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第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
《三角形的稳定性》教材分析本节教材是初中数学八年级第11章第1节的内容，是初中数学的重要内容之一。
本节课是三角形有关概念后的一节独立内容，与前后知识联系不大，但在实际生活中应用广泛。
所以采用对比的方法使学生在亲身操作体验中认识“三角形具有稳定性而四边形不具有稳定性以及生活中既要用到三角形稳定性，也要用到四边形的不稳定性”。
另外使学生获得如何把不稳定的四边形转化为稳定的方法，从而感受数学的价值。
教学目标1.通知过观察、实践、想象、推理、交流等活动，让学生了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用。
2.培养实事求是的学习作风和学习习惯。
3.通过提问、合作讨论以及小组交流方式探究三角形的稳定性。
4.实物演示，激发学习兴趣，活跃课堂气氛。
探究质疑，总结结果。
和学生共同探究三角形稳定性的实例，回答课前提出的疑惑。
5.引导学生通过实验探究三角形的稳定性，培养其独立思考的学习习惯和动手能力。
通过合作交流，养成学生互助合作意识，提高数学交流表达能力。
教学重难点：【教学重点】了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用【教学难点】准确使用三角形稳定性与生产生活之中教学过程：一、回顾旧知提出问题（设计说明：通过问题对已学知识进行回顾，以此来巩固基础知识的运用，并引入新课。
）问题1：如图，在4ABC中，AD±BC, BE=CE, AF是三角形的角平分线。
那么三角形的三边有什么关系?根据上述条件，你还能得到什么结论? 学生回答：三角形两边之和大于条三边，还可以得到AD是三角形BC 边问题2：在上的高，AE是BC边上的中线，NBAF=NCAF, S△ABE=S△ACEO我们的生产和生活中哪里用到了三角形?学生回答：房屋的人字梁、大桥钢架、索道支架、建筑用的三角架等。
（教学说明：教师在利用问题让学生回顾所学知识的时候，不仅要让学生说出结论，还要说明得到结论的根据。
问题2的设立要让学生体会三角形在生产和生活中的应用，并引导而思考为什么要在这些地方用三角形。
第11章压杆的稳定性分析与稳定性设计工程力学学习指导第11章压杆稳定性分析与稳定设计11.1 教学要求与学习目标1. 掌握有关弹性体稳定的基本概念：1)稳定的平衡构形(位置)与不稳定的平衡构形(位置)。
2) 平衡路径，分叉，分叉点。
3) 屈曲(丧失稳定)。
4)判别压杆平衡稳定性的静力学准则。
5)细长压杆分叉点的平衡稳定性。
特别要掌握弹性体失稳时其直线平衡构形将突然转变为弯曲构形这一物理本质，并用以理解、分析和处理一些理论问题和实际问题。
2. 弄清影响压杆承载能力的因素，正确理解弹性压杆临界力公式推导过程，弄清临界力公式中每一项的意义以及公式的应用条件，正确计算临界力。
3. 正确区分弹性失稳及超过比例极限的失稳问题，区别三类不同长细比杆，分别采用不同的公式进行计算。
11.2 理 论 要 点11.2.1平衡构形的稳定性和不稳定性图11-1 压杆的两种平衡构形结构构件或机器零件在压缩载荷或其他特定载荷作用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置，又称为平衡构形。
承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形－直线的平衡构形与弯曲的平衡构形，分别如图11-1所示。
当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离平衡构形，外界扰动除去后，构件仍能回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是稳定的。
扰动除去后，构件不能回复到原来的平衡构形，则称初始的平衡构形是不稳定的。
此即判别弹性平衡稳定性的静力学准则。
不稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，将转变为其他平衡构形。
例如，不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。
这一过程称为屈曲或失稳。
通常，屈曲将使构件失效,并导致相关的结构发生坍塌。
由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。
11.2.2临界状态与临界载荷介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为临界平衡构形，或称为临界状态。
处于临界状态的平衡构形，有的是稳定的，有时是不稳定的，也有的是中性的。
17钢标的修订,除对03钢规的条文进行必要的修订、增补之外,主要完成了下面两项工作：1形成设计规范; 03钢规及以前的钢规,基本上属于母规性质,即主要用于规定钢材强度和构件验算,缺乏对结构体系层面的设计规定和结构抗震设计内容,不能直接成为用于设计的结构规范;本次修订加入结构体系和抗震设计内容,使17钢标能够直接用于常用钢结构体系的设计;2引入用于钢结构稳定设计的直接分析法,并与欧标、美标、中国香港钢规的直接分析法保持同步,使钢结构的稳定设计更安全、更经济;1 各章主要内容17 钢标适用于工业与民用建筑和一般构筑物的钢结构设计;经过历届编制人的努力,钢规已成为钢结构业内专业最权威、应用最广泛的规范;因此本次钢标的修订也力求在房屋之外的其他领域,如铁路、公路、港口、水利等方面解决技术层面的共性问题,以促进钢结构行业的发展;明确了无支撑框架、强支撑框架的定义,规范了支撑结构、框架－支撑结构体系,增加了用于抗震设计的构件塑性耗能区的定义;给出了钢结构两种地震工况的验算方法,即 GB 50010—2010建筑抗震设计规范简称“抗规”的多遇地震设计法和17钢标的设防烈度地震设计法,后者具体验算方法见第17章;这就指明了钢结构的抗震设计既可以按抗规的方法,也可以按第17 章的抗震性能化设计方法;截面板件宽厚比是为第 17 章抗震设计准备的基本资料,可以说这是中国规范第一次系统地梳理了板件宽厚比;对于欧规的 S1—S4 截面,17钢标将压弯和受弯构件的截面分成 S1—S5 五类截面;17钢标S1 、S2 为塑性截面,S4 为弹性截面,S3 为中国规范特有的考虑一定塑性发展的弹塑性截面,S5 为薄柔截面;17 钢标将材料独立成章,为今后新材料的应用做准备;本次虽仅增加了 Q460 和Q345GJ 两种钢材,但做了大量工作;以可靠性指标为基础,通过大量构件的几何不定性、材料不定性和计算模式不定性的试验分析和现场构件数据统计工作,并结合以往钢规的计算模式不定性成果,得到了本次用于修订的抗力分项系数;应当看到,经过十几年钢结构产业的发展,我国的建筑用钢质量水平有了很大提高;但从抗力分项系数的角度讲,并不尽如人意;由于材料不定性中屈服强度的变异系数的增大,使得本次修订得到的抗力分项系数有所增大：Q235 由增大到 , Q345—Q420 由增大到～不同板厚, 新增 Q460 钢的抗力分项系数为～不同板厚;对于目前的抗力分项系数计算方法,有两点值得注意;一是求解麻烦,需要做大量的试验和检测工作,这也限制了作为规范引进新钢种的速度;二是抗力分项系数的统计方法使其极大依赖钢材屈服强度的离散程度,每次统计值都不稳定;考虑到抗力分项系数在左右,因此可以参照欧美的做法,比如规定抗力分项系数为 ,然后反推对钢材强度的离散性要求;如采用这种方法可大大简化抗力分项系数的确定过程,方便引入新钢种;本章为直接分析法;作为一阶弹性分析与计算长度法的一个替代方法,直接分析法已纳入欧美、中国香港规范,并有取代前者成为钢结构稳定计算方法的趋势;一阶分析方法依赖于计算长度,03 