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2020高考数学一轮复习 专题4-7 解三角形及其应用举例(练)

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【2019最新】精选高考数学一轮复习专题4-7 解三角形及其应用举例（练）A 基础巩固训练1.【2018届甘肃省一诊】中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若正方形与正方形的面积分别为25和1，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设AE=也，BE=y,则x+1=y,,解得x=3,y=4,故得到.故答案为：D.2．【2018届高三训练(29)】北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度为50秒，升旗手匀速升旗的速度为( )015060030106A． (米/秒) B． (米/秒)353 5C． (米/秒) D． (米/秒615【答案】A3. 要测量顶部不能到达的电视塔的高度, 在点测得塔顶的仰角是,在点测得塔顶的仰角是,并测得水平面上的，则电视塔的高度为（）AB C A 45o D A 30o 120,40m BCD CD ∠==oA. B. C. D. 102m 20m 203m 40m 【答案】D【解析】根据题意，设，则中， ，可得，同理可得中， ， 在中， ， 由余弦定理得， ，整理得： ，解之得或（舍），即电视塔的高度为米，故选D.m AB x =Rt ABD ∆30ADB ∠=o 3m tan30ABBD x ==oRt ABC ∆m BC AB x ==Q DBC ∆120,40m BCD CD ∠==o∴222cos BD BC BC CD DCB =-⋅⋅∠()()222340240cos120xx x =+-⋅⋅⋅o2208000x x --=40x =20x =-AB 404．两灯塔与海洋观察站的距离都为，灯塔在的北偏东，在的南偏东，则两灯塔之间距离为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意画出图形，如图所示： 易得∠ACB=90°，AC=BC=a.在△ABC 中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=2a2， 所以AB=（km ）.故选C .5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 mC．120 m D．150 m【答案】A【解析】设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.B能力提升训练1．如下图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )A．c和α B．c和bC．c和β D．b和α【答案】D【解析】根据直角三角形的特征，只要知道一条边和一个夹角即可求出河宽. 2．【2015高考湖北】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. A30o B75o30o CD【答案】61003．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( )A．35海里B．35海里C．35海里D．70海里【答案】D【解析】设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，EF＝＝＝70.4.【2019届高考全程训练月考二】某观测站在目标的南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得与相距的公路处有一个人正沿着此公路向走去，走到达，此时测得距离为，若此人必须在分钟内从处到达处，则此人的最小速度为( )C A 25o A 35o C C 31km B A 20km D CD 21km 20D AA ．B ．C ．D ． 30/km h 45/km h 14/km h 15/km h 【答案】B【解析】由已知得∠CAB＝25°＋35°＝60°，BC ＝31，CD ＝21，BD ＝20，可得，那么，2222223120212322312031BC BD CD cosB BC BD +-+-==⨯⨯⨯＝12331sinB ＝于是在△ABC 中， ＝24，BC sinBAC sin CAB⨯∠＝在△ABC 中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos60°，即312＝242＋AB2－24AB ，解得AB ＝35或AB ＝－11(舍去)，因此AD ＝AB －BD ＝35－20＝15.故此人在D 处距A 处还有15 km ，若此人必须在20分钟，即小时内从D 处到达A 处，则其最小速度为15÷＝45(km/h)．1313故选B.5．【2017山西三区八校二模】为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求， 的长度大于1米，且比长0.5米，为了稳固广告牌，要求越短越好，则最短为（ ）60ACB ∠=︒BC AC AB AC ACA. 米B. 米C. 米D. 米312⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭2()13+()23+【答案】DC 思维扩展训练1.如图：D ， C ，B三点在地面同一直线上，DC ＝，从C ，D 两点测得A 点仰角分别是，()，则A 点离地面的高度AB 等于( ) aβααβ<（A ） （B ） sin sin sin()a αββα-sin sin cos()a αβαβ-（C ） （D ） sin cos sin()a αββα-cos sin cos()a αβαβ-【答案】A【解析】因为，所以.tan tan AB ABDC DB CB αβ=-=-sin sin sin sin ,11cos cos tan tan cos sin cos sin sin()tan tan sin sin AB ABa a a a a AB αβαβαβαβαββαβααβαβ=-====----2.【2018届赣州二模】如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为（ ）A ． 海里B ． 海里C ． 海里D ． 40海里【答案】A【解析】在中，，所以，由正弦定理可得：，解得，在中，，所以，在中，由余弦定理可得：，解得.3.【2017安徽马鞍山二模】在边长为2的正三角形的边上分别取两点，点关于线段的对称点正好落在边上，则长度的最小值为____．ABC AB AC 、M N 、A MN A 'BC AM 【答案】436【解析】显然两点关于折线对称，连接，可得，则有，设， ，再设，则有，在中， ， ，又，在中，由正弦定理知，即， ，所以当时，即时， ，此时取得最小值，且，则的最小值为，故答案为.,A P MN MP AM PM =BAP APM ∠=∠BAP θ∠=2BMP BAP APM θ∠=∠+∠=AM MP x==2MB x =-ABC ∆180120APB ABP BAP θ∠=-∠-∠=-o o 1202BPM θ∴∠=-o 60MBP ∠=o BMP∆sin sin BM MPBPM MBP =()()223,sin60sin 12022sin 12023x x x θθ-=∴=--+o o o 060,01202120θθ≤≤∴≤-≤o o o o o Q 120290θ-=o o 15θ=o ()sin 12021θ-=o x()2323?2343623=-=-+75AMN ∠=o AM 436-436-4.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若,则的最大值 .ABC A A AB P CM P A P θ15m,25m,30AB AC BCM ==∠=o tan θ 【答案】539【解析】由勾股定理可得，，过作，交于，连结，则，设，则，由得，，在直角中，，故，令，，令得，，代入得，，故的最大值为．20BC =P 'PP BC ⊥BC 'P 'AP 'tan 'PP AP θ='BP x ='20CP x =-30BCM ∠=︒()3''tan 30203PP CP x =︒=-'ABP V 222'15225AP x x =+=+()223202033tan 225225x x x x θ--==++g220225x y x -=+()()()()222221212252022520222252'225225x x x x x x x y x x -+--⋅⋅-+--⋅⋅+==++()22225225x x=++'0y =454x =-2203tan 225x x θ-=+g 220353tan 225x x θ-==+g tan θ539 5. 【2018届江苏海安上学期第一次测试】如图，已知是一幢6层的写字楼，每层高均为3m ，在正前方36m 处有一建筑物，从楼顶处测得建筑物的张角为.（1）求建筑物的高度；（2）一摄影爱好者欲在写字楼的某层拍摄建筑物.已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果（不计人的高度）？【答案】(1)30米;(2) 当时，张角最大，拍摄效果最佳.【解析】试题分析：（1）先作于，构造直角三角形，然后运用两角差的正切公式求出，再求出；（2）先依据题设求出，，然后建立目标函数，通过求函数的最值使得问题获解：解：（1）如图，作于，则.所以，.因为，所以.所以.答：建筑物的高度为30米.因为函数在上是单调增函数，所以当时，张角最大，拍摄效果最佳.答：该人在6层拍摄时效果最好.。

