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第5讲_差分方程模型

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差分方程模型的基本概念

差分方程模型的基本概念


预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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感谢您的观看
确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
(完整版)差分方程模型(讲义)

(完整版)差分方程模型(讲义)

差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。

1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。

2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。

3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。

4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。

2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。

2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。

3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。

4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。

随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。

有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。

例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。

这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。

二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。

有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。

但是，往往都需要用计算机求数值解。

这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。

差分方程模型

差分方程模型

洛阳理工学院数学建模竞赛培训教案
差分方程模型
周家全
对连续型变化的问题而言, 常常可建立微分方程模型. 而对离散状态转移的问题, 则可建立差分方程模型. 差分方 程与常微分方程有很多类似的性质和结论．首先引入差分的 概念．
1 差分定义及其性质
定义 设函数 y = y(x) 在等距节点 xi = x0 + ih ( i = 0,1, , n)
对于一般的差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = f 来讲, 其平衡 点的稳定性问题可以同样给出. 二阶方程的上述结果可以推
广到 n 阶线性差分方程, 即稳定平衡点的条件是特征根： n
次代数方程的根 λi (i = 1, 2, , n) 均有| λi |< 1.
4 经济学中的蛛网模型
1. 提出问题 在自由竞争的社会中, 很多领域会出现循环波动的现象. 在经济领域中, 可以从自由集市上某种商品的价格变化看到 如下现象：在某一时期, 商品的上市量大于需求, 引起价格 下跌, 生产者觉得该商品无利可图, 转而经营其它商品；一
解
Δf (0) = f (0.5) − f (0) = 0.75 ,
-2-
洛阳理工学院数学建模竞赛培训教案
Δf (0.5) = f (1) − f (0.5) = 1.25
周家全
Δ2 f (0)= Δ(Δf (0)) = Δf (0.5) − Δf (0) = 1.25 − 0.75 = 0.5
计算较多点的差分可按差分表进行, 容易看出表中每一 个需要计算的差分值分别等于其左侧的数减去左上侧的 数．每个点 xi 处的各阶差分位于与主对角线平行的斜线上．
(I) 先求解对应的特征方程
a0λn + a1λn−1 + + a0 = 0
第五章 差分方程模型

第五章 差分方程模型

第五章 差分方程模型在第四章中，我们利用微分方程方法研究了一些连续变化的变量。

如果将变量离散化，即可得到相应的差分方程模型，为了方便不熟悉差分方程的读者，先对本章用到的差分方程的知识作一简略介绍。

5.1差分方程简介一、差分方程及其通解以t 表示时间，规定t 只取非负整数。

0=t 表示第一周期初，1=t 表示第二周期初等。

记t y 为变量y 在时刻t 时的取值，则称t t t y y y -=∆+1为的一阶差分，称t t t t t t t y y y y y y y +-=∆-∆=∆∆=∆+++12122)(为y t 的二阶差分。

类似地，可以定义y t 的n 阶差分t n y ∆。

由t 、t y 及t y 的差分给出的方程称为t y 差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。

差分方程也可以写成不显含差分的形式。

例如，二阶差分方程02=+∆+∆t t t y y y 也可改写成012=+-++t t t y y y 。

满足差分方程的序列t y 称为此差分方程的解。

类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，则称此解为该差分方程的通解。

若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解，例如，考察两阶差分方程： 02=++t t y y 易见t y t 2sin π=与t y t 2cos π=均是它的特解，而t c t c y t 2cos 2sin 21ππ+=则为它的通解，其中1c ，2c 为两个任意常数。

类似于微分方程，称差分方程)()()()(110t b y t a y t a y t a t n n t n t =+++-++ （1） 为n 阶线性差分方程，当0)(≠t b 时称其为n 阶非齐次线性差分方程，而0)()()(110=+++-++t n n t n t y t a y t a y t a （2） 称为方程（1）对应的齐次线性差分方程。

第五讲——显式差分和隐式差分(5)

