．1B ．C ．1或D ．1或2-2-1-【答案】A【分析】由题可得，，即求. 0a >21139a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】∵函数在上有最大值，()213ax a f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭[)1,+∞19∴，， 0a >21139a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭∴，解得或（舍去）. 22a a +=1a =2a =-故选：A.5．如图，在正方形网格中，向量，满足，则（ ）75⨯a b a b ⊥AB AD BC -+=u u u r u u u r u u u rA ．B ．C ．D ．132a b --r r 132a b -+r r 3a b -+r r 53a b +r r 【答案】B【分析】以为轴，为轴建立坐标系，求出各点坐标即可判断选项．ax b y 【详解】以为轴，为轴建立坐标系，则，．ax b y (1,0)a = (0,2)b = ，，，．(1,3)A (3,1)B (2,5)C (5,4)D ．(3,1)AB AD BC DB BC DC -+=+==-令．得到，，，． DC xa yb =+(3-1)(1x =0)(0y +2)解得，．所以．3x =-12y =132AB AD BC a b -+=-+故选：．B 6．在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若，则的值为（ ） AC AM BD λμ=+λμ+A ．B ．C ．D ．24353158【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令，则，， ||2AB =(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M (2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，因，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ AC AM BD λμ=+ 于是得，解得，22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩41,33λμ==53λμ+=所以的值为.λμ+53故选：B7．在锐角中，已知，则的最大值为（ ） ABC A sin 4cos cos C A B =tan tan A B A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】根据三角形内角和以及两角和的正弦展开整理得，再代入基本不等式即可tan tan 4A B +=求解．【详解】在锐角中，已知，则，，ABC A sin 4cos cos C A B =tan 0A >tan 0B >，所以，由基本不等式可得()sin sin sin cos cos sin 4coscos C A B A B A B A B =+=+=tan tan 4A B +=．4tan tan A B =+≥tan tan 4A B≤当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为． tan tan 2A B ==tan tan A B 4故选：A.8．设向量，，其中为实数，若2(2,2)OA x x α=+ (,sin cos )2y OB y αα=+ ,,x y α2OA OB= ，则的取值范围为xyA ．B ．C ．D ．[6,1]-[1,6]-[4,8](,1]-∞【答案】A【详解】试题分析：由，得，整理得2OA OB =222{22sin cos x y x y ααα+==+，由得，又，则22-2{2sin 23x y x y πα=⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭22sin 23x y πα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2-2x y =，∴，解得，而，故，即选()2-2412y y ≤--≤224920{4960y y y y -+≤-+≥124y ≤≤222==2x y y y y ---61x y ≤≤A.【解析】1、向量相等的坐标表示，2、三角函数的有界性；3、三角恒等变换.思路点睛：首先利用向量相等的定义得到关于的方程组，把用表示出来，然后利用三角恒,x y x y 等变换把化为一个角的一种三角函数的形式，利用三角函数的有界性得到2x y -2sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，把用表示出来得到关于的不等式组，求得的范围，而，进一2x y -x y y y 222=2x y y y y--步去求的范围就可以了. xy二、多选题9．下列各式的值等于的是（ ） 1A ．2sin126cos36cos 54+ B ．c ππππcos sin 4os in 444s x x x x -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．tan 21tan 241tan 21tan 24+-⋅D ． 2222tan sin tan sin αααα-⋅【答案】ACD【分析】利用诱导公式结合同角三角函数的平方关系可判断A 选项；利用两角和的余弦公式可判断B 选项；利用两角和的正切公式可判断C 选项；利用同角三角函数的基本关系可判断D 选项.