大学物理学机械振动练习题

0318一个轻弹簧在60 N 的拉力作用下可伸长30 cm ．现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4 kg ．待其静止后再把物体向下拉10 cm ，然后释放．问：(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足何条件？二者在何位置开始分离？解：(1) 小物体受力如图． 设小物体随振动物体的加速度为a ，按牛顿第二定律有（取向下为正）ma N mg =- 1分)(a g m N -=当N = 0，即a = g 时，小物体开始脱离振动物体，已知 1分 A = 10 cm ，N/m 3.060=k 有50/==m k ω rad ·s -1 2分系统最大加速度为 52max ==A a ω m ·s -2 1分 此值小于g ，故小物体不会离开． 1分(2) 如使a > g ，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0求得x a g 2ω-== 2分6.19/2-=-=ωg x cm 1分即在平衡位置上方19.6 cm 处开始分离，由g A a >=2max ω，可得2/ωg A >=19.6 cm ． 1分3014一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速度是24cm/s ，求(1)周期T ；(2)当速度是12 cm/s 时的位移．解：设振动方程为t A x ωcos =，则 t A ωωsin -=v(1) 在x = 6 cm ，v = 24 cm/s 状态下有t ωcos 126=t ωωsin 1224-=解得 3/4=ω，∴ 72.2s 2/3/2=π=π=ωT s 2分(2) 设对应于v =12 cm/s 的时刻为t 2，则由t A ωωsin -=v得 2sin )3/4(1212t ω⨯⨯-=，解上式得 1875.0sin 2-=t ω相应的位移为 8.10sin 1cos 222±=-±==t A t A x ωω cm 3分 3021一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速率是24 cm/s ．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数μ为多少？解：若从正最大位移处开始振动，则振动方程为)cos(t A x ω=, t A xωωsin -=在6=x cm 处，24=xcm/s ∴ 6 =12|cos ω t |， 24=|-12 ω sin ω t |，解以上二式得3/4=ωrad/s 3分t A xωωcos 2-= ， 木板在最大位移处x 最大，为 2ωA x = ① 2分 若mA ω2稍稍大于μmg ，则m 开始在木板上滑动，取2ωμmA mg = ② 2分∴ 0653.0/2≈=g A ωμ ③ 1分 3022一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm 求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A 点处的速率．解：由旋转矢量图和 |v A | = |v B | 可知 T /2 = 4秒，∴ T = 8 s ， ν = (1/8) s -1， ω = 2πν = (π /4) s -1 3分 (1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方．t = 0时， 5-=x cm φcos A =t = 2 s 时， 5=x cm φφωsin )2cos(A A -=+=由上二式解得 tg φ = 1因为在A 点质点的速度大于零，所以φ = -3π/4或5π/4（如图） 2分25cos /==φx A cm 1分∴ 振动方程 )434c o s (10252π-π⨯=-t x (SI) 1分 (2) 速率 )434sin(41025d d 2π-π⨯π-==-t t x v (SI) 2分 当t = 0 时，质点在A 点221093.3)43sin(10425d d --⨯=π-⨯π-==t x v m/s 1分 3027在一平板上放一质量为m =2 kg 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为T= 21s ，振幅A = 4 cm ，求 (1) 物体对平板的压力的表达式．(2) 平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？解：选平板位于正最大位移处时开始计时，平板的振动方程为t A x π=4cos (SI)t A x π4cos π162-= (SI) 1分 (1) 对物体有 x m N mg=- ① 1分 t A mg x m mg N ππ+=-=4cos 162 (SI) ② 物对板的压力为 t A mg N F ππ--=-=4cos 162 (SI)t ππ--=4cos 28.16.192 ③ 2分 x(2) 物体脱离平板时必须N = 0，由②式得 1分04cos 162=ππ+t A mg (SI)A q t 2164cos π-=π 1分 若能脱离必须 14cos ≤πt (SI)即 221021.6)16/(-⨯=π≥g A m 2分3264 一质点作简谐振动，其振动方程为 )4131cos(100.62π-π⨯=-t x (SI) (1) 当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？(2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？解：(1) 势能 221kx W P = 总能量 221kA E = 由题意，4/2122kA kx =， 21024.42-⨯±=±=A x m 2分 (2) 周期 T = 2π/ω = 6 s 从平衡位置运动到2Ax ±=最短时间 ∆t 为 T /8．