精品2019学年高中数学第一讲一2基本不等式同步配套教学案新人教A版选修93

因此，当这个矩形菜园是边长为10的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的
长度为40.
例析

例3.(2)用一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩
形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

+ =
解：(2)由已知得2( + ) = 36，矩形菜园的面积为2 .
使总造价最低？最低总造价是多少？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为，，水池的总造价为元.
根据题意，有 = 150 ×
4800
3
+ 120(2 × 3 + 2 × 3) = 240000 + 720( + ).
由容积为48003 ,可得3 = 4800，
= 1600.
⑤
显然，⑤成立，当且仅当 = 时，⑤中的等号成立.
只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了.
新知探索
在图中，是圆的直径，点是上一点， = ， = .
过点 作垂直于 的弦 ，连接，.你能利用这个图形，
得出基本不等式的几何解释吗？
如图，可证 ∆~∆，因而 = .
第二章
一元二次函数、方程与不等式
2.2 基本不等式
复习导入
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不
等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来
研究这个问题.
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
∀, ∈ ，有2 + 2 ≥ 2，当且仅当 = 时，等号成立.
特别地，如果 > 0， > 0，我们用 ， 分别代替上式中的，，
可得 ≤
+

两个正数的算术平均数不小
积的2倍
于它们的几何平均数
文字叙述
“=”成立的条件 a=b
a=b
2.基本不等式的变形
(1)ab≤
b
(2)
a
a+b 2
(a>0,b>0),当且仅当
2
a
+ ≥2(a>0,b>0),当且仅当
b
a=b 时,等号成立;
a=b 时,等号成立.
第一个变形体现了两正数的积与两正数和的平方之间的关系.当不等式的
1
1
1
(1) + + ≥8;
(2)
1
1+

+
1
1+

1
1
1
证明(1) + +
1
1
∴ +
=
=
≥9.
1
1
+
1
1
+ + =2 +

,∵a+b=1,a>0,b>0,
+
+


+
=2+
+
≥2+2=4,




1
1
1
∴ + + ≥8(当且仅当



1
a=b= 时,等号成立).
+ 2
.
2
(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2 .
重难探究•能力素养全提升
探究点一 对基本不等式的理解
【例1】 (多选题)设a>0,b>0,下列不等式恒成立的是(

