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九年级数学第5讲.第二轮复习之函数图像上点的存在性问题中的特殊三角形和特殊四边形.提高班.教师版

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`中考说明：函数图象上因动点产生的特殊三角形（包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形）. 解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.【例1】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP △为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】 由等腰三角形两腰相等，线段MC 可分别充当“腰”与“底”的角色，分别以M 、C 为圆心，以MC 的长为半径画圆与对称轴的交点，以及线段MC 的垂直平分线与对称轴的交点为P 点.【解析】 存在符合条件的P 点由()03C ，，()10M -，，∴10CM ①当CM CP =时， ()116P -，②当MC MP =时，(2110P -，，(4110P --，③当PC PM =时，连接3CP ，过C 作对称轴的垂线， 由勾股定理可得3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．综上所述，符合条件的点P 的坐标为()116P -，，(2110P -，，3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，(4110P -，. 典题精练5第二轮复习之函数图像上点的存在性问题中的特殊三角形与特殊四边形题型一：存在问题中的三角形D OP 4M CBA P 3P 2P 1xy【例2】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），在抛物线223y x x =--+上是否存在一点Q ，使得△BCQ 为直角三角形？若存在，请用尺规作出所有符合条件的点Q ，并求出以BC 为直角边时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】 由直角三角形一个角为直角，BC 可充当直角边和斜边的角色，当BC 为直角边，分别过B 、C 两点作线段BC 的垂线，与抛物线的交点即为Q 点；当BC 为斜边，以BC 为直径所画的圆与抛物线的交点即为Q 点.【解析】 存在符合条件的Q 点，所有符合条件的点Q 如图所示：由()14D -，，()03C ，可知，DC CB ⊥， ∴1Q 坐标为()14-，由()30B -，，()03C ，易得， 2BQ 的解析式为3y x =--，联立可得2233y x x y x ⎧=--+⎨=--⎩解得25x y =⎧⎨=-⎩或30x y =-⎧⎨=⎩（舍） 可得2Q 坐标为()25-，．综上所述，以BC 为直角边时点Q 的坐标为1Q (14-，【例3】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），设J 为y 轴正半轴上的一个动点，请在抛物线223y x x =--+上求一点K ，使得OKJ △为等腰直角三角形. 【分析】 线段OJ 可以充当“斜边”和“直角边”的角色．当OJ 为直角边时，又存在两种情况：90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．因此，共有6种情况．【解析】 ⑴当OJ 为直角边时，90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．若90KOJ ∠=︒，则K 与A 或B 重合， ∴()130K -，，()210K ，．若90KJO ∠=︒，则45KOJ ∠=︒，分别作COB ∠与COA ∠的角平分线交抛物线于两点，即为34K K ，，直线3OK 与直线4OK 解析式分别为y x =-、y x =， 分别与抛物线解析式联立，可得3K 坐标为113113--+⎝⎭，，4K 坐标为321321-+-+⎝⎭，． ⑵当OJ 为斜边时，45KOJ ∠=︒，K 点坐标同上34K K ，． 综上所述，所求的点K 坐标为()130K -，，()210K ，，3K 113113--+⎝⎭，，4K 321321-+-+⎝⎭，.中考说明：函数图象上因动点产生的特殊四边形（包括平行四边形、梯形）问题.解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.题型二：存在问题中的四边形Q 4Q 3Q 2D (Q 1)y BO AC x【例4】 已知抛物线：x x y 22121+-= ⑴ 求抛物线1y 的顶点坐标.⑵ 将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式.⑶ 如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是 否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存 在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由.（2013南平）【解析】（1）依题意 0,2,21==-=c b a ∴2)21(222=-⨯-=-ab ，2)21(4204422=-⨯-=-ab ac ∴顶点坐标是（2，2）（2）根据题意可知y 2解析式中的二次项系数为21- 且y 2的顶点坐标是（4，3） ∴y 2＝－3)4(212+-x ，即：y 2＝54212-+-x x（3）符合条件的N 点存在 典题精练xyy 12345678954321-1-2-3-41y 2-1如图：若四边形OPMN 为符合条件的平行四边形，则OP ∥MN ，且MN OP = ∴BMN POA ∠=∠， 作x PA ⊥轴于点A ，x NB ⊥轴于点B∴090=∠=∠MBN PAO ，则有NMB POA ∆≅∆（AAS ） ∴BN PA =∵点P 的坐标为（4,3）∴3==PA NB ……10分 ∵点N 在抛物线1y 、2y 上，且P 点为1y 、2y 的最高点 ∴符合条件的N 点只能在x ①点N 在抛物线1y 上，则有：32212-=+-x x 解得：102-=x 或102+=x ②点N 在抛物线2y 上，则有：33)4(212-=+--x 解得：324-=x 或324+=x ∴符合条件的N 点有四个：)3,324();3,102();3,324();3,102(4321-+-+----N N N Nxyy 12345678954321-1-2-3-41y 2-1【例5】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，设R 为抛物线223y x x =--+上一个动点，则以点M 、R 、B 、C 为顶点的四边形能否是梯形？