∴ ∆t = 0.75 s ． 3分3265在一轻弹簧下端悬挂m 0 = 100 g 砝码时，弹簧伸长8 cm ．现在这根弹簧下端悬挂m = 250g 的物体，构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下拉动4 cm ，并给以向上的21 cm/s 的初速度（令这时t = 0）．选x 轴向下, 求振动方程的数值式．解： k = m 0g / ∆l 25.12N/m 08.08.91.0=⨯= N/m11s 7s 25.025.12/--===m k ω 2分 5cm )721(4/2222020=+=+=ωv x A cm 2分 4/3)74/()21()/(tg 00=⨯--=-=ωφx v ，φ = 0.64 rad 3分)64.07cos(05.0+=t x (SI) 1分3273一弹簧振子沿x 轴作简谐振动（弹簧为原长时振动物体的位置取作x 轴原点）．已知振动物体最大位移为x m = 0.4 m 最大恢复力为F m = 0.8 N ，最大速度为v m = 0.8π m/s ，又知t =0的初位移为+0.2 m ，且初速度与所选x 轴方向相反．(1) 求振动能量；(2) 求此振动的表达式．解：(1) 由题意 kA F m =，m x A =，m m x F k /=．16.021212===m m m x F kx E J 3分 (2) π===2mm m x A v v ω rad /s 2分由 t = 0， φc o s 0A x ==0.2 m ， 0sin 0<-=φωA v可得 π=31φ 2分 则振动方程为 )312cos(4.0π+π=t x 1分 3391在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l 0 = 1.2 cm 而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式．解：设小球的质量为m ，则弹簧的劲度系数 0/l mg k =． 选平衡位置为原点，向下为正方向．小球在x 处时，根据牛顿第二定律得 220d /d )(t x m x l k mg =+- 将 0/l mg k = 代入整理后得 0//d d 022=+l gx t x∴ 此振动为简谐振动，其角频率为． 3分π===1.958.28/0l g ω 2分设振动表达式为 )cos(φω+=t A x 由题意： t = 0时，x 0 = A=2102-⨯m ，v 0 = 0，解得 φ = 0 1分 ∴ )1.9cos(1022t x π⨯=- 2分3827质量m = 10 g 的小球与轻弹簧组成的振动系统，按)318cos(5.0π+π=t x 的规律作自由振动，式中t 以秒作单位，x 以厘米为单位，求(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相；(2) 振动的速度、加速度的数值表达式；(3) 振动的能量E ；(4) 平均动能和平均势能．解：(1) A = 0.5 cm ；ω = 8π s -1；T = 2π/ω = (1/4) s ；φ = π/3 2分(2) )318sin(1042π+π⨯π-==-t x v (SI) )318cos(103222π+π⨯π-==-t x a (SI) 2分 (3) 2222121A m kA E E E P K ω==+==7.90×10-5 J 3分 (4) 平均动能 ⎰=T K t m T E 02d 21)/1(v ⎰π+π⨯π-=-Tt t m T 0222d )318(sin )104(21)/1( = 3.95×10-5 J = E 21+x )同理 E E P 21== 3.95×10-5 J 3分 3828一质量m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数k = 25 N ·m -1．(1) 求振动的周期T 和角频率ω．(2) 如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求初速v 0及初相φ．(3) 写出振动的数值表达式．解：(1) 1s 10/-==m k ω 1分63.0/2=π=ωT s 1分(2) A = 15 cm ，在 t = 0时，x 0 = 7.5 cm ，v 0 < 0由 2020)/(ωv +=x A 得 3.12020-=--=x A ωv m/s 2分π=-=-31)/(tg 001x ωφv 或 4π/3 2分 ∵ x 0 > 0 ，∴ π=31φ (3) )3110cos(10152π+⨯=-t x (SI) 2分 3834一物体质量为0.25 kg ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25 N ·m -1，如果起始振动时具有势能0.06 J 和动能0.02 J ，求(1) 振幅；(2) 动能恰等于势能时的位移；(3) 经过平衡位置时物体的速度．解：(1) 221kA E E E p K =+= 2/1]/)(2[k E E A p K +== 0.08 m 3分(2)222121v m kx = )(sin 22222φωωω+=t A m x m )(sin 222φω+=t A x 2222)](cos 1[x A t A -=+-=φω222A x =， 0566.02/±=±=A x m 3分(3) 过平衡点时，x = 0，此时动能等于总能量221v m E E E p K =+= 8.0]/)(2[2/1±=+=m E E p K v m/s 2分3835在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g 的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在32 s 内完成48次振动，振幅为5 cm ．(1) 上述的外加拉力是多大？