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第四章 圆与方程测试题(学案)

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第四章 圆与方程测试题（学案）一、选择题1．直线30x ++=的倾斜角是（ ）．（A ）6π(B)56π (C)3π (D)23π2．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ）．（A ）4±(B)± (C) 2± (D)3．方程 ||||1x y -= 的图象是（ ）．4．若直线1a x b y +=与圆C ：221x y +=相交，则点(,)P a b 的位置是（ ）．（A ）在圆C 外(B)在圆C 内(C)在圆C 上(D)以上都可能5.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ）． (A) 5 (B) 3 (C) 10(D) 56.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）． (A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a7．两圆相交于两点（1，3）和（m ，1），两圆的圆心在直线02cx y -+=上，则m +c 的值是（ ）．（A ）-1 (B)0 (C)2 (D) 38．已知集合(){,|P x y y ==，(){,|}Q x y y x m ==-+，若P ∩Q ≠∅，则实数m 的取值范围 是（ ）．（A）[- (B) [-2，2](C)[2](D) [2,-9.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）． （A ）x y 3=(B)x y 3-= (C)x y 33=(D) x y 33-=10．设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是（ ）．（A ）35r << (B)46r << (C)4r > (D) 5r > 11．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是（ ）．（A ）6π(B)4π(C)3π(D)2π12．已知两点M （2，－3），N （－3，－2），直线L 过点P （1，1）且与线段MN 相交，则直线L 的斜率k 的取值范围是（ ）．DBA（A ）－43≤k ≤4 (B)－4≤k ≤43 (C)43≤k ≤4 (D) k ≥43或k ≤－4二、填空题：13．若圆2221:240C x y m x m +-+-=与圆2222:24480C x y x m y m ++-+-=相交，则m 的取值范围是 ____．14．过点P （-2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_________． 15．已知210p q +-=，则直线30p x y q -+=恒过定点A _____．16．若圆x 2+y 2=r 2(r >0)上恰有相异的两点到直线4x －3y +25=0的距离等于1，则r 的取值范围是 ______． 三、解答题：17． (12分) 设M 是圆22680x y x y +--=上的动点，O 是原点，N 是射线OM 上的点，若150||||=⋅ON OM ，求点N 的轨迹方程．18．(12分)已知一个圆截y 轴所得的弦为2，被x 轴分成的两段弧长的比为3∶１.（1）设圆心（a ，b ），求实数a ，b 满足的关系式；（2）当圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离最小时，求圆的方程．19．(12分)过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线，切点为A 、B ，求经过两切点的直线l 方程．20．(12分)已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，且圆C 与y 轴相切，若圆C 截直线y x =得弦长为2求圆C 的方程．21．(12分)已知直线l ：x ＋y －2＝0，一束光线从点P （0，1＋3）以120︒的倾斜角射到直线l 上反射，求反射光线所在的直线方程．22．(14分)已知圆 224230x y x y +-+-= 和圆外一点M ( 4，- 8 )．(Ⅰ) 过M 作圆的切线，切点为C 、D ，求切线长及CD 所在直线的方程； (Ⅱ) 过M 作圆的割线交圆于A ，B 两点，若| AB | = 4，求直线AB 的方程．第四章 圆与方程测试题 （教案）一、选择题1．直线30x ++=的倾斜角是（ B ）．（A ）6π(B)56π (C)3π (D)23π2．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ C ）．（A ）4±(B)± (C) 2± (D)3．方程 ||||1x y -= 的图象是（ A ）．4．若直线1a x b y +=与圆C ：221x y +=相交，则点(,)P a b 的位置是（ A ）．（A ）在圆C 外(B)在圆C 内(C)在圆C 上(D)以上都可能5.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ B ）． (A) 5 (B) 3 (C) 10(D) 56.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ A ）． (A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a7．