线性代数实验题04-交通网络的流量分析

线性方程组关于交通流量的应用实例分析【摘要】通过对福州某地段单行道交通网络实地调查，利用线性方程组分析其交通流量特性，借助Matlab计算工具提出了可变车道的设计方案，以求达到缓解该地段交通拥挤状况的目的.【关键词】线性方程组；交通流；Matlab引言线性代数是代数的一个主要分支，以向量空间与线性变换为研究对象，就其在数学、物理学以及经济学等分支的应用来说，线性代数的离化思想具有非常特殊的作用，为此也成为作为大学生的我们必修的公共基础课之一. 在现代大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组. 因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展. 现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位. 因此如何去解线性方程组，怎么去运用线性方程组成为了我们线性代数的学习基础.科学在发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具，就线性代数的思想而言，也十分适应于计算机的编程等方面，就产生了用Matlab来解决线性代数问题的思想，它与线性代数有着紧密的联系.线性方程组是线性代数最基本的内容之一，而经常见到的就是求解线性方程组，早在中国古代的数学著作《九章算术方程》章中已作了比较完整的论述. 其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法. 在西方，线性方程组的研究是在 17 世纪后期由莱布尼茨开创的.他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组. 麦克劳林在 18 世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果. 克莱姆不久也发表了这个法则. 18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零； 19 世纪，英国数学家史密斯 (H.Smith) 和道奇森 (C-L.Dodgson) 继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了n个未知数n个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同，这正是现代方程组理论中的重要结果之一. [6]在行车道上经常会出现塞车的现象，在城市的车流高峰期尤为常见. 以单行道为例，在得知交通网络的车辆流向的前提下，经过对交通网络各个路口的交通流量的实际交通调查，统计出主要进出口的车辆总数大致相同的情况下，可以得出交通网络的平衡方程组，通过对线性方程组的解得分析，得出该交通网络的交通网络在某一段时间的车况受哪些车道路况影响，本文在以上条件下，提供了一种利用线性方程组来研究单行道路况的方法，也就是在列出交通网络的平衡方程通时，基于Matlab计算工具分析网络平衡方程的解，在得出问题车道后，提出了在拥堵的车道设计可控制的变向车道，以求缓解交通拥挤的状况，虽然未经实践实用，但具有一定的应用价值.1.基本概念与结论本节主要介绍线性方程组的一些基本概念与结论，以便后文使用.定理1.1[3] n 元齐次线性方程组m n ⨯=A x 0有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的秩()r n <A 且其通解式中带有()n r -A 个任意参数; 只有零解的充分必要条件是()r n =A .定理1.2[3] n n ⨯齐次线性方程组=AX 0有非零解的充分必要条件是=A 0；它只有零解的充分必要条件是≠A 0.定理1.3[3] n 元非齐次线性方程组m n ⨯=A x b 有解的充分必要条件是其系数矩阵A 的秩等于增广矩阵=⎡⎤⎣⎦A A b 的秩.定理1.4[1] 对于n 元非齐次线性方程组m n ⨯=A x b 有如下结论：(1) 当()()r r =A A 时，方程组有解.这时，若()()r r n ==A A ，则方程组有唯一解 若()()r r n =<A A ，则方程组有无限多个解，且其通解式中带有()n r -A 个任意参数.(2) 当()()r r <A A 时，方程组无解.由于下文用到Matlab 来解线性方程组的，有必要说明一下几个命令：（1） 计算矩阵的秩——命令：rank （矩阵）；（2） 化矩阵为行阶梯形求解线性方程组——命令：rref （矩阵）例 求解线性方程组123412341234030230x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ 具体操作：>> A=[1 -1 -1 1;1 -1 1 -3;1 -1 -2 3]A =1 -1 -1 1 1 -1 1 -3 1 -1 -23 >> rref(A)ans =1 -1 0 -1 0 0 1 -2 0 0 0 0即得与原方程组同解的方程组：12434020x x x x x --=⎧⎨-=⎩ 令4122,x c x c ==，可得通解为1122231412x c c x c x c x c ==+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪⎩其中12,c c 为任意常数2. 