(2) 当物体在平衡位置以下1 cm 处时，此振动系统的动能和势能各是多少？解一：(1) 取平衡位置为原点，向下为x 正方向．设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为∆l ，则有l k mg ∆=, 加拉力F 后弹簧又伸长x 0，则0)(0=+-+∆x l k mg F解得 F = kx 0 2分 由题意，t = 0时v 0 = 0；x = x0 则 02020)/(x x A =+=ωv 2分 又由题给物体振动周期4832=T s, 可得角频率 Tπ=2ω, 2ωm k = ∴ 444.0)/4(22=π==A T m kA F N 1分(2) 平衡位置以下1 cm 处： )()/2(2222x A T -π=v 2分221007.121-⨯==v m E K J 2分 2222)/4(2121x T m kx E p π== = 4.44×10-4 J 1分 解二：(1) 从静止释放，显然拉长量等于振幅A （5 cm ）， kA F = 2分 2224νωπ==m m k ，ν = 1.5 Hz 2分∴ F = 0.444 N 1分(2) 总能量 221011.12121-⨯===FA kA E J 2分 当x = 1 cm 时，x = A /5，E p 占总能量的1/25，E K 占24/25． 2分 ∴ 21007.1)25/24(-⨯==E E K J ，41044.425/-⨯==E E p J 1分5191一物体作简谐振动，其速度最大值v m = 3×10-2 m/s ，其振幅A = 2×10-2 m ．若t = 0时，物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动. 求：(1) 振动周期T ；(2) 加速度的最大值a m ；(3) 振动方程的数值式．解: (1) v m = ωA ∴ω = v m / A =1.5 s -1∴ T = 2π/ω = 4.19 s 3分(2) a m = ω2A = v m ω = 4.5×10-2 m/s 2 2分 (3) π=21φ 5511如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m ，重物的质量m = 6 kg ，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m 时撤去力F ．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．解：设物体的运动方程为 )c o s(φω+=t A x ． 恒外力所做的功即为弹簧振子的能量： F ×0.05 = 0.5 J ．2分当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J ，即：5.0212=kA J ， ∴ A = 0.204 m ． 2分 A 即振幅． 4/2==m k ω (rad/s)2ω = 2 rad/s ． 2分按题目所述时刻计时，初相为φ = π．∴ 物体运动方程为 2分)2c o s (204.0π+=t x (SI)． 2分x = 0.02)215.1cos(π+t (SI) 3分 3078一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅为A ，频率为ν ，波速为u ．设t = t ＇时刻的波形曲线如图所示．求(1) x = 0处质点振动方程；(2) 该波的表达式． 解：(1) 设x = 0 处质点的振动方程为 )2c o s(φν+π=t A y 由图可知，t = t ＇时 0)2cos(=+'π=φνt A y 1分0)2sin(2d /d <+'ππ-=φννt A t y 1分所以 2/2π=+'πφνt ， t 'π-π=νφ221 2分 x = 0处的振动方程为 ]21)(2cos[π+'-π=t t A y ν 1分 (2) 该波的表达式为 ]21)/(2cos[π+-'-π=u x t t A y ν 3分 3082如图，一平面波在介质中以波速u = 20 m/s 沿x 轴负方向传播，已知A 点的振动方程为t y π⨯=-4c o s 1032 (SI)．(1) 以A 点为坐标原点写出波的表达式； (2) 以距A 点5 m 处的B 点为坐标原点，写出波的表达式． 解：(1) 坐标为x 点的振动相位为)]/([4u x t t +π=+φω)]/([4u x t +π=)]20/([4x t +π= 2分波的表达式为 )]20/([4cos 1032x t y +π⨯=- (SI) 2分(2) 以B 点为坐标原点，则坐标为x 点的振动相位为 ]205[4-+π='+x t t φω (SI) 2分 波的表达式为 ])20(4cos[1032π-+π⨯=-x t y (SI) 2分 3083一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播．设波沿着x 轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为3.0 cm ，振动频率为25 Hz ，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24 cm ．当t = 0时，在x = 0处质元的位移为零并向x 轴正向运动．试写出该波的表达式．解：由题 λ = 24 cm, u = λν = 24×25 cm/s ＝600 cm/s 2分A = 3.0 cm ， ω = 2πν = 50 π/s 2分y 0 = A cos φ = 0， 0s i n 0>-=φωA yx u O t =t ′yA B x uπ-=21φ 2分 ]21)6/(50cos[100.32π--π⨯=-x t y (SI) 2分 3084一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅和角频率分别为A 和ω ，波速为u ，设t = 0时的波形曲线如图所示．