两圆相交于两点（1，3）和（m ，1），两圆的圆心在直线02cx y -+=上，则m +c 的值是（ D ）．（A ）-1 (B)0 (C)2 (D) 38．已知集合(){,|P x y y ==，(){,|}Q x y y x m ==-+，若P ∩Q ≠∅，则实数m 的取值范围 是（ C ）．（A）[- (B) [-2，2](C)[2](D) [2,-9.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ C ）． （A ）x y 3=(B)x y 3-= (C)x y 33=(D) x y 33-=10．设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是（ B ）．（A ）35r << (B)46r << (C)4r > (D) 5r >11．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是（ C ）．（A ）6π(B)4π(C)3π(D)2π12．已知两点M （2，－3），N （－3，－2），直线L 过点P （1，1）且与线段MN 相交，则直线L 的斜率k 的取值范围是（ D ）．DBA（A ）－43≤k ≤4 (B)－4≤k ≤43 (C)43≤k ≤4 (D) k ≥43或k ≤－4二、填空题：13．若圆2221:240C x y m x m +-+-=与圆2222:24480C x y x m y m ++-+-=相交，则m 的取值范围是122(,)(0,2)55-- ．14．过点P （-2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为10320x y x y +-=+=或．15．已知210p q +-=，则直线30p x y q -+=恒过定点A 11,26⎛⎫⎪⎝⎭． 16．若圆x 2+y 2=r 2(r >0)上恰有相异的两点到直线4x －3y +25=0的距离等于1，则r 的取值范围是)6,4(． 三、解答题：17解：设(,)N x y ，11(,)M x y ．由(0)O M O N λλ=> 可得：11x xy yλλ=⎧⎨=⎩，由22150150||||y x ON OM +=⇒=⋅λ.故122122150150x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，因为点M 在已知圆上． 所以有015081506)150()150(2222222222=+⋅-+⋅-+++yx y yx x yx y yx x ，化简可得：34750x y +-=为所求． 18解：⑴设圆心P （a ，b ），半径为r ，则 |b |＝r2，2b 2＝r 2．又|a |2＋1＝r 2，所以a 2＋1＝r 2， 2b 2＝a 2＋1； (2)点P 到直线x －2y ＝0的距离d ＝|a －2b |5，5d 2＝a 2－4ab ＋4b 2≥a 2＋4b 2－2（a 2＋b 2）＝2b 2－a 2＝1．所以⎩⎨⎧ a ＝b ， 2b 2＝a 2＋1，所以⎩⎨⎧ a ＝1， b ＝1， 或⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝－1．所以（x －1）2＋（y －1）2＝2或（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝2．19解：设圆(－1)2+(y －1)2=1的圆心为1O ，由题可知,以线段P 1O 为直径的圆与与圆1O 交于AB 两点,线段AB 为两圆公共弦,以P 1O 为直径的圆方程5)20()23(22=-+-y x ①已知圆1O 的方程为(x-1)2+(y -1)2=1 ②， ①②作差得x+2y -41=0， 即为所求直线l 的方程．20解：设圆方程为()()222x a y b r-+-=，则2230a b r a r⎧⎪-=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩⇒ 313a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或313a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所求圆方程为()()22319x y -+-=或()()22319x y +++=．21解：设入射光线所在直线l 1，斜率为k 1，则k 1＝tan120°＝－ 3 ， l 1：y －(1＋3)＝－3x ，与x ＋y －2＝0联立 ，入射点A (1，1)，设P ’ (x ’，y ’)为P 关于l 的对称点，则 ⎩⎨⎧ x'2＋y'＋1＋32－2＝0， y'―1―3x'＝１，解得⎩⎨⎧ x' ＝1－3 y' ＝2．即P ’ (1－3，2)，反射光线所在直线AP ’：y －12－1＝x ―11－3―1， 即x ＋3y ―1―3＝0．22解：（Ⅰ）圆即()()22218x y -++=，圆心()22,1,8Cr -=，== CD 直线方程为：2x －7y －19 = 0．（Ⅱ）①若割线斜率存在，设AB ：()84y k x +=-，即480kx y k ---=， 设AB中点为N ，则C N=C N =，由2222A B C Nr ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得45,:452844028k AB x y =-++=． ②若割线斜率不存在，:4AB x =，代入圆方程设212230,1,3y y y y +-===-符合题意， 总之，:4528440AB x y ++=或4x =．。