若能，请求出所有符合条件的点R 的坐标；若不能，请说明理由.【分析】 由梯形为一组对边平行，另一组对边不平行.可分别过B 、C 、M 作对边的平行线与抛物线相交，当过B 、C 两点作平行线时，所形成的四边形恰为平行四边形，需舍去．【解析】 存在这样的R 点使得以点M 、R 、B 、C 为顶点的四边形是梯形．当过B 、C 两点作平行线时，所形成的四边形恰为平行四边形，需舍去.当过M 作BC 的平行线，与抛物线的交点即为R ，此时BC RM ≠， 四边形2BCR M 与1BCMR 均为梯形，如图.由MR 的解析式为1y x =+，与223y x x =--+联立，可得1317117R ----⎝⎭，，2317117R -+-+⎝⎭，．【例6】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(3,1)A 关于x 轴的对称点为C ，AC 与x 轴交于点B ，将△OCB 沿OC 翻折后，点B 落在点D 处． ⑴求点C 、D 的坐标；⑵求经过O 、D 、B 三点的抛物线的解析式；⑶若抛物线的对称轴与OC 交于点E ，点P 为线段OC 上一点，过点P 作y 轴的平行线， 交抛物线于点Q ．①当四边形EDQP 为等腰梯形时，求出点P 的坐标；②当四边形EDQP 为平行四边形时，直接写出点P 的坐标．（昌平一模）OyxA3478OyxMQ 1CDNB P 121P 2Q 2E 6A【解析】 ⑴ 如图所示，∵点(3,1)A 关于x∴AC ⊥x 轴于B ，(30)B ，(31)C -． ∴1,3BC AB OB ===．∴2,130,360OC =∠=︒∠=︒， 由题意可知 2130∠=∠=︒， 3OD OB ==．过点D 作DM x ⊥轴于M ，DN y ⊥轴于N ，∴30NOD ∠=︒． 在Rt OND △中，132DN OD ==332ON DN =．由矩形ONDM 得3OM DN ==．∵点D 在第四象限，∴332()D -． ⑵ 设经过O 、D 、B 三点的抛物线的解析式为2y ax bx =+．依题意得 33342330a a b ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩解得 223a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩∴此抛物线的解析式为2223y x x =-． ⑶ ∵22332232(2y x x x =-=-， ∴点D 为抛物线的顶点．∴直线DM 为抛物线的对称轴，交OC 于E ， 由题意可知 4360∠=∠=︒，90ODC ∠=︒， ∴60OEM ∠=︒， ∴660∠=︒， ∴760∠=︒，∴EDC △是等边三角形，830∠=︒．∴112CE DE OE OC ====．①当点1P 在EC 上时，四边形11EDQ P 为等腰梯形．∵11DM y PQ ∥∥，1EP 与1DQ 不平行， ∴四边形11EDQ P 为梯形．要使梯形11EDQ P 为等腰梯形，只需满足1660EDQ ∠=∠=︒． ∵760∠=︒，∴点1Q 在DC 上．由(31)C -、33,2()D -求得直线CD 的解析式为32y x =-． 又∵点1Q 在抛物线上，∴23232x x x -=-． 解得122333x x ==D 重合，舍）． ∴1P 233．由(0,0)O 、(31)C -求得直线OC 的解析式为3y =． ∵点1P 在OC 上，∴32323y ==- ，∴1232(,)3P -． ②当点2P 在OE 上时，四边形22EDQ P 为平行四边形，点2P 在点2Q 的上方，且22P Q ED =，22P Q ED ∥()23231x x --=解得13x =，23x =（与点D 重合，舍） 此时2P 点坐标为231(,)3P -． 综上所述，当1232(,)3P -时，11EDQ P 为等腰梯形； 当231()3P -时，22EDQ P 为平行四边形．训练1. 如图，抛物线2y x bx c =++的顶点为(14)D --，，与y 轴相交点(03)C -，，与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边）． ⑴求抛物线的解析式；⑵连接AC ，CD ，AD ，试证明ACD △为直角三角形；⑶若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A B E F ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（广东湛江）【解析】 ⑴ 24(1)3b c c ⎧-=--+⎨=-⎩解得23b c =⎧⎨=-⎩，所以抛物线的解析式为223y x x =+-； ⑵ 因为223y x x =+-，可得(30)A -，，所以有222222222(03)(3)18(13)(4)20(01)(34)2AC AD DC =-+-==-++-==++-+= 所以222AD DC AC =+，所以ACD △为直角三角形；⑶ 可知4AB =，下面需要分类讨论：情况一：线段AB 为所求四边形的对角线， 因为平行四边形的对角线互相平分，点E 在对称轴上，点F 在抛物线上，且点A 、B 关于对称轴对称， 故EF 要平分线段AB ，故点F 为顶点()14--，满足条件. 情况二：线段AB 为所求四边形的边，则AB EF ∥且AB EF =假设存在这样的点F ，设2000(23)F x x x +-，，所以200(123)E x x -+-，， 要使以A B E F ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形， 只需要4AB EF ==，即0|1|4x +=，所以03x =或05x =-，因此点F 的坐标为(312)，或(512)-，. 