【详解】对于A 选项，()()22sin126cos36cos 54sin 18054cos 9054cos 54+=--+，A 满足；22sin 54cos 541=+= 对于B 选项，c ππππcos sin 4os in 444s x x x x -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 不满足；πππcos cos 0442x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于C 选项，，C 满足； ()tan 21tan 24tan 2124tan 4511tan 21tan 24+=+==-⋅对于D 选项，，D 满足. ()22222222422242sin sin sin 1cos tan sin cos cos 1sin tan sin cos sin cos αααααααααααααα---==⋅=⋅故选：ACD.10．已知函数，则（ ） ()()ln ln 2f x x x =+-A ．在单调递增()f x ()0,2B ．在单调递增，在单调递减 ()f x ()0,1()1,2C ．的图象关于直线对称 ()y f x =1x =D ．的图象关于点对称 ()y f x =()1,0【答案】BC【分析】由题可得函数的定义域，化简函数，分析函数的单调性和()()()2ln 2ln 2f x x x x x =-=-+对称性，从而判断选项.【详解】函数的定义域满足 ，即， 020x x >⎧⎨->⎩02x <<即函数的定义域是，{}02x x <<∵，()()()2ln 2ln 2f x x x x x =-=-+设，则函数在单调递增，在单调递减，()22211t x x x =-+=--+()0,1()1,2又函数单调递增，ln y t =由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故A 错误，B 正确； ()f x ()0,1()1,2因为,,()()()1ln 1ln 1f x x x +=++-()()()1ln 1ln 1f x x x -=-++所以，即函数图象关于直线对称，故C 正确； ()()11f x f x -=+()y f x =1x =又，，1113ln ln 2ln 2224f ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3333ln ln 2ln 2224f ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，所以D 错误．133ln 224f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：BC ．11．下列说法错误的是（ ）A ．若，则存在唯一实数使得//a b r rλλa b = B ．两个非零向量，，若，则与共线且反向a b a b a b -=+ a bC ．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是()1,2a =r ()1,1b =r a a λb + λ5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．在中，，则为等腰三角形ABC A BC CA CA AB ⋅=⋅ABC A【答案】AC【分析】若可判断A ；将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B ；求出的坐0a b ==a λb +标，根据且与不共线求出的取值范围可判断C ；取的中点，根据向()0a a b λ+>⋅ a a λb + λAC D 量的线性运算可得可判断D ，进而可得正确选项.0CA BD ⋅=【详解】对于A ：若满足，则实数不唯一，故选项A 错误；0a b ==//a b r rλ对于B ：两个非零向量，，若，则，a ba b a b -=+ ()()22a ba b-=+所以，可得，，因为222222a b a b a b a b +-⋅=++22cos 2a b a b a b a b ⋅=⋅⋅=- cos 1a b ⋅=- ，所以，所以与共线且反向，故选项B 正确；0πa b ≤⋅≤r r πa b ⋅= a b对于C ：已知，，所以，若与的夹角为锐角，则()1,2a =r ()1,1b =r ()1,2a λb λλ+=++ a a λb +，解得：，当时，，此时与的夹角为()()1220a a b λλλ⋅+=+++> 53λ>-0λ=a b a λ+= a a λb + ，不符合题意，所以，所以的取值范围是，故选项C 不正确；00λ≠λ()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭对于D ：在中，取的中点，由，得ABC A AC D BC CA CA AB ⋅=⋅，故垂直平分，所以为等腰三角形，故()()20CA BC AB CA BC BA CA BD ⋅-=⋅+=⋅=BD AC ABC A 选项D 正确． 故选：AC ．12．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）M ABC A A ．若，则点M 在直线BC 上2AM AB AC =-B ．若＝＋，则点M 是三角形的重心AM 13AB13AC C ．若，则点M 在边BC 的中线上 ()R AB ACAB A A C M ⎛⎫ ⎪=+∈ ⎪⎝⎭λλD ．若，且x ＋y ＝，则△MBC 的面积是△ABC 面积的AM xAB y AC =+ 1212【答案】ABD【分析】对选项A ，根据题意得到，从而得到三点共线，即可判断A 正确，对选BM CB =,,B C M 项B ，设为的中点，根据条件得到，即可判断B 正确，对选项C ，根据题意得到D BC 23A D M A =在的平分线上，即可判断C 错误，对选项D ，设，根据题意得到三点M BAC ∠2A AM N =,,N B C 共线，即可判断D 正确.【详解】对选项A ，，所以，即.2AM AB AC =- AB AB AC AM -=- BM CB =所以，又因为为公共点，所以三点共线，即点在直线上， //BM CBB ,,BC M M BC 故A 正确.