交通流量应用分析汽车在道路上连续行驶形成的车流，我们称之为交通流.广义上还包括其他车辆的车流和人流. 在某段时间内，在不受横向交叉影响的路段上，交通流呈连续流状态；在遇到路口信号灯管制时，呈断续流状态. 城市道路网中每条路、每个交叉路口的车流量调查是分析、评价及改善城市交通状况的基础. 根据实际车流量的信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间堵车.2.1 问题提出据悉福州市在公路、铁路、港口等方面都将有大投资，其中拟投资约140亿元规划建设长约150 公里的高速公路，许多市内单行车道面临整改，市民出行将更加便捷，是否可以在原有的单行车道基础上做适当改造也能达到相应的效果呢？以下是福州某路段简易单行线如图(1)所示，箭头方向表示车流的方向，适当收集一些数据后我们是否可以得出关于这个交通网的一些结论.图（1）2.2模型分析为了便于接下来的分析，我们对车流图做如图(2)处理:a 2mjb 13a 4k2nEDCBA图（2）其中14~a a 表示各相交道路的进口交通量，13~b b 表示各相交道路的出口交通量，j k l m n r、、、、、表示通过图示各交通干道的车辆数.2.3 数据收集由于工具有限，我们只对进出口交通量（即14~a a 和13~b b ）进行实时统计，统计图表如下：表1 14~a a 进口交通流量表2 13~b b 出口交通流量2.4数据分析从表1和表2中可以看出在观察的时间段内各个进口的交通流量之和与各个出口的交通流量之和大致相同，即1234123a a a a b b b +++≈++，为了便于分析我们把进出口的交通流量按平均值折算为每小时的车流量，补正取367b =结果如下：进口交通流量：13612432a =⨯=（辆/小时） 23312396a =⨯=（辆/小时） 3157121884a =⨯=（辆/小时） 47012840a =⨯=（辆/小时）进入网络的车的总量(辆/小时)：43239618848403552+++= 出口交通流量：1155121860b =⨯=（辆/小时） 27412888b =⨯=（辆/小时） 36712804b =⨯=（辆/小时）离开交通网络的车总量（辆/小时）：18608888043552++=从交通流量平衡条件，对于每一个道路交叉点我们都可以写出一个流量平衡方程：A 路口：12a a j r +=+B 路口：1j k b n +=+C 路口：43a l b k +=+D 路口：2m n l b +=+E 路口：3a r m +=从而我们可以得到一个反应网络交通流量的线性代数方程：43239618608408048881884j r j k n l k m n l r m+=+⎧⎪+=+⎪⎪+=+⎨⎪+=+⎪+=⎪⎩ 化简得：8281860368881884j r j k n k l m n l m r +=⎧⎪+-=⎪⎪-=⎨⎪+-=⎪-=⎪⎩ 写成矩阵形式为：=Ax b10001110010011000001110000101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，[]T j klm n r =x ，[]8281860368881884T=b增广矩阵118281100101860011000360011108880001011884⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A由于()()46rank rank ==<A A ，故方程组有无穷多个解，且其参数中带有2个任意参数运用Matlab 求解可得方程组的通解,求解步骤如下： >> B=[0 0 0 1 0 1 828; 0 0 -1 0 1 1 1860; -1 0 0 0 1 0 36; -1 1 1 0 0 0 888; 0 1 0 -1 0 0 1884]B =0 0 0 1 0 1 828 0 0 -1 0 1 1 1860-1 0 0 0 1 0 36 -1 1 1 0 0 0 888 0 1 0 -1 0 0 1884 >> rank(B) ans = 4 >> rref(B) ans =1 0 0 0 -1 0 -36 0 1 0 0 0 1 2712 0 0 1 0 -1 -1 -1860 0 0 0 1 0 1 828 0 0 0 0 0 0 0 即等价的原方程组的通解：12211213627121860828c c c c c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，其中12c c 、可以取任意实数，方程组有无限多个解. 是不是真的是无穷多个解呢？答案是否定的，注意到我们研究的是实际车道上的车流量，是不存在负数的，因此以上变量还需满足：12211210036027120186008280j c k c l c m c n c c r c =≥⎧⎪=≥⎪⎪=-≥⎪⎨=-≥⎪⎪=+-≥⎪=-≥⎪⎩ ① 即：21123608281860c c c c ≥⎧⎪≤≤⎨⎪+≥⎩，其中12c c 、为整数 也就是说：I ．