复数的教案2

课题：复数的扩充【教学目标】1．在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．2．了解数学内部解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；3．理解复数的有关概念以及符号表示；4．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念．【教学难点】复数概念的理解．【教学过程】1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结） 自然数 整数 有理数 无理数 实数2．提出问题我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？3．组织讨论，研究问题我们说，实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题就是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．4．引入新数i ，并给出它的两条性质根据前面讨论的结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：（1）12-=i ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．i以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．5．提出复数的概念根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +这样，数的范围又扩充了，出现了形如 )R ,(∈+b a bi a 的数，我们把它们叫做复数．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有：N*N Z Q R C ．巩固练习：1.下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 2+7,0.618,72,0,2i ,)31(-i ,5i +8,3-9i 22、判断下列命题是否正确：（1）若a 、b 为实数，则Z=a+bi 为虚数（2）若b 为实数，则Z=bi 必为纯虚数（3）若a 为实数，则Z= a 一定不是虚例1 实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)I 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数x 的值．练习：实数m 分别取什么值时，复数z ＝m 2+m-2＋(m 2-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是由此容易得出：例2 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，x,y ∈R ，求x 与y ．分析：因为x ，y ∈R ，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x ，y 的方程组，解这个方程组，可求出x ，y 的值．练习：（1）若x,y 为实数，且i yi x y x 42)(22+=+++，求x 与（2）若(2x 2-3x-2)+(x 2-5x+6)i=0，求x 的值.7．归纳总结（1）、虚数单位i 的引入；（2）、复数的代数形式：R b R a bi a z ∈∈+=,,其中；（2）、复数的有关概念：虚数，纯虚数，实部、虚部、复数相等。

8．布置作业：课题：复数的加法与减法运算教学目标:教学目的：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数加法运算．难点、疑点：理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运教学过程讲解新课：１．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R).∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)讲解范例：例1计算：(1-3i)-(2+5i)+(-4+9i)例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i) 解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i4．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例3计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i)例4.计算(a+bi) (a-bi)5*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数课后作业：课本第111页习题3. 2 6 , 7 , 8复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.课题:复数的乘法与除法教学目的：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教学过程：1、实数集R 中正整数指数的运算律,在复数集C 中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C 及m,n ∈N*有:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.例2:设12ω=-,求证:(1)2310,(2)1ωωω++==2. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者di c bia ++3.除法运算规则：①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )，即(a +bi )÷(c +di )=x +yi∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i .∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222dc ad bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将di c bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++. 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法例3计算(12)(34)i i +÷-解：例4 计算ii i i 4342)1)(41(++++-例3已知z 是虚数，且z +z 1是实数，求证：11+-z z 是纯虚数.证明：设z =a +bi (a 、b ∈R 且b ≠0)，于是z +z 1=a +bi +bi a +1=a +bi +ib a b b b a a a b a bia )(222222+-+++=+-.∵z +z 1∈R ，∴b －22b a b+=0.∵b ≠0，∴a 2+b 2=1. ∴22)1(])1][()1[()1()1(11b a bi a bi a bi a bi a z z ++-++-=+++-=+-.11212012])1()1[(12222i a ba bi ab a i b a b a b a +=+++=+++--+++-=∵b ≠0，a 、b ∈R ，∴i a b1+是纯虚数课题：复数的几何意义教学目的：过程与方法：了解复数加减法运算的几何意义对图形的观察，作用教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加减法运算的几何意义学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +(x =b a -),(2121y y x x --=3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则(12,x x -=标即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 24.复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.5.复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).讲解新课：１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ3.复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向讲解范例：例1已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？例2、已知复数1234,15,z i z i =+=-+试比较它们模的大小；例3、设z C ∈，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？（1）||2;z = （2）2||3z <<课外思考： 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.。