(1) 写出此波的表达式．(2) 求距O 点分别为λ / 8和3λ / 8 两处质点的振动方程． (3) 求距O 点分别为λ / 8和3λ / 8 两处质点在t = 0时的振动速度．解：(1) 以O 点为坐标原点．由图可知，该点振动初始条件为0c o s 0==φA y ， 0s i n 0<-=φωA v所以 π=21φ波的表达式为 ]21)/(c o s [π+-=u x t A y ωω4分 (2) 8/λ=x 处振动方程为]21)8/2(cos[π+π-=λλωt A y )4/cos(π+=t A ω1分 8/3λ=x 的振动方程为]218/32cos[π+-=λλπωt A y )4/cos(π-=t A ω1分 (3) )21/2sin(/d d π+π--=λωωx t A t yt = 0，8/λ=x 处质点振动速度]21)8/2sin[(/d d π+π--=λλωA t y 2/2ωA -=1分 t = 0，8/3λ=x 处质点振动速度]21)8/32sin[(/d d π+⨯π--=λλωA t y 2/2ωA =1分 3108两波在一很长的弦线上传播，其表达式分别为：)244(31cos 1000.421t x y -π⨯=- (SI))244(31cos 1000.422t x y +π⨯=- (SI)求： (1) 两波的频率、波长、波速；(2) 两波叠加后的节点位置；(3) 叠加后振幅最大的那些点的位置．解：(1) 与波动的标准表达式 )/(2cos λνx t A y -π= 对比可得：ν = 4 Hz ， λ = 1.50 m ，各1分 波速 u = λν = 6.00 m/s1分 (2) 节点位置 )21(3/4π+π±=πn x x u Oy)21(3+±=n x m , n = 0，1，2，3, … 3分 (3) 波腹位置 π±=πn x 3/44/3n x ±= m , n = 0，1，2，3, … 2分3109设入射波的表达式为 )(2cos 1Tt xA y +π=λ，在x = 0处发生反射，反射点为一固定端．设反射时无能量损失，求(1) 反射波的表达式； (2) 合成的驻波的表达式；(3) 波腹和波节的位置．解：(1) 反射点是固定端，所以反射有相位突变π，且反射波振幅为A ，因此反射波的表达式为 ])//(2cos[2π+-π=T t x A y λ 3分(2) 驻波的表达式是 21y y y +=)21/2cos()21/2cos(2π-ππ+π=T t x A λ 3分 (3) 波腹位置： π=π+πn x 21/2λ, 2分 λ)21(21-=n x , n = 1, 2, 3, 4,… 波节位置： π+π=π+π2121/2n x λ 2分 λn x 21= , n = 1, 2, 3, 4, (3110)一弦上的驻波表达式为 t x y ππ⨯=-550c o s )6.1(c o s 1000.32 (SI)．(1) 若将此驻波看作传播方向相反的两列波叠加而成，求两波的振幅及波速；(2) 求相邻波节之间的距离；(3) 求t = t 0 = 3.00×10-3 s 时，位于x = x 0 = 0.625 m 处质点的振动速度．解：(1) 将 t x y ππ⨯=-550cos 6.1cos 1000.32与驻波表达式 )2cos()/2cos(2t x A y νλππ= 相对比可知：A = 1.50×10-2 m, λ = 1.25 m ， ν = 275 Hz波速 u = λν = 343.8 m/s 5分(2) 相邻波节点之间距离 λ21=∆x = 0.625 m 2分 (3) 2.4600,-=∂∂=t y t x v m/s 3分 3111 如图所示，一平面简谐波沿x 轴正方向传播，BC 为波密媒质的反射面．波由P 点反射，OP = 3λ /4，DP = λ /6．在t = 0时，O 处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动．求D 点处入射波与反射波的合振动方程．（设入射波和反射波的振幅皆为A ，频率为ν．）解：选O 点为坐标原点，设入射波表达式为])/(2c o s [1φλν+-π=x t A y 2分 则反射波的表达式是 ])(2cos[2π++-+-π=φλνxDP OP t A y 2分 合成波表达式（驻波）为 )2cos()/2cos(2φνλ+ππ=t x A y 2分 在t = 0时，x = 0处的质点y 0 = 0， 0)/(0<∂∂t y ，故得 π=21φ 2分 因此，D 点处的合成振动方程是)22cos()6/4/32cos(2π+π-π=t A y νλλλt A νπ=2sin 3 2分 3138某质点作简谐振动，周期为2 s ，振幅为0.06 m ，t = 0 时刻，质点恰好处在负向最大位移处，求(1) 该质点的振动方程；(2) 此振动以波速u = 2 m/s 沿x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式，（以该质点的平衡位置为坐标原点）；(3) 该波的波长．解：(1) 振动方程 )22cos(06.00π+π=t y )cos(06.0π+π=t (SI) 3分 (2) 波动表达式 ])/(c o s[06.0π+-π=u x t y 3分 ])21(c o s [06.0π+-π=x t (SI) (3) 波长 4==uT λ m 2分 3141图示一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，求 (1) 该波的波动表达式；(2) P 处质点的振动方程． 解：(1) O 处质点，t = 0 时0cos 0==φA y ， 0sin 0>-=φωA v所以 π-=21φ 2分 又 ==u T /λ (0.40/ 0.08) s= 5 s 2分故波动表达式为 ]2)4.05(2c o s [04.0π--π=x ty (SI) 4分 (2) P 处质点的振动方程为 ]2)4.02.05(2cos[04.0π--π=ty P )234.0cos(04.0π-π=t (SI) 2分 3142 (m) -图示一平面余弦波在t = 0 时刻与t = 2 s 时刻的波形图．