第五讲——显式差分和隐式差分(5)


c(n)
T1n n T2 T3n n T4 T n 5n T 6
n1 n1 n1 n n n sTi (2 2 s ) T sT sT (2 2 s ) T sT 1 i i 1 i 1 i i 1
a=zeros(135,135); for i=1:135 a(i,i)=1; end; for i=1:7 a(15*i+1,15*i+2)=-0.25; a(15*i+1,15*i+16)=-0.25; a(15*i+1,15*i-14)=-0.25; end for i=1:7 a(15*i+15,15*i+14)=-0.25; a(15*i+15,15*i+30)=-0.25; a(15*i+15,15*i)=-0.25; End a(1,2)=-0.25; a(1,16)=-0.25; a(121,122)=-0.25;
b=a^(-1); c=zeros(135,1); for i=121:135 c(i,1)=25;end d=b*c; s=zeros(11,17); for i=2:16 s(11,i)=100; end for i=1:9 for j=1:15; s(i+1,j+1)=d(15*(i-1)+j,1); end end
一般差分格式
Forward-Time Central-Space method Backward -Time Central -Space method
1/ 2
Crank-Nicolson 隐式差分格式
一种隐式差分格式的程序实现
1 求解区域：
2
3
差分方程模型

差分方程模型

型假设
(1)设 k 时段商品数量为 xk ，其价格为 yk ，这里把时间 离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。 (2)同一时段的商品价格取决于该时段商品的数量，称
yk f ( xk )
为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其 价格就越低。故可以假设需求函数为一个单调递减函数。 (3) 下一时段的商品数量由上一时段的商品价格决定，
lim x x0，所以 P 若P 0 是稳定点，则应有 k k 0 点稳定的条件是
1
同理 P 0 点不稳定的条件是
1
4、模型修正
在上述模型的基础上，对供应函数进行改进。下面在决 定商品的生产数量 xk 1时，不仅考虑前一时期的价格 yk ，而 y k y k 1 x g ( ) ，在 P 且考虑了价格 yk 1 ，取 k 1 0 附近取线性近 2 似，则有
若特征方程有k重复根 i ，则方程(2)的通解为
(c1 ck t k 1 ) t cost (c1 ck t k 1 ) t sint
3.求非齐次方程的一个特解yt ，若 yt 为齐次方程的通 解，则非齐次方程的通解为 yt yt 。 对特殊形式的特解 b(t )可以使用待定系数法求非齐次方 qk ( t ) 程的特解。例如 b(t ) bt pk (t )， pk (t ) 为t的k次多项式时可以证 t b 明：若b不是特征根，则方程(1)有形如 qk (t ) 的特解， 也是t的k次多项式；若b是r重特征根，则方程(1)有形如 bt t r 1qk (t ) 的特解。进而可以用待定系数法求出 qk (t ) ，从 而得到方程(1)的一个特解。
图1和图2中的折线 P1 P2 , P2 P3 ,形如蛛网，故把这种 模型称为蛛网模型。在进行市场经济分析中，f 取 决于消费者对某种商品的需求程度及其消费水平， g 取决于生产者的生产、管理等能力。 当已知需求函数和供应函数之后，可以根据 f 和 g 的性质判断平衡点 P0 的稳定性。当 | x1 x0 | P0 的稳定性取决于 f 和 g 在点 P0 的斜率， 较小时， 即当
差分方程模型PPT课件

