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关节十二探究二：几何图形的不变性 和变化规律以及特殊条件下的特定性关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，这样的题目 又可分为两大类：第一类，设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”。
第二类，设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”。
这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向：一是由特殊向一般扩充，二是向相对更为特殊的方向深入。
现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征。
一、探究图形变化引出的不变性或变化规律从图形变化过程来看，又分为三条途径：Ⅰ、由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅱ、由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅲ、由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律。
从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同。
1、图形变换引出的不变性或变化规律我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。
对于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的思考当然要围绕“变换”而展开，主要思考方向可有：Ⅰ、化归到基本图形的“变换性质”；Ⅱ、沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性。
（1）借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解达例1 如图（1），在ABC ∆中，BA CG AC AB ⊥=,交BA 的延长线于点G 。
一等腰直角三角尺按如图（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B 。
（1）（2）（1）在图（1）中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，AB C GFAB CGF ED然后证明你的猜想。
关节十七图形的分割与剪拼纵观近年来全国各地的中考试卷，图形操作型的问题渐多，而这些题又可分为两大类：一类是围绕“图形变换”展开的（我们已有专题论及），另一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。
我们现在要研究的，就是这后边的一类，分割与剪拼的形式与依据主要有：Ⅰ、原图形基础上进行分割，而分割的要求又分为： （1）借助于“边、角”计算的分割；（2）依“面积等分”为要求的分割；Ⅱ、将原图形等面积地变化成新图形的“剪与拼”。
一、图形的分割1、借助于“边、角”计算的分割例1 （1）已知ABC ∆中，︒=∠︒=∠5.67,90B A ，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。
（2）已知ABC ∆中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC ∠与C ∠之间的关系。
【观察与思考】对于（1）只需“构造等角”；对于（2）， （1）可从“等边”推演角之间的关系。
解：（1）如图①，图②，有两种不同的分割法。
（2）设ABC ∠y =，C ∠x =，过顶点B 的直线 ①交边AC 于D 。
在等腰三角形DBC 中，①若C ∠是顶角，如图③，则︒>∠90ADB ，,2190)180(21x x CDB CBD -︒=-︒=∠=∠y x A --︒=∠180。
②此时只能有ABD A ∠=∠，即)2190(180x y y x -︒-=--︒，︒=+∴54043y x ，即ABC ∠与C ∠的关系是： C ABC ∠-︒=∠43135。
②若C ∠是底角，则有两种情况。
③ACABC︒5.67︒5.67 ︒5.22︒5.22 ABC︒45︒5.22︒5.22︒45ACDABD ∆中，x y ABD x ADB -=∠=∠,2。