只要追加统计出j k l m n r 、、、、、中任意2个数值的，就可以求出其他未知量数值. II ．该交通网络中，若每小时通过CB 段的车辆不超过36辆、通过AB 与CB 段的车辆总数之和不超过1860辆、通过AB 段的车辆多于828辆三种情况中出现一种整个网络平衡就会被破坏，即出现塞车的现象.2.5模型改进根据上述分析，上述的交通网络中若出现网络平衡被破坏了，我们可以采取合适的方法进行改进，使得网络重新回归平衡.交通网络还是图（1）网络.若112,2712,36j c c k c =>=≥这是造成网络失去平衡的一种情况：依据线性方程组①，我们可以得出12211210036027120186008280j c k c l c m c n c c r c =≥⎧⎪=≥⎪⎪=-≥⎪⎨=-<⎪⎪=+-≥⎪=-<⎪⎩ ②即：每小时通过ED ，AD 段的车流量出现负值的现象，现在做如变动，进出口的交通流量与之前一致变化如图（3）所示：a 213jb 1b 3a 4k2nmEDCBA图（3）变动说明：即把ED 、EA 段的车流方向改为与原来方向相反. 此时交通网络是否恢复了平衡了呢？ 若平衡，依据前文计算方法可得平衡线性方程组：43239618608408048881884r j j k n l k n l m m r++=⎧⎪+=+⎪⎪+=+⎨⎪=++⎪+=⎪⎩ 即8281860368881884r j n j k k l m n l m r =-⎧⎪=+-⎪⎪-=⎨⎪=--⎪=-⎪⎩ 化简后可得通解：12211213627121860828c c c c c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦其中12c c 、为满足假设的正整数不难发现：1221121271203603602712018602712361860082827128280j c k c l c m c n c c r c =>>=≥>=-≥=->=+->+->=->->均为正实数， 即现在网络是平衡的交通网络. 112,2712,36j c c k c =>=≥这是造成网络失去平衡的情况中的一种， 其他情况研究的方法类似在此就不一一列举.我们可以得出这样一个结论，在已知进出口车流总量的单行车道中当网络出现平衡被破坏时，也就是车道上的车流量出现负值时，可以把该干道车流方向变更为之前方向相反例如:在“A →B ”的车流量超过了2712，“C →B ”段的车流量超过36, 若按之前平衡方程进行分析，“E →D ”、“A →E ”流向车流量出现了负值现象，若要使网络恢复平衡，更改这两个车流方向即可，即：“E →D ”车流向变更为“D →E ” “A →E ” 车流向变更为“E →A ”网络就可恢复平衡，也就是各个交通要道车流量恢复了正值.在实际行车中，可以对经常出现交通紧张的车道进行可变车道改造，改造设计如图（4）所示：图（4）改造说明：将车道变更如图所示，道路进出口处标示“可变车道”，并设制正反向通行指示灯，需要注意的是此车道为单行车道同一时间段只允许一个方向的车通行. 可变车道的正反向的启动时间可根据电子监测设备采集的交通实时数据进行动态调整，也可引进相应的交通控制软件进行动态控制.2.6模型缺点（1） 城市交通路口的交通状况十分复杂，交通量尤其是高峰小时期的交通量很大，调查员在进行实际调查有一定的困难.（2） 对于各交通路口同一时段的车流量的即时统计存在一定的困难，需借助一定的测流工具，工具存在一定的误差，而且此次观察时间较短.（3） 该模型需要满足进出口的交通流量总量大致一致，要求比较苛刻（4） 该模型只适用于单车道模型，对于现在交通干道普遍存在的双车道的模型不适用. （5） 后文提到的解决单行车道道路堵塞问题存在可行性,但未进行实践应用，未能看出其实用价值.3. 结语本文主要通过一个简易的交通流量图，介绍了线性方程组的思想在交通流量方面的应用，提供了一种运用线性方程的思想去分析城市单行车道的交通状况的方法，并提出了一种解决交通堵塞的方法，其实线性方程组解决交通实际交通问题已经不是少见的事了，在统计城市三路交叉口、四路交叉口等等都会用到线性方程组的方法. 在科学、工程、化学、交通等各个领域中包含的众多数学问题中都，大都会遇到解线性方程组的问题，可见线性方程组的应用之广泛.参考文献[1] 丘维声.高等代数（上册）[M]. 北京：高等教育出版社，2007，90-97.[2] 王坤，周岩. 线性代数及其应用[M]. 北京：机械工业出版社，2007，125-127.[3] 刘剑平，施劲松，钱夕元. 线性代数及其应用[M]. 上海：华东理工大学出版社，2005，63-69.[4] 王亮，冯国臣，王兵团. 基于MATLAB的线性代数实用教程[M]. 北京：科学出版社，2008，63-89.[5] David C. 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交通流量问题时下大城市普遍存在交通拥挤现象，高峰期塞车，是不少城市的头疼问题，通过下面的例子可以给出交通拥挤的数学解释。