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2020届高三文科数学一轮复习课件4.7解三角形应用举例

2020届高三文科数学一轮复习课件4.7解三角形应用举例


这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为
()
A.60 km C.30 2 km
B.60 2 km D.30 km
【解析】选A.画出图形如图所示,在△ABC中,∠BAC= 30°,AC=4×15 2 =60 2 ,∠B=45°,由正弦定理得
AC BC ， sin B sinBAC
所以 BC ACgsinBAC 60 2 sin 30 60，
【解析】选B.在△BCD中,∠BCD=15°,∠BDC=30°,
∠CBD=135°,由正弦定理得 BC CD ，所以
sinBDC sinCBD
BC 30sin 30 15 2，在Rt△ABC中,AB=BC.tan∠ACB=
sin 135
15 2 3 15 6.
题组二:走进教材 1.(必修5P11例1改编)为了在一条河上建一座桥,施工 前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测量A,B两点 的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50 m, ∠ABC=105°,∠BCA=45°.可以计算出A,B两点的距离 为( )
=45°,根据正弦定理知, BC AB ,
sinBAC sinACB
AB sinBAC 600 1 300 2 m.
sinACB
22
2
在Rt△BCD中, tanDBC CD ,
BC
即BC=
所以 CD BC tanDBC 300 2 3 100 6 m.
3
答案: 100 6
考点一 测量距离问题 【题组练透】 1.如图所示,某旅游景点有一座风景秀丽的山峰,山上 有一条笔直的山路BC和一条索道AC,小王和小李打算不 坐索道,而是花2个小时的时间进行徒步攀登,已知
高三数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形第七节 解三角形的应用举例

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•5．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔 顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为 ________m.
解析：如图所示，设塔高为 h m．由题意及图可知： (200－h)·tan60°＝ta2n0600° 解得：h＝4030 m.
答案：4030
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在海岸 A 处，发现北偏东 45°方向，距 A 处( 3－1)n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°的方向，距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追 截走私船．此时，走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北 偏东 30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私 船？
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•3．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离 相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B 在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的
()
•A．北偏东10° 10°
B．北偏西
•C．南偏东10° 10°
D．南偏西
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•解析：如图所示，由已知 •∠ACB＝180°－40°－60°＝80°， •又AC＝BC， •∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°. •∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°. •答案：B
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•4．如图，在△ABC中，若A＝120°，AB＝5 ，BC＝7，则S△ABC＝_____.
•解析：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2 ＋AC2－2AB·ACcos120°， •即49＝25＋AC2＋5AC， •解之得AC＝3.
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∴S△ABC＝12AB·ACsinA＝12×5×3× 23＝145 3. 答案：145 3
(浙江专用)2020年高考数学一轮复习讲练测专题4.7解三角形及其应用举例(练)(含解析)