Ⅰ、由AD AB =，得x y x -=2，此时有x y 3=，即有关系C ABC ∠=∠3。
④ Ⅱ、由BD AB =，得x y x 2180=--︒，此时 ︒=+1803y x ，即C ABC ∠-︒=∠3180。
中考数学高分的十八个关节（精品）本专题的编写立意：根据近些年全国各地中考数学命题规律，以及普遍使用的资料与复习教学的不足，特意编写了《中考数学高分的十八个关节》，旨在使更多的考生在2011年中考中获得高分。
本专题的两大基本特征：中考复习既要对已学知识进行系统梳理，但更要根据内容的考法对知识进行深化与提升；既要加强各类专题的训练，更要落实对每类专题所用知识与思考策略的提炼与总结。
但是，现在普遍使用的资料及实际复习教学，恰在以上两个方面薄弱，甚至缺失。
而本专题正是为教师和学生在复习中强化落实以上两项重点专门编写的，因此，本专题不同于其他复习资料，他的整体内容集中于以下两个方面：1、对方程、函数、几何图形等基本内容，注重总结每一知识的功能，深化它们在各方面的作用，并着意归纳每一知识运用的思考和操作步骤，从而现实对核心知识内容认识与掌握的再提升；2、对专题内容的复习，重在提炼与总结每一专题所渉知识的运用规律及该专题相应思考策略的运用规律，从而现实解题能力，特别是解决应用型、探究型、综合型问题能力的大提升。
本专题的具体使用方法：1、在基础知识（系统）复习阶段，结合使用本专题的前十个“关节”，以有效地落实核心知识内容认识与掌握的再提升；2、在综合复习阶段，结合使用笨专题的后八个“关节”，以有效地落实解题能力，特别是解决应用型、探究型、综合型问题能力的大提升。
本专题的内容编排：第一部分是核心知识的深化，包括：关节一、“数与式”的基本考法和应解策略；关节二、“方程（方程组）、不等式（不等式组）”的考法和应解策略；关节三、函数的知识要点；关节四、基本图形与功能的再认识；关节五、“几何计算”的方法与功能的总结；关节六、“图形与坐标”的知识和思考要点；关节七、“图形与变换”的应用要点；关节八、变换视觉下的图形关系；关节九、统计问题的应解策略；关节十、概率问题的应解策略。
第二部分是各“专题”的知识运用规律和思考策略，包括：关节十一、探究代数式表示变化规律；关节十二、几何图形性质探究与证明的基本策略；关节十三、应用性问题的基本类型和应解策略；关节十四、方案与最值问题的基本类型和应解策略；关节十五、探究几何图形变化过程中性质的变化规律；关节十六、图形操作问题的基本类型和应解策略；关节十七、几何与代数综合性问题的基本类型和应解策略；关节十八、研究性问题的思考要点。
关节十八研究性问题的思考要点研究性问题最根本的特点在于它具有“获取新知识”的意义或意味，也即它不单纯是已学的课本知识的应用，而是包含有理解和掌握一个“新概念”或“新规定”、发现和总结一个“新规律”或“新结论”的成份及过程，它可以突出地考查我们的“学习能力”和“发现与创新”能力。
从所依循的思考方向和思维方法来看，研究性问题可大体分为三类：Ⅰ、通过引入的“新概念”或“新规定”及其应用，重在体现和考查“抽象概括”的能力”；Ⅱ、通过设置由“特殊到一般”或“由一般到另一特殊”的活动情意，并从中归纳或类比总结出“新规律”，重在体现和考查“合情推理”的能力。
Ⅲ、通过对已知的普遍认识的基础上添加特殊条件或限制，以获得更特殊更深入的新认识，重在体现和考查由特殊化使认识走向更深入。
一、设置“新概念”或“新规定”情景的研究性问题这类问题的思考要点在于把握准“新概念”和“新规定”的实质，或说根本特征，从而将其应用在所属的具体情景之中。
例1 如图（1），菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”。
在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等。
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为 ︒m 和︒n ，将菱形的“接近度”定义为n m -，于是n m -越小，菱形越接近于正方形。
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于 ； ②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形。
（2）设矩形相邻两条边长分别是a 和b （b a ≤），将矩形的“接近度”定义为ba -，于是b a -越小，矩形越接近于正方形。
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义。
a b【观察与思考】对于（1），关键是准确地把握：菱形的“接近度”为n m -，其中m 和n 是该菱形“相邻两内角的度数”。