还可以为交警部门设置红绿灯的个数，时间长短以及道路的车道数提供参考依据。

设下面交通网络图，均为单向行驶，且不能停车，通行方向用箭头表明，图中所示的数字为高峰期每小时进入网络的车辆数，进入网络的车辆等于离开网络的车辆，另外，进入每个节点的车辆等于离开每个节点的车辆。

问题1：设一个井字型公路环网，均为单向行驶，8个街道路口的车流量有数据记录。

已知在8个街道路口的车辆数目如图1所示，请问4321,,,x x x x 路段上的车辆数目是多少？ AB C D1x 2x 3x 4x图 1问题分析在图1中的任何一个路口（十字路口或丁字路口）处都有车辆驶入和驶出。

当一天结束后，驶入车辆数和驶出车辆数应达到平衡。

在每一个路口处可根据进出的车流量（每小时通过的车辆数）相等关系，建立一个线性方程组。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=++=++=+70055045060050065075060043322114x x x x x x x x (1) 整理得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=--=-15015015015041433221x x x x x x x x (2) 软件求解利用命令rref([A b])，可将增广矩阵化为行最简阶梯型，得数据ans =1 0 0 -1 -1500 1 0 -1 00 0 1 -1 1500 0 0 0 0由此看到()()b A r A r ,==3所以方程组有解，且43<=r ，所以方程组有无穷多解。

对于方程组（2），由于()()b A r A r ,=，所以方程组有解。

方程组的通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111101011504321k x x x x 结论基础解系[]T1,1,1,1表示闭合回路ABCD 每段上的车流量相等。

数学实验报告学号: , 姓名: , 得分:实验内容:实验题：交通网络流量分析问题（线性方程组应用）城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。