已知波速为u ，求(1) 坐标原点处介质质点的振动方程；(2) 该波的波动表达式． 解：(1) 比较t = 0 时刻波形图与t = 2 s 时刻波形图，可知此波向左传播．在t = 0时刻，O 处质点φc o s 0A =， φωs i n 00A -=<v ，故 π-=21φ 2分 又t = 2 s ，O 处质点位移为 )214cos(2/π-π=νA A 所以 π-π=π-21441ν， ν = 1/16 Hz 2分振动方程为 )218/c o s (0π-π=t A y (SI) 1分 (2) 波速 u = 20 /2 m/s = 10 m/s波长 λ = u /ν = 160 m 2分波动表达式 ]21)16016(2cos[π-+π=x t A y (SI) 3分 3143如图所示为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz ，且此时质点P 的运动方向向下，求 (1) 该波的表达式；(2) 在距原点O 为100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式． 解：(1) 由P 点的运动方向，可判定该波向左传播． 原点O 处质点，t = 0 时φcos 2/2A A =, 0sin 0<-=φωA v所以 4/π=φO 处振动方程为 )41500cos(0π+π=t A y (SI) 3分 由图可判定波长λ = 200 m ，故波动表达式为]41)200250(2c o s [π++π=x t A y (SI) 2分 (2) 距O 点100 m 处质点的振动方程是)45500cos(1π+π=t A y 1分 振动速度表达式是 )45500cos(500π+ππ-=t A v (SI) 2分 3144一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波长为λ ，P 处质点的振动规律如图所示．(1) 求P 处质点的振动方程；(2) 求此波的波动表达式； t (s)0-A 1y P (m)(3) 若图中 λ21=d ，求坐标原点O 处质点的振动方程．解：(1) 由振动曲线可知，P 处质点振动方程为])4/2cos[(π+π=t A y P )21cos(π+π=t A (SI) 3分 (2) 波动表达式为 ])4(2c o s [π+-+π=λd x tA y (SI) 3分(3) O 处质点的振动方程 )21cos(0t A y π= 2分 3158在均匀介质中，有两列余弦波沿Ox 轴传播，波动表达式分别为)]/(2cos[1λνx t A y -π= 与 )]/(2cos[22λνx t A y +π= ，试求Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置．解：(1) 设振幅最大的合振幅为A max ，有φ∆⋅++=cos 22)2(222max A A A A A式中 λφ/4x π=∆，又因为 1/4c o s c o s =π=∆λφx 时，合振幅最大，故 π±=πk x 2/4λ合振幅最大的点 λk x 21±= ( k = 0，1，2，…) 4分 (2) 设合振幅最小处的合振幅为A minφ∆⋅++=cos 22)2(222min A A A A A因为 1cos -=∆φ 时合振幅最小且 λφ/4x π=∆故 π+±=π)12(/4k x λ合振幅最小的点 4/)12(λ+±=k x ( k = 0，1，2，…) 4分 3335一简谐波，振动周期21=T s ，波长λ = 10 m ，振幅A = 0.1 m ．当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值．若坐标原点和波源重合，且波沿Ox 轴正方向传播，求：(1) 此波的表达式；(2) t 1 = T /4时刻，x 1 = λ /4处质点的位移；(3) t 2 = T /2时刻，x 1 = λ /4处质点的振动速度．解：(1) )1024cos(1.0x t y π-π=)201(4cos 1.0x t -π= (SI) 3分 (2) t 1 = T /4 = (1 /8) s ，x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的位移)80/4/(4cos 1.01λ-π=T ym 1.0)818/1(4cos 1.0=-π= 2分(3) 振速 )20/(4sin 4.0x t t y -ππ-=∂∂=v ． )4/1(212==T t s ，在 x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的振速 O P d26.1)21sin(4.02-=π-ππ-=v m/s 3分 3410一横波沿绳子传播，其波的表达式为 )2100c o s(05.0x t y π-π= (SI) (1) 求此波的振幅、波速、频率和波长．(2) 求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度．(3) 求x 1 = 0.2 m 处和x 2 = 0.7 m 处二质点振动的相位差．解：(1) 已知波的表达式为)2100cos(05.0x t y π-π= 与标准形式)/22cos(λνx t A y π-π= 比较得A = 0.05 m ， ν = 50 Hz ， λ = 1.0 m 各1分u = λν = 50 m/s 1分(2) 7.152)/(max max =π=∂∂=A t y νv m /s 2分322m a x 22m a x 1093.44)/(⨯=π=∂∂=A t y a ν m/s 2 2分(3) π=-π=∆λφ/)(212x x ，二振动反相 2分3476一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波的表达式为 )/(2cos λνx t A y -π=, 而另一平面简谐波沿Ox 轴负方向传播，波的表达式为 )/(2cos 2λνx t A y +π=求：(1) x = λ /4 处介质质点的合振动方程；(2) x = λ /4 处介质质点的速度表达式．