2．2基本不等式（单元教学设计）一、【单元目标】【知识与能力目标】1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；22a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【过程与方法目标】通过实例探究抽象基本不等式；【情感态度价值观目标】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：2a b+≤的证明过程；教学难点：12a b +≤等号成立条件；22a b+≤求最大值、最小值．教学方法/过程：五、【教学问题诊断分析】环节一、情景引入，温故知新情景：我们知道，通过研究特殊的多项式乘法，可以得到乘法公式，而乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，在研究不等式的性质后，是否也有一些特殊的不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢?今天我们就来研究这个问题．问题1：在不等式的学习中，我们从赵爽弦图中抽象出了重要不等式222a b ab + ．特别地，我们限制0a >，0b >a b 、2a b+，你能证明这一不等式吗?【破解方法】学生能从探索过程获知，基本不等式是重要不等式的特殊情况，建立新旧知识的联系，为不等式的学习提供可参考的对象．环节二、抽象概念，内涵辨析1．基本不等式问题2：你能直接利用不等式的性质证明这一式子吗?【破解方法】学生先独立思考，由于不等式的性质比较多，到底由哪个性质出发，利用哪些性质进行证明，学生会一头雾水．教师再让学生自学教科书第44页，然后通过问题引导学生思考．2a b+≤用分析法证明：要证2a b+≥（1）只要证a b +≥（2）要证（2），只要证a b +-≥0（3）要证（3），只要证（-）2≥0（4）显然，（4）是成立的．当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立．【归纳新知】对公式2a b+≥的理解．（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”．22a b+≤的几何意义问题32a b+≤的几何意义是什么？【破解方法】如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =，BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD ．易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =．这个圆的半径为2a b +，它大于或等于CD ，即2a b+≥，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立．32a b+≤求最大（小）值问题4：怎样利用基本不等式求最大（小）值？【破解方法】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．环节三：例题练习，巩固理解题型一：对基本不等式的理解及简单应用【例1】下列不等式中等号可以取到的是（）A2≥B ．221222x x ++≥+C ．2212x x +≥D ．1||32||3x x ++≥+【答案】C【解析】对于A 0>2≥=，当且仅当24x =-，故等号不成立，故A 不符合；对于B ，因为220x +>，所以221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+，即21x =-，故等号不成立，故B 不符合；对于C ，因为20x >，所以2212x x +≥=，当且仅当221x x =，即1x =±时取等号，故C 符合；对于D ，因为30x +>，所以1323x x ++≥=+，当且仅当133x x +=+，即2x =-，故等号不成立，故D 不符合．故选：C ．【对点训练1】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．0,0)2a ba b +≥>>B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b>>+D ．0,0)2a b a b +≤>>【答案】D【解析】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===，又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，在Rt OCF 中，可得2222222222a b a b a bFC OC OF -++⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号．故选：D ．题型二：利用基本不等式比较大小【例2】若0a b >>，有下面四个不等式：（1）22a b >；（2）2b aa b+>，（3）a b ab +<，（4）33a b <．则不正确的不等式的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】因为0a b >>，所以22a b <，33a b >成立，所以（1）不正确，（4）不正确；因为0a b ab +<<，所以（3）正确；,a bb a都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确．故选：C【对点训练2】若01a <<，01b <<，a b ¹，则a b +，2ab ，22a b +中最大的一个是．【答案】a b +/b a+【解析】01a <<，01b <<，a b ¹，则a b +>2>ab ，22a b a b +>+，综上所述：最大的一个是a b +．故答案为：a b+题型三：利用基本不等式证明不等式【例3】已知,a b 是实数．（1）求证：22222a b a b +≥--，并指出等号成立的条件；（2）若1ab =，求224a b +的最小值．【解析】（1）证明：因为2222(222)222a b a b a b a b +---=+-++22(1)(1)0a b =-++≥，所以22222a b a b +≥--，当且仅当1a =，1b =-时，不等式中等号成立．（2）22224(2)2(2)44a b a b a b ab +=+≥⋅⋅==，当且仅当2a b =，即a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以224a b +的最小值为4．【对点训练3】已知000a b c >>>，，，求证222a b c ab bc ca ++≥++．【解析】∵222a b ab + ，①222b c bc + ，②222c a ac + ，③①+②+③得；222222222a b c ab bc ac ++++ ．∴222a b c ab bc ca ++++ （当且仅当a b c ==等号成立）．题型四：利用基本不等式求最值【例4】已知x 、y 都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值（2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S ．【解析】因为x 、y都是正数，所以2x y+≥（1）当积xy 等于定值P时，2x y+≥=，所以x y +≥，当且仅当x y =时，上式等号成立．于是，当x y =时，和x y +有最小值（2）当和x y +等于定值S22x y S +≤=，所以214xy S ≤，当且仅当x y =时，上式等号成立．于是，当x y =时，积xy 有最大值214S ．【对点训练4】某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为33200m 立方米，深为2m ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低（设蓄水池池底的相邻两边边长分别为x ，y ）？最低总造价是多少？【解析】 要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为33200m 立方米，深为2m 设蓄水池池底的相邻两边边长分别为x ，y ，∴由体积为33200m 可知：23200xy =∴1600xy =，设总造价为z ．又1501600120(44)z x y =⨯++ ，240000480()z x y ∴=++，∴240000480278400z ≥+⨯=，当且仅当，40x y ==时，上式成立，此时278400z =．∴将蓄水池的池底设计成边长为40米的正方形时总造价最低，最低总造价是278400元．环节四：小结提升，形成结构问题5：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：（1）你能归纳一下基本不等式的研究过程吗?（2）你对基本不等式有哪些认识?特别是，其中体现了哪些数学思想方法?（3）处理两类最值问题（积定求和的最小值，和定求积的最大值），需要注意哪些问题?【破解方法】（1）我们遵循“背景一概念一性质一应用”的研究路径，将重要不等式变形获得基本不等式，并对其正确性进行推理论证，再对其结构特点和几何意义进行探究，最后在应用中获得基本不等式模型处理问题的方法．（2）从代数角度看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的大小关系，从几何角度看，基本不等式反映了圆中直径与弦长的大小关系．在推导过程中，灵活运用分析法和综合法；在几何解释中，通过构造与发现提升直观想象素养．（3）在处理两类最值时，要注意是否符合“一正、二定、三相等”这一结构特点，以模型的意识去看待和应用基本不等式．六、【教学成果自我检测】环节五：目标检测，检验效果1．（2023·湖北鄂州·高一校联考期中）设x ∈R ，则“0x >2>”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C2>能推出0x >，故必要性成立，当0x >时，取1x =2=2>，故充分性不成立，所以“0x >2”的必要不充分条件，故选：C ．2．（2023·广西钦州·高一校考开学考试）有一块橡皮泥的体积为2，起初做成一个长，宽，高依次为a ，b ，1的长方体．现要将它的长增加1，宽增加2，做成一个新的长方体，体积保持不变，则新长方体高的最大值为（）A ．116B ．18C ．14D ．12【答案】C【解析】依题意2ab =，设新长方体高为h ，则(1)(2)2a b h ++=，得到22221(1)(2)224284h a b ab a b a b =====+++++++，当且仅当2a b =，即1,2a b ==时取等号，所以h 的最大值为14．故选：C ．3．（2023·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考开学考试）已知2x >，则42x x +-的最小值为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由2x >知，20x ->，所以44222622x x x x +=-+≥=--，当且仅当422x x -=-时，即4x =时，等号成立，所以42x x +-的最小值为6．故选：A4．（2023·全国·高一专题练习）如果0a b <<，那么下列不等式正确的是（）A 2a ba b +<<<B ．2a ba b +<<C 2a ba b +<<<D ．2a ba b+<<<【答案】B【解析】由已知0a b <<2a b+<，因为0a b <<，则22a ab b <<，2a b b +<，所以a b <，2a bb +<，∴2a ba b +<<．故选：B5．（2023·天津武清·高一校考阶段练习）已知正实数a ，b 满足21a b +=，则12a b+的最小值为（）A ．92B ．9C ．D【答案】B【解析】因为121222()(2)559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当22b a a b =，即1313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，所以12a b+的最小值为9．故选：B ．6．（多选题）（2023·广东佛山·高一北滘中学校考阶段练习）下列函数的最小值为4的有（）A ．224y x x =+B ．92y x x=+-C．y =D ．()1111y x x x =++>-【答案】AD【解析】对于A，2244y x x =+≥=，当且仅当224x x =，即x =min 4y =，故A 正确；对于B ，取=1x -，则124y =-<，故B 不正确；对于C，2y =≥=1x =时，等号成立，故min y 不是4，故C 错误．对于D ，因为1x >，所以110,01x x ->>-，故有基本不等式可得()112241y x x =+-+≥+=-，当且仅当111x x =--，即2x =时等号成立，故D 正确．故选：AD【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容．环节六：布置作业，应用迁移作业1：教科书第48页习题2．2第1、2、4、5题．【设计意图】掌握集合的表示方法，巩固本节课的知识点．七、【教学反思】。

