青岛版八下7.1《二次根式及其性质》ppt课件.

A. x + 1 B. x 2 1
C. x 2
1
D. x
例1 x取什么实数时，二次根式 2x 1 有意义？
解：二次根式 2x 1 有意义的条件是2x-1≥0．
由2x-1≥0，得 x≥ 1 2
即当x取大于或等于 1 的实数时，式子 2
2x 1有意义．
因为 a (a ≥ 0)表示a的算术平方根，
所以 a (a≥ 0)总是一个非负数, 即 a ≥ 0(a≥ 0).
并且它的平方等于a, 即 ( a )2 = a(a≥ 0)
1.数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ C ）. A.a>0 B.a≥0 C.a<0 D.a=0
2.下列各式中，是二次根式的有___m_2 _+ _20_、___a_2_+_b_2_、__1_5__.
144、 m2 + 20 、 3a、 a2 + b2 、 15 、 b2 1 .
3.a取什么实数时，下列各式有意义？
(1) a + 2; a≥－2
(2) a2 ; a为任意实数
(3) 1 . a
a＞0
例2 计算： (1)( 16)2;
(2)(3 7 )2;
(3)( 0.85)2;
解： (1)( 16)2 =16；
(4)( a + 5)2 (a≥ 5).
(2)(3 7)2 = 32× ( 7 )2 = 9×7 = 63;
2S ，
4S 9
与算术平方的共同点:
①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
一般地，形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式．
其中a为整式或分式，a叫做被开方式．
1.判断下列各式是否是二次根式.

这个式子对所有的二次根式都成立吗？
问 题 2 ： 验证 问 题 1的结论是否具有广泛性，下面根据算术 平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0)
a
( a )2
0
0
0
2
算术平方根
2
平方运算
2
4
2
4
1
1
1
3
3
3
…
…
…
根据 问 题 2直接写出结果，然后根据 问 题 2的探究过 程说明理由：
2 4 =__4__；
2
2 =__2__；
1 3
2 1 =__3__；
2
0 =__0__.
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
一般地，( a )2 a(a 0) .
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
例2 计算：
（1）( 1.5 )2；
( a )2 a(a 0)
（2）( 2 5 )2.
解：（1）( 1.5 )2=1.5； （2）( 2 5 )2 =22×( 5 )2 =4×5=20.
（2）x4-4x2+4=(x2-2)2=[x2-( 2 )2]2=(x+ 2 )2(x- 2 )2
这里逆用了( a )2=a(a≥0)在实数范围内分解因式.在实数范围内分解 因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
问题3：填一填，你发现了什么？ a2 a(a 0)
a(a≥0)
a2
拓展提升
已知a为实数，求代数式 a 4 9 a a2 的值. 解：由题意可知﹣a2≥0，又∵a2≥0，∴a2=0，∴a=0. ∴ a 4 9 a a2 = 4 9 0 =2-3+0=﹣1.

封面 例题
小组探究
1、二次函数对称轴为x =2 ,且过〔3 ,2〕、〔 1,10〕两点 ,求二次函数的表达式 .
解：设y =a(x -2)2 -k
2、二次函数极值为2 ,且过〔3 ,1〕、 〔 -1,1〕两点 ,求二次函数的表达式 .
解：设y =a(x -h)2 +2
例题选讲
例 4 有一个抛物线形的立交桥拱 ,这个桥拱的最||大高
以下根式中 ,与 8 是同类二次根式的是〔 〕
A、 2 B、 3 C、 5 D、 6
二 、 二次根式的性质：
本章知识
1.a( )2a (a 0)
2.a2
a（a0） 0（a0） a（a0）
3a . bab ( a 0b 0)
4 .a b
a b
( a0
b0 )
变式应用
1、式子 (a1)2 a1 成立的条件
▪ 通常选择一般式
y
▪ 图象的顶点坐标、对称轴或和最||值
▪ 通常选择顶点式
▪ 图象与x轴的两个交点的横x1、x2 ,
x▪ 通常选择交点式 . o
确定二次函数的表达式时 ,应该根据条件的特点 , 恰当地选用一种函数表达式 .
封面
一化 二找 三合并
二次根式的加减实质是合并 同类二次根 式.
四、二次根式的乘除 1、二次根式的乘法法那么
..学..科..网.
a ba(b a0,b0)
2、二次根式的除法法那么
a a(a0,b0) bb
计算
(1) 21 7
(2)3 52 15
(3)
40 45
(4)3 m6n5 5 m4n2(m,n为正数
〔1〕被开方式中不含分母； 〔2〕被开方式中不含能开得尽方的因数或因式；

02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。