解：(1) x = λ /4处)212c o s (1π-π=t A y ν , )212cos(22π+π=t A y ν 2分 ∵ y 1，y 2反相 ∴ 合振动振幅 A A A A s =-=2 , 且合振动的初相φ 和y 2的 初相一样为π21． 4分 合振动方程 )212cos(π+π=t A y ν 1分 (2) x = λ /4处质点的速度 )212sin(2/d d π+ππ-== v t A t y νν )2cos(2π+ππ=t A νν 3分 5199有一沿x 轴正方向传播的平面简谐波，其波速u = 400 m/s ，频率ν = 500 Hz ．(1) 某时刻t ，波线上x 1处的相位为φ 1，x 2处的相位为φ 2，试写出 x 2 - x 1与φ 2 - φ 1的关系式，并计算出当x 2 - x 1 = 0.12 m 时φ 2 - φ 1的值．(2) 波线上某定点 x 在t 1时刻的相位为1φ'，在t 2时刻的相位为2φ'， 试写出t 2 - t 1与12φφ'-'的关系式，并计算出t 2 - t 1 = 10-3 s 时12φφ'-'的值． 解：该波波长 λ = u /ν = 0.8 m(1) x 2点与x 1点的相位差为λφφ/)(2)(1212x x -π=--λφφ/)(21212x x -π-=- 3分当=-12x x 0.12 m 时 π-=-3.012φφ rad 1分(2) 同一点x ，时间差12t t -，相应的相位差T t t /)(21212-π='-'φφ)(212t t -π=ν 3分当 31210-=-t t s 时， π='-'12φφ rad 1分5319已知一平面简谐波的表达式为 )24(cos x t A y +π= (SI)．(1) 求该波的波长λ ，频率ν 和波速u 的值；(2) 写出t = 4.2 s 时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置；(3) 求t = 4.2 s 时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻t ．解：这是一个向x 轴负方向传播的波．(1) 由波数 k = 2π / λ 得波长 λ = 2π / k = 1 m 1分由 ω = 2πν 得频率 ν = ω / 2π = 2 Hz 1分 波速 u = νλ = 2 m/s 1分(2) 波峰的位置，即y = A 的位置．由 1)24(cos =+πx t有 π=+πk x t 2)24( ( k = 0，±1，±2，…)解上式，有 t k x 2-=．当 t = 4.2 s 时， )4.8(-=k x m ． 2分所谓离坐标原点最近，即| x |最小的波峰．在上式中取k = 8，可得 x = -0.4的波峰离坐标原点最近． 2分(3) 设该波峰由原点传播到x = -0.4 m 处所需的时间为∆t ，则 ∆t = | ∆x | /u = | ∆x | / (ν λ ) = 0.2 s 1分 ∴ 该波峰经过原点的时刻 t = 4 s 2分 5516平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s ．在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动，求x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度．解：设x = 0处质点振动的表达式为 )c o s (0φω+=t A y ，已知 t = 0 时，y 0 = 0，且 v 0 > 0 ∴π-=21φ ∴ )2cos(0φν+π=t A y )21100cos(1022π-π⨯=-t (SI) 2分 由波的传播概念，可得该平面简谐波的表达式为 )/22c o s (0u x t A y νφνπ-+π=)2121100cos(1022x t π-π-π⨯=- (SI) 2分 x = 4 m 处的质点在t 时刻的位移)21100cos(1022π-π⨯=-t y (SI) 1分 该质点在t = 2 s 时的振动速度为 )21200sin(1001022π-π⨯⨯-=-πv 2分 = 6.28 m/s 1分5519在绳上传播的入射波表达式为)2cos(1λωxt A y π+=，入射波在x = 0处绳端反射，反射端为自由端．设反射波不衰减，求驻波表达式．解：入射波在x = 0处引起的振动方程为 t A y ωc o s 10=，由于反射端为自由端，所以反射波在O 点的振动方程为 t A y ωc o s 20= 2分∴反射波为 )2cos(2λωxt A y π-= 3分合成的驻波方程为 21y y y +=)2cos(λωx t A π+=)2cos(λωx t A π-+ t x A ωλcos )2cos(2π= 3分5520 在绳上传播的入射波表达式为)2cos(1λπωx t A y +=，入射波在x = 0处反射，反射端为固定端．设反射波不衰减，求驻波表达式． 解：入射波在x = 0处引起的振动方程为 t A y ωc o s 10=，由于反射端为固定端,∴反射波在 x = 0处的振动方程为)cos(20π+=t A y ω 或 )c o s (20π-=t A y ω 2分 ∴反射波为 )2cos(2λωxt A y π-π+=或 )2cos(2λωxt A y π-π-=3分 驻波表达式为 21y y y += )2cos(λωxt A π+=)2cos(λωxt A π-π-+)21cos()212cos(2π+π-π=t x A ωλ3分 或 )21cos()212cos(2π-π+π=t xA y ωλ。