对选项B ，设为的中点，所以， D BC ()11123333AB AC AB AC AD AM =+=+= 所以点是的重心，故B 正确.M ABC A 对选项C ，因为，则在的平分线上， ()R AB ACAB A A C M ⎛⎫⎪=+∈ ⎪⎝⎭λλM BAC ∠不一定在的中线上，故C 错误.M BC 对选项D ，因为，且， AM xAB y AC =+ 12x y +=所以，且，222x M AB y A A C =+221x y +=设，则，且， 2A AM N =22xAB y AC AN =+ 221x y +=即三点共线.,,N B C 又因为，所以为的中点，如图所示：2A AM N =MAN所以，故D 正确. 12MBC ABC S S =△△故选：ABD三、填空题13．已知在中，，，，为中点，则的坐标为 __．ABC A (1,2)A (2,4)B (0,6)C D BC AD【答案】(0,3)【分析】先求，，再用，表示，根据向量的坐标运算求出答案即可．AB AC ABAC AD 【详解】，，， (1,2)A (2,4)B (0,6)C ，.(1,2)AB ∴= (1,4)AC =-因为为中点，D BC 所以1()(0,3)2AD AB AC =+=故答案为：．(0,3)14．如图，已知是平面直角坐标系的原点，，，若四O 120OAB ABC ∠=∠=24OA BC AB ===边形为平行四边形，则点的坐标为______．ABCDD【答案】(2,【分析】作出平行四边形，可知，求出向量的坐标，可得出ABCD ,120OA AD =AD 的坐标，即可得出点的坐标.OD OA AD =+u u u r u u r u u u rD 【详解】作平行四边形，如下图所示：ABCD因为，则，//AD BC 18060BAD ABC ∠=-∠= 所以，，由图可知，， 60OAD OAB BAD ∠=∠-∠=,120OA AD = 因为，所以，，4AD BC == ()(4cos120,4sin1202,AD ==-易知点，则，()4,0A ()((4,02,2,OD OA AD =+=+-=因此，点的坐标为.D (2,故答案为：.(2,15．在平面直角坐标系xOy 中，将向量按顺时针方向绕原点O 旋转后得到向量12OP ⎛=-⎝ 3π，则ab 的值为___________.(),OQ a b =【分析】设经过点的终边角度为，再根据三角函数的定义求解即可P ()02ααπ<<【详解】设经过点的终边角度为，由根据题意，利用任意角的三角函数的定义得：P ()02ααπ<<，，则1cos 2α=-sin α=23πα=∴，，cos cos 33a ππα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin sin 33b ππα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴1cossin332ab ππ===四、双空题 16．已知，若，则______；若())2ln121xf x x =-++()2f a =()f a -=213log 10f x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，则实数x 的取值范围是______．【答案】 2-⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝ 【分析】根据定义判断的奇偶性，由奇函数性质求，根据解析式判断复合函数的单调()f x ()f a -性，利用单调性及求x 的范围. (0)0f =【详解】由题设，的定义域为R 且()f x ()))122ln1ln 12121x xf x xx---=--+=-+++， )()2ln 121xx f x⎡⎤=-+-=-⎢⎥⎣+⎦所以是奇函数，又，则． ()f x ()2f a =()2f a -=-因为，在R 上是增函数， )lny x =+2121x y =-+所以在R 上单调递增，且， ())2ln121xf x x =+-+(0)0f =所以由，得，即， 213log 10f x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭213log 10x -≥211331log log 3x ≥所以，解得或22013x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩0x ≤<0x <≤所以实数x 的取值范围是． ⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝故答案为：， 2-⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝五、解答题 17．求解下列问题：(1)己知，，求的值；222cos 3cos sin 3sin 1αααα+-=3π,π2α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()()π2sin π3sin 2π4cos 9cos 2π2αααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭(2)求 ()2lg 2lg 2lg 50lg 25+⋅++【答案】(1) 720(2) 5【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合角的取值范围可求得的值，然后利用诱导αtan α公式结合弦化切可求得所求代数式的值；（2）利用对数、指数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】（1）解：因为， 222cos 3cos sin 3sin 1αααα+-=则， 22222cos 3cos sin 3sin cos sin αααααα+-=+即，224sin 3sin cos cos 0αααα--=因为，则，，3π,π2α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭cos 0α<t an 0α<所以，，即，所以，，24tan 3tan 10αα--=()()4tan 1tan 10αα+-=1tan 4α=-因此，. ()()π12sin π3sin 232sin 3cos 2tan 3724π14sin 9cos 4tan 9204cos 9cos 2π4924αααααααααα⎛⎫⎛⎫--+⨯-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭====--⎛⎫⎛⎫---⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）解：()2lg 2lg 2lg 50lg 25+⋅+ ()()111322263lg 2lg 2lg 50lg 52332⎛⎫=⨯+++⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭111112362362lg 22lg 532++-+⨯=++⨯.