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数学：第四章《圆与方程》学案(新人教A版必修2)

数学：第四章《圆与方程》学案(新人教A版必修2)

数学必修② 4.1 ～4. 2.1 教材学习解读:一、学习目标1 、初步理解圆的标准方程的形式及圆的标准方程的定义, 学会判断二元二次方程表示圆的条件 , 能用这些知识求圆的方程 .2、掌握判断直线与圆的地点关系的方法.二、要点、难点要点 : 圆的方程 , 直线与圆的地点关系 .难点：二元二次方程表示圆的条件.三、知识点全解1、确立圆方程的条件 圆的标准方程 (xa) 2 ( y b) 2 r 2 中，有三个参数 a,b, r ，只需求出 a, b, r 这时圆的 方程就被确定．所以确立圆方程，需三个独立条件，此中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．确立圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法。

定义法是指用定义求出圆心坐标和半径 长，进而获得圆的标准方程；待定系数法即列出对于 D , E, F 的方程组，求 D , E, F 而获得圆的一般方程，一般步骤为：(1) 依据题意，没所求的圆的标准方程为x 2y 2 DxEy F 0(2) 依据已知条件，成立对于 D , E, F 的方程组；(3) 解方程组。

求出 D , E, F 的值，并把它们代人所设的方程中去，就获得所求圆的一般方程．2、点 P( x 0 , y 0 ) 与圆的地点关 系 :若 (x 0a) 2( y 0 b) 2r 2 ，则点 P 在圆上；若(x 0a)2 ( y 0b) 2 r 2, 则点 P 在圆外；若( xa)2 ( y0 b) 2 r 2 , 则点 P 在圆内；3 、二元二次方程x 2 y 2Dx Ey F0 能否表示圆的条件：先将二元二次方程配方得 ( xD )2 ( yE )2 D 2 E 2 4F ① ,(1) 当 D 2E 24F 0 时，方程224①表示以 (D , E) 为圆心， 1 D 2 E 2 4F 为半径的圆； (2 ) 当 D 2E 2 4F0 时，方程①表示点2 22(D , E)；（3）当 D 2 E 2 4F0 时，方程①没有实根，所以它不表示任何图形. 当方程①表示圆时，2 2word我们把它叫做圆的一般方程，确立它需三个独立条件D,E,F , 且 D 2 E 24F0 ，这就确立了求它的方程的方法——待定系数法，注意用待定系数法求圆的方程，用一般形式比用标准形式在运算上简单，前者解的是三元一次方程组，后者解的是三元二次方程组.4 、直线与圆的地点关系有三种，即订交、相切和相离，判断的方法有两种:(1)代数法：经过直线方程与圆的方程所构成的方程组，依据解的个数来研究。