对于（2），首先要弄清：应保证相似图形的“接近度”相等，此乃是“接近度”的本质特征，接下来的问题就好解决了。
中考生物知识点整理：关节中考生物知识点整理：关节?教学目标知识目标1。
说出的各结构名称及其作用。
2。
知道体育锻炼对的影响和有关脱臼及其急救的知识。
能力目标明确观察目的，有序地观察的结构，分析各部分结构的功能，培养学生观察及分析能力。
情感目标1。
通过的结构及功能的学习，使学生树立结构与功能相适应的辨证观点。
2。
在分组观察和讨论活动中，使学生学会相互协作。
教学建议本节知识结构教材分析在运动中起杠杆的作用，因此有关的内容，是本章的重点之一。
而的基本结构和功能，是本节的教学重点，的牢固性和灵活性的统一是本节的难点。
按照从感性到理性的认识规律，先让学生观察，获得结构的感性知识，在这基础上再引导学生分析的牢固性、灵活性是由哪些结构体现?来突破重点和难点。
教法建议有关的牢固性和灵活性，可先让学生活动几个(如肩、腕、指、肘)，体验的牢固性和灵活性，然后再由学生自己总结出的哪些结构特点体现了牢固性和灵活性。
这样做。
不仅可以激发学生的学习兴趣，还可以培养学生的思维能力。
(不能进行分组实验的学校，教师一定要作好演示实验，并要利用挂图和模型进行讲述。
)在学生掌握结构功能的基础上，安排学生观察课文中的图IV-19，再结合实例简述骨连结的三种形式。
教学设计示例先复习骨的结构和成分，然后提出：骨坚硬、富有弹性、适于运动，但是骨本身不能产生运动，只有在肌肉收缩的牵引下才能产生运动。
假如肌肉附着在一块骨上，肌肉收缩能产生运动吗?肌肉只有附着在不同的骨上，形成活动的骨连接，才能产生运动，这种活动的骨连接叫做。
初中生物关节知识点总结一、关节概述关节是指骨与骨之间能够活动的连接部位。
它是生物体内骨骼系统的重要组成部分，允许身体各部位进行各种复杂的运动。
关节的存在使得生物体能够适应多变的环境，完成捕食、逃避敌害、表达情感等多种行为。
二、关节的基本结构1. 骨端：关节由两个或多个骨端组成，这些骨端相互接触并形成关节。
2. 关节软骨：覆盖在骨端表面的是一层光滑的关节软骨，它可以减少骨端之间的摩擦，并缓冲运动时的冲击力。
3. 关节囊：由结缔组织构成，包围着整个关节，其内含有关节液。
4. 关节液：关节囊内的一种粘稠液体，起到润滑和营养关节软骨的作用。
5. 韧带：连接骨端的纤维结构，提供关节稳定性，并限制关节的过度活动。
三、关节的类型1. 纤维关节：由密集的结缔组织构成，如颅缝，运动范围极小。
2. 软骨关节：由软骨连接，如椎间盘，允许轻微的运动。
3. 滑膜关节：由液体润滑的关节，是最常见的关节类型，如肩关节、膝关节等，允许较广泛的运动。
四、关节的运动形式1. 屈曲和伸展：关节角度减小和增大的运动，如手臂的屈肘和伸肘。
2. 内收和外展：身体部位向身体中线靠拢和远离中线的运动，如手臂的内收和外展。
3. 旋转：围绕骨骼轴心的转动，如肩膀的旋转。
4. 屈曲和过伸：屈曲是角度减小，过伸则是角度增大超过正常范围，通常不提倡过伸运动。
五、关节的健康与保护1. 合理饮食：保证摄入足够的钙和维生素D，有助于关节软骨的健康。
2. 适度运动：通过运动可以增强关节周围的肌肉，提高关节的稳定性和灵活性。
3. 避免过度使用：长时间的重复性运动可能导致关节磨损，应适当休息和调整运动方式。
4. 及时治疗：关节受伤或出现炎症时，应及时就医，避免病情加重。
六、关节疾病的预防与治疗1. 预防措施：保持良好的体重，避免关节过度负担；进行适当的关节保护训练，增强关节稳定性。
2. 常见疾病：关节炎、风湿性疾病等，这些疾病可能导致关节疼痛、肿胀和功能障碍。
3. 治疗方法：药物治疗、物理治疗、手术治疗等，具体方法应根据疾病类型和严重程度选择。
中考高分冲刺－冲刺一 数与式的三项要点 ■ 1第一编 核心知识的再提升⏹ 任何教学问题的解决都必以核心知识为基础。
⏹ 对知识的掌握是有层次高低之别的，只有上升到“原理”层次的知识掌握，才能和心应手发挥作用。
关节一数与式的三项要点“数与式”是初中数学的核心内容之一，不公在各中考试卷中占有相当比重，更重要的是它的作用体现与融合在诸多知识运用之中，其中三项要点，尤望同学们掌握与用好。
要点一、准确与灵活是“运算”之魂； 要点二、深入把握“教”、“式”的性质；要点三、善于将情景中的数量或数量关系抽象为代数式；一、准确与灵活是“运算”之魂1、 灵活运用运算法则，运算律和运算性质对以个几道中考试题，我们给出新的解法，请同学们感悟“灵活”的意义和作用。