差分方程模型PPT课件


回到全国竞赛题。这里提出了新的问题： (1)潜伏期病人如何描述？ (2)死亡病人在模型中的描述。 (3)需要考虑人口的迁移影响，如何描述？ (4)如何控制疾病的蔓延？
问题的图示
b O
a
d
d
利用简单的几何关系即得到 yk1 f ( yk ), y1 b
例2：按年龄分组的种群增长模型。
问题考虑两个要点：增长和人口分布 人口分布：对于连续问题，可以利用分布函数和 密度函数描绘。
我们也可以利用离散的方法描述人口分布。把t时
刻人口从小到大分为n组，第k 组人数xk(t)，则离 散人口分布可以利用向量
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发， 参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和 补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型， 并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出 预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
附录1 《国家人口发展战略研究报告》 附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部 分数据）及其说明
差分方程建模：设第k天病人所占比例为i(k)，健 康人数量为s(k)，则第k天病人数量变化为
Ni(k 1) Ni(k) s(k)Ni(k) Ni(k)
第k天健康人数量变化为
Ns(k 1) Ns(k) s(k)Ni(k)
把两个式子化简即得到差分方程组。
差分方程和微分方程的建模过程没有差异，差别 在于：变化率和的意义不同。
一阶线性差分方程组的稳定性： 设一阶线性差分方程组的解为{Xk}, 而受扰动解为 {Yk}。记扰动误差为
k X k Yk 则扰动误差满足
k1 A k
对任意初始扰动0，k0的充分必要条件为
( A) 1
这就是差分方程的稳定性条件。
差分方程模型

差分方程模型

是(1)的解.（ C1 , C 2， ，C k 是任意常数）
问题:
若k n，则
y C1 y1 C2 y2 Ck yk 一定是通解吗？
定理7：如果
y1 (x),y2 (x)， ，yn (x) 是
方程(1)的n个线性无关的特解, 那么
y C1 y1 C2 y2 Cn yn 就是方程(1)的通解.
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。 如y x 5 4 y x 3 3 y x 2 2 0是三阶差分方程；
y x y x 1 0，虽然含有三阶差分，
3
但实际上是二阶差分方 程，
由于该方程可以化为 y x 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0因此它是二阶差分方程 ，
nx ( n1)
（公式）
2.差分的四则运算法则
(1)(Cy x ) Cy x (C为常数)
(2)( y x z x ) y x z x
3 yx z x yx1z x z x yx yx z x z x1yx
y x z x y x y x z x z x 1y x y x 1z x 4 z z x z x 1 z x z x 1 x
差分方程及差分方程模型
一、差分的概念及性质 二、差分方程的概念 三、线性差分方程解的结构
四、一阶常系数线性差分方程
五、差分方程模型
一、差分的概念及性质
1.差分的定义
设 函 数 f ( x ).当x取 非 负 整 数 时 ， y 函数值可以排成一个列 : 数 f (0)，f (1)， ，f ( x )，f ( x 1)， 将之简记为 y 0，y1，y 2， ，y x，y x 1 , 称 函 数 的 改 变 量x 1 y x 为 函 数 的 差 分 ， y y 也 称 为 一 阶 差 分 ， 记 Δ y x y x 1 y x . 为
差分方程模型

差分方程模型


设特解为 an D 代入 D 0.5D 0.1 得 D 0.2 ， 于是所求通解 an c(0.5) n 0.2 例3 (养老金) 解: 齐次特征方程 设特解 an D
an1 1.01an 1000
1.01 0,
* an c(1.01) n.
代入原方程得 D 100000
例 4 求非齐次差分方程
* 对应齐次方程的通解为 an c1 2n c2 n 2n
的通解
f (n) 2 中, 2 是2 重根, 设特解为
n
an A n 2 2 n
n 2 n1
代入
得 A 1 2 方法2 (化齐) :
故通解为 an c1 2 c2 n 2 n 2
Fn Fn 1 Fn 2 F1 F2 1
解：差分方程的特征方程为 x 2 x 1 0 特征根
x1
n
1 5 1 5 , x2 2 2
n
1 5 1 5 Fn c1 c2 2 2
n
2(an1 4an2 4an3 ) 2 2n1 相减得 an 6an1 12an2 8an3 0 特征方程 3 62 12 8 0 特征根 2 为三重根, 通解为：
an 4an1 4an2 2n
an c1 2n c2 n 2n c3n 2 2n
x k b1 x k 1 b2 x k 2 bk 0
称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。 定理1（单根）若特征方程恰有k个相异的特 x1 , x2 ,, x 征根 ， k 则差分方程的通解为
an c x c x ck x
差分方程模型蛛网模型混沌理论