人教新课标A版高中数学必修2第四章圆与方程4.1圆的方程同步测试

人教新课标A版高中数学必修2第四章圆与方程4.1圆的方程同步测试

人教新课标A版高中数学必修2 第四章圆与方程 4.1圆的方程同步测试共 25 题一、单选题1、已知圆心在点P(－2,3)，并且与y轴相切，则该圆的方程是（）A. B.C. D.2、方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是( )A.以(1，-2)为圆心，为半径的圆；B.以(1，2)为圆心，为半径的圆；C.以(-1，-2)为圆心，为半径的圆；D.以(-1，2)为圆心，为半径的圆3、以点和为直径两端点的圆的方程是（）A. B.C. D.4、已知，则以为直径的圆的方程是( )A. B.C. D.5、已知圆C经过两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是( )A. B.C. D.6、圆的圆心坐标和半径分别为（）A. B.C. D.7、经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是（ ）A. B.C. D.8、已知圆C经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（ ）A. B.C. D.9、圆x2+y2﹣2x+2y=0的周长是（ ）A.2πB.2πC.πD.4π10、方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0表示的图形是（ ）A.两个点B.四个点C.两条直线D.四条直线（﹣，，﹣），﹣]﹣，=26 =26=26=26参考答案一、单选题1、【答案】B【解析】【分析】因为圆心点P（-2，3)到y轴的距离为|-2|=2，且圆与y轴相切，所以圆的半径为2，则该圆的标准方程为：（x+2)2+（y-3)2=4．故选B2、【答案】D【解析】【分析】配方得(x+1)2+(y-2)2=11，所以方程表示以(-1，2)为圆心，为半径的圆.选D【点评】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当时，表示圆的方程；当时，表示点；当时，不表示任何图形。

3、【答案】B【解析】【解答】∵（1，1)和（2，-2)为一条直径的两个端点，∴两点的中点为（)，且两点的距离为d=,半径为，故所求的方程为，选B.【分析】由已知的两点为直径的两端点，可得连接两点的线段的中点为圆心，连接两点线段长度的一半为圆的半径，故由中点坐标公式求出两点的中点，即为圆心坐标，利用两点间的距离公式求出两点间的距离，求出距离的一半即为圆的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的方程即可.4、【答案】A【解析】【解答】圆心为AB的中点，为。

《圆与方程》专题4 圆与圆的位置关系 学案(Word版含答案)

《圆与方程》专题4 圆与圆的位置关系 学案(Word版含答案)

《圆与方程》专题4-1 圆圆关系（4套，3页，含答案）知识点： 圆圆关系： 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|＝d（1）条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；（2）条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；（3）条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；（4）条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；（5）无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离 外切 相交 内切 内含圆圆关系——求相交弦的方法：求两个圆的相交弦直线，通常把圆整理成一般式，然后两式作差，二次项抵消，剩下一次项，然后整理成直线方程即可。

典型例题1：1. 已知圆C 1：x ²＋y ²－2ax －2y ＋a ²－15＝0，圆C 2：x ²＋y ²－4ax －2y ＋4a ²＝0(a >0)．试求a 为何值时，两圆C 1、C 2：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．①2. 若圆C 1的方程是x ²＋y ²－4x －4y ＋7＝0，圆C 2的方程为x ²＋y ²－4x －10y ＋13＝0，则两圆的公切线有（ ② ） A 、2条 B 、3条 C 、4条 D 、1条（配方：(x －2)²＋(y －2)²＝1；(x －2)²＋(y －5)²＝4²；）随堂练习1：1. 圆x ²＋y ²－2x ＝0和x ²＋y ²－4y ＝0的位置关系是（ ③ ）A 相离B 外切C 相交D 内切（配方：(x －1)²＋y ²＝1；x ²＋(y －2)²＝2²；）2. 两圆(x ＋3)²＋(y －2)²＝4和(x －3)²＋(y ＋6)²＝64的公切线有( ④ )A ．2条B ．3条C ．4条D ．0条典型例题2：1.集合M＝{(x，y)|x²＋y²≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)²＋(y－1)²≤r²，r>0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是(⑤)A．(0，2－1) B．(0，1] C．(0，2－2] D．(0，2]2.已知圆O：x²＋y²＝25和圆C：x²＋y²－4x－2y－20＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．⑥随堂练习2：1.两圆x²＋y²＝1和(x＋4)²＋(y－a)²＝25相切，则实数a的值为_⑦_______．2.集合A＝{(x，y)|x²＋y²＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)²＋(y－4)²＝r²}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__⑧______．3.已知两圆x²＋y²－10x－10y＝0，x²＋y²＋6x－2y－40＝0求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长。