问题：某城市有下图所示的交通图，每条道路都是单行线，需要调查每条道路每小时的车流量。

图中的数字表示该条路段的车流数。

如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。

求（1）建立确定每条道路流量的线性方程组；（2）分析哪些流量数据是多余的；（3）为了唯一确定未知流量，需要增添哪几条道路的流量统计。

解：（1）由题意得：x1+ x7=400x1+ x9= x2+300x2+100=300+ x11x3+ x7=350+ x8x4+ x10= x9+ x3x11+500= x4+ x12x8+ x5=310x6+400= x10+ x5x12+150= x6+290整理得： x 1+ x 7=400 x 1- x 2+ x 9=300x 2+ x 11=200x 3+ x 7- x 8=350-x 3+x 4+ x 10- x 9=0 -x 4+x 11- x 12=-500 x 5 +x 8=310 - x 5+x 6- x 10=-400 -x 6+ x 12= 140将方程组写成矩阵向量形式为AX = b1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 400 x 11 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 300 x 20 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 200 x 3A= 0 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 b= 350 X= x 40 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 x 50 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 -1 -500 x 60 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 310 x 70 0 0 0 -1 1 0 0 0 -1 0 0 -400 x 80 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 140 x 9 x 10 x 11 x 12在MATLAB 环境中，首先输入方程组的系数矩阵A 和方程组右端向量bA=[1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0;1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0;0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0;0,0,1,0,0,0,1,-1,0,0,0,0;0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,1,0,0;0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,-1;0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0;0,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,0,0;0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1] b = [400;300;200;350;0;500;310;-400;140]解得 x 1=- x 9+500 x 2=200 x 3=- x 9+ x 10- x 12。

线性代数实验报告
专业班级姓名学号
实验日期年月日星期
成绩评定教师签名批改日期
题目1：交通流量问题：
下图给出某城市部分街道的交通流量（单位：辆/小时）：
假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；
（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量. 试建立数学模型，以确定该交通网络未知部分的具体流量.
（要求：1. 模型建立（即：列出线性方程组），2. 求解，3. 输出结果，4. 结果综述.）
题目2：求一个正交变换，将二次型：434241312
1242322211262421993x x x x x x x x x x x x x x f --++-+++=
化为标准型 ，判断此二次型的正定性。

交通流量图模型摘 要本论文解决的是交通流量的问题。

本文根据某城市的单行道各交叉路口流入流出量相等列出方程组，利用线性代数的相关知识，求得各交叉路口交通流量通解为),6000(05004002006001101111且为整数≤≤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=k k x ，此结果即为交通流量图的模型。

关键词：流入等于流出 线性代数 通解一、问题重述在某市中心单行道交叉路口，驶入和驶出如图所示，图中给出了上下班高峰时每个道路交叉口的交通流量（以每小时平均车辆数计），利用所学知识，建立这个交通流量图的模型。

二、问题分析城市道路网中每条道路，交叉路口车流量分析是改善评价交通情况的基础。

必要时设置单行线，减少了转弯时的交通容量，解决了大量车辆长时间拥堵问题。

几条单行道彼此交叉，存在交叉点分别为A、B、C、D。

本题给出了上下班高峰时每个道路交叉口的每小时交通流量。

对于四个点流入量等于流出量，从而得出方程组，利用增广矩阵的初等变换，求出齐次方程组的解，得到线性方程组的通解，从而得最终结果。

三、问题假设（1）假定全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）假定全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.（3）假定汽车行驶的方向随机且概率相同（4）假定每个道路交叉口的交通流量（以每小时平均车辆数计）（5）假定车与车之间是相互独立的，互不影响四、符号说明（Ab ）：方程组的增广矩阵η：方程组的一个特解1λ：导出组的基础解系x ：方程组的通解五、模型建立与求解在每一个路口处可根据进出的汽车流量相等关系,建立一个线性代数方程。

则列出以下线性方程组：600:400100:300:500300:515434221=++=++=++=+x x D x x C x x x B x x A整理得线性方程组为：600500300800515443221=+=+=+-=+x x x x x x x x x作方程组的增广矩阵）（b A ，并对它施以初等行变换： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=200100105001100010011100800000112001001050011000300011108000001160010001500110003000111080000011b ）（A 则54r b r <==）（）（A A ，所以其线性方程组有无穷解即原方程组与方程组200500100800525454321=-=+=++-=+x x x x x x x x x5435251500400200600x x x -==+=-=同解，其中x 5为自由未知量。