差分方程模型蛛网模型混沌理论


三、 符号说明
1.
N i (t ) —— t
时刻 i 龄鱼的数量， i 1, 2, 3,4;
k N i(0 ) ——第 k 年初 i 龄鱼的数量， i 1, 2, 3,4; 2.
N i(1k ) ——第 k 年底 i 龄鱼的数量， i 1 , 2 , 3 , 4 ;
3. r ——鱼的自然死亡率； 4. c ——4 龄鱼的平均产卵量； 5. M i —— i 龄鱼的平均重量， i 1, 2, 3,4;
对于3，4龄鱼，在第8个月末数量
2 ( r b3 ) (k ) (k 3 N 31 N 30 ) e 2 N ( k ) N ( k ) e ( r b4 ) 3 40 41
在后4个月，对于3、4龄鱼，只有死亡率起作用，因而
{
Fn Fn1 Fn2 F F2 1 1
Fn 称为fibonacci数列。
差分方程模型
对于k阶差分方程 F( n; xn, xn-1, … , xn-k ) = 0 若有xn = x (n), 满足 F(n; x(n), x(n - 1) , … , x(n -k )) = 0, 则称xn = x (n)是差分方程(4-6)的解, 包含k个任 意常数的解称为(4-6)的通解, x0, x1, … , xk-1为已 知时称为(4-6)的初始条件,通解中的任意常数都 由初始条件确定后的解称为(4-6)的特解. (4-6)
a n 2a n 1 1 an 1
例2 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两 月长成 成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌 雄各一的一 对小兔，新增小兔也按此规律繁殖， 设共有对，试建 立关于第n月末兔子对数的差分方程。
解: 因第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下 的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔 数等于前月末的兔数。故
差分方程模型介绍

差分方程模型介绍

function x=zwfz(x0,n,b) c=10;a1=0.5;a2=0.25; p=a1*b1*c; q=a2*b*91-a1)*b*c; x(1)=x0; x(2)=p*x(1); for k=3:n x(k)=p*x(k-1)+q*x(k-2); end
结果分析：Xk= pXk-1 + qXk-2
∗ 以k=0时X0=M代入，递推n次可得n年后本息为
xn = (1 + r ) M
n
∗ 例2 污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固 定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？ ∗ 记第k天的污水浓度为Ck,则第k+1天的污水浓度为 Ck+1=(1q)Ck, k=0,1,2,···· 从k=0开始递推n次得
模型及其求解
∗ 记一棵植物春季产种的平均数为C,种子能活过一个冬天的 (1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天 的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽 率a2。 ∗ 设C,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 ∗ 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由Xk-1决 定的部分是 a1bCXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bCXk-2
• 用矩阵表示
x1 (k + 1) 0.6 0.2 0.1 x1 (k ) x2 (k + 1) = 0.3 0.7 0.3 x2 ( k ) x (k + 1) 0.1 0.1 0.6 x ( k ) 3 3
λ1,2 < 1, xk → 0(k → ∞)
λ 1, 2 > 1, x k → ∞ ( k → ∞ )

5 第3章 差分方程模型(一)