高中数学第四章圆与方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式学案含解析新人教A版必修2

高中数学第四章圆与方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式学案含解析新人教A版必修2

4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式知识导图学法指导1.结合长方体、正棱锥等常见几何体，把握建系的方法，并能写出空间中的点在坐标系中的坐标．2．类比平面上两点间的距离，熟记空间两点间的距离公式．3．体会利用空间直角坐标系解决问题的步骤．高考导航1.空间直角坐标系的应用很少单独命题，一般是在解答题中应用建立空间直角坐标系的方法求解，分值为2～3分．2．通过建立空间直角坐标系，计算两点间的距离公式或确定点的坐标，是常考知识点，常与后面将要学习的立体几何等知识相结合，分值为4～6分.知识点一空间直角坐标系的建立及坐标表示1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O­xyz.②相关概念：点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫作点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标．空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135 °(或45 °)，x 轴与z 轴成135 °(或45 °)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.知识点二 空间两点间的距离公式1．空间中任意一点P (x ，y ，z )与原点之间的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2； 2．空间中任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.1.空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．2．空间中点坐标公式：设A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22).[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式．( ) (2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式．( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，下列各点中位于yOz 平面内的是( ) A ．(3,2,1) B ．(2,0,0) C ．(5,0,2) D ．(0，－1，－3)解析：位于yOz 平面内的点，其x 坐标为0，其余坐标任意，故(0，－1，－3)在yOz 平面内．答案：D3．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．zOx 平面上 D ．第一象限内解析：点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在zOx 平面上． 答案：C4．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：|AB|＝－3－2＋－3－2＋－3－2＝4 3.答案：A类型一空间中点的坐标的确定例1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝3，|AB|＝5，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标．【解析】如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O­xyz.因为长方体的棱长|AD|＝|BC|＝3，|DC|＝|AB|＝5，|DD1|＝|AA1|＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，所以A(3,0,0)；C在y轴上，所以C(0,5,0)；D1在z轴上，所以D1(0,0,4)；B在xOy平面内，所以B(3,5,0)；A1在xOz平面内，所以A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，所以C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，所以B1的横坐标为3，纵坐标为5，因为B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，所以B1的竖坐标为4，所以B1(3,5,4).(1)建立适当的空间直角坐标系．(2)利用线段长度结合符号写出各点坐标．要注意与坐标轴正向相反的坐标为负．方法归纳(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键．跟踪训练1 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．解析：如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，连接BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，OO 1⊥BO ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32，∵点A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1，C 1在yOz 平面内，∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∵点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且BB 1＝1， ∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，∴各点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.建立空间直角坐标系，求出有关线段的长，再写出各点的坐标． 类型二 空间直角坐标系中的点的对称点例2 在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4)关于x 轴对称的点P 1的坐标是________；关于xOy 平面对称的点P 2的坐标是________；关于点A (1,0,2)对称的点P 3的坐标是________．【解析】 点P 关于x 轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标和竖坐标均变为原来的相反数，所以点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标为(－2，－1，－4)．点P 关于xOy 平面对称后，它的横坐标和纵坐标均不变，竖坐标变为原来的相反数，所以点P 关于xOy 平面的对称点P 2的坐标为(－2,1，－4)．设点P 关于点A 的对称点的坐标为P 3(x ，y ，z )，由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x2＝1，1＋y2＝0，4＋z 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1，z ＝0.故点P 关于点A (1,0,2)对称的点P 3的坐标为(4，－1,0)．【答案】 (－2，－1，－4) (－2,1，－4) (4，－1,0)利用对称规律解决关于坐标轴、坐标平面的对称问题，利用中点坐标公式解决点关于点的对称问题．方法归纳在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有：①点P关于原点的对称点是P1(－x，－y，－z)②点P关于横轴(x轴)的对称点是P2(x，－y，－z)③点P关于纵轴(y轴)的对称点是P3(－x，y，－z)④点P关于竖轴(z轴)的对称点是P4(－x，－y，z)⑤点P关于xOy坐标平面的对称点是P5(x，y，－z)⑥点P关于yOz坐标平面的对称点是P6(－x，y，z)⑦点P关于xOz坐标平面的对称点是P7(x，－y，z)．