◇交通流量问题◇问题：图中给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时车数） 假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量2344576121578910910836300 x +x =500x x =200 x +x =800 x +x =800 x +x =1000 x =400 x x =200 x =6001000x x x x x x −+=⎧⎪⎪⎪−⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪−⎪⎪⎪⎪++=⎩2. 2. 计算结果由非齐次线性方程组求解方法可得：一个特解*(800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600)'x =相应齐次方程组的基础解系为：12(1,01,0,1,0,1,0,0,0,0,0)',(0,0,0,0,0,1,1,1,0,0)',ζζ=−−=−−于是方程组的通解为1122*x k k x ζζ=++其中 为任意常数，12,k k x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量。

它有无穷多解。

◇生产总值问题　◇问题：一个城市有三个重要的企业：一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路。

开采一元钱的煤，煤矿必须支付0.25元的运输费。

而生产一元钱的电力，发电厂需需支付0.65元的煤作燃料，自己亦需支付0.05元的电费来驱动辅助设备及支付0.05元的运输费。

而提供一元钱的运输费，铁路需支付0.55元的煤作燃料，0.10元的电费驱动它的辅助设备。

某个星期内，煤矿从外面接到50，000元煤的定货，发电厂从外面接到25，000元钱电力的定货，外界对地方铁路没有要求。

问这三个企业在那一个星期内总生产总值多少时才能精确地满足它们本身地要求和外界的要求？解：对于一个星期的周期， 表示煤矿的总产值， 表示电厂的总产值， 表示铁路的总产值。

根据题意：写成矩阵形式，得记：则上式写为：X CX −=d 即 ()I C X −=d因为系数行列式0.628750I C −=≠，根据克拉默法则，此方程组有唯一解，其解为()-1X I C =−d所以得煤矿总产值为102，087元，发电厂总产值为56，163元，铁路总产值为28，330元。

汽车流量问题分析与建模求解摘要：城市道路交通网中每条道路是汽车流量分析的对象，对交叉路口车流量分析是改善和评价交通情况的基础。

必要时设置单行线，减少来往交通车量，能解决大量车辆长时间拥堵问题。

关键词：汽车流量线性方程建模求解0 前言本论文是对汽车流量问题分析与建模求解的问题进行的详细解析，当今社会，数学与应用数学正逐步走进各个领域，数学在现实应用上更加广泛化，并发挥了实质性的作用。

下面分析一下应用数学在现实中应用的典型——汽车流量问题。

1汽车流量问题案例一如下（图一）给出的交通路线图，设定路线图为单向行驶车道，汽车在此图行驶不停车，图中已给出每小时的汽车流量，箭头为行驶方向，总的汽车输入量等于总的汽车输出量。

1.1问题：几条单行道彼此交叉，存在交叉点分别为A、B、C、D。

本题给出了上下班高峰时每个道路交叉口的每小时交通流量。

对于四个点流入量等于流出量，从而得出方程组，利用增广矩阵的初等变换，求出齐次方程组的解，得到线性方程组的通解，从而得到最终结果。

图一1.2问题分析与模型的建立求解x=400，也就是说题目中一共根据题目中所给出的已知，我们可以直接得出3有4个未知数，根据对每个交汇口的分析，我们可根据进出汽车流量相等的关系,建立一个线性代数方程。

如此可以列出如下线性方程组：600:400100:300:500300:515434221=++=++=++=+x x D x x C x x x B x x A 整理得线性方程组为：600500300800515443221=+=+=+-=+x x x x x x x x x作方程组的增广矩阵）（b A ，并对它施以初等行变换：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=60011500110003000111080000011b ）（A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→20010010500110003000111080000011 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→20010010500110001001110080000011 则54r b r <==）（）（A A ，所以其线性方程组有无穷解 即原方程组与方程组200500100800525454321=-=+=++-=+x x x x x x x x x 5435251500400200600x x x x x x x -==+=-=同解，其中x 5为自由未知量。