钢规的计算长度系数是在特定条件下推导出来的;实际上,构件的计算长度与结构体系、荷载情况、约束条件均有关系,并不是一个定值;直接分析法准确考虑结构计算的诸多因素,并引入结构和构件的初始缺陷和残余应力,将稳定计算统一到原本的强度计算上来;从试设计及欧美相关的研究来看,P－Δ－Δ０二阶分析从工程角度看效果会更好一些;在此基础上,以计算长度系数为进行构件的稳定性计算,避免了计算长度系数确定的诸多难题,可以得到满意的结果;P－Δ－δ含Δ０、δ０直接分析法由于具体操作时δ０的取法不便,使得此方法在实际应用上会遇到一定的困难;应当看到,二阶效应法和直接分析法因为要直接考虑二阶效应,因而不能用传统的线性分析方法进行,需采用迭代方法进行几何非线性求解;而对于直接分析法,如何编制一个高效的非线性计算软件直接决定了这种方法的应用前景;目前,香港地区的 Nida 软件在这方面居领先地位,很好地解决了这个问题;直接分析法还可以应用于地震工况的计算,这时应采用时程法进行考虑几何非线性的结构动力弹性或弹塑性分析;构件的受弯、轴心受力和压弯拉弯是传统章节;03 钢规已很好完成了这三类构件的设计和计算方法,本次修订没有做大的调整;将有支撑框架分为强支撑结构和弱支撑结构,是 03钢规的一个创新;考虑到实际应用情况很少设计成弱支撑框架,因此这次取消了该类框架;另外,强支撑框架的判别式过于理论化,争议较多,这次做了系数的调整但仍加以保留;随着二阶分析计算方法的普及,建议今后采用二阶分析法或直接分析法进行钢结构稳定设计, 这时计算长度系数取 ;纯钢板剪力墙作为一种性能良好的水平受力构件,与支撑相比有其独特的适用性;考虑到钢板的稳定问题,这次仅引入带加劲肋的钢板墙;目前国内应用钢板墙的典型工程是320 m 高的天津津塔,但其对施工安装要求较高,目前钢板墙并未得到大量应用;塑性设计属求结构极限承载力问题,具有理论依据,但作为设计方法缺少可靠度方面的论证;17 钢标采用弯矩调幅设计方法,具有塑性设计含义,且从概念上易为设计者所接受;对超静定梁可以进行调幅,包括框架梁和连续梁;对于地震工况,只允许对重力荷载进行调幅;将连接独立成章,对各种钢结构连接进行梳理,并为今后该章内容的发展打下基础;17 钢标连接的计算式沿用 03 钢规,没有做大的调整;近年来在海外项目的工程实践中发现,我国有些强度指标如高强螺栓的预紧力、抗剪承载力等较国外标准低不少;这方面属于基本性能的研究;考虑到 03 钢规的指标很多是来源于 88 钢规乃至 74 钢规的数据,而当时情况下钢材的强度、施工水平等与现在不能同日而语;因此今后有必要在吸收国外先进技术的基础上,对这些公式进行梳理和修订;节点独立成章,也是为以后对节点的全面、系统、深入的研究打基础;在柱脚一节,将外露式、外包式、埋入式和插入式柱脚进行了系统梳理,便于设计人员选用;特别是着重介绍了已广泛用于冶金厂房的钢结构插入式柱脚,可以为其他行业的应用所借鉴;钢管结构的广泛应用使得需要对其相贯节点的设计进行全面研究,包括圆钢管和矩形钢管;相贯节点因其受力机理的特殊性,难于像钢结构的其他强度验算一样,由一个理论公式考虑各种因素推出实用公式,而是基本基于试验得到;在全面进行相贯节点理论分析和试验研究的基础上,17 钢标提出了一整套非加劲的节点承载力计算式;承载力公式综合考虑了节点屈曲、屈服、支杆强度等因素,是以试验为依据的,为管桁架强节点弱杆件的设计提供了保证;对于交错搭接节点中被搭接支杆不易施焊的情况,17 钢标也做了详尽分析,给出了诸如低烈度抗震区可不施焊的建议;对于不满足节点承载力要求的非加劲相贯节点,可以采用设置加劲肋的方法处理;考虑混凝土与钢梁的组合作用能节省用钢量;本章的组合梁强度计算按塑性理论,挠度和连续梁端部裂缝计算按弹性理论;前者考虑混凝土开裂的刚度折减,后者考虑弯矩调幅作用;组合梁按栓钉的抗剪能力分为完全抗剪组合和部分抗剪组合;前者的栓钉数量能完全承担混凝土与钢梁界面的剪力传递;基于此,推导出完全组合梁和部分组合梁的正弯矩区和负弯矩区的承载力计算式;从正弯矩区的位置可以看出,这套塑性计算式适用于非地震区,因此更加适用于次梁包括简支梁和连续梁;另外,第 6 节给出了按完全抗剪连接得到的混凝土梁纵向传递栓钉抗剪力的计算式;可以看到,组合梁的计算基于塑性理论,是一个完整体系;在应用时要特别注意适用条件,合理应用;考虑造价等原因,用钢管混凝土柱代替钢柱已成为一种常规做法;因此 17 钢标将钢管混凝土柱作为一种常规构件列入;这种构件的承载力计算及相关构造要求见其他有关规范、规程、标准;疲劳计算适用于应力循环次数超过 5 万次的情况;17 钢标采用 