高中数学第一章1.4.2正玄函数余弦函数的性质(一)课件新人教A必修4

上的函数
f
(x) 满足
f
x
f
x 2
，且
f
1 2
1 ，则
f
10.5
（
）
A．-1
B．-0.5
C．0.5
D．1
3．设函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x 1) f (x) ，且当 x (0,1] 时 f (x) x(x 1) .
则当 x (2, 1] ， f (x) 的最小值是（ ）
（
）
A． 7
B．1
C． 0
D． 1
6．已知奇函数 f (x) 满足 f (x 2) f (x)，且当 x 0,1 时，
f
x
log2
x
，则
f
7 2
的值为_______
常见函数性质隐藏了周期性
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),
(2)若f(x+a)= 1 ,.
变式2：求函数y sin( 1 x )的单调增区间
23
练习：（1）y cos(2x ) （2）y cos(-3x )
3
6
类型四：周期、奇偶性
1.下列函数中周期是 ，且为偶函数的是（）
2
A.y sin 4x
B.y cos 1 x 4
C.y sin(4x )
2
D.y cos(1 x )
）
A．
x
π 6
B． x 0
C．
x
π 6
D．
x
π 2
2．设函数
y
sin( x
π 6
)(0
5)
图像的一条对称轴方程为
x

3．会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
正弦函数、余弦函数的图象和性质
温馨提示：(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定 义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单 调．
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线) 的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．
(2)∵sin194°＝sin(90°＋104°)＝cos104°， 而 0°<104°<160°<180°， 且 y＝cosx 在[0，π]上单调递减． ∴cos104°>cos160°.即 sin194°>cos160°.

题型三 正、余弦函数的最值
【典例 3】 (1)求函数 y＝3－4cos2x＋π3，x∈－3π，π6的最 大值、最小值及相应的 x 值．
即函数 y＝2sin4π－x的单调递增区间为 2kπ＋34π，2kπ＋74π，k∈Z. 令 2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋2π，k∈Z. 即 2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π，k∈Z. 即函数 y＝2sin4π－x的单调递减区间为 2kπ－π4，2kπ＋34π，k∈Z.
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间 时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”， 即通过求 y＝Asinz 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如 y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上． (3)①ω<0 时，一般用诱导公式转化为－ω>0 后求解； ②若 A<0，则单调性相反．

2
• O
2
1
•
2
3• 2
2
5• 3
2
x
对称轴： x ,0, , 2
x k ,k Z
对称中心： ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)
22 2
2
( k ,0) k Z
2
六、正弦、余弦函数的对称性
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=sinx的图象对称轴为：
y sin x(x R)
2
2
5
3
4k ,
3
4k
17
3
,
11
3
√
5
3
,
3
7
3
,
11
3
强化练习：
(1) sin(
18
) 与 sin(
10
)
解：
2 10 18 2
又 y=sinx
在
[
,
]
上是增函数
22
π
π
sin( ) sin( )
18
10
（2）.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、
2
3
4
5 6 x
y=sinx的图象对称中心为： 任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；
对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
y=cosx的图象对称轴为：
y=cosx的图象对称中y 心为：
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cosx(x R)
例3：下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、

讲授新课
y
1
y＝sinx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
y
1
y＝cosx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
对称轴
y=sinx的对称轴为
x
k
,
k
Z.
y=cosx的对称轴为 x k , k2 Z.
讲授新课
y
1
y＝sinx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
y
1
y＝cosx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
对称中心
正弦函数是周期函数，2kπ
(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最 小正周期是2π.
那余弦函数呢？
讲授新课
问题：
(3) 对于函数y sin x, x R有
sin( 2 ) sin ,
63
6
能否说 2 是它的周期?
3
讲授新课
例1. 求下列三角函数的周期： (1) y 3cos x; (2) y sin 2x;
讲授新课
正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图象，
说出函数图象有怎样的对称性？其特点
是什么？
y
1
y＝sinx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
y
1
y＝cosx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
讲授新课
正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
6 4 2 sin( x) sin x
y
o 2 3 4

小结：
一、正弦函数、余弦函数的性质
定义域、值域、周期性
二、周期函数的相关概念
1.周期函数的定义： 2.最小正周期： 3.对周期函数的理解：
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
3.对周期函数的理解：
× ×
× ×
④不是每个周期函数都有最小正周期的，如常数函数.
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】 高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】 高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
练习
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课 周期性
复习回顾 高中数学【人教A版必修】4第一章1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件【精品】
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 பைடு நூலகம்的性 质课件 【精品 】
一、性质 高中数学【人教A版必修】4第一章1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件【精品】