综上所述，符合条件的点F 为：()14--，，(312)，，(512)-，.思维拓展训练(选讲)训练2. 已知：抛物线2(1)22y k x kx k =-++-与x 轴有两个不同的交点．⑴求k 的取值范围；⑵当k 为整数，且关于x 的方程31x kx =-的解是负数时，求抛物线的解析式；⑶在⑵的条件下，若在抛物线和x 轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x 轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长．（顺义一模）-6-4-22-448642-2O y xx=2D CB AOyx【解析】 8k -，依题意，得10k ⎨-≠⎩∴k 的取值范围是23k >且1k ≠． ①⑵ 解方程31x kx =-，得13x k-=-．∵方程31x kx =-的解是负数，∴30k ->． ∴3k <． ② 综合①②，及k 为整数，可得2k =． ∴抛物线解析式为24y x x =+．⑶ 如图，设最大正方形ABCD 的边长为m ，则B 、C 两点的纵坐标为m -，且由对称性可知：B 、C 两点关于抛物线对称轴对称． ∵抛物线的对称轴为：2x =-．∴点C 的坐标为(2,)2mm -+-．∵C 点在抛物线上，∴2(2)4(2)22m mm -++-+=-．整理，得24160m m +-=．∴445225m -±==-±1225m =-+，2225m =--252m =．题型一 存在问题中的三角形 巩固练习【练习1】 在如图的直角坐标系中，已知点()10A ，，()02B -，，将线段AB 绕点A 按逆时针方 向旋转90︒至AC ．⑴求点C 的坐标；⑵若抛物线2122y x ax =-++经过点C ．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外），使ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（重庆綦江）CBAOyxP 3P 2P 1DHLF ExyOABC【解析】90BAO +∠=︒，, 而90ABO BAO ∠+∠=︒，∴CAD ABO ∠=∠，又∵90CDA AOB ∠=∠=︒，且由已知有CA AB =， ∴ACD BAO △≌△，∴1CD OA ==，2AD BO ==， ∴点C 的坐标为()31-，⑵ ①∵抛物线2122y x ax =-++经过点()31C -，，∴2113322a -=-⨯++，解得12a =∴抛物线的解析式为211222y x x =-++.② i) 当A 为直角顶点时 ，延长CA 至点1P ，使1AP AC AB ==, 则1ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形,如果点1P 在抛物线上,则1P 满足条件，过点1P 作1PE x ⊥轴, ∵1AP AC =，1EAP DAC ∠=∠，190PEA CDA ∠=∠=︒ ∴1EP A DCA △≌△，∴2AE AD ==，11EP CD ==,∴可求得1P 的坐标为()11-，， 经检验1P 点在抛物线上，因此存在点1P 满足条件； ii ）当B 点为直角顶点时，过点B 作直线L BA ⊥，在直线L 上分别取23BP BP AB ==，复习巩固得到以AB 为直角边的等腰直角2ABP △和等腰直角3ABP △， 作2P F y ⊥轴于点F ，同理可证2BP F ABO △≌△ ∴22P F BO ==，1BF OA ==，可得点2P 的坐标为()21--，，经检验2P 点在抛物线上, 因此存在点2P 满足条件． 同理可得点3P 的坐标为()23-，， 经检验3P 点不在抛物线上．综上：抛物线上存在点()111P -，，()221P --，两点，使得1ABP △和2ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形．题型二 存在问题中的四边形 巩固练习【练习2】 如图，已知抛物线23y x bx a =+-过点()10A ，，()03B -，，与x 轴交于另一点C ．⑴求抛物线的解析式；⑵若在第三象限的抛物线上存在点P ，使PBC △为以点B 为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标；⑶在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点Q ，使以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（山东烟台）yQOPBACxOPEB ADCyx【解析】 ⑴ 把(A 13033b a a +-=⎧⎨-=-⎩解得12a b =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =+- ⑵ 令0y =，得2230x x +-= 解得13x =-，21x =∴点()30C -， ∵()03B -，∴BOC △为等腰直角三角形． ∴45CBO =︒∠过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D ．∵PB BC ⊥，∴45PBD =︒∠，PD BD = 所以可设点()3P x x -+，则有2323x x x -+=+-，∴11x =-，20x =（舍）所以P 点坐标为()14--，． ⑶ 由⑵知，BC BP ⊥当BP 为直角梯形一底时，由图象可知点Q 不可能在抛物线上， 若BC 为直角梯形一底，BP 为直角梯形腰时， ∵()30B -，，()30C -， ∴直线BC 的解析式为3y x =-- ∵直线PQ BC ∥，且()14P --， ∴直线PQ 的解析式为5y x =--联立方程组得2523y x y x x =--⎧⎨=+-⎩得2523x x x --=+- 解得11x =-（舍），22x =-∴2x =-，3y =-，即点()23Q --，∴符合条件的点Q 的坐标为()23--，．第十八种品格：坚持愚公移山太行、王屋两座大山，四周各七百里，高七八百千丈。