3.1.4 平衡点和渐近稳定性
差分方程的解 {xk } 的极限 lim xk 刻画了动态过程
k
长期变化之后的结局. 极限 lim xk 与差分方程的平衡
k
点及渐进稳定性有密切关系. 对于一阶差分方程(3.1.2)式，令 xk 1 xk x ，就 得到一元代数方程 (3.1.5) x F ( x) (3.1.5)式的解 x x 就是(3.1.2)式的平衡点.
3.2.2 一阶线性常系数 非齐次差分方程
如果 r≠0，(3.2.4)式有且仅有平衡点 x b r . 容 易证明： 平衡点 x b r 是渐进稳定的当且仅当 −2<r<0. 平衡点 x b r 的渐进稳定性也属于全局渐 进稳定性.
3.2.3 濒危物种的自然演变 和人工孵化
是(3.1.2)式的常数解，并且有 xk 0, k 0,1, 2, .
3.1.4 平衡点和渐近稳定性
对于二阶差分方程(3.1.4)式，令 xk 2 xk 1 xk x 就得到一元代数方程 x F ( x, x) (3.1.6)式的解 x x 就是(3.1.4)式的平衡点.
第3章
差分方程模型
3.2节
一阶线性常系数 差分方程及其应用
3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程
一阶线性常系数齐次差分方程形如： (3.2.1) xk 1 (1 r ) xk , k 0,1, 2, 其中 r 是常数. 在建模的时候，(3.2.1)式中的 xk 是实 际对象在第 k 时段的状态值，参数 r 是相邻时段的用 前差公式计算的增长率： xk 1 xk (3.2.2) r , k 0,1, 2, xk 由(3.2.2)式可见， (3.2.1)式的模型假设为 “用前差公式 计算的增长率为常数”.

第三章_差分方程模型

第三章 差分方程模型§1、 差分方程设有未知序列{}k y ，称0),,,;(1=++n k k k y y y k F （1）为n 阶差分方程。

若有)(k y y k =，满足0))(,),1(),(;(=++n k y k y k y k F则称)(k y y k =是差分方程（1）的解，包含n 个任意常数的解称为（1）的通解， 当110,,,-n y y y 为已知时，称其为（1）的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为（1）的特解。

[例1] 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时即第三月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。

设第k 月末共有k y 对兔子，试建立关于k y 的差分方程。

[解] 因为第2+k 月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以有⎩⎨⎧==+=++1,01012y y y y y k k k 这是著名的裴波那契数列。

[例2] 汉诺塔问题将k 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A 上，大的在下，小的在上。

现将此k 个盘移到空桩B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程中桩A 也可利用。

设移动k 个盘的次数为k y ，试建立k y 的差分方程。

[解] 先将桩A 上的k 个大小不同的圆盘按题设要求移到C 上，这需要移动k y 次，再将A 上的最大盘移到B 上，这需要移动一次，最后将C 上的k 个盘按要求移到B 上，这又需要移动k y 次。

所以，差分方程为⎩⎨⎧=+=+01201y y y k k§2、 差分方程的解法一.常系数线性齐次差分方程形如 0110=+++-++k n n k n k y a y a y a ——（1）其中n a a a ,,,10 为常数，且0,00≠≠n a a ，称为n 阶常系数齐次线性差分方程。

差分方程模型


结果分析： 可以看到，对于不同的b，xk的变化规律有较大差 别。为了研究这种差别的机理，需要得到方程（10） 的表达式。注意到一阶差分方程（3）的解为（5）式， 对于二阶差分方程可以寻求形如xk=λk的解，将其代 入（10）式得 2 p q 0 （11） 代数方程（11）称为差分方程（10）的特征方程， 方程（11）的根 p p 2 4q 1,2 丘鹤数量的变化趋势，即 k→∞时xk的极限状态。 在自然环境下（3）式的解得形式为 xk =akx0， a=1+r， k=0,1,2,… （5） 显然当a>1（即r>0）时xk →∞，而a<1（即r<0）时 xk →0，表明在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒 于灭绝。 在人工孵化条件下由（4）式可得 xk=akx0 +b(1+a+…+ak-1) =akx0 +b(1- ak-1)/(1-a) ， k=0,1,2,… （6） 当a<1（即r<0）时xk →x= b/(1-a) 。对于充分大的k用 （4）式计算xk的结果如图表示：
例2 污水处理厂每天可将处理池的污水（中含 污物）浓度降低一个固定比例q，问多长时间才能 使污水浓度降低一半？
记第k天的污水浓度为ck ，则第k+1天的污水 浓度为 ck+1=(1-q) ck, k=0,1,2,… （2） 从K=0开始递推n次可得cn=(1+r)n c0,以cn=c0/2， lg 2 n 代入可解出 ，n天后污水浓度降低一半。
function x=minos1(x0,n,r)%建立名为minos1的函数M文件，x0， n，r可以调节 a=1+r; x=x0;%赋初值 for k=1:n x(k+1)=a*x(k);%按照（3）迭代计算 End >> k=(0:20)'; >> y1=minos1(100,20,0.0194); >> y2=minos1(100,20,-0.0324); >> y3=minos1(100,20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3']),%对结果四舍五入取整数 >> plot(k,y1,k,y2,‘*’,k,y3,‘--’)%将三条线画在一个图上 >> gtext('r=0.0194'),gtext('r=-0.0324'),gtext('r=-0.0382'),%在图 上做标记 >> grid on