例1化简：()y x y x x y x x +÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-221 解：原式)......12(21yx y x y x x y x x ++-+⋅+-=（先把除法转换成乘法，再用分配律乘入括号内） 112121=+-=xx2 ■ 中考数学高分的十八个关节例2计算：⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⋅++2422122a a a a a a 解：原式)......4(21)2(12--⋅++=a a a a a （先从括号内提出“公因式21-a ”而后约分）a11+=例3已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根，求代数式)252(6332--+÷--x x xx x 的值。
解：原式)......9(332-÷-=x xx （除式和被除式同乘以)2-x )13......(31)3(3122=+=+=x x x x 因为以上三题是中考题，也都是较容易的题，从每一道题的解法可以看出：越是能适时而恰当运用“运算律”，“公式”“性质”等，则越可使运算步骤减少，过程简化。
所以，越是善于将算法、算律、公式、性质联合运用，越能提高运算的准确性和过程的简约性。
关节二充足发挥方程的工具性作用方程是重要的数学工具，它能够干什么用呢？结论是：凡是有关“求值”的问题，不论是如何的背景下和情境中，绝大部分状况都能够借助结构方程来解决。
一、方程用于本质问题中的求值这方面的题目，同学们做的已经好多，这里只举一例。
例1 秋末，因为冷空气入侵，某地域地面气温急剧降落到0℃以下的天气称为“霜冻”。
由霜冻所致使的植物生长遇到影响或损坏的现象称为霜冻灾祸。
秋末某天，气象台公布了该地域以下的降温预告：子夜0时至第二天5时气温将匀速地由3℃降到—3℃，而后从第二天5时至第二天8时，气温将又匀速地由—3℃升到5℃，一种农作物在0℃以下连续超出3小时就会造成霜冻灾祸，依据气象台的预告信息，你以为能否有必需对该农作物采纳防冻举措？并说明原因。
【察看与思虑】第一，这本质是要求出两个数值：一是0时至第二天5时气温降落过程中在哪个时辰达到0℃；二是在第二天5时至第二天8时气温上涨过程中，在哪个时辰达到0℃，明显是求值总问题。
应分别结构方程来解决。
第二，能够用“匀速”所包含的“相等关系”来导出方程，即时辰1对应的温度时辰2对应的温度时辰3对应的温度时辰2对应的温度时辰1时辰2时辰3时辰2（事实上，只需把本问题的“温度差”看作“行程”，它就相当于行程问题了。
）简解：设在0时至第二天5时之间的x时，气温降到0℃，则依题意有：303,解得x（时）50x 0设在第二天5时至第二天8时之间的y时气温升到0℃，依题意有：5(3)50，解得y（时）858。
气温在0℃以下的时间为小时（大于3小时）所以，会对该农作物造成霜冻灾祸，所以应付它采纳防冻举措。
二、方程用于数学识题中的价值数学识题中有林林总总或显或隐的求值问题，多半可借助方程来解决。
1、借助方程，解决某些“数与式”的问题例1 假如一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么，称这个正整数为“神奇数”。
如：4 2202,12 4222,20 6242，所以4，12，20这三个数都是神奇数，1）28和2008这两个数是神奇数吗？为何？2）两个连续奇数的平方差（取正数）是神奇数吗？为何？【察看与思虑】依据题中规定知道，若m(2x2)2(2x)2（※），(此中x是整数，m为正整数)，则m就是“神奇数”。
关节一 数与式的三项要点 ■ 1 第一编 核心知识的再提升⏹ 任何教学问题的解决都必以核心知识为基础。
⏹ 对知识的掌握是有层次高低之别的，只有上升到“原理”层次的知识掌握，才能和心应手发挥作用。
关节一数与式的三项要点“数与式”是初中数学的核心内容之一，不公在各中考试卷中占有相当比重，更重要的是它的作用体现与融合在诸多知识运用之中，其中三项要点，尤望同学们掌握与用好。
要点一、准确与灵活是“运算”之魂； 要点二、深入把握“教”、“式”的性质；要点三、善于将情景中的数量或数量关系抽象为代数式；一、准确与灵活是“运算”之魂1、 灵活运用运算法则，运算律和运算性质对以个几道中考试题，我们给出新的解法，请同学们感悟“灵活”的意义和作用。
例1化简：()y x y x x y x x +÷⎪⎭⎫⎝⎛--+-221 解：原式)......12(21yx y x y x x y x x ++-+⋅+-=（先把除法转换成乘法，再用分配律乘入括号内） 112121=+-=xx2 ■ 中考数学高分的十八个关节例2计算：⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⋅++2422122a a a a a a 解：原式)......4(21)2(12--⋅++=a a a a a （先从括号内提出“公因式21-a ”而后约分）a11+= 例3已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根，求代数式)252(6332--+÷--x x xx x的值。