(浙江专用)2020年高考数学一轮复习讲练测专题4.7解三角形及其应用举例(练)(含解析)

第07讲 解三角形及其应用举例 ---练1．（2018·北京高三）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60m ，则树的高度为（ ）A ．mB ．mC ．mD ．m【答案】C 【解析】 【详解】设树高为，则，选C.2. （2019·全国高三专题练习）如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB 3C 2D ．2akm【答案】B 【解析】在ABC ∆中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BCcos120°＝2a 2－2a 2×12⎛⎫-⎪⎝⎭＝3a 2，∴AB＝3a.故选:B.3. （2019·全国高三专题练习）在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若，，则A，C两点之间的距离为（）A． km B． km C． km D．2 km【答案】A【解析】由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC＝x，∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°﹣75°﹣60°＝45°∴AD＝x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°＝xx＝（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故选：A.4．（2018·山东高三期中（理））如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离为100m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A ．100mB ．100mC ．50mD ．25m【答案】C 【解析】由三角形内角和定理可得，由正弦定理知，，两点的距离为，故选C.5．（2019·福建高考模拟（文））我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值2n π可表示成（ ）A ．180cosnn π︒B ．360cosnn π︒ C ．360sinnn π︒ D ．90cosnnπ︒ 【答案】A 【解析】 令圆的半径为1， 则圆内接正n 边形的面积为，圆内接正2n 边形的面积为，用圆的内接正n 边形逼近圆，可得；用圆的内接正2n 边形逼近圆，可得；所以.故选A6.（2019·四川高考模拟（理））某小区打算将如图的一直三角形ABC 区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形DEF ,在其内建造文化景观.已知20AB m =,10AC m =,则DEF ∆区域内面积(单位：2m )的最小值为（ ）A ．253B ．(,0)B mC ．1)≠D ．7537【答案】D 【解析】△ABC 是直三角形，AB ＝20m ，AC ＝10m ，可得CB 103m =， DEF 是等边三角形，设∠CED＝θ；DE ＝x ，那么∠BFE＝π6+θ；则CE ＝xcosθ， △BFE 中由正弦定理，可得可得x，其中tanα23=； ∴x 1037≥； 则△DEF 面积S故选：D ．7.（2019·浙江高三期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意图如下图，正方形ABCD 中，F ，G 分别为AD 和AB 的中点，若EF AD ⊥，=30EF ，GH AB ⊥，=750GH ，且EH 过点A ，则正方形ABCD 的边长为_____．【答案】300 【解析】 因为，，所以，而，故，所以EF AFAG GH=，因,F G 为中点，所以AF AG =，故，所以AG =150即正方形的边长为300，填300 ．8．（2019·山东省临沂市第十九中学高考模拟（理））如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．【答案】6【解析】 由已知得由正弦定理可得，所以海轮的速度为1066303=/分．故答案为6.9.（2009·宁夏高考真题（理））为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.【答案】见解析【解析】要求长度，需要测量的数据有：点到，点的俯角，最后通过正弦定理得到最终结果.①需要测量的数据有：点到，点的俯角；点到，的俯角；，的距离……….3分②第一步：计算. 由正弦定理；第二步：计算. 由正弦定理；第三步：计算. 由余弦定理10．（2019·陕西高考模拟（文））西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形ABCDE，其中三角形区域ABE为球类活动场所；四边形BCDE为文艺活动场所，，为运动小道（不考虑宽度），，千米.（1）求小道BE的长度；（2）求球类活动场所ABE∆的面积最大值.【答案】（1）37（2）633 4【解析】如解图所示，连接BD，（1）在三角形BCD中，千米，，由余弦定理得：，所以33BD=∵BC CD=，，∴∵，∴在Rt BDE∆中，（千米）∴小道BE的长度为37千米；（2）如图所示，设ABEα∠=，∵，∴在三角形ABE 中，由正弦定理可得：，∴，，∴，，，∵，∴，故当060α=时，ADE S ∆取得最大值，最大值为.∴球类活动场所ABE ∆的面积最大值为633平方千米.1．（2019·吉林高考模拟（理））《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆和，之间距离为步，两标杆的底端与海岛的底端在同一直线上，从第一个标杆处后退123步，人眼贴地面，从地上处仰望岛峰，三点共线；从后面的一个标杆处后退127步，从地上处仰望岛峰，三点也共线，则海岛的高为（ ）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)A．步B．步C．步D．步【答案】A【解析】因为，所以，所以；又，所以，所以；又，所以，即，所以步，又，所以步.故选A2．（2019·全国高三专题练习）某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为________米．【答案】600【解析】航标A在正东，俯角为30°，由题意得∠APC＝60°，∠PAC＝30°．航标B在南偏东60°，俯角为45°，则有∠ACB＝30°，∠CPB＝45°．故有BC＝PC＝600，AC ＝＝＝600．所以，由余弦定理知AB2＝BC2+AC2﹣2BC•AC•COS∠ACB＝360000+360000×3﹣2×＝360000．可求得AB＝600．故答案为：600．3．（2019·江西高考模拟（理））定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点,,A B C在半径为1的圆上，且3BACπ∠=，分别以ABC∆各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和ABC∆构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的最大值是__________．