copy-第五讲 差分方程模型

第五讲 差分方程模型——对变化进行建模引言为了更好地了解世界,人们常常用数学来描述某种特定现象.这种数学模型是现实世界现象的理想化,但永远不会是完全精确的表示.尽管任何模型都有其局限性,但是好的模型能够提供有价值的结果和结论.在本章中我们将重点介绍对变化进行建模. 简化 比例性多数模型简化了现实的情况.一般情况下,模型只能近似地表示实际的行为.一种非常强有力的简化关系就是比例性.定义 两个变量y 和x 是(互成)比例的,如果kx y =,我们记为x y ∝.从几何上看,y 关于x 的图形位于通过原点的一条直线上.例1 测试比例性做一个测量弹簧的伸长作为置于弹簧末端的质量的函数的实验,表1-1为该实验收集到的数据表1-1 弹簧—质量系统 质量50 100 150 200 250 300 350 400450 500 550 伸长1.000 1.8752.7503.2504.375 4.8755.6756.5007.2508.000 8.750 弹簧的伸长对于置于弹簧末端的质量的散点图展现了它近似是过原点的一条直线.图1-1 来自弹簧—质量系统的数据看来该数据遵从比例性法则，伸长e 与质量m 成比例，或者说m e ∝。

该直线看似通过原点。

在本例中，假设这两种数据成比例看来是合理的，我们选位于直线上的两点)25.3,200(和)875.4,300(来估计比例系数k （直线斜率）：01625.020030025.3875.4=--=k因此比例系数约为0.0163，于是可以建立以下估算模型：m e 0163.0=然后把表示该模型的直线图形重叠画到散点图上，以考察模型对这些数据的拟合效果。

从图中可以看出这个简化的比例模型是合理的。

图1-2来自弹簧—质量系统的数据和比例性模型直线对变化进行建模对变化进行建模的一个非常有用的范例就是：未来值=现在值+变化人们往往希望从现在知道的东西加上精心观测到的变化来预测未来。

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2． 二阶线性差分方程的平衡点及稳定性 考察二阶线性差分方程xk+a1xk+1+a2xk+2=0 (4) 在平衡点x*=0的稳定性。为求（4）的通解，先写 出他的特征方程
2 a1 a2 0
记它的根为λ 1，λ 2，则（4）的通解可以表示为
k xk c11 c2 k 2
，其中常数c1,c2由初始条件x0,x1确定，从而可知 ，当且仅当|λ 1|<1, |λ 2|<1时方程（4）的平衡点是 稳定的。
鱼群数据为： (1) 各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（1/年），其 平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（g）; (2) 1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4 龄鱼产卵量为1.109╳105 （个），3龄鱼为其一半 ； (3) 卵孵化的成活率为1.22╳1011/（1.22╳1011+n ）(n为产卵总量)；
该年4龄鱼总捕捞量：
k 4 1 (1 k 4 ) 3 (1 k 4 ) k 4 X 4 k4 i
8 i 1
，


