四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

x (0, 2 ，则 m
1
(ln x)2
−
2 ln x
+1=
1 ln x
− 12
因为
1 ln x
−12
0
，所以实数
m
的取值范围是 (−, 0
.
(3)
方程
f ( 2x
−1) + k
2 2x −1
−2 = 0即
2x −1 + 1 − 2 + k 2 − 2 = 0
2x −1
2x −1
化简得
2x
2
a sin sin B． cos( − )
a sin cos C． sin( − )
a cos sin D． cos( − )
12．已知函数 f (x) 是定义在 (−, 0)
(0,
+)
上的偶函数，当
x
0
时，
f
(
x)
=
2 x−1
1 2
f
−1, 0 (x − 2),
x x
2 2
，则函
数 g(x) = 4 f (x) −1的零点个数为
2
，将函数
f
(x)
的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移
6
个单位，再向上平移
2
个单位，可得
g
(
x)
=
sin
2
x
+
6
−
6
−
2
+
2
，
化简得
g
(
x
)
=
sin
2
x
+
6
（2）∵ x ，可得 2x + 7 ，
12
2
3
66
∴
−
1 2
sin
2x
+
6
1.
当 x = 时，函数 g ( x) 有最大值 1；当 x = 时，函数 g ( x) 有最小值 − 1
2
9/9
2
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴an=-9+2（n-1）=2n-11．
（2）由（1）可得：Sn= n (−9 + 2n −11) =n2 - 10n=（n - 5）2-25，
2
可得 n=5 时，Sn 取得最小值 - 25．
19．（1）函数
f
(
x)
=
sin
x
−
6
−
6
2
2
20．（1）数列{an}的前 n 项和
，
，又 a1 = S1 = −1 ，
…
是正项等比数列，
， 公比
，
数列
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
（2）
，
由
，当
，又
故存在正整数 M，使得对一切
M 的最小值为 2
21．
（Ⅰ）由题意可知， n = 1 时 a1b2 = b1 + b2 a1 = 3 ，又公差为 2，故 an = 2n +1.
则数列cn 是
A．公差不为 0 的等差数列
B．公比不为 1 的等比数列
C．常数数列
D．以上都不对
8．函数 y = cos(x + ) + sin( − x) 具有性质
2
3
A．图象关于点
6
,
0
对称，最大值为
3
B．图象关于点
6
,
0
对称，最大值为1
C．图象关于直线 x = 对称，最大值为 3 6
(Ⅱ)若不等式 f (ln x) − m ln x ≥0 在区间(1，e2]上恒成立，求实数 m 的取值范围；
(III)若方程
f
(
2x
−1) + k
2 2x −1
−2
=
0 有三个不同的实数根，求实数 k
的取值范围．
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2020 年春四川省宜宾市第四中学高一期中考试 数学试题参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1． cos 2010 =
A． − 2 2
B． 2 2
2． cos 7 cos 11 − sin 7 sin 11 =
4 12
4 12
A． − 3 2
B． 3 2
C． − 3 2
C． − 1 2
A．
x
=
2 5
，且
AB
与
a
方向相同
C．
x
=
2 5
，且
AB
与
a
方向相反
B．
x
=
−
2 5
，且
AB
与
a
方向相同
D．
x
=
−
2 5
，且
AB
与
a
方向相反
5．在等比数列an 中， a1 = 2, a3 + a5＝12 ，则 a7 =
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A．8
B．10
C．14
A．4
B．6
C．8
D．10
第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量| a |= 2, | b |= 5 ，且 a ， b 的夹角为 60 ，则 2a − b 在 a 方向上的投影为______．
14．三角形 ABC 中， A = 45 ， B = 75 ， AB 边的长为 2 6 ，则 BC 边的长为________.
正确命题的序号是________. 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）设 a = (1− k, 2) ， b = (−1, −k) ， c = (2 − k,1) ， k R .
(I)若 k = 2 且 a = x b + y c ，求 x、y 的值；
+
1 3
−
1 5
+
+
n
1 −1
−
1 n +1
+
1 n
−
n
1 +
2
=
1 2
3 2
−
1 n +1
−
n
1 +
2
=
3 4
−
2(n
2n + 3
+ 1) ( n
+
2)
3 4
.
22．(1) 函数 g(x) = x2 − 2ax +1的对称轴为 x = a ，
因为 g(x) 向左平移 1 个单位得到 g(x +1) ，且 y = g(x +1) 是偶函数，
−x = −1 则 −2x + y = 2 ，解得： x = 1 ， y = 4 (2)因为 a = x b + y c
所以 (1− k, 2) = (−x, −kx) + (2 y − ky, y) = ((2 − k ) y − x, y − kx)
( ) 则
(2 − k) y
y
−
kx
=
− 2
从而有
(2n
) +1 bn+1
=
nbn
+
bn+1
2bn+1
=
bn
，故数列 bn
是公比为
1 2
的等比数列
又
b1
=
1 2
，所以 bn
=
1 2
n
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 cn
=
log2bn
1 log2bn+2
=
1
n(n + 2)
=
11 2 n
−
1 n + 2 .