()2lg 2lg 53235=++=+=18．已知向量，，．()1,2a =r()1,3b =- ()4,3c =(1)求与共线的单位向量；6a b +(2)若，求实数的值． ()()//a kc b a +- k 【答案】(1)或⎛ ⎝(2)12k =-【分析】（1）求出向量的坐标，可求得，可求出向量的坐标，进而可得出与6a b +6a b + 66a b a b++共线的单位向量的坐标；6a b +（2）求出向量、的坐标，利用共线向量的坐标表示可求得实数的值.a kc +b a -k 【详解】（1）解：因为，，则， ()1,2a =r()1,3b =- ()()()661,21,35,15ab +=+-= 所以，，6a = )5,10=因此，与共线的单位向量为或.6a b +⎛ ⎝（2）解：由已知可得，， ()()()1,24,341,32a kc k k k +=+=++ ()()()1,31,22,1b a -=--=-因为，则，解得.()()//a kc b a +- ()23241k k -+=+12k =-19．已知，．1a = 2b =(1)若，求；a b ∥ a bA (2)若，求；,60a b =︒a b + (3)若与垂直，求当k 为何值时，？a b - a()()2ka b a b -⊥+ 【答案】(1) 2±(3)3【分析】（1）由平行向量的定义可知，若，则它们的夹角为或，即可计算；（2）a b ∥ 0 180 a bA 根据平面向量的应用可知将平方即可求得结果；（3）根据与垂直可得，再由a b + a b - a 1a b =A可计算出.()()02ka b a b +-=A 3k =【详解】（1）由可知，两向量的夹角为或，a b ∥,a b 0 180 当夹角为时，； 0cos 0122a b a b ==⨯=A当夹角为时，； 180cos18012(1)2a b a b ==⨯⨯-=-A所以，.2a b =±A （2）由题意可知，若，则 ,60a b =︒1,cos 12cos 60a a b b a b ==⨯⨯= A，22221427a b a b a b =+++=++=A 所以.a + （3）由与垂直可得，即；a b - a ()0a b a -= A 1a b =A 若，则，()()2ka b a b -⊥+ ()()02ka b a b +-=A 即，得， 22220k a ka b a b b +--= AA 390k -=所以.3k =当时，.3k =()()2ka b a b -⊥+20．如图，在△ABC 中，，，，，．2AB =3AC =60BAC ∠=︒2DB AD = 2CE EB =(1)设，求x ，y 的值，并求； CD x AB y AC =+CD (2)求的值．AB DE ⋅【答案】(1)1,13x y ==-(2). 73【分析】（1）以为基底，由向量的线性运算求出，再由向量数量积的运算性质求模即,AB AC →→,x y 可；（2）根据向量的线性运算转化为基底表示，再由数量积的运算求解即可.,AB AC →→【详解】（1），，2DB AD =13AD AB ∴= ，13CD AD AC AB AC xAB y AC ∴=-=-=+ ，1,13x y ∴==-1||||3CD AB AC ∴=- =. ==（2）1233DE BE BD CB AB =-=-+= 1211()3333AB AC AB AB AC --+=+.2111()333AB DE AB AB AC AB ∴⋅=⋅+= 141172333323AB AC +⋅=+⨯⨯⨯=21．设函数.()2cos (sin cos )1π2f x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭(1)求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； ()f x (2)求在上的最值.()f x π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)；；ππ,Z 122k x k =-+∈ππ,Z 26k k ⎛+∈ ⎝(2)min ()2f x =-+max ()f x =【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的性质求得答案； ()f x （2）利用函数的单调性求出最值．【详解】（1）因为，()22sin cos sin22cos 2π6f x x x x x x x ⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭令，解得，π2π,Z 6x k k +=∈ππ,Z 122k x k =-+∈所以的对称轴方程为， ()f x ππ,Z 122k x k =-+∈令，得， ππ2π,Z 62x k k +=+∈ππ,Z k x k =+∈26可得函数图象的对称中心的坐标为；()f x π,Z 2π6k k ⎛+∈ ⎝（2）因为，所以，π5π,126x ⎡⎤∈⎢⎣⎦11π266π,3πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令，解得，π2π6x +=5π12x =所以在上单调递减，在上单调递增，()f x 5π,1212π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5π5π,126⎛⎤ ⎥⎝⎦所以，，故min 5π()212f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π11π2cos 1,2cos 3π1266πf f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭max ()f x =22．已知定义在上的奇函数，当时，.[1,1]-()f x (0,1]x ∈2()41xx f x =+（1）求函数在上的解析式；()f x [1,1]-（2）用函数单调性的定义证明在上是单调减函数； ()f x (0,1]（3）若在上有解，求b 的取值范围.()f x x b =+[1,1]-【答案】（1）；（2）证明见解析（3）.2,0141()0,0,2,1041xxxx x f x x x ⎧<≤⎪+⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎪+⎩33,55b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）设，则，，根据函数为奇函数得到解析10x -≤<01x <-≤22()4141x xx x f x --∴-==++式.（2）任取，计算得到证明. 1201x x <<≤12211212(21)(22)()()0(41)(41)x x x x x x f x f x +---=>++（3）问题可转化为在上恒有实数解，设，根据单调性和奇偶性得到()b f x x =-[1,1]-()()g x f x x =-，得到答案.33(),55g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）设，则，. 10x -≤<01x <-≤22()4141x xx xf x --∴-==++在上为奇函数，. ()f x [1,1]-2()()41xx f x f x ∴=--=-+而，. (0)0f =2,0141()0,0,2,1041xxx x x f x x x ⎧<≤⎪+⎪⎪∴==⎨⎪⎪--≤<⎪+⎩（2）任取，则. 1201x x <<≤12122112121222(21)(22)()()4141(41)(41)x x x x x x x x x x f x f x +---=-=++++，，，又. 1201x x <<≤ 12210x x +∴->21220x x ->12(41)(41)0x x ++>，即. 12()()0f x f x ∴->12()()f x f x >在上是单调减函数.()f x ∴(0,1]（3）问题可转化为在上恒有实数解，设，()b f x x =-[1,1]-()()g x f x x =-则为上的单调减函数，时，.()g x (0,1](0,1]x ∴∈31(),52g x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭易知为上的奇函数，故当时，.()g x [1,1]-[1,0)x ∈-13(),25g x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦而，，即.(0)0g =33(),55g x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦33,55b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了利用奇偶性求解析式，证明单调性，存在性问题，意在考查学生对于函数性质的综合应用.。

郑州盛同学校10-11学年第一学期高一月考数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上）（1）若集合{1,0,1,2},{|(1)0}M N x x x =-=-=，则=N M （ ）（A ）{1,0,1,2}- （B ）{0,1,2} （C ）{1,0,1}- （D ）{0,1}（2）下列各组两个集合A 和B ，表示同一集合的是（ ）（A ）A ={}π，B ={}14159.3 （B ）A ={}3,2，B ={})32(，（C ）A ={}π,3,1，B ={}3,1,-π （D ）A ={}11,x x x -<≤∈N ，B ={}1（3）已知（x ，y ）在映射f 下的像是(,)x y x y +-，则（4，－2）在f 下的原像为（ ）（A ）（1，3） （B ）（1，6） （C ）（2，4） （D ）（2，6）（4）下列幂函数中过点(0，0)，(1，1)的偶函数是（ ）（A ）21x y = （B ）4x y = （C ）2-=x y （D ）31x y = （5）下列四个图像中，是函数图像的是（ ）（A ）①（B ）①③④ （C ）①②③ （D ）③④（6）已知函数()1,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则()=]2[f f （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（7）若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 418＝（ ）（A ）23a b a + （B ）32a b a + （C ）22a b a + （D ）22a b a+ （8）使不等式02213>--x 成立的x 的取值范围是（ ）（A ）),32(+∞ （B ）),23(+∞ （C ）),31(+∞ （D ）1(,)3-+∞（9）方程lg x ＋x ＝0在下列的哪个区间内有实数解（ ）（A ）[-10，-0．1] （B ）[0.1,1] （C ）[1,10] （D ）(,0]-∞（10）国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为 （ ）（A ）3800元 （B ）5600元 （C ）3818元 （D ）3000元11、函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数，则k 的范围是（ ）A ．2->kB ．2-≤kC ．2-≥kD ．