练一练
练习 2、函数 y＝3sin(π3－2x)在什么区间是减函数？ [解析]令 u＝π3－2x，则 u 是 x 的减函数． ∵y＝sinu 在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上为增函数， ∴原函数 y＝3sin(π3－2x)在区间[－2π＋2kπ，2π＋2kπ](k∈Z)上递减， ∴－π2＋2kπ≤3π－2x≤π2＋2kπ， 即－1π2＋kπ≤x≤152π＋kπ(k∈Z)．
[分析] (1)先将异名三角函数化为同名三角函数，并且利用诱导 公式化到同一单调区间上．(2)先比较 sin38π与 cos38π的大小，然后利用 正弦函数单调性求解．
练一练
[解析] (1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°， cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°， 从而－sin14°>－sin70°，即 sin194°>cos160°. (2)∵cos38π＝sinπ8，∴0<cos38π<sin38π<1. 而 y＝sinx 在(0,1)内递增， ∴sincos38π<sinsin38π.
作业布置
[分析] (1)将2x看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2) 把sinx看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．
典例精析
[解析] (1)∵－1≤cos2x≤1，∴－2≤－2cos2x≤2. ∴1≤3－2cos2x≤5，即1≤y≤5. ∴函数y＝3－2cos2x，x∈R的值域为[1,5]． (2)y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2. ∵－1≤sinx≤1，∴函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为[－4,0]．

此时x＝2kπ－

，k∈Z.
[0,2]
4．若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是________．
因为－1≤cos x≤1
要使cos x＝m－1有意义，须有－1≤m－1≤1，
所以0≤m≤2.
新知探究
[－1,1]
[－1,1]
思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，
n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，
你能确定m的最小值、n的最大值吗？
提示：由正弦函数和余弦函数的单调


性可知m＝ ，n＝π.
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
[例1]
正弦函数、余弦函数的单调性
(1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则
a的取值范围是________．
思路点拨
确定a的范围 → y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数 → y＝
5
4
23
−
5
＜cos
＝cos
π
.
4
x在[0，π]上是减函数，
，
17
−
4
π
)
4
.
三角函数值大小比较的策略
解
题
策
略
1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转
化到

− ,
2 2
或
3
,
2 2
内；对于余弦函数来说，一般将两个
角转化到[－π，0]或[0，π]内.
2不同名的函数化为同名的函数.
所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．
[例3]
(2)已知函数f(x)＝asin

18 10
(2)cos2(3)和 cos1(7).
5
4
典型例题
例4.观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足
下列条件的区间：
(1)sinx>0
(2)sinx<0
(1)今天是星期一，则过了七天是星期几？ 过了十四天呢？……
(2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点 运动的规律如何呢？
讲授新课 观察正(余)弦函数的图象
自变量
x
2
3 2
2
02
函数值
s inx 0 1 0 1 0 1
3 2
2
0 1 0
y
1
4 2 o
1
y＝sinx 2 4 x
讲授新课 正弦函数的性质1——周期性
y
1
6 4 2 o 2 4
1
x 6
讲授新课
正弦、余弦函数的性质3——单调性
y
y=sinx,x∈R
1
7 5 3
3
5
7
2
2
2
2
2
2
2
2
4 3 2
o 2 3 4
x
-1
增区间为 [[22, 22k],22k]，其值从-1增至1； 减区间为 [[, 23k] ,32k]，其值从1减至-1。
22 2 2
(kZ)
讲授新课 正弦、余弦函数的性质3——单调性
y
y=sinx,x∈R
1
7 5 3
3
5
7
2
2
2
2
2
2
2
2
4 3 2
o 2 3 4
x
-1
当且仅当x=
2k(kZ)

解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2

(1)y cos x 1, x R;
(2)y 3sin 2x, x R.
解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由 2x t 2k 2
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R 取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
y= sinx，x[0, 2] 和 y= cosx，x[ , 3 ]的简图：
22
x
0 2
20
csoinsxx 10
01
3
2
2
232
-01
0-1
10
y 2
向左平移 个单位长度 2
1
o
2
-1
3
2
2
y=
cosx，x[
2
,
3 ]
2
y=sinx，x[0, 2]
2
x
新课讲授
下面我们研究正弦函数、余弦函数的主要性质：
同理，使函数y 3sin 2x, x R 取最小值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
函数 y 3sin 2x, x R取最大值是3，最小值是-3。
练习： P40 1、2、3 作业： P46 习题2、 5
1.4.2 正弦函数、余弦函数的 性质（二）
复习
正弦曲线：y sin x x R y
例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2x, x R.
解： 这两个函数都有最大值、最小值.
（1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的x的集合，就是 使函数y cos x, x R 取得最大值的x的集合