故
Sn
=
1 2
1−
1 3
+
1 2
−
1 4
x
=
1
−
k
，得到
k2 − 2k +1 x = 3 − k
( ) 当 k = 1 时，等式 k 2 − 2k +1 x = 3 − k 不成立
所以 x = 3 − k k 2 − 2k +1
因为 k R ，所以 x 的值不唯一，即 x ， y 的值不唯一
即不存在唯一的 x、y，使 a = x b + y c 成立. 18．（1）设等差数列{an}的公差为 d，∵a1= - 9，S5= - 25． ∴ - 9×5+ 5 4 ×d= - 25，解得 d=2．
15．已知各项都为正数的数列{an} ，对任意的 m, n N* ， am an = am+n 恒成立，且 a3 a5 + a4 = 72 ，则 log2 a1 + log2 a2 + + log2 a7 = __________．
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
16．关于函数 f ( x) = log1 x −1 ，有以下四个命题：①函数 f ( x) 在区间 (−, 1) 上是单调增函数；②函数 2 f ( x) 的图象关于直线 x = 1 对称；③函数 f ( x) 的定义域为 (1, + ) ；④函数 f ( x) 的值域为 R .其中所有
(I)求数列an 和bn 的通项公式；
(Ⅱ)设 cn
=
log2
bn
1 • log2
bn +2
,数列cn 的前 n
项和为
Sn
,证明:
Sn
3 4
22．（12 分）已知函数 g(x) = x2 − 2ax +1，且函数 y = g(x +1) 是偶函数，设 f (x) = g(x) x
(I)求 f (x) 的解析式；
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形
B．等腰直角三角形 D．无法确定.
11．如图：D， C，B 三点在地面同一直线上，DC＝ a ，从 C，D 两点测得 A 点仰角分别是 ， ( )，
则 A 点离地面的高度 AB 等于
a sin sin A． sin( − )
(Ⅱ)若 a = x b + y c 成立，是否存在唯一的 x、y 满足上述条件？若存在，写出 x、y 的值；若不存在，请说 明理由.
18．（12 分）记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，已知 a1 = −9, S5 = −25 ．
(I)求an 的通项公式；
(Ⅱ)求 Sn ，并求 Sn 的最小值.
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2020 年春四川省宜宾市第四中学高一期中考试
数学试题
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第 I 卷 选择题（60 分）
令 h(r) = r2 − 4r +1 + 2k
当0
r1
1, r2
1时，则
h(0) = h(1) =
1+ 2k 0 −2 + 2k 0
，即 −
1 2
k
1
，
当 r2 = 1 时， k = 1 ， h(r) = r2 − 4r + 3 ， r1 = 3 ，舍去， 综上，实数 k 的取值范围是 (− 1 ,1) .
6．已知 cosα = − 1 ，且 α 为第二象限角，则 sin2α 的值为 2
D．16
A． 3 2
B． − 3 2
C． 3 4
D． − 3 4
7．己知函数
f
(x)
=
x2 x2
−x+n + x +1
n
N*,
x
n −1 2
的最小值为 an
，最大值为 bn
，若 cn
=
(1 −
an
)(1− bn
)
，
所以 a = 1 ，所以 f (x) = g(x) = x + 1 − 2, x 0 .
x
x
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
(2) f (ln x) − m ln x 0
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即 ln x + 1 − 2 − m ln x 0 ln x
( 又 x 1, e2
，所以 ln
20．（12 分）已知数列
是正项等比数列，满足
(I)求数列
的通项公式；
(Ⅱ)记
是否存在正整数 ，使得对一切
若不存在，请说明理由．
恒成立，若存在，请求出 M 的最小值；
21．（12
分）已知an 是公差为
2
的等差数列.数列bn 满足 b1
=
1 2
，b2
=
1 4
，且
anbn+1
=
nbn
+
bn +1 (n
N)
D． 3 2
D． 1 2
3．若 a, b ， c R ， a b ，则下列不等式成立的是
A． 1 1 ab
B． a2 b2
C． a | c | b | c |
D． a (c2 + 2) b(c2 + 2)
4．已知点 A（1，2），B（3，7），向量 a = ( x, −1), AB ∥ a ，则
−1
−
4
2x
−1
+1+
2k
=
0
令r
=
2x
−1
，则 r2
−
4r
+1+
2k
=
0
若方程
f
(
2x
−1) +
k
2 2x −1
−2
=
0 有三个不同的实数根，
则方程 r2 − 4r + 1 + 2k = 0 必须有两个不相等的实数根 r1, r2 ，且 0 r1 1, r2 1或 0 r1 1, r2 = 1，
19．（12
分）已知函数
f
(
x)
=
sin
x
−
6
−
2
，将函数
f
(x)
的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再
向左平移 个单位，再向上平移 2 个单位，得到函数 g(x) 的图象.
6
(I)求函数 g(x) 的解析式；
(Ⅱ)求函数
g
(
x)
在
12
,
2
上的最大值和最小值.
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
1．C 2．C 3．D 4．D 5．D 6．B 7．C 8．A 9．B 10．C 11．A 12．D
13． 3 2
14．4
15．21
16．①②④
17．(1)当 k = 2 时， a = (−1, 2) ， b = (−1, −2) ， c = (0,1)
因为 a = x b + y c ，所以 (−1, 2) = (−x, −2x) + (0, y) = (−x, −2x + y)
D．图象关于直线 x = 对称，最大值为1 6
9．将函数 f ( x) = sin (2x + ) + 3 cos (2x + ) (0 ) 的图象向左平移 个单位后，得到函数的图
4
象关于点
2
,
0
对称，则
等于
A． − 6
B． 6
C． 4
D． 3
10．已知 ABC 中， sin ( B + A) + sin ( B − A) = sin 2A ，则 ABC 的形状为