2.2基本不等式教材分析：“基本不等式” 是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.掌握基本不等式2a b ab +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式；【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 教学重难点【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程； 【教学难点】 1.基本不等式2a b ab +≤等号成立条件； 2.利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值. 教学过程1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用,分别代替上式中的a ，b ，可得①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality ）.其中，叫做正数a ，b 的算术平均数，叫做正数a ，b 的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）2a b ab +≤ 特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， (a>0,b>0)2a b ab +≤2）2a b ab +≤ 用分析法证明：要证 2a b ab +≥ （1） 只要证 a +b ≥ （2）要证（2），只要证 a +b -≥0 （3）要证（3），只要证 （-）2≥0 （4）显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立.探究1：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .2a b ab +的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB即ＣD ＝ab .这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.因此：基本不等式2a b ab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2. 在数学中，我们称2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.例1 已知x >0，求x ＋的最小值.分析：求x ＋的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋），使x >0，都有x ＋≥y .观察x +，发现x =1.联系基本不等式，可以利用正数x 和的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以x ＋=2当且仅当x = ，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了x >0，有x ＋≥2，而且给出了“当且仅当x =，即=1，x =1时，等号成立”，这是为了说明2是x ＋（x >0）的一个取值，想一想，当y 0<2时，x ＋=y 0成立吗？这时能说y .是x ＋（x >0）的最小值吗？例2 已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x =y 时，和x +y 有最小值；（2）如果和x +y 等于定值S ，那么当x =y 时，积xy 有最大值. 证明：因为x ，y 都是正数，所以.（1）当积xy 等于定值P 时，，所以，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值.（2）当和x+y等于定值S时，,所以，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由，可得x+y≥2=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xym2.由，可得xy ≤81，当且仅当x =y =9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m 2. 例4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m 2，深为3m .如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m ，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低. 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm ，ym ，水池的总造价为2元.根据题意，有z =150×+120（2×3x +2×3y ）=240000+720（x +y ）.由容积为4800m 3，可得3xy =4800，因此xy =1600.所以z ≥240000+720×2， 当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.【设计意图】例题讲解，学以致用.3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab b a ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果. 解：∵a ，b ，c 都是正数∴a ＋b ≥2＞0 b ＋c ≥2＞0 c ＋a ≥2＞0∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.【设计意图】讲练结合，熟悉新知.4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.。