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最新1.函数图象上点的存在性问题中的全等、相似与角度(上).doc

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函数图象上的点与角度
中考说明：
特殊角一般指45°、30°、60° 等；
知识点：
主要考查特殊直线y ＝tan a · x ＋b 与抛物线的交点
【例1】
如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为抛物线y ＝x 2上一动点，点A 的坐标为()，104
，是否存在点P ，使∠P Ax 分别为45°或30°？若存在，请求出点P 的坐标；不存在，说明理由。

【例2】
二次函数y ＝x 2－2x －3的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C 点，在二次函数的图象上是否存在点P ，使得∠P AC 为锐角？若存在，请你求出P 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由。

【例3】
二次函数图象经过点A (-3，0)，B (-1，8)，C (0，6)，直线y x =+223
与y 轴交于点D ，点P 为二次函数图象上一动点，若∠P AD ＝45°，求点P 的坐标。

函数图象上点的存在性问题
中的全等、相似与角度(上)
【例4】(2009—2010东城二模)
如图，二次函数过A(0，m)、B(-3，0)、C(12，0)，过A点作x轴的平行线交抛物线于一点D，线段OC上有一动点P，连结DP，作PE⊥DP，交y轴于点E。

⑴求AD的长；
⑵若在线段OC上存在不同的两点P1、P2，使相应的点E1、E2都与点A重合，试求m的取
值范围。

⑶设抛物线的顶点为点Q，当60°≤∠BQC≤90°时，求m的变化范围。

九年级数学第二轮复习之函数图象上点的存在性专题——全等构造、相似构造与角度的和差解析教师版含答案解析

九年级数学第二轮复习之函数图象上点的存在性专题——全等构造、相似构造与角度的和差解析教师版含答案解析

中考第二轮复习函数图象上点的存在性专题—全等构造、相似构造与角度的和差题型一：存在问题中的全等和相似构造中考说明：抛物线上点存在问题中的三角形的全等或相似主要考查确定对应边和对应角，在对应边和对应角不确定的情况下，需要分类讨论．分类可能按角分类也可能按边分类. 【典例分析】【例1】 如图，在第一象限内作与x 轴的夹角为30︒的射线OC ，在射线OC 上取一点A ，过点A作AH x ⊥轴于点H .在抛物线2y x =(0)x >上取一点P ，在y 轴上取一点Q ，使得以P Q O ，，为顶点的三角形与AOH △全等，则符合条件的点A 的坐标是 .【解析】(3,1)3，, 2), 2)3，. 思路分析：以P Q O ，，为顶点的三角形与AOH △全等，已知30AOH ∠=︒，60OAH ∠=︒ 从图象可知90POQ ∠≠︒，∴30POQ ∠=︒或60︒. 当30POQ ∠=︒时，情况一，90OPQ ∠=︒，如图1；情况二，90OQP ∠=︒，如图2；当60POQ ∠=︒时，情况三，90OPQ ∠=︒，如图3；情况四，90OQP ∠=︒，如图4.图4【例2】 如图，抛物线22y ax ax c =-+（0a ≠）交x 轴于A 、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点()04C ，，以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G .（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 在边OA （不包括O 、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E ， 交CD 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线于点P ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示PM 的长.（3）在（2）的条件下，连结PC ，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P ， 使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和AEM △相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断PCM △的形状；若不存在，请说明理由.(2013凉山)【解析】（1）∵()04C ，，()30A ，在抛物线()220y ax ax c a =-+≠上 ∴4960c a a c =⎧⎨-+=⎩解得：434a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩………………………………………（2分） ∴所求抛物线的解析式为：248433y x x =-++…………………………（3分）（2）设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠∵()()3004A C ，，，在直线AC 上 ∴304k b b +=⎧⎨=⎩解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 的解析式为：443y x =-+……………………（4分）∴443M m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，248433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，………………（5分）∵点P 在M 上方∴248444333PM m m m ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭248444333m m m =-+++-2443m m =-+……………………………………（6分）（3）①若PFC AEM △△，此时PCM △是直角三角形且90PCM =∠° 则PF CF AE ME =即PF AE CF ME=…………………………………………（7分） A B Cl PMFG DO Ex y又∵AEM AOC △△ ∴AE ME AE OA OA OC ME OC -=即 ∴34PF OA CF OC ==…………………………………………………………（8分） ∵224848443333PF PE EF m m m m =-=-++-=-+ CF OE m ==∴2483334m mm -+= ∵0m ≠，∴2316m =…………………………………………………………………………（9分）②若CFP AEM △△此时PCM △是等腰三角形且PC CM = 则PF FC ME AE =即PF ME FC AE=…………………………………………………………（10分） 由①得34OA AE OC ME ==∴43OC OA = ∴43PF OC FC OA ==………………………………………………………………………（11分） 同理24833PF m m =-+，CF OE m ==∴2484333m mm -+=∵0m ≠，∴1m =综合所得：存在这样的点P 使PFC △与AEM △相似此时m 的值为2316或1，PCM △为直角三角形或等腰三角形……………………（12分）题型二：存在问题中的角度【存在问题中的角度---特殊角】中考说明：单个特殊角θ一般指30︒、45︒、60︒等，初中阶段主要考察如何利用特殊角度去构造特殊三角形，从而解决相关问题；初高中衔接知识是特殊直线tan y x m θ=⋅+与抛物线()20y ax bx c a =++≠的交点.45°30°特殊角度 构造特殊三角形典题精练【例3】⑴如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为抛物线2y x =上一动点，是否存在点P 使 得直线OP 与x 轴的正半轴的夹角为45︒，若存在，请求出点P 的坐标；不存在，说明 理由．⑵如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为抛物线2y x =上一动点，点A 的坐标为104⎛⎫ ⎪⎝⎭，，是否存在点P 使得直线PA 分别与x 轴正半轴的夹角为45︒或30︒？若存在，请求出点P 的坐标；不存在，说明理由．【解析】 ⑴方法一：如图3，过点P 作PK x ⊥轴于点K ，由已知得45POK ∠=︒，POK △为等腰直角三角形.