自然科学可逆矩阵

可逆矩阵教案第一篇：可逆矩阵教案§1.4 可逆矩阵★ 教学内容：1.2.3.4.★ 教学课时：100分钟/2课时。

★ 教学目的：通过本节的学习，使学生1.理解可逆矩阵的概念；2.掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；3.熟悉可逆矩阵的有关性质。

★ 教学重点和难点：本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。

可逆矩阵的概念；可逆矩阵的判定；利用转置伴随矩阵求矩阵的逆；可逆矩阵的性质。

★ 教学设计：一可逆矩阵的概念。

1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。

2.定义1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB=BA=E则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，或A的逆，记为A。

3.可逆矩阵的例子：（1）例1 单位矩阵是可逆矩阵；（2）例2 A=-1⎛10⎫⎛10⎫，B=⎪⎪，则A可逆；11-11⎝⎭⎝⎭⎛100⎫⎪（3）例3 对角矩阵A=020⎪可逆；003⎪⎝⎭⎛111⎫⎛1-10⎫⎪⎪（4）例4 A=011⎪，B=01-1⎪，则A可逆。

001⎪001⎪⎝⎭⎝⎭4.可逆矩阵的特点：（1）可逆矩阵A都是方阵；（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A和A是同阶方阵；-1（3）可逆矩阵A的逆A也是可逆矩阵，并且A和A互为逆矩阵；（4）若A、B为方阵，则AB=E⇒A=B。

二可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆1.方阵不可逆的例子：-1-1-1⎛11⎫例5 A=⎪不可逆；00⎝⎭例6 A=⎛12⎫⎪不可逆；⎝24⎭2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法：（1）说明利用定义判定及求逆的方法，（2）说明这种方法的缺陷； 3.转置伴随矩阵求逆（1）引入转置伴随矩阵1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论ai1As1+ai2As2+⎧D,i=s(i=1,2,n,，)+ainAsn=⎨0,i≠s⎩⎧D,j=t(j=1,2,+anjAnt=⎨⎩0,j≠tA21A2 2A2nAn1⎫⎛A⎪An2⎪0=⎪⎪Ann⎭⎝00A0,n)； a1jA1t+a2jA2t+ 2）写成矩阵乘法的形式有：⎛a11 a21 ⎝an1a12a22an2a1n⎫⎛A11⎪a2n⎪A12⎪⎪ann⎭⎝A1n 0⎫⎪0⎪=AE ⎪⎪A⎪⎭3）定义1.4.2（转置伴随矩阵）设Aij式是A=(aij)n⨯n的行列式中aij的代数余子式，则⎛A11 A*A=12 ⎝A1n称为A的转置伴随矩阵。

可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义1. 定义阐述- 设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB = BA=E（E为n阶单位矩阵），则称矩阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，记作B = A^-1。

例如，对于二阶矩阵A=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}，若ad - bc≠0，则A可逆，其逆矩阵A^-1=(1)/(ad - bc)begin{pmatrix}d& - b-c&aend{pmatrix}。

2. 可逆矩阵的唯一性- 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。

假设B和C都是A的逆矩阵，那么AB = BA = E且AC=CA = E。

由B = BE=B(AC)=(BA)C = EC = C，可证得逆矩阵的唯一性。

二、可逆矩阵的性质1. 基本性质- 若A可逆，则A^-1也可逆，且(A^-1)^-1=A。

因为A与A^-1满足AA^-1=A^-1A = E，所以A^-1的逆矩阵就是A。

- 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1。

证明如下：(AB)(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E，同理(B^-1A^-1)(AB)=E。

- 若A可逆，k≠0为常数，则kA可逆，且(kA)^-1=(1)/(k)A^-1。

因为(kA)((1)/(k)A^-1)=k×(1)/(k)(AA^-1) = E，同理((1)/(k)A^-1)(kA)=E。

2. 与行列式的关系- 矩阵A可逆的充要条件是| A|≠0。

当| A| = 0时，称A为奇异矩阵；当| A|≠0时，称A为非奇异矩阵。

例如，对于三阶矩阵A=begin{pmatrix}1&2&34&5&67&8&9end{pmatrix}，计算其行列式| A|=0，所以A不可逆；而对于矩阵B=begin{pmatrix}1&0&00&2&00&0&3end{pmatrix}，| B| = 6≠0，则B可逆。

可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义可逆矩阵是指一个方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，那么我们称A是可逆的，B就是A的逆矩阵，记作A^-1。

换句话说，如果一个n阶方阵A的行列式det(A)不等于零，则该矩阵A是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I。

我们知道，单位矩阵I是一个对角线上元素均为1，其余元素均为0的n阶方阵。

二、可逆矩阵的性质1. 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的在可逆矩阵中，如果存在逆矩阵B，那么逆矩阵是唯一的。

这是因为假设还有一个逆矩阵B'也满足AB'=B'A=I，那么可以证明B=B'。

这个性质在证明逆矩阵的存在时非常重要。

2. 可逆矩阵的转置矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的转置矩阵A^T也是可逆的，并且(A^T)^-1 = (A^-1)^T。

3. 可逆矩阵的逆矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1也是可逆的，而且(A^-1)^-1=A。

4. 可逆矩阵的乘积是可逆的如果两个矩阵A和B都是可逆的，那么它们的乘积AB也是可逆的，且(AB)^-1=B^-1A^-1。

5. 可逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵还是它本身如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1的逆矩阵还是它本身，即(A^-1)^-1=A。

6. 可逆矩阵的乘法满足结合律如果三个矩阵A、B、C都是可逆的，那么它们的乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC)。

三、可逆矩阵的判定定理在求解一个矩阵是否可逆时，我们需要有一个判定的定理，这就是可逆矩阵的判定定理。

1. 矩阵可逆的判定公式对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，即det(A)≠0，则矩阵A可逆。

这是最基本的判定定理，也是我们最常用的方法。

2. 矩阵可逆的充分必要条件对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，则矩阵A可逆。

反之，如果一个n阶方阵A可逆，则其行列式也不等于0。

3. 矩阵可逆的另一种判定法对于一个n阶方阵A，如果它的秩等于n，则矩阵A可逆。