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正余弦定理知识点与题型归纳

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解三角形 一．正弦定理：
A a sin =
B b
sin =C c sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.
正弦定理的如下变形常在解题中用到 1.(1) a=2RsinA (2) b=2RsinB (3) c=2RsinC 2.(1) sinA=a/2R (2) sinB=b/2R (3) sinC=c/2R
3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC
二．余弦定理：
1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA
2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB
3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC 余弦定理的如下变形常在解题中用到
1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)
2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)
3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ） 三．余弦定理和正弦定理的面积公式
S △ABC =21absinC=21bcsinA=21
acsinB
（常用类型：已知三角形两边及其夹角）
判断三角形的形状
有两种途径：
（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解
（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解
三．解三角形的实际应用
测量中相关的名称术语
仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面，视线与水平线所成的角叫做仰角。

俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面，视线与水平线所成的角叫俯角
方向角：从指定方向线到目标方向的水平角
(一)已知两角及一边解三角形
例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.
（二）已知两边和其中一边对角解三角形
例2 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C
（三）已知两边及夹角，解三角形
例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.
例四：在△ABC中，若∠B=30°, AB=2, AC=2, 则△ABC的面积是
例五.判断三角形的形状
（1）正弦定理判断
在△ABC中，若a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．
（2）余弦定理判断
在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cos B cos C，试判断三角形的形状．
例六判断解得个数
不解三角形，判断下列三角形的解的个数：
（1）a=5,b=4,A=120度
（2）a=7,b=14,A=150度
（3）a=9,b=10,A=60度
（4）c=50,b=72,C=135度
考试类型
一、求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．
1、ABC ∆中，3
π
=
A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）
A ．33sin 34+⎪⎭⎫
⎝
⎛+
πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πB D ．36sin 6+⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
πB 2、 在ΔABC 中，已知6
6
cos ,364==
B AB ，A
C 边上的中线B
D =5，求sin A 的值． 3、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=2a ，则 A.a ＞b B.a ＜b C. a ＝b D.a 与b 的大小关系不能确定 4、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若2
2
3a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=
（A ）0
30 （B ）0
60 （C ）0
120 （D ）0
150 5、在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B = A －
223 B 223 C －63 D 6
3
6、在△ABC 中，若b = 1，c =3，23
C π
∠=
，则a = 。

7、 在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB
的长.
8、在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则
cos AC
A
的值等于 ，AC 的取值围为 .
9、△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
sin sin tan cos cos A B
C A B
+=
+,sin()cos B A C -=.
（1）求,A C ； （2）若33ABC S ∆=+,求,a c .
二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 1、在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形
2、18.若△ABC 的三个角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.
（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 三、 解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题． 1、在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________
四、求值问题
1、在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，
设c b a 、、满足条件2
2
2
a bc c
b =-+和
32
1
+=b c ，求A ∠和B tan 的值． 2、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a
C a b
+=，则
tan tan tan tan C C
A B
+
=_________。

3、 在△ABC 中，a, b, c 分别为角A, B, C 的对边，且
2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++
（Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.
五、正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题 1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。

（二.）遇险问题
2、某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。

若此灯塔周围10海里有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
（三.）追击问题
3、 如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A
图1 A B
C
D
并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？。

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正余弦定理知识点及题型归纳

正余弦定理知识点及题型归纳

正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。

下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：一、正弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。

2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。

3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。

二、余弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。

2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。

3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。

三、题型归纳1. 已知三个角的度数，求边长：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

4. 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和两条边的长度代入公式中，求解第三个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

高中数学必修5：正弦定理与余弦定理 知识点及经典例题(含答案)

高中数学必修5：正弦定理与余弦定理 知识点及经典例题(含答案)

高中数学必修5：正弦定理与余弦定理知识点及经典例题(含答案)
正弦定理、余弦定理和射影定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度。

其中，正弦定理表达了三角形边长和角度之间的关系，余弦定理则是通过两条边和它们之间的夹角计算第三条边的长度。

射影定理则是利用三角形中某个角的正弦值或余弦值来计算三角形中某条边的长度。

二、面积公式可以用来计算三角形的面积，其中a、b、c 分别为三角形的三条边，而对应的角度则可以通过正弦定理或余弦定理来计算。

三、在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。

同时，需要注意计算过程中的精度和单位。

学前诊断】
1.在△ABC中，若C=90，a=6，B=30，则c-b等于1.
2.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于30或60.
3.在△ABC中，c-a=b-ba，且∠C=90.
经典例题】
例1.在△ABC中，若∠A=45°，a=2，c=6，则∠B=45°，b=4.
例2.已知△ABC满足条件acosA=bcosB，可以判断
△ABC是等腰三角形。