设点P 的坐标为()2x x ，，则2PK x OK x ==，， 故PK OK =，则2x x =，∴0x =（舍），1x =，∴点P 的坐标为()11，． 方法二：∵45POx =︒∠，∴直线OP 是第一象限的角平分线， 故直线OP 的解析式为y x =，点P 即为抛物线和直线OP 的交点（点O 除外），联立方程组2y x y x ⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩（舍），11x y =⎧⎨=⎩，故点P 的坐标为()11，． ⑵如图4，若直线PA 与x 轴正半轴的夹角为45︒，且直线PA 与y 轴交于点B . ∴AOB △为等腰直角三角形，14OA OB ==，∴点B 的坐标为104⎛⎫- ⎪⎝⎭，由待定系数法可求直线PA 的解析式为14y x =-，联立方程组214y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 的坐标为1124⎛⎫⎪⎝⎭，．如图5，若直线PA 与x 轴正半轴的夹角为30︒，且直线PA 与y 轴交于点C.∴30OAC∠=︒，在Rt OAC△中，OA，∴OC=∴点C的坐标为0⎛⎝⎭，由待定系数法可求直线PA的解析式为y=-，联立方程组2y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩得20 x=，240⎛-<⎝⎭，故方程无实数根，故点P不存在．【例4】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为抛物线2y x =上一动点，点A 的坐标为()42，，若点P 使45AOP =︒∠，请求出点P 的坐标．【解析】 方法一：构造外弦图，如图1，过点A 作MN 垂直x 轴于M ，在AN 上取点N ，使得AN OM =，过点N 作NK OM ∥，过点A 作AK AO ⊥，AK 与NK 相交于点K ． 易证AMO KNA △≌△∴4AN OM ==，2NK AM == ∴点K 的坐标为()26，直线OK 的解析式为3y x =联立方程组23y x y x⎧=⎨=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩（舍），39x y =⎧⎨=⎩故点P 的坐标为()39，．方法二：如图2，以AO 为斜边作等腰直角三角形AOK ，再构造弦图，求K 的坐标．2．【存在问题中的角度---构造角度相等或角度和】【例5】已知抛物线22y x x c=-+与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D 点，点A的坐标为()10-，．⑴求D点的坐标；⑵如图1，连接AC，BD，并延长交于点E，求E∠的度数；⑶如图2，已知点()40P-，，点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当PMA E∠=∠时，求点Q的坐标．(2013十堰)x图1图2x【解析】（1）把x=－1，y=0代入22y x x c得1＋2＋c=0，∴c=－3∴222314y x x x∴顶点D的坐标为（1，－4）（2）如图1，连结CD、CB,过D作DF⊥y轴于F点，由2230x x得x1=－1，x2=3，∴B（3,0）．当x=0时，2233y x x．∴C（0,－3），∴OB=OC=3，∵∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，BC=又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，∴∠FCD=45°，CD，∴∠BCD=180°－∠OCB－∠FCD =90°．∴∠BCD =∠COA．11,=33CD OACB OC又图1∴=CD OACB OC，∴△DCB ∽△AOC ，∴∠CBD =∠OCA ． 又∠ACB =∠CBD +∠E =∠OCA +∠OCB ，∴∠E =∠OCB =45°．(3)如图2，设直线PQ 交y 轴于N 点，交BD 于H 点，作DG ⊥x 轴于G 点． ∵∠PMA =45°，∴∠EMH =45°，∴∠MHE =90°， ∴∠PHB =90°，∴∠DBG +∠OPN =90°．又∠ONP +∠OPN =90°，∴∠DBG =∠ONP ，又∠DGB =∠PON =90°，∴△DGB ∽△PON ， ∴2==44BG ON ONDG OP ,即， ∴ON =2，∴N （0，－2）．设直线PQ 的解析式为y =kx +b ， 则由40,2.k b b 解得k =－12，b =－2， ∴122y x ．设Q （m ，n ）且n <0，∴122nm ． 又Q （m ，n ）在223yx x 上，∴223nm m ， ∴212232m m m ，解得1212,2m m ， ∴1273,4n n ， ∴点Q 的坐标为（2，－3）或（－12，－74）.-1y x-4M QGNHEPA CB DO Q目标班训练1. 已知：抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()20A -，、()80B ，，与y 轴交于点()04C -，．直线y x m =+与抛物线交于点D 、E （D 在E 的左侧），与抛物线的对称轴交于点F ．⑴求抛物线的解析式；⑵当2m =时，求DCF ∠的大小；⑶若在直线y x m =+下方的抛物线上存在点P ，使得45DPF ∠=°，且满足条件的点P 只有两个，则m 的值为 ．（第⑶问不要求写解答过程）备用图2备用图1（海淀期末）【解析】 ⑴ 依题意，设抛物线的解析式为()()28y a x x =+-．∵抛物线与y 轴交于点()04C -，，∴()()40208a -=+-．解得14a =．∴抛物线的解析式为()()1284y x x =+-，即213442y x x =--．⑵ 由⑴可得抛物线的对称轴为3x =．∵2m =，∴直线的解析式为2y x =+．∵直线2y x =+与抛物线交于点D 、E ，与抛物线的对称轴交于点F ，∴F 、D 两点的坐标分别为()35F ，，()20D -，．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为M ． 可得 5.CM FM MD ===∴F 、D 、C 三点在以M 为圆心，半径为5的圆上．∴DCF ∠=1452DMF ∠=°．⑶ 54m =-．【点评】 ⑶小问：无论直线y x m =+平移到什么位置，只要与抛物线有两个交点，那么D 点关于对称轴的对称点D '一定满足45FD D '=︒∠，因此要使满足45DPF =︒∠的点P 只有两个．则F 、D 、P 三点确定的圆一定经过抛物线的顶点，即四边形FDPD '是正方形，那么只要求出顶点坐标及D '点坐标即可．训练2. 如图，已知抛物线224323m m x m x m y -+-+-=)()(的顶点A 在双曲线xy 3=上, 直线y =mx +b 经过点A , 与y 轴交于点B , 与x 轴交于点C . ⑴确定直线AB 的解析式;⑵将直线AB 绕点O 顺时针旋转90︒, 与x 轴交于点D , 与y 轴交于点E , 求sin ∠BDE 的值;⑶过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点G , 点M 在直线BG 上, 且到抛物线的对 称轴的距离为6. 设点N 在直线BG 上, 请你直接写出使得∠AMB +∠ANB =45︒的点N 的坐标.（海淀二模）∵点A 在双曲线xy 3=上,∴xy =3.-m 2+5m -3=3.解得 m =2, m =3(不合题意, 舍去). ∴ m =2, A (1, 3).∵直线y =mx +b 经过点A , ∴3=2×1+b . b =1.故直线AB 的解析式为 y =2x +1⑵ 由y =2x +1, 可得B (0, 1), C (21-, 0).将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°, 得点B 的对应点为D (1, 0),点C 的对应点为E (0, 21).可得直线DE 的解析式为2121+-=x y图2E由211122y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 得两直线交点为F (1355-，)可得DE ⊥BC , BD =2, BF =55, ∴ sin ∠BDE =1010=BD BF . N 1(5, 1), N 2(-3, 1).训练3. 如图，已知抛物线211(1)444by x b x =-++y = (b 是实数且b >2)与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．