w w w .z h i n a n ch e.com《大学物理》AI 作业No No..01机械振动一、选择题1.把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。

若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相位为[C ](A)θ;(B)23;(C)0;(D)π21。

解：t =0时，摆角处于正最大处，角位移最大，速度为零，用余弦函数表示角位移，0=ϕ。

2.轻弹簧上端固定，下系一质量为1m 的物体，稳定后在1m 下边又系一质量为2m 的物体，于是弹簧又伸长了x ∆。

若将2m 移去，并令其振动，则振动周期为[B](A)gm x m T 122∆=π(B)gm x m T 212∆=π(C)gm xm T 2121∆=π(D)()gm m x m T 2122+∆=π解：设弹簧劲度系数为k ，由题意，x k g m ∆⋅=2，所以xgm k ∆=2。

弹簧振子由弹簧和1m 组成，振动周期为gm xm k m T 21122∆==ππ。

3.一劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m 的物体，如图所示。

则振动系统的频率为[B](A)m k π21(B)mk 621π(C)mk 321π(D)mk 321π解：每一等份弹簧的劲度系数k k 3=′，两等份再并联，等效劲度系数k k k 62=′=′′，所以振动频率mk m k 62121ππν=′′=4.一弹簧振子作简谐振动，总能量为1E ，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量E 变为[D ](A)1E /4(B)1E /2(C)21E (D)41E 解：原来的弹簧振子的总能量212112112121A m kA E ω==，振动增加为122A A =，质量增加+w w w .z h i n a n ch e为124m m =，k 不变，角频率变为1122214ω===m k m k ，所以总能量变为()1212112121122222242142242121E A m A m A m E =⎟⎠⎞⎜⎝⎛=×⎟⎠⎞⎜⎝⎛××==ωωω5.一质点作简谐振动，周期为T 。