例3.在△ABC中，已知b+c=6，求a的值。

根据余弦定理可得a²=(b+c)²-4bc，代入数据得a=2.
本课总结】
本课介绍了三角形中的正弦定理、余弦定理、射影定理和面积公式，这些定理可以帮助我们计算三角形的边长、角度和面积。

在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。

正余弦定理知识点及高考考试题型整理学生理

正余弦定理知识点及高考考试题型整理学生理

正、余弦定理一、知识总结 (一)正弦定理1.正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径. 2.变形公式：（1）化边为角：（2）化角为边：（3）（4）.3、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 1.余弦定理: 2222cos a b c bc A =+-2222cos c a b ab C =+-2222cos b a c ac B =+-2.变形公式:222222222cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab+-+-+-===.注：2a ＞22c b +⇒A 是钝角；2a =22c b +⇒A 是直角；2a ＜22c b +⇒A 是锐角；2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R ===::sin :sin :sin a b c A B C =2sin sin sin sin sin sin a b c a b c RA B C A B C ++====++3.余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：4.由余弦定理判断三角形的形状a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。

（注意：A是锐角/ △ABC是锐角三角形，必须说明每个角都是锐角）(三) ΔABC的面积公式:（1）1() 2a aS a h h a= 表示边上的高；（2）111sin sin sin() 2224abcS ab C ac B bc A RR====为外接圆半径；（3）1()() 2S r a b c r=++为内切圆半径(四) 实际问题中的常用角1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

正余弦定理题型总结（全）

正余弦定理题型总结（全）

正余弦定理题型总结（全）平面向量题型归纳（全）题型一：共线定理应用例一：平面向量→→b a ,共线的充要条件是（）A.→→b a ,方向相同B. →→b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→→b a λλλλ变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→→b a //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二：设→→b a ,是两个非零向量（）A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b aB. 若→→⊥b a ，则→→→→=+b a b a _ C. 若→→→→=+b a b a _，则存在实数λ，使得→→=a b λ D 若存在实数λ，使得→→=a b λ，则→→→→=+ba b a _例二：设两个非零向量→→21e e 与，不共线，（1）如果三点共线；求证：D C A e e e e e e ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e e e e e ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。

变式一：设→→21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。

变式二：已知向量→→b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2+=则（）A. +=B. +=C. +=D. ++=变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且++=2,那么（）A. A =变式二：在平行四边形ABCD 中=，=，3=,M 为BC 的中点，则= ( 用,表示)例二：在三角形ABC 中，=，=,若点D 满足2=,则=( )A. ,3132+B. ,3235-C. ,3132-D. ,3231+变式一：(高考题) 在三角形ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分角ACB,a CB =，b CA =21==,则=CD ( )A. ,3231+B. ,3132b a +C. ,5453+ D. ,5354b a +变式二：设D,E,F 分别是三角形ABC 的边BC,CA,AB 上的点，且,2BD DC =,2EA CE =,2FB AF =则++,与( )A.反向平行B. 同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直变式三：在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若μλ+=,其,,R ∈μλ则μλ+=变式四：在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,=,=则=( )A.,2141+ B. ,3132+ C. ,4121+ D. ,3231+题型三：三点共线定理及其应用例一：点P 在AB 上，求证：μλ+=且μλ+=1（,,R ∈μλ）变式：在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 和N,若,m =,n =则m+n=例二：在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，DE 与AF 交于点H,设,a AB =,b BC =则= A. ,5452- B. ,5452+ C. ,5452+- D. ,5452--题型四：向量与三角形四心一、内心例一：O 是?ABC 所在平面内一定点，动点P满足），【∞+∈++=0λλ，则点P的轨迹一定通过?ABC 的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心变式一：已知非零向量与满足0=?+AC AB，且21=AC AB ，则?ABC 为（） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形变式二：?=?+?+?P 为?ABC 的内心二、重心例一：O 是?ABC 内一点，=++，则为?ABC 的（）A.外心B.内心C .重心 D.垂心变式一：在?ABC 中，G 为平面上任意一点，证明：?++=)(31O 为?ABC 的重心变式二：在?ABC 中，G 为平面上任意一点，若?+=)(31AC AB AO O 为?ABC 的重心三垂心：例一：求证：在?ABC 中，??=?=? O 为?ABC 的垂心变式一：O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足,R ∈++=λλ则点P 的轨迹一定通过?ABC 的（）A.外心B.内心C.重心 D .垂心四外心例一：若O 是?ABC 的外心，H 是?ABC 的垂心，则OH ++=变式一：已知点O ，N ，P 在?ABC 所在平面内，且==++=，题型五：向量的坐标运算例一：已知A(-2,4),B(3，-1)，C(-3，-4)，且CB CN CA CM 2,3==,试求点M,N 和的坐标。