S-N 曲线以应力幅考虑疲劳问题,分两个步骤判断构件的疲劳;第一步进行初步判断,以 1亿次的疲劳截止限值进行验算;如果不满足,对常幅疲劳,按应力循环次数分段验算；对变幅疲劳,按折算幅进行 200 万次容许应力幅验算;低温冷脆是钢材的特征之一;在中国寒冷地区近年来也曾发生了多起因钢材低温脆断的结构事故;17 钢标要求低温情况下一般为－20 ℃以下应进行防脆断设计,并从构造上给出了具体要求;对于具体的防脆断计算方法,如断裂力学和损伤力学方法,需要在下一步的工作中加以引入和完善;钢结构抗震性能好,不仅仅表现在材料延性好,还在于它的地震作用小;因此,如何将钢材的强度和延性合理地进行组合搭配,即采用高延性、低承载力或低延性、高承载力的结构,是钢结构抗震设计的关键;17 钢标采用以抗震设防烈度为基础的钢结构抗震设计方法,采用性能系数考虑结构的承载力与延性关系,以截面板件宽厚比等级考虑构件的延性;对钢框架结构、支撑结构、框架－支撑结构的抗震设计做出了全面系统的规定,使以性能系数和构件延性为基础的设防烈度抗震设计方法走向应用;采用基于性能的钢结构设防烈度抗震设计方法进行抗震设计,对于高烈度区的高层结构,采用低承载力高延性的设计方法,以结构和构件的延性耗能抵抗强震作用,使结构设计更安全;对于低烈度区的低层结构,采用高承载力低延性的设计方法,利用地震作用小、不为控制设计工况的特点,降低构件的延性要求,使结构设计更合理;钢结构防护含抗火设计、防腐、隔热;钢结构的抗火设计,与 GB 51249—2017 建筑钢结构防火技术规范相联系,后者采用抗火性能化设计,使防火设计更趋于合理;钢结构防腐蚀设计,要根据使用环境和维护条件等因素,采用可行的防腐蚀方法,包括涂料、耐候钢、阴极保护、镀锌铝等;钢结构的隔热设计,要将高温环境作为一种持久工况,对高温下钢结构进行隔热保护或考虑高温下材料性能的降低进行结构设计;2017最新版钢结构设计规范主要修订内容如下：1“术语和符号第2章”删除了原规范中关于强度的术语,增加了本次规范新增内容的术语;2“基本设计规定第3章”增加了“结构体系”和“截面板件宽厚比等级”,“材料选用”及“设计指标”内容移入新章节“材料第4章”,关于结构计算内容移入新章节“结构分析及稳定性设计第5章”,“构造要求原第8章”中制作、运输及安装的原则性规定并入本章;3“受弯构件的计算原第4章”改为“受弯构件第6章”,增加了腹板开孔的内容,“构造要求”中与梁设计相关的内容移入本章;4“轴心受力构件和拉弯、压弯构件的计算原第5章”改为“轴心受力构件第7章”及“拉弯、压弯构件第8章”两章,“构造要求原第8章”中与柱设计相关的内容移入第7章;5“疲劳计算原第6章”改为“疲劳计算及防脆断设计第16章”增加了简便快速验算疲劳强度的方法,“构造要求原第8章”中“提高寒冷地区结构抗脆断能力的要求”移入本章,并增加了抗脆断设计的补充规定;6“连接计算原第7章”改为“连接第11章”及“节点第12章”两章,“构造要求原第8章”中有关焊接及螺栓连接的内容并入11章、柱脚内容并入12章;7“构造要求原第8章”中的条文根据其内容,分别并入相关各章;8“塑性设计原第9章”改为“塑性及弯矩调幅设计第10章”,改变了塑性设计思路,采用内力重分配的思路进行设计;9“钢管结构原第10章”改为“钢管连接节点第13章”,丰富了计算的节点连接型式,另外,增加了节点刚度判定的内容;10“钢与混凝土组合梁原第11章现第14章”,补充了纵向抗剪设计内容,删除了与弯筋连接件有关的内容;11增加的章节有：第4 章材料、第5 章结构分析与稳定性设计、第9章加劲钢板剪力墙、第15 