导数的应用习题课

第2课时导数及其应用课后训练巩固提升1.若函数f(x)=α2-cos x,则f'(α)等于( ).A.sin αB.cos αC.2α+sin αD.2α-sin α2.函数y=f(x)的导函数y'=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( ).(第2题)y'=f'(x)的图象与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1,x2,x3(其中x1<0<x2<x3),由导函数y'=f'(x)的图象易得当x∈(-∞,x1)∪(x2,x3)时,f'(x)<0;当x∈(x1,x2)∪(x3,+∞)时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,x1),(x2,x3)上单调递减,在(x1,x2),(x3,+∞)上单调递增,观察各选项,只有D选项符合.3.已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=1,f'(x)>1,则f(x)>x的解集是( ).A.(0,1)B.(-1,0)∪(0,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)f(x)>x可化为f(x)-x>0.设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1,由题意知g'(x)=f'(x)-1>0,∴函数g(x)在R上单调递增.又g(1)=f(1)-1=0,∴g(x)>g(1),即f(x)-x>0的解集为(1,+∞).故选C.4.经过点(2,0)且与曲线y=1x相切的直线方程为 .解析:设切点坐标为x 0,1x 0,x 0≠0,则1x 0x 0-2=-1x 02,解得x 0=1,所以切点为(1,1),斜率为-1.故直线方程为x+y-2=0.5.若函数f(x)=ax 2-1x在区间(0,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 . 解析:f'(x)=ax-1x'=a+1x2,由题意得,a+1x2≥0对x ∈(0,+∞)恒成立,即a≥-1x2对x ∈(0,+∞)恒成立,所以a≥0.6.某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒,其表面积为定值S.若罐头盒的底面半径为r,则罐头盒的体积V 与r 的函数关系式为 ;当r= 时,罐头盒的体积最大.解析:由题意得,罐头盒的高h=S -2πr 22πr,则V=πr 2·S -2πr 22πr=12Sr-πr 30<r<√2πS 2π.V'=12S-3πr 2. 令V'=0,得r=√6πS6π,令V'>0,得0<r<√6πS6π,令V'<0,得√6πS 6π<r<√2πS2π,所以函数V=12Sr-πr 3在区间0,√6πS 6π上单调递增,在区间√6πS 6π,√2πS2π上单调递减. 故当r=√6πS6π时,V 最大.答案:V=12Sr-πr 30<r<√2πS 2π√6πS6π7.求下列函数的导数: (1)y=sin x-x+1; (2)y=-2e x ·x 3; (3)y=lnx x+1-2x .(2)y'=(-2e x ·x 3)'=(-2e x )'·x 3+(-2e x )·(x 3)'=-2e x x 3-6x 2e x . (3)y'=lnx x+1-2x '=lnx x+1'-(2x )'= 1x(x+1)-lnx (x+1)2-2xln2=1x−1x+1−lnx (x+1)2-2x ln2.8.设函数f(x)=aln x+12x+32x+1,其中a ∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y 轴. (1)求a 的值;(2)求函数f(x)的极值.因为f(x)=alnx+12x+32x+1,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax −12x2+32.由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线的斜率为0,则f'(1)=a-12+32=0,解得a=-1.(2)由(1)知f(x)=-lnx+12x +32x+1(x>0),f'(x)=-1x−12x2+32=3x2-2x-12x2=(3x+1)(x-1)2x2.令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-13(舍去).当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,无极大值.1.已知函数f(x)=xln x,若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于( ).A.1B.2C.±1D.ef(x)=xlnx,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+1,于是有x0lnx0+lnx0+1=1,解得x0=1或x0=-1(舍去),故选A.2.设函数f(x)=12x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( ).A.(1,2]B.[4,+∞)C.(-∞,2]D.(0,3]f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=x-9x.