解：原式)......9(332-÷-=x xx （除式和被除式同乘以)2-x )13......(31)3(3122=+=+=x x x x 因为以上三题是中考题，也都是较容易的题，从每一道题的解法可以看出：越是能适时而恰当运用“运算律”，“公式”“性质”等，则越可使运算步骤减少，过程简化。
所以，越是善于将算法、算律、公式、性质联合运用，越能提高运 算的准确性和过程的简约性。
关节三函数知识的三个支点函数是“数与代数”部分最重要的内容之一，它在实际问题及综合性问题中都有着极为广泛的应用，而且在以后的数学乃至其他学科的学习中，也都发挥着基础性与工具性的作用。
那么，怎样才算较好地掌握了函数知识呢？从一道简单的数学题说起。
题目：若a 满足不等式组41313)1(2+≤+≤-a a a a 那么，代数式)11()1(62aa a a-÷-⋅-最大值和最小值分别是多少？简解：由所给的不等式组解得33≤≤-a又 )11()1(62aa a a -÷-⋅-15)3(6622--=--=a a a可将,15)3(2--=a y 其中33≤≤-a ，看作是一段抛物线，该抛物线的对称轴为3=a 且开口向上，可知原式在3-=a 时有最大值，21，在3=a时有最小值—15。
析评：以上解法的思考基础可分为三层：第一层，认识到这是个求函数最值的问题；第二层，求得这个函数的标准表示式为),33(662≤≤---=a a a y 第三层，用二次函数的性质解决原来的问题。
由此可以看出：把未指明的函数总题恰当地归为函数问题。
再定出其表达式，进而应用函数的性质解决问题，正是掌握与运用函数知识的三大支点。
函数知识的三个支点：一、明意义：指总能在需要的情况下恰如其分地将问题归结为函数，即形成“函数思想”； 二、定表达式；三、用性质：指恰当地运用函数的性质解决相应的问题。
一、明意义1、函数“明意义”的基本体现对函数相关的问题，能够从以下两个方面来观察、认识和把握： ①能从“总体感知”和“具体对应方式”两个视角来认识与考虑问题； ②能从“整体过程”和某些“特殊值的对应情况”来认识与考虑问题；例1 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平纸上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），那么S 与t 的函数图象大致应为（ ）ABCD【观察与思考】“总体感知”：大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，在小正方形平移的整个过程中阴影部分面积变化的过程是解：选A 。
关节一 数与式的三项要点 ■ 1 第一编 核心知识的再提升⏹ 任何教学问题的解决都必以核心知识为基础。
⏹ 对知识的掌握是有层次高低之别的，只有上升到“原理”层次的知识掌握，才能和心应手发挥作用。
关节一数与式的三项要点“数与式”是初中数学的核心内容之一，不公在各中考试卷中占有相当比重，更重要的是它的作用体现与融合在诸多知识运用之中，其中三项要点，尤望同学们掌握与用好。
要点一、准确与灵活是“运算”之魂； 要点二、深入把握“教”、“式”的性质；要点三、善于将情景中的数量或数量关系抽象为代数式；一、准确与灵活是“运算”之魂1、 灵活运用运算法则，运算律和运算性质对以个几道中考试题，我们给出新的解法，请同学们感悟“灵活”的意义和作用。
例1化简：()y x y x x y x x +÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-221 解：原式)......12(21y x y x y x x y x x ++-+⋅+-=（先把除法转换成乘法，再用分配律乘入括号内） 112121=+-=xx2 ■ 中考数学高分的十八个关节例2计算：⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⋅++2422122a a a a a a 解：原式)......4(21)2(12--⋅++=a a a a a （先从括号内提出“公因式21-a ”而后约分）a11+= 例3已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根，求代数式)252(6332--+÷--x x xx x 的值。