跟踪训练2 已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M 关于x轴、y轴对称的点M3，M4.解析：由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x 轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3).方法归纳求对称点的坐标问题一般依据“关于谁对称谁不变，其余均改变”来解决．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．要特别注意：点关于点的对称要用中点坐标公式解决．类型三空间两点间的距离,,例3 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．【解析】由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a . 因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .根据空间两点间的距离公式，可得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .建立空间直角坐标系，先确定相关点的坐标，然后根据两点间的距离公式求解． 方法归纳求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．跟踪训练3 求A (0,1,3)，B (2,0,1)两点之间的距离． 解析：|AB |＝－2＋－2＋－2＝3.解答本题可直接利用空间两点间的距离公式.[基础巩固](20分钟，40分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．点M (0,3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．z 轴上 D ．xOz 平面上解析：因为点M (0,3,0)的横坐标、竖坐标均为0，纵坐标不为0，所以点M 在y 轴上． 答案：B2．点P (1,4，－3)与点Q (3，－2,5)的中点坐标是( ) A ．(4,2,2) B ．(2，－1,2) C ．(2,1,1) D ．(4，－1,2)解析：设点P 与点Q 的中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝1＋32＝2，y ＝4－22＝1，z ＝－3＋52＝1.答案：C3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：根据空间直角坐标系的概念知，yOz平面上点Q的x坐标为0，y坐标、z坐标与点P的y坐标2，z坐标3分别相等，∴Q(0，2，3)．答案：B4．已知M(4,3，－1)，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则( )A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a解析：借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度．∴a＝10，b＝17，c＝5.答案：B5．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为( )A．(0,0,6) B．(6,0,1)C．(6,0,0) D．(0,6,0)解析：设P(x,0,0)，|PA|＝x－2＋1＋1，|PB|＝x－2＋9＋9，由|PA|＝|PB|，得x＝6.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，所以点B1的坐标为(a，b，c)．答案：(a，b，c)7．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．答案：(－4,1，－2)8．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________． 解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝－1－2＋[2－－2＋02＝3 2.答案：3 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间直角坐标系的中点坐标公式得M (4＋02，0＋42，0＋42)，N (0＋42，0＋02，4＋42)，即M (2,2,2)，N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝2 2.10．已知点P (2,3，－1)，求：(1)点P 关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点P 关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点P 关于坐标原点对称的点的坐标．解析：(1)设点P 关于xOy 坐标平面的对称点为P ′，则点P ′的横坐标、纵坐标与点P 的横坐标、纵坐标相同，点P ′的竖坐标与点P 的竖坐标互为相反数．所以点P 关于xOy 坐标平面的对称点P ′的坐标为(2,3,1)．同理，点P 关于yOz ，xOz 坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)．(2)设点P 关于x 轴的对称点为Q ，则点Q 的横坐标与点P 的横坐标相同，点Q 的纵坐标、竖坐标与点P 的纵坐标、竖坐标互为相反数．所以点P 关于x 轴的对称点Q 的坐标为(2，－3,1)．同理，点P 关于y 轴，z 轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－2，－3，－1)． (3)点P (2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1)．[能力提升](20分钟，40分)11．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴对称的点在xOz 平面上的射影的坐标为( )A ．(4,0,6)B ．(－4,7，－6)C ．(－4,0，－6)D ．(－4,7,0)解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．答案：C12．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－922＋[z －－2＝3，解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－413．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解析：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称， 故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)； 点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)； 由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．14．已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求： (1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件． 解析：(1)根据空间两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以x －2＋y －2＋z －2＝x －2＋y －2＋z －2，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.。