3. 质点作周期为T，振幅为A的谐振 动，则质点由平衡位置运动到离平 衡位置A/2处所需的最短时间是: ( )
A.T/4 B.T/6 C.T/8 D.T/12
4. 一质点在x轴上作谐振动振幅A=4cm， 周期T=2s，其平衡位置取作坐标原点， 若t=0时刻近质点第一次通过x=-2cm处， 且向x轴正方向运动，则质点第二次通过 x=-2cm,处时刻为:[]
A.1s B.3s/2 C.4s/3 D.2s
5. 一质点同时参与两个在同一直线上的
谐振动，其振动方程分别为
7
x1 4cos(2t 6 ), x2 3cos(2t 6 )
则关于合振动有结论：［］
A.振幅等于1cm, 初相等于
B.振幅等于7cm, 初相等于 4
3
C.振幅等于1cm, 初相等于 7
7.上面放有物体的平台,以每秒5周的频 率沿竖直方向做简谐振动,若平台振幅 超过(1cm),物体将会脱离平 台.(g=9.8m/s)
8.两个同方向同频率的简谐振动,其合振 动的振幅20cm,与第一个简谐振动的相
位差为Ф- Ф1= π/6.若第一个简谐振动
的振幅为 10 3cm 17.3c则m 第二个简谐振 动的振幅为( 10 )cm,第一,二个简谐振
12.两个线振动合成为一个圆振动的条件 是（1）同频率；（2）同振幅；（3） 两振动相互垂直；（4）相位差为 （2k+1）π/2, k=0, ±1, ±2,……
计算题
1. 一倔强系数为k的轻弹簧，竖直悬挂一质量为m 的物体后静止，再把物体向下拉，使弹簧伸长 后开始释放，判断物体是否作简谐振动？
解：设物体平衡时弹簧的伸长量为x0 ，则有 以 该平衡位置为坐标原点，向下为正方向建立坐

大学物理模拟考试题 第三章 机械振动一、选择题（每题三分）1、一质点在X 轴上作谐振动，振幅A=4cm ，周期T=2s 。

取平衡位置为坐标原点，若t=0时刻质点第一次通过x=2cm 处，且向x 轴正方向运动，则质点第二次通过x=2cm 处的时刻为（ ）。

（A ）1s (B) 4/3s (C) 2/3s (D) 2s2、一弹簧振子作简谐振动，总能量为E ，如果谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量变为（ ）。

（A ）E/4 (B) E/2 (C) 4E (D) 2E3、如图12-12所示，用余弦函数描述一简谐振动。

已知振幅为A ，周期为T ，初相πϕ3/1=，则振动曲线为（ ）。

4、已知某简谐的振动曲线如图12-13所示，则此简谐振动的振动方程为（ ）。

（A ）x=2cos(2πt ／3+2π/3) （B ）x=2cos(2t π/3-π/3)(C) x=2cos(4πt/3+2π/3) （D ）x=2cos(4πt/3-π/3)5、一简谐振动曲线如图12-15所示，则振动周期时（ ）。

(A) 2.62s (B) 2.40s (C) 2.20s (D) 2.00s6、一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为-1/2A ，且向X 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为（ ）。

7、轻弹簧上端固定，下系一质量为m1的物体，稳定后在m1下边又系一质量为m2的物体，于是弹簧又伸长了△x ，若将m2移去，并令其振动，则振动周期为（ ）。

(A ) T=g m x m 212∆π (B) T=gm x m 122∆π (C) T=g m x m 2121∆π(D)T=gm m x m )21(22+∆π8 、一劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一个质量为m 的物体，如图所示。

则振动系数的频率为（ ）。

（A ）m k 321π（B ） m k π21 （C ）m k 321π （D ）m k 621π 9、一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率是ω，若把此弹簧分割成两等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是（ ）（A ）2ω （B ）ω2(C ）2ω （D ）2ω 10、一质点做简谐振动，周期为T ，质点由平衡位置向x 轴负方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要时间为（ ）（A ）T/4 （B ）T/6(C)T/8 (D)T/12二、填空题（每空三分）1. 一质点做简谐振动，周期为T ，当它由平衡位置x 轴向正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处所需要的最短时间为______。