(1)点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 （用含b 的代数式表示）；⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】 (1)点B 的坐标为（b ，0），点C 的坐标为(0,)4b(2)假设存在这样的点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形． 设点P 坐标为（x ,y ），连接OP ， 则S 四边形PCOB =S △PCO +S △POB =112242b x b y b += ∴x +4y =16,过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ． ∴∠PEO =∠EOD =∠ODP =90°， ∴四边形PEOD 是矩形， ∴∠EPD =90°，∵△PCB 是等腰直角三角形， ∴PC=PB ，∠CPB =90°， ∴∠EPC =∠DPB ， ∴△PEC ≌△PDB ，∴PE =PD ，即x =y ,由416x y x y =⎧⎨+=⎩,解得：165165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由△PEC ≌△PDB 得，EC=DB ，即1616545b b -=-， 解得：128225b =>，符合题意，∴P 点坐标为（165 ,165 ）(3)由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A （1,0），OA =1 ①如图3，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ， 那么△OQC ≌△QOA当BA QA QA OA =,即2QA BA OA =时，△BQA ∽△QOA ， 所以2()14b b =-解得8b =±Q为(1,2+②如图4，以OC 为直径的圆与直线x =1交于点Q ，那么90,OQC ∠=︒因此 △OCQ ∽△QOA 当BA QAQA OA=时，△BQA ∽△QOA ，此时90OQB ∠=︒ 所以C 、Q 、B 三点共线，因此BO QACO OA=即14b QA b =，解得QA =4,此时Q （1,4）目标123班训练1. 二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，在二次函数的图象上是否存在点P ，使锐角PCO ACO ∠>∠？若存在，请你求出P 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．【分析】 探索的点必须满足两个条件：①PCO ∠为锐角；②PCO ACO ∠>∠．借助探索问题五的思想方法寻找临界点（PCO ACO ∠=∠）．【解析】 存在点P ，使得锐角PCO ACO ∠>∠．取A 点关于y 轴的对称点D ．连结CD 并延长交抛物线于M过C 作CN x ∥轴交抛物线于N 点．显然当P 点在M 、N 之间或在A 、C 之间的抛物线上时，锐角PCO ACO ∠>∠． ∴A （1-，0），C （0，3-），D （1，0）． ∴直线CD 的解析式为：33y x =-．联立23323y x y x x =-⎧⎨=--⎩得：1103x y =⎧⎨=-⎩或22512x y =⎧⎨=⎩ ∴M 点的横坐标为5．由抛物线的对称性知：C 、N 关于对称轴对称， ∴N 点的横坐标为2．∵当P 点在M 、N 之间或在A 、C 之间的抛物线上时， 锐角PCO ACO ∠>∠． ∴10p x -<<或25p x <<．【点评】 ⑴ 由点及线的问题转化思想．⑵ 本例还可变形为：探索点P ，使PAC △的内心在y 轴左侧？内心在第三象限？训练2. 抛物线213122y x x =-+过点()10A ，，()20B x ，，交y 轴正半轴于点C ，在抛物线上（在B 点的右侧）是否存在一点P ，使得PCB CBA ACB ∠<∠-∠？若存在，求出P 点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】 探索条件是一个不等关系，这样的问题都可仿照探索五的思想方法，寻找临界点（PCB CBA ACB ∠=∠-∠）【解析】 在抛物线上（在B 点的右侧）存在一点P ，使PCB CBA ACB ∠<∠-∠．设CP 交x 轴于点D ，显然，()20B ，，()01C ，， 当PCB CBA ACB ∠=∠-∠时，PCB ACB CBA ∠+∠=∠，∴ACB ADC △∽△，∴2AC AB AD =⋅，∴2AD =，∴()30D ，，∴直线CP ：113y x =-+，由211313122y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，有7239P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．∴当PCB CBA ACB ∠<∠-∠时，723x <<． 【点评】 ①将问题特殊化，利用相似三角形，探讨三个角满足等量关系时点的坐标，在根据函数及图象的性质，得到解答；②第⑵问拓展；在抛物线上（在B 点的右侧）是否存在一点P ，使45PCB ∠=°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．训练3. 如图，平行四边形ABCD 的顶点()120A -，()09B ，，2104C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，抛物线2y ax bx c =++点A 、B ．⑴求点D 的坐标．⑵关于x 的方程221344ax bx c x ++-=个解，求抛物线的解析式．⑶在⑵的条件下，点P 为抛物线2y ax bx c =++一动点（不与A 、B 重合），过点P 作x 交线段CD 于Q ，若45AQD BQC =︒-∠∠【解析】 ⑴ 15124D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．⑵ 把()120A -，，()09B ，代入2y ax bx c =++中得3124b a =+∴23213129444ax a x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭即2151204ax ax ++=∴()212150a a ∆=-=，0a =（舍），2548a =∴2b =，抛物线的解析式为252948y x x =++．⑶ 3-或 5.4-．题型一 存在问题中的全等和相似构造 巩固练习【练习1】 如图，二次函数2162y x =-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，顶点为N ．⑴设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使AQP ABP △≌△？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．⑵若直线AK 交y 轴于点K ，且AOK NOA △∽△，求点K 的坐标.（泰州中考改编）【解析】⑴ 存在．设抛物线顶点为()06N ，，在RtAON △中，易得AN =，于是以A 点为圆心， AB =x 上方一定有交点()1Q N 、2Q ，如图1，连接1AQ ，再作1Q AB ∠平分线1AP 交抛物线于1P ，连接1BP 、11PQ ，此时由“边角边”易得111AQ P ABP △≌△． （或连接2AQ ，再作2Q AB ∠平分线2AP 交抛物线于2P ，连接2BP 、22P Q ，此时由“边角边”易得222AQ P ABP △≌△） ⑵∵AOK NOA △∽△∴AO OKNO OA ==2OK = 故点K 的坐标为()02，或)02-，.题型二 存在问题中的角度 巩固练习【练习2】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为抛物线2y x =上一动点，点A 的坐标为()10，.⑴若点P 使得60POA ∠=︒，求出点P 的坐标；⑵若点P 使得直线AP 与x 轴正方向的夹角最小，请求出点P 的坐标．【解析】 ⑴ 设点P 的坐标为()2x x ，，如图1，过点P 作PH x⊥轴于点H ,2tan PH x POH OH x ∠==∴x =P 的坐标为)3.⑵ 如图2，直线PA 经过点()10，， 设PA 的解析式为y kx k =-．联立方程组2y x y kx k ⎧=⎨=-⎩，当PAx ∠最小时，方程2x kx k =-有唯一解， ()240k k ∆=--=，0k =（舍），4k =，故直线PA 的解析式为44y x =-． 点P 的坐标为()24，．。