； ；
该年3龄鱼产卵总量： 该年4龄鱼产卵总量：
m (1 k3 ) 8 X 3 2 m n4 (1 k4 )8 X 4 2 n3
因此矩阵应修正为：
0 12 P (1 ) 0 0 0 0 (1 )12 0 m (1 k 3 ) 8 2 0 0 (1 ) 4 (1 k 3 ) 8 m (1 k 4 ) 8 0 0 (1 ) 4 (1 k 4 ) 8
问题描述如下： 如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场 中各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最 高收获量； 合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生 产能力不能受到太大破坏，承包时各年龄组鱼 群数量为122，29.7，10.1，3.29（╳109条）。 在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取 怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。
从而有： 一年后3龄鱼实际存活数：（1-α -k3）8（1-α ）4X3; 一年后4龄鱼实际存活数：（1-α -k4）8（1-α ）4X4; 该年3龄鱼总捕捞量： ，
k 3 1 (1 k 3 ) 3 (1 k3 ) k3 X 3 k3 i
8 i 1


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三、差分方程的平衡点及稳定性
1． 一阶线性常系数差分方程的平衡点及稳定 性 一阶线性常系数差分方程 b x k xk+1+axk=b,k=0,1,2,…（1） 1 a 的平衡点由x+ax=b解得，为 ，当 时，若xkx*，则x*是稳定的。 方程（1）的平衡点的稳定性问题可以通过变 量代换转换为齐次方程 xk+1+axk=0,k=0,1,2… (2)
第五讲 差分方程模型
一 差分方程模型 二 差分方程解法 三 差分方程的平衡点及稳定性 四 建模案例 五 用Matlab求解差分方程问题
一 差分方程模型
对一数列{an}，把数列中的an和前面的ai(0<=i<n)关 联起来的方程叫差分方程，也叫递推关系。
例：设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月 后长成成兔，同时从第三个月开始每月初产雌雄各 一对一对小兔，新增小兔也按次规律繁殖。设第n月 末共有Fn对兔子，试建立关于Fn的差分方程。
3 一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性 考察一阶非线性差分方程xk+1=f(xk) (7) 的平衡点的稳定性。其平衡点x*由x=f(x)解出。 将（7）的右端在x*点做泰勒展开，只取一次项 ，则（7）可以近似为： xk 1 f ' ( x*)(xk x*) f ( x*) （8） x*也是（8）的平衡点。线性方程（8） 的平衡 点的稳定性讨论同（1），而当|f’(x*)|≠1时（7 ）与（8）的平衡点的稳定性相同。从而有： 当|f’(x*)|<1时，方程（7）的平衡点是稳定的； 当|f’(x*)|>1时，方程（7）的平衡点是不稳定的 。
关于鱼群的差分方程为：X(t+1)=PX(t) （1） 为实现持续捕获，（1）式必须存在稳定解： X(t)=PX(t)。 由差分方程稳定性理论知其充要条件为：对P的所有特 征根λ i,均有|λ i|<1。由此可求得最佳策略。
五 用Matlab求解差分方程问题
1、一阶线性常系数差分方程
2、高阶线性常系数差分方程
1、一阶线性常系数差分方程 • 濒危物种的自然演变和人工孵化 • 问题： Florida沙丘鹤属于濒危物种，它
在较好自然环境下，年均增长率仅为 1.94%，而在中等和较差环境下年均增长 率分别为 -3.24% 和 -3.82%，如果在某自 然保护区内开始有100只鹤，建立描述其 数量变化规律的模型，并作数值计算。
解：因为第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月 留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生 的小兔等于前月末的兔子数，所以有 Fn=Fn-1+ Fn-2 ,F1=F2=1.返回
二 差分方程解法