解：原式)......9(32-÷-=x x （除式和被除式同乘以)2-x)13......(31)3(3122=+=+=x x x x 因为以上三题是中考题，也都是较容易的题，从每一道题的解法可以看出：越是能适时而恰当运用“运算律”，“公式”“性质”等，则越可使运算步骤减少，过程简化。
所以，越是善于将算法、算律、公式、性质联合运用，越能提高运 算的准确性和过程的简约性。
2、善于把“非标准”算式转化为“标准”算式中考试题中不少数、式运算问题以“非标准”形式给出，解决的基本过程是先将其转化为“标准”算式，然后计算。
而这个“转化”就提高了对灵活性和准确性的要求。
例4在实数的原有运算法则基础上我们又定义运算“⊕”如下：当a b ，a b a b b ，a b a =⊕<=⊕≥时当时;2.则当2=x 时，)3()1(x x x ⊕-⋅⊕的值为 （“.”和“一”仍为实数运算中的乘号和减号） [ 观察与思考]根据对新运算⊕的规定，当2=x 时有2221)23(2)21()3()1(2-=-⋅=⊕-⋅⊕=⊕-⋅⊕+x x x 解：-2可以看出，不管新运算规定得多么新奇，它总是通过 原有的运算来表达的。
因此，解这类问题的基本过程是：先按新运算的规定转化成原来的运算，再按原来的运算计算出结果。
这“两步走”检验着我们是否很好地理解和 掌握了“算法”的意义 例5 按下列程序计算，把答案写在表格内：n 平方n + n ÷ n -答案（1）填写答案：输入n321 -2 -3 …… 输出答案 1 1(2)请将题中计算程序用代数式表达出来,并给予化简.[观察与思考]经过审题之后,我们会发现,可以先解答第(2)问,因为将相应代数式得出化简之后,就使(1)变成已熟悉的代数式求值问题了.解: (1)在输出答案的各栏中均填1.(2)对应的代数式应为:n nnn -+2,化简后为1. 例6 如图1------1, D , E 分别是ABC ∆的边BC 和AB 上的点,，ACD ABD 的周长相等与∆∆CBE CAE ∆∆与的周长相等,设.,,c AB b AB a BC === (1) 求AE 和BD 的长;(2) 若BD AF ：S S ，ABC BAC ⋅=∆︒=∆求证的面积为,90[观察与思考]本题表面上是图形形问题,但实质是式的运算.解: (1)c AB b AC a ，BC ACD ABD ===∆∆,,的周长相等与2c b a CD AC BD AB ++=+=+∴; 22cb ac c b a BD -+=-++=∴同理2cb a AE +-=. (2).21,,90222bc S c b a BAC =+=∴︒=∠由(1)知 4)(2222c b a c b a c b a BD AE --=-+⨯+-=⋅ bc bc c b a 21)2(41222=+--=. 即BD AE S ⋅=.由以上几例可以看出:数与式的运算能力,更体现于把”非标准”算式转化为”标准”算式,这就要求我们对运算的意义和作用,有更深刻的认识二、深入把握“数”、“式”的性质1、 用活数的构成和表示例1 计算：,......3112,1512,712,312,11254321=-=-=-=-=-归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测122008-的个位数是 （ ）A 、1B 、3C 、 7D 、5[观察与思考] 这实际是考查）n n为正整数(2的个位数的出现规律，因为有：12的个位数是2；22的个位数是4；32的个位数字是8；42的个位数字是16；52的个位数字是2，……可见，r m n +=422 （其中m 是非负整数且41≤≤r ）时，n2的个位数字与r 2的个位数字是一样的。
现在45014200822+⨯=，即20082的个位数字等于42的个位数字，即6，当然122008-的个位数字就是5。
ABDEC解：选D【说明】 本题的解答是以对n2 的个位数字及循环情况分类认识与把握为基础的。
例2 如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和，那么这个数就叫完全数。
例如，6的不包括自身的所有因数为1，2，3.而且6=1+2+3，所以6是完全数。
大约2200多年前，欧几里德提出：如果)12(21-∙-n n 是一个完全数，请你根据这个结论写出6之后的下一个完全数 。
【观察与思考】 设12-n 是质数3，７。
，则312=-n时，712;6)12(2;2212=-=-∙=-n n 时，3=n ;.2874)12(2313=⨯=-∙-解：28【说明】因数、质数等的概念的掌握和运用是本题获解的基础。