2024-2025学年初中数学九年级上册(人教版)同步学案第05讲二次函数压轴专题训练(原卷版)

2024-2025学年初中数学九年级上册(人教版)同步学案第05讲二次函数压轴专题训练(原卷版)

第05讲 二次函数压轴专题知识点01 二次函数的图像与系数的关系1. a 与开口方向的关系。

2. 对称轴与b a ，的关系；对称轴在y 轴左边或右边与b a ，的符号的关系；对称轴与±1的关系可得02与b a +以及02与b a -的关系。

3. 函数与y 轴交点坐标与c 的关系。

4. 函数与x 轴的交点个数与ac b 42-的关系。

5. c b a ++是自变量为 的函数值，c b a +-是自变量为 的函数值。

c b a ++24是自变量为 的函数值，c b a +-24是自变量为 的函数值。

c b a ++39是自变量为 的函数值，c b a +-39是自变量为 的函数值。

【即学即练1】1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc ＜0；②3a +c ＞0；③4a +2b +c ＞0；④2a +b ＝0；⑤b 2＞4ac ．其中正确的结论的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【即学即练2】2．如图，根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象得到如下结论：①abc ＞0 ②2a ﹣b ＝0 ③a +b +c ＝0 ④3a +c ＜0 ⑤当x ＞﹣2时，y 随x 的增大而增大 ⑥一定存在实数x 0，使得ax +bx 0＞a ﹣b 成立．上述结论，正确的是（ ）A ．①②⑤B ．②③④C ．②③⑥D ．③④⑤【即学即练3】3．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①abc ＞0；②2a ﹣b +c ＜0；③4a +2b +c ＝0；④2a ﹣b ＝0；⑤．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练4】4．某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（）①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③；④8a+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个知识点02 二次函数的最值问题1.求线段最值问题：2.求图形的面积最值问题：将线段的最值与面积的最值统统转化为二次函数的最值求解。