章钢管混凝土柱及节点、第17章钢结构抗震性能化设计、第18章钢结构防护;钢结构设计规范11个待解决的问题新版钢规对2003版钢规做了全面修订,特别是首次引入的“”直接分析法和基于性能的钢结构抗震设计方法“,体现了与国际标准的接轨;但因为技术、实践等诸多原因,仍有大量问题没有得到解决;借助于本次钢结构设计规范学术会议,在新版钢规即将出版之际,受大会委托,总结出11个问题并加以解释讲解,作为抛砖引玉,供大家讨论;这11问题包括材料、结构计算方法、结构体系、结构抗震、抗风设计,具有理论深度和工程价值,简述如下：1钢材的上下屈服点,建议采用上屈服点;2抗力分项系数,建议采用固定值;3钢材断裂韧性和Z向性能,建议参考欧标;4吊车梁上翼缘与腹板连接处的疲劳破坏,建议研究此处的疲劳设计方法;5考虑双非线性的直接分析法,建议在抗震设计中直接采用直接分析法;6受扭计算,建议引入受扭设计;7结构体系与性能系数,建议引入结构体系与性能系数;8小震位移设计、中震承载力设计,建议采用小震位移设计,中、大震承载力设计;9既有建筑抗震评估与加固,建议对既有建筑采用定量小、中、大震抗震评估方法,为地震保险提供支持;10钢结构抗震、减震、隔震新体系,建议结合科技进步,大力推出钢结构新体系;11超高层钢结构抗风设计,建议加强超高层钢结构抗风的研究;补充规范延伸大跨度空间结构广泛应用于体育场馆、商场、展览馆、美术馆等,此类结构普遍存在造型复杂、竖向刚度小、稳定性问题突出、施工困难等问题,因而吸引了众多研究人员和工程师的注意;直接分析法为大跨度空间结构的设计提供了很好的分析和设计手段,是一种全新的解决方案,已在欧美和香港得到大力的推广,也纳入了最新的GB50017;采用直接分析法时,结构在构件和整体层面上的稳定性都可以在分析过程中得到反映,而不是像传统线性方法那样需要在设计阶段进行矫正;更为严重的是,基于计算长度法的矫正并不总能得到正确的结果,从而造成安全隐患或导致事故发生;大跨度空间结构失稳模态普遍具有整体性,甚至可能发生跳跃或者跳回屈曲,基于构件稳定性的传统设计方法难以解决此类结构的稳定性问题;现行钢结构设计规范GB50017-2003中Q235、Q345钢材性能的基础数据还是30年以前的, Q390、Q420的设计指标是估算值,缺乏足够的数据支持,工程中已经实际应用的Q460、GJ钢急需补充;因此必须对国产钢材性能进行全面的调研;。
第11章压杆的稳定性分析与稳定性设计工程力学学习指导第11章压杆稳定性分析与稳定设计11.1 教学要求与学习目标1. 掌握有关弹性体稳定的基本概念：1)稳定的平衡构形(位置)与不稳定的平衡构形(位置)。
2) 平衡路径，分叉，分叉点。
3) 屈曲(丧失稳定)。
4)判别压杆平衡稳定性的静力学准则。
5)细长压杆分叉点的平衡稳定性。
特别要掌握弹性体失稳时其直线平衡构形将突然转变为弯曲构形这一物理本质，并用以理解、分析和处理一些理论问题和实际问题。
2. 弄清影响压杆承载能力的因素，正确理解弹性压杆临界力公式推导过程，弄清临界力公式中每一项的意义以及公式的应用条件，正确计算临界力。
3. 正确区分弹性失稳及超过比例极限的失稳问题，区别三类不同长细比杆，分别采用不同的公式进行计算。
11.2 理 论 要 点11.2.1平衡构形的稳定性和不稳定性图11-1 压杆的两种平衡构形结构构件或机器零件在压缩载荷或其他特定载荷作用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置，又称为平衡构形。
承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形－直线的平衡构形与弯曲的平衡构形，分别如图11-1所示。
当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离平衡构形，外界扰动除去后，构件仍能回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是稳定的。
扰动除去后，构件不能回复到原来的平衡构形，则称初始的平衡构形是不稳定的。
此即判别弹性平衡稳定性的静力学准则。
不稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，将转变为其他平衡构形。
例如，不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。
这一过程称为屈曲或失稳。
通常，屈曲将使构件失效,并导致相关的结构发生坍塌。
由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。
11.2.2临界状态与临界载荷介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为临界平衡构形，或称为临界状态。