2-<k ① ② ③ ④12、已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x);当x<0时，f(x)=( )A. -x(1-x)B. x(1-x)C. -x(1+x)D. x(1+x)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若{1,2,3}A =，{|}B x x A =∈，用列举法表示B= .14.已知集合{11}A =-，，{|1}B x mx ==，且A ∪B =A ，则m 的值为15、若函数f(x)＝-x 2+2ax+1在[1，2]上单调递减，则a 的取值范围是16.若奇函数f(x)在区间[]3,7上的最小值是5，最大值是6,那么f(x)在区间[]7,3--上的最大值与最小值和是_______________.三、解答题（本大题共6小题，70分）17（本小题满分10分）．设{|66}A x Z x =∈-≤≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ； （2）()A A C B C18.（本小题满分12分）已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩，求：(1)f ，(3)f -，(1)f a - 的值.19．（本小题满分12分）若集合}{}{34211A x x x m x m =-≤≤-≤≤+和B=.（1）当3m =-时，求集合A B （2）当B ⊆A 时，求实数m 取值范围.20．（本小题满分12分）已知函数()||f x x x px =-+．（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；（Ⅱ）当2p =时判断函数()f x 在(1,0)-上的单调性并加以证明．21、“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度。

数学试题第Ⅰ卷（选择题）1.下列说法正确的是（ ） A.向菐与向不是相等向量 AB BA B.与实数类似，对于两个向昰，有，，三种关系a b = a b > a b < a b C.两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D.若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合2.已知向不，满足，，则（ ） a b 2= a 2⋅=- a b ()2⋅-= a a b A.10 B.12 C.8 D.63.在中，点在边上，且，是的中点，则（ ） ABC △D BC 2=CD BD E AD = BE A. B. C. D. 2136AB AC - 2136AB AC + 2136AB AC -+2136AB AC -- 4.已知非零向量，满足，则“”是“”的（ ）条件. a b a b = 33+=- a b a b ⊥ a b A.充分不必要B.充要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要 5.若，，，点在上，且，设1= OA = OB 0⋅= OA OB C AB 30∠= AOC ，则的值为（ ） (),=+∈OC mOA nOB m n R m nA. C. D.3136.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中提出了已知三角形的三边求面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”以上文字用公式表示就是，其中，，分别是的内角，S =a b c ABC △A ，的对边，是的面积，在中，若，，，则的内切圆的面B C S ABC △ABC △3=a 5=b 6=c ABC △积为（） A. C. D. 87π72π97π7.已知是所在平面内一定点，动点满足，.则点O ABC △P sin sin ⎛⎫⋅⋅ ⎪=++ ⎪⎝⎭AB AB AC AC OP OA C B λ∈R λP 的轨迹一定通过三角形的（） ABC A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心8.在中，角，，所对的边分别为，，，是边上一点，平分，且ABC △A B C a b c D AB CD ∠ACB，若，则的最小值是（） CD =cos cos 2cos +=a B b A c C 2a b +A. B.6 C. D.44+3+二、选择题：本题共4小题，每小遈5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合颎目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在水流速度为的自西向东的河中，如果要使船以的速度与河的南岸垂直到达北岸，则10km /h /h 船出发时行驶速度的大小与方向为（） A.北偏西30° B.北偏西60° C. D.20km /h 30km /h 10.定义两个非零平面向量的一种新运算：，其中表示，的夹角，则对于两sin ,⊗= a b a b a b , a b a b 个非零平面向量，，下列结论一定成立的是（ ）a b A. B. a b b a ⊗=⊗ ()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗ C. D.若，则与平行()()a b a b λλ⊗=⊗ 0a b ⊗= a b 11.已知向量，，则下列说法正确的是（ ） ()2,1=- a ()1,= b t A.若，则的值为 B.的最小值为1a b ∥t 2-a b + C.若，则的值为2D.若与的夹角为钝角，则的取值范围是 a b a b +=- t a b t 2t <12.在中，为边上的一点，且，若为边上的一点，且满足ABC △D AC 12AD DC =P BD ，则下列结论正确的是（ ）()00AP mAB nAC m n =+>> 、A. B.的最大值为 1m n +=mn 14C.的最小值为D.的最小值为41m n +7+229m n +12第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分。