九年级数学第4讲.第二轮复习之函数图象上点的存在性问题中的距离、面积与角度.尖子班.学生版

九年级数学第4讲.第二轮复习之函数图象上点的存在性问题中的距离、面积与角度.尖子班.学生版

`中考说明：从07到13年我们发现各区模拟和中考中有很多考题通过距离来限制动点的位置．比如寻找等腰三角形的顶点等等． 一、线段定值问题：初中知识涉及点到点的距离，点到线的距离，平行线的距离，距离问题可分为以下几类： ① 动点P 到定点O 的距离等于定长d ，其实就是作圆（如图1）． ② 动点P 到定直线l 的距离等于定长d ，其实就是作平行线（如图2）． ③ 动点P 到两定平行直线的距离倍差，其实是作平行线（图略）． ④ 动点到两相交直线的距离相等，其实就是作角平分线．（如图3）⑤ 动点到三角形三边的距离相等，其实就是三角形的内切圆圆心和旁切圆圆心（如图4）．Pd O 图1图2P 2P 1ld d图3角平分线角平分线角平分线 角平分线图4I 3I 2I 1I二、线段最值问题： 题型一： 已知AB a =，AC b =，其中a b <，求BC 的最值．如图，以点A 为圆心，线段AB 为半径作圆， A ⊙交直线AC 于点1B 、2B ，当点B 与点1B 重合时，BC 取到最大值为a b +；当点B 和点2B 重合时，BC 取到最小值为b a -．点评：首尾相连线段求最值，其实就是旋转共线，不重则大，重叠则小．题型二： 4第二轮复习之函数图像上点的存在性问题 中的距离、面积与角度题型一：存在问题中的距离B 1B 2CB A B在直线l 上找一点P ，使得其到直线同侧两点A B 、的距离之和最小，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，与l 的交点即为P 点．题型三： 直线12l l 、交于O ，P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点A B 、，使得PAB △的周长最短．如图所示，作P 点关于12l l 、的对称点12P P 、，连接12P P ，与12l l 、分别交于A B 、两点，即为所求．题型四：直线12l l 、交于O ，A B 、是两直线间的两点，从点A 出发，先到1l 上一点P ，再从P 点到2l 上一点Q ，再回到B 点，求作P Q 、两点，使AP PQ QB ++最小．如图所示，作A B 、两点分别关于直线12l l 、的对称点A B ′′、，连接A B ′′分别交12l l 、于P Q 、，即为所求． 点评：同侧定点问题通过轴对称转化成异侧定点，才能和直线相交．题型五：从A 点出发，先到直线l 上的一点P ，再在l 上移动一段固定的距离PQ ，再到点B ，求作P 点使移动的距离最短，如图所示．先将A 点向右平移到A ′点，使AA ′等于PQ 的长，作点B 关于l 的对称点B ′，连接A B ′′，与直线l 的交点即为Q 点，将Q 点向左平移线段PQ 的长，即得到P 点．题型六：A B 、是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥，使得从A 村庄经过桥到B 村庄所走的路程最短．如图所示，将点A 向垂直于河岸的方向向下平移距离d ，到A ′点，连接A B ′交河岸于Q 点，过Q 点作PQ 垂直于河岸，交河岸的另一端为P ，即为所求． 点评：若有定长，则按着定长的方向平移掉定长．题型七：垂线段最短．AB ≥AM+BNNBMA斜边大于直角边C B A垂线段最短Ol 1l 2QPB'A'B AOBA P 2P 1P l 2l1B'A'QPBAl典题精练【例1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线223A，两点．P，(02)=++经过(35)y mx mx n⑴求此抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；⑶在⑵的条件下，求到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标．【例2】 已知抛物线21y ax bx =++经过点()13A ，和点()21B ，．⑴求此抛物线解析式；⑵点C 、D 分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值； ⑶过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE试确定点F 的位置，使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明）y x331221O 1FGy xE H D 1OCBA中考说明：经过分析统计近三年北京模拟题和外地中考题，发现二次函数综合题中涉及面积的题目所占比例极大，其原因大致有两点：一是面积可以通过底和高来限制线段，二是特殊图形面积计算也是中考的考查点．【例3】 抛物线223y x x =--+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），与y 轴交于点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．典题精练题型二：存在问题中的面积【例4】 如图，已知抛物线212y x bx c =++（b ，c 是常数，且0c <）与x 轴分别交于点A ，B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(10)-，． ⑴ b ＝ ，点B 的横坐标为 （上述结果均用含c 的代数式表示）；⑵ 连接BC ，过点A 作直线AE BC ∥，与抛物线212y x bx c =++交于点E ．点D 是x轴上一点，其坐标为()20，，当C ，D ，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；⑶ 在⑵的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连接PB ，PC ，设所得△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为整数，则这样的△PBC 共有 个．O D C B A y x1.【存在问题中的角度---特殊角】中考说明：单个特殊角θ一般指30︒、45︒、60︒等，初中阶段主要考察如何利用特殊角度去构造特殊三角形，从而解决相关问题；初高中衔接知识是特殊直线tan y x m θ=⋅+与抛物线()20y ax bx c a =++≠的交点.【例5】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为抛物线2y x =上一动点，点A 的坐标为()42，，若点P 使45AOP =︒∠，请求出点P 的坐标．典题精练构造特殊三角形特殊角度45°30°题型三：存在问题中的角度AxO y2．【存在问题中的角度---构造角度相等或角度和】【例6】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点． ⑴求直线BC 及抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；⑶连接CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数．题型一 存在问题中的距离 巩固练习【练习1】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过()20A ，、()40B ，两点，直线122y x =+交y 轴于点C ，且过点(8)D m ，． ⑴求抛物线的解析式；⑵在x 轴上找一点P ，使CP DP +的值最小，求出点P 的坐标；⑶将抛物线2y x bx c =++左右平移，记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，当四边形A B DC ''的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A B DC ''周长的最小值．题型二 存在问题中的面积 巩固练习【练习2】 如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点()33A ，，把直线OA 向下平移后， 与反比例函数的图象交于点()6B m ，，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点. 复习巩固⑴求m 的值；⑵求过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；⑶若点E 是抛物线上的一个动点，是否存在点E ，使凸四边形OECD 的面积1S 是四边形OACD 面积S 的23?若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．题型三 存在问题中的角度 巩固练习【练习3】 如图，点P 是直线l ：22y x =--上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2y x =于A 、B两点．⑴ 若直线m 的解析式为1322y x =-+，求A ，B 两点的坐标；⑵ ① 若点P 的坐标为()2t -，．当PA AB =时，请直接写出点A 的坐标；② 试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上能找到点A ，使得PA AB =成立．⑶ 设直线l 交y 轴于点C ，若AOB △的外心在边AB 上，且BPC OCP ∠=∠，求点P 的 坐标．ml yxOB APO xylm第十八种品格：坚持铁杵成针相传唐代大诗人李白在小的时候很贪玩，不爱读书，也不求上进。