处于临界状态的平衡构形，有的是稳定的，有时是不稳定的，也有的是中性的。
非线性弹性稳定理论已经证明了：对于细长压杆，临界平衡构形是稳定的。
使杆件处于临界状态的压缩载荷称为临界载荷，用F Pcr 表示。
11.2.3三种类型的压杆的不同临界状态不是所有受压杆件都会发生屈曲，也不是所有发生屈曲的压杆都是弹性的。
理论分析与试验结果都表明，根据不同的失效形式，受压杆件可以分为三种类型，它们的临界状态和临界载荷各不相同。
● 细长杆—发生弹性屈曲，当外加载荷Pcr P F F ≤时，不发出屈曲；当Pcr P F F >时，发生弹性屈曲，即当载荷除去后，杆仍能由弯形平衡构形回复到初始直线平衡构形。
细长杆承受压缩载荷时，载荷与侧向屈曲位移之间的关系如图11-2 三类压杆不同的临界状态图11-2a 所示。
● 中长杆—发生弹塑性屈曲。
当外加载荷Pcr P F F >时，中长杆也会发生屈曲，但不再是弹性的，这是因为这时压杆上的某些部分已经出现塑性变形。
中长杆承受压缩载荷时，载荷与侧向屈曲位移之间的关系如图11-2b 所示。
● 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服。
粗短杆承受压缩载荷时，载荷与轴向变形关系曲线如图11-2c 所示。
显然，上述三种压杆的失效形式不同，临界载荷当然也各不相同。
11.2.4细长压杆的临界载荷一欧拉临界力公式1. 两端铰链支座的压杆临界载荷的一般表达式222Pcr πl EI n F = 当其中n =1时，所得到的就是具有实际意义的、最小的临界载荷计算公式22Pcr πl EI F = 上述二式中，E 为压杆材料的弹性模量；I 为压杆横截面的形心主惯性矩：如果两端在各个方向上的约束都相同， I 则为压杆横截面的最小形心主惯性矩。
其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式。
1. 不同刚性支承条件下的压杆不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡微分方程和端部的约束条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。
对于细长杆，这些公式可以写成通用形式22Pcr )(πl EI F μ= 这一表达式称为欧拉公式。
其中μl 为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦半波的长度图11-3不同支承条件下压杆的屈曲波形（图11-3）称为有效长度；μ为反映不同支承影响的系数，称为长度系数，可由屈曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比值确定。
例如，一端固定另一端自由的压杆，其微弯屈曲波形如图11-3a 所示，屈曲波形的正弦半波长度等于2l 。
这表明，一端固定、另一端自由、杆长为l 的压杆，其临界载荷相当于两端铰支、杆长为2l 压杆的临界载荷。
所以长度系数μ＝2。
又如，图11-3c 所示一端铰支、另一端固定压杆的屈曲波形，其正弦半波长度等于0.7l ，因而，临界载荷与两端铰支、长度为0.7l 的压杆相同。
再如，图11-3d 所示两端固定压杆的屈曲波形，其正弦半波长度等于0.5l ，因而，临界载荷与两端铰支、长度为0.5l 的压杆相同。
需要注意的是,上述临界载荷公式，只有在微弯曲状态下压杆仍然处于弹性状态时才是成立的。
11.2.5长细比的概念 三类不同压杆的判断1. 长细比的定义与概念前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。
这就要求在临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时，其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即Pcr cr p F Aσσ=≤ 式中，cr σ称为临界应力；p σ为材料的