【答案】332【解析】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为123r r r,，，M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤12r r++GF=12r r++AC2=，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN ≤123r r r,++MN≤123r r r++,又ABC∆外接圆半径为1，πBAC3∠=，所以BC2πsin3=,∴BC=a=2sinπ3=3,由余弦定理解b+c≤23,当且仅当b=c=3取等；故故答案为3324. （2019·广东深圳高中高考模拟（理））工程队将从A到D修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据A B C D在同一水平面内），求,A D之间的距离.（,,,【答案】65123-【解析】连接AC,∆中，在ABC.∆中，在ACD5．（2019·江苏高考模拟）如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60°时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．【答案】（1）232km （2）333,82⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【解析】(1)当60a =︒时，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF 是平行四边形，BDE V 和CDF V均为边长为1km 的等边三角形，面积都是234km ， 所以绿化面积为.（2）由题意知，，在BDE V 中，， 由正弦定理是，所以，在CDF ∆中，，CFD α∠=， 由正弦定理得，所以， 所以.所以，当，，，所以.答:地块的绿化面积()S a 的取值范围是333,82⎛⎤⎥ ⎝⎦.6．（2019·江苏高考模拟）某公园内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内切在圆O 外的区域，其中，，且AB ，PQ 在点O 的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.设OAB α∠=，0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？【答案】能符合要求 【解析】过O 作OH 垂直于AB ，垂足为H .在直角三角形OHA 中，20OA =，OAH α∠=， 所以，因此.由图可知，点P 处观众离点O 处最远.在三角形OAP 中，由余弦定理可知.因为0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当26πα=时，即12πα=时，，即.因为，所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.答：对于任意α，上述设计方案均能符合要求.1.（2017浙江，11）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，=6S ．【答案】3322.（2014·四川高考真题（理））如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC 约等于 .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）【答案】60 【解析】，，.3．（2014·全国高考真题（文））如图，为测量出高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角，C 点的仰角以及；从C 点测得．已知山高100BC m =，则山高MN =__________m ．【答案】150 【解析】 在ABC ∆中，,，在AMC V 中，由正弦定理可得即解得,在Rt AMN V 中，150()m ．故答案为150．4.（2015·湖北高考真题（理））如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.【答案】【解析】 由题设可知在中, ,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.5.如图，在某海滨城市附近的海面上正形成台风.据气象部门检测，目前台风中心位于城市的南偏东方向的海面处，并以的速度向北偏西方向移动.如果台风侵袭的范围为圆心区域，目前圆形区域的半径为，并以的速度不断增大.几小时后该城市开始受到台风侵袭（精确到）？【答案】4.1小时．【解析】根据题意可设小时后台风中心到达点，该城市开始受到台风侵袭，如图中，，，，，由余弦定理得，，化简得，解得.答：大约4.1小时后该城市开始受到台风的侵袭.6．（2015·上海高考真题（文））（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1），千米；（2）超过了3千米.【解析】（1），设此时甲运动到点，则千米，所以千米. （2）当时，乙在上的点，设甲在点，所以，，所以，当时，乙在点不动，设此时甲在点，所以.所以.所以当时,，故的最大值超过了3千米.。

2020版高考数学新增分大一轮新高考第四章 4.7 解三角形的实际应用 Word版含解析

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§解三角形的实际应用最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是°≤θ<°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：()北偏东α：()南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度，θ为坡角；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比，即＝＝θ概念方法微思考在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？提示实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()从处望处的仰角为α，从处望处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝°.(×)()俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(×)()方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)()方位角大小的范围是[π)，方向角大小的范围一般是.(√)题组二教材改编.如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出，的距离为，∠＝°，∠＝°后，就可以计算出，两点的距离为.答案解析由正弦定理得＝，又＝°，∴＝＝＝()．．如图，在山脚测得山顶的仰角为°，沿倾斜角为°的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为°，则山高＝米．。