1． 常系数线性齐次差分方程的解法 形如an+b1an-1+b2an-2+…+bkan-k=0（1）(其中bi为常 数，bk≠0,n>=k.)的差分方程，称为{an}的k阶常系数 线性齐次差分方程。 Xk+b1xk-1+…+bk=0为上述差分方程的特征方程，其 根称为特征根。 解分为三种情况： （1） 单根 若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-1+…+bk=0有k 个 相 异 的 特 征 根 x1,x2,…,xk ， 则 an=c1x1n+c2x2n+…+ckxkn是一个通解，其中ci为常数， 由初始条件a0=u0,a1=u1,…,ak-1=uk-1 可确定一个满足初 始条件的特解。
m X 1 (t 1) (c k 3 ) X 3 (t ) m(c k 4 ) X 4 (t ) 2
因为3、4龄鱼的捕捞强度系数比为0.42：1，所以 有k3=0.42k4=0.42k,写成矩阵形式有： X(t+1)=PX(t); 其中
0 c P 0 0 0 0 c 0 m (c 0.42 k ) m (c k ) 2 0 0 0 0 c 0.42 k ck
（2） 重根 若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk1+…+b =0的相异特征根x ,x ,…,x ，重数依次为 k 1 2 t m1,m2,…,mt, m1+m2+…+mt=k，则差分方程的通 解为
n a n c1 j n x1 c2 j n j 1 x2 ... ctj n j 1 xtn j 1 n j 1 j 1 j 1 m1 m2 mt
Matlab实现 • 首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k); end
• 在command窗口里调用sqh函数 k=(0:20)'; >> y1=sqh(20,0.0194); >> y2=sqh(20,-0.0324); >> y3=sqh(20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3'])
（3） 共轭复根 若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-1+…+bk=0 有一对共轭复根 x1 i , 和相异的 x1 i k-2个实根x3,…,xk，则差分方程的通解为，
an c1 cos n c2 sin n c x ... c x
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பைடு நூலகம்
四、建模案例--最优捕鱼策略
问题简介 生态学原理：对可再生资源的开发策略应为在可持 续收获的前提下追求最大经济效益。 考虑4个年龄组：1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼的 某鱼类。该鱼类在每年后4个月产卵繁殖。因而 捕捞只能在前8个月进行。每年投入的捕捞能力 不变，单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数的比 例称为捕捞强度系数。且只能捕捞3、4龄鱼，两 个捕捞强度系数比为0.42：1。即为固定努力量 捕捞。
(2)模型的建立 以1年为一个离散化的时间单位。 记年初鱼群为X(t)=(X1(t), X2(t), X3(t), X4(t))T, 下 一 年 的 鱼 群 数 为 X(t+1)=(X1(t+1), X2(t+1), X3(t+1), X4(t+1))T 。显然，Xi(t+1)是Xi-1(t+1)到 年底存活下来的鱼群数（i=1,2,3,i=4时X4(t+1)中 还包括X4(t)中的存活数。X0(t)是指上一年由卵 孵化而得到的1龄鱼），据此可建立如下差分方 程： X2(t+1)=c X1(t); X3(t+1)= c X2(t); X4(t+1)=(c-k3)X3(t)+(c-k4)X4(t);
当4龄鱼的捕捞强度系数k>c/0.42时，不论上一年 鱼群数目如何，下一年鱼群将出现负数。说明模 型存在问题，原因是离散化程度不够精细。
假设单位时间为一个月，定义月死亡率为α ，月存 活率为（1-α ）， 月捕捞系数为k,则年存活率为 （1-α ）12=c=0.2,从而α =0.1255。 考虑一年中各月鱼群数目的分布，则有： 一个月的实际存活率：（1-α -k）； 两个月的实际存活率：（1-α -k）2； 三个月的实际存活率：（1-α -k）3； 。。。 八个月的实际存活率：（1-α -k）8； 九个月的实际存活率：（1-α -k）8（1-α ）； 。。。 一年后实际存活率：（1-α -k）8（1-α ）4。 同 理 可 得 第 i 月 的 捕 捞 率 : （ 1-α -k ） i1k,i=1,2,…8.