又x>0,由f'(x)=x-9x≤0,得0<x≤3.因为函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减,所以{a-1>0,a+1≤3,解得1<a≤2.3.函数f(x)=xe x的图象为( ).f(x)=xe x ,所以f'(x)=1-xe x.当x<1时,f'(x)>0,函数f(x)=xe x在区间(-∞,1)上单调递增;当x>1时,f'(x)<0,函数f(x)=xe x在区间(1,+∞)上单调递减,只有选项A 中图象符合,故选A.4.若函数f(x)在区间(0,+∞)上可导,且满足f(x)>-xf'(x),则一定有( ). A.函数F(x)=f (x )x 在区间(0,+∞)上单调递增 B.函数F(x)=f (x )x 在区间(0,+∞)上单调递减C.函数G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)上单调递增D.函数G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)上单调递减则x>0时,G'(x)=xf'(x)+f(x)>0,故G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故选C.5.已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1,x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,则a 的取值范围为( ). A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e]D.[1,e]时,f(x)=x 2-2ax+2a≥0恒成立,且f(in =f(a)=2a-a 2≥0,解得0≤a<1. 综上,a≥0.当x>1时,由f(x)=x-alnx≥0恒成立,即a≤xlnx恒成立.设g(x)=xlnx,则g'(x)=lnx -1(lnx )2.令g'(x)=0,得x=e,且当1<x<e时,g'(x)<0,当x>e时,g'(in=g(e)=e,故a≤e.综上,a的取值范围是[0,e].6.已知函数y=f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示,记k1=f'(1),k2=f'(2),k3=f(2)-f(1),则k1,k2,k3之间的大小关系为.(请用“>”连接)(第6题)k1=f'(1)与k2=f'(2)分别表示曲线在点A与点B处的切线的斜率,而k3=f(2)-f(1)=f(2)-f(1)表示直线AB的斜率,结合2-1图象知k1>k3>k2.>k21>k37.设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.试用t表示实数a,b,c.f(x),g(x)的图象都过点(t,0),所以f(t)=0,即t3+at=0.因为t≠0,所以a=-t2.由g(t)=0,得bt2+c=0,即c=ab.又因为函数f(x),g(x)的图象在点(t,0)处有相同的切线,所以f'(t)=g'(t).而f'(x)=3x2+a,g'(x)=2bx,所以3t2+a=2bt.将a=-t2代入上式得b=t,从而c=ab=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3.8.设函数f(x)=ln x-a(x-1)e x,其中a∈R.(1)若a≤0,讨论f(x)的单调性;(2)若0<a<1e,求证:f(x)恰有两个零点.f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=1x -[ae x+a(x-1)e x]=1-ax2e xx.因为当a≤0时,1-ax2e x>0,从而f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.(1)知,f'(x)=1-ax 2e xx. 设g(x)=1-ax2e x(x>0).因为g'(x)=-axe x(2+x),且0<a<1e,所以g'(x)<0,从而函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递减.又g(1)=1-ae>0,且ln1a >1,g ln1a=1-a ln1a21a=1-ln1a2<0,所以方程g(x)=0在区间(0,+∞)上有唯一解,从而f'(x)=0在区间(0,+∞)上有唯一解,不妨设为x0,则1<x0<ln1a.当x∈(0,x0)时,f'(x)=g(x)x >g(x0)x=0,所以f(x)在区间(0,x0)上单调递增;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)=g(x)x <g(x0)x=0,所以f(x)在区间(x0,+∞)上单调递减,因此x0是函数f(x)的极大值点,也是唯一的极值点.设h(x)=lnx-x+1(x>0),当x>1时,h'(x)=1x-1<0,则h(x)在区间(1,+∞)上单调递减,从而当x>1时,h(x)<h(1)=0,所以当x>1时,lnx<x-1.所以f ln1a =ln ln1a-a ln1a-1e ln1a=ln ln1a-ln1a+1=h ln1a<0,又因为f(x0)>f(1)=0,所以f(x)在区间(x0,+∞)上有唯一零点.又因为f(x)在区间(0,x0)上有唯一零点1,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上恰有两个零点.。