复合材料力学第六章细观力学基础精品PPT课件

二、复合材料的应力、应变及有效模量
（复合材料）
（均匀等效体）
按体积平均，定义复合材料的应力、应变为：
平均应力 平均应变
ij
1 v
v
0 ijdv
i
j
1 v
v
0 ijdv
则等效体的本构方程（即应力-应变关系）为：
C*
ij
ijkl kl
C* ijkl
定义为复合材料的有效模量（或宏观模量，总体模量）
a）复合圆柱族模型
b）求 E 1 和 21
c）求 K 23
d）求 G 12
可在复合圆柱模型上施加不同的均匀应力边界条件，利用 弹性力学方法进行求解而得到有效模量，结果为：
1、
E1 EfVf
EmVm4VVmfVm(Vvff
vm)2 1
Kf Km Gm
2、
21fVf
E1EfVf EmVm
21fVf mVm
M 1Vf Mm 1Vf
（M表示
E2,G12或23） *
其中：
M f 1 Mm
M f Mm
：纤维增强效果的一种度量参数，依赖于
相几何和载荷条件。
对圆截面纤维，方形排列，中等 V f 值时，
E2 2
对矩形（a b）截面纤维，
G12 1
E2
2a, b
loG g 121.7l3ob ag
另外，*式还可以用于沿直线排列的短纤维增强单层的纵向和
横向有效模量的计算：
计算E1时，取：
E1
2
a b
计算E2时，取：
E2 2
二、短纤维复合材料
（一）单向短纤维复合材料
只讨论纵向和横向模量（ EL , ET ）。
1、修正复合法则（修正混合定律）
其中
E L L E f V f EmVm
第六章 复合材料细观力学基础
§6-1 有效模量理论
一、有效模量理论
1、宏观均匀、代表性体积单元
复合材料中的增强体的几何 分布可以是规则的（如图）， 也可以是不规则的。
总体来看，复合材料是宏观均匀的，因此研究其某些性 能时，只须取其一代表性体积单元（representative volume element）来研究即可代表总体，见图。
L m
1
2
l d
LV
f
1 LV f
E
T
1 2 T V f
E m 1 T V f
此时，对L取：
2l d
Ef 1
Ef 1
L
Em Ef 2
l
;
T
Em Ef 2
Em d
Em
对T取： 2
上式表明 E T
与纤维长比 l 无关，可见单向短纤维 d
复合材料的横向模量与连续纤维复合材料的相同。
（二）随机分布短纤维复合材料
三、有效模量理论
1、边界条件：（不能随意！）
①均匀应变边界条件：
ui(s) i0jxj
②均匀应力边界条件：
Ti (s) i0jnj
2、可证明的两个特性： ①在给定均匀应变边界下，有： ②在给定均匀应力边界下，有：
ij
0 ij
ij
0 ij
证明可见《复合材料力学》（周履等）P223。
3、有效模量理论
L
1
tanh( l ) 2
l
2
L 表示纤维长度有效因子。
1
2
2G m
E
f
r
2 f
ln(
R rf
)
其中 G m 为基体剪切模量，r f 为纤维半经，R为纤维间距， l为纤维长度，R与纤维的排列方式和 V f 有关。
ET（短） ET(长)
2、Halpin-Tsai方程
E E
21fVf mVm
（三）纵横（面内）剪切模量
G 12
在剪应力作用下，RVE的剪应变有如下 关系：
12fVf mVm
以 12G 1122,f G ff ,mG m m 代入上式，
并假设有 12f m ，可得：
1 Vf Vm G12 Gf Gm
（倒数混合律）
（四）横向有效模量
E2
设 2m2f2
而由平均值关系有：
2fVf mVm
2 E 22 ,m 2 E m 2m 2 ,f2 E f2f2
1 Vf Vm （倒数混合律） E2 Ef 2 Em
可通过 G 12 和 E 2 的计算公式可反算
E f2 。
G f 12 和
（五）Halpin-Tsai方程
单向纤维增强的单层的五个有效模量分别由下式计算：
vf
ijdvvvmv1m
vm ijdv
(f)Vf (m)Vm
所以有 1fVf mVm
而
1 E 11 , f E f f,m E m m
利用
1 f m
E1EfVf Em Vm
称为纵向有效模量的混合律。
（二）纵向泊松比
21
RVE的纵向应变关系式：
2 f2Vf m2Vm
两边同时除以 1 ，可得：
1、修正混合律：
E Ra nC d oo L E m fV f E m ( 1 V f)
C o 即为位向因子，在0.375~0.5之间，材料
为面内各向同性。 2、基于Halpin-Tsai的经验公式：
ERandom83EL85ET
§6-3 有效模量的其他力学模型解
一、复合圆柱模型
a/bconstVf
1）给定均匀应变边界条件
ui(s) i0jxj
ij
1 v
vijdvi0j
而
ij
1 v
v
0 ijdv
ij Ci*jkl kl
其中
C* ijkl
为复合材料的有效模量。
其应变能为：
U1 2v
ij ijdv1 2Ci*jkilj
kvl
2）给定均匀应力边界条件
Ti (s) i0jnj
ij
1 v
则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹性模量才能通过 体积平均应力、应变进行计算；或按应变能计算。
§6-2 有效模量的材料力学半经验解法
一、长纤维复合材料
（一）纵向有效模量
E1
采用平面假设，在P力作用下，对RVE有：
1 f
m
l l
（下标f、m表示纤维和基体）
ij1 vvijdvvvf
1 vf
0vijdvi0j
而
ij
1 v
v
0 ijdv
则由 ij Ci*jkl kl ，只需求得
C* ijkl
ij ，即可求得
此时，复合材料的应变能也为：
U1 2v
ij ijdv1 2Ci*jkilj
kvl
3）有效模量的严格理论解 只有按上述两种均匀边界条件算得的有效弹性模量一致，
并可由RVE的解向邻近单元连续拓展到整体时，所得的有效 弹性模量才是严格的理论解。
RVE的要求： 1 、 RVE 的 尺 寸 << 整 体 尺 寸 ， 则宏观可看成一点；
2、RVE的尺寸>纤维直径；
3、RVE的纤维体积分数=复合材料的纤维体积分数。
纤维体积分数：
Vf
vf v
v f —纤维总体积；
v —复合材料体积

注意：
只有当所讨论问题的最小尺寸远大于代表性体积单元时，
复合材料的应力应变等才有意义。