例3： 老师在黑板上写出三个算式：,278315,4879,2835222222⨯=-⨯=-⨯=-王华接着又写了两个具有同样规律的算式：1 ,228715,1285112222⨯=-⨯=-（1） 请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （2） 用文字写出反映上述算式的规律： （3） 证明这个规律的正确性。
【观察与思考】由题目条件提供的5个等式，根据我们对整数性质的掌握，可以知道本题要揭示的就是“任意两个奇数的平方差，都说8的倍数”。
那么，任意两个奇数该如何用式子表示，就是解决本题的基础准备。
解：（1）如......5081525,68172222⨯=-⨯=-等等（2）规律为：任意两个奇数的平方差都等于8的倍数。
（3）证明：两个奇数可表示为1212++n m 和（其中n m 和都是非负整数），则)1)((4)12()12(22++-=+-+n m n m n m 。
当n m 和同是奇数或偶数时，n m -一定为偶数，所以)(4n m -一定是8的倍数。
当n m 和一奇一偶时，则1++n m 一定为偶数，所以)1(4++n m 一定是8的倍数。
所以，任意两个奇数的平方差都是8的倍数。
【说明】本题的顺利获解是基于这样两点：第一，能从提供的五个等式中归纳概括出规律，而这必须对整数及其性质有深刻的认识；第二，恰当地运用“式子”表示出“任意两个奇数”。
2、 用活“数”、“式”的大小关系例4 估算324+的值（ ）A 、在5和6之间B 、在6和7之间C 、在7和8之间D 、在8和9之间 【观察与思考】本题实际上是考查24在哪两个整数之间，思考过程可以是这样的：83247,5244,252416<+<∴<<∴<<解：应选C 。
例5 设a 是大于1的实数，a ，312,32++a a 在数轴上对应的点分别标为A ，B ，C ，则A ，B ，C 三点在数轴上自左自右的顺序是（ ）A 、 C ，B ，A B 、 B ，C ，A C 、 A ，B ，CD 、 C ，A ，B【观察与思考】方法一（性质推导法）.2)1(1223,1+>+=+>+=∴>a a a a a a a a ∴+>+>=∴,3231233a a a a 数轴上的点自左自右应为B ，C ，A 。
方法二（特数值法）可设3=a ，则A ，B ，C 表示的数为,37,35,3当然有.33735<< 解：应选B 。
【说明】由本题可以看出，数与式的大小问题，都是以实数的大小关系为基础的，所以，掌握实数的大小关系，是非常重要的。
启示：掌握数，式的构成（即用其他需要的方法表示它）和掌握数，式的大小关系（基本不等关系和在此基础上再经运算的不等关系），是进一步研究和运用数与式的重要根据。
三、善于将情景中的数量或数量关系抽象为代数式列式，即将某一情景中蕴含的数量或数量关系，用式表示出来，这是用数学研究该情景问题的基础，也是用式，方程（不等式）、函数解决实际问题的起始步骤，其作用的重要性言而喻，学习好“数与式”，应把善于列式放在第一位。
1、 图示化情景的列式例1 如图，表中的数据是按一定规律排列的，从中任意框出 五个数字，请你用含其中一个字母的代数式表示e d c b a ,,,,这五个数字和为【观察与思考】选C 最好，因.1,1,8,8+=-=+=-=c d c b c e c a 可知有解：c 5【说明】本题可有多种表示法。
例2 生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）： 如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm ，宽为xcm ，分别回答下列问题： （1）为了保证能折成图④的形状（即将纸条两端均超过点P ），试求x 的取值范围。
（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超过点P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M 与点A 的距离（用x 表示）【观察与思考】关键是看到叠成的五边形，每边的长都为原纸条的宽。
解：（1）由折纸过程知260,2650<<∴><x x 1 2 3 4 5910 11 12 1317 18 19 20 21 25 26 27 28 29 33 34 35 36 37 41 42 43 44 45aced b（2）要图④为轴对称图形，则应x x x AM 23132526-=+-=。
即点cm x A M )2313(-的距离是与点 可以看出：图示化情景的列式，要从图示的特征（如例1中每列，每行相邻两数的关系，例2的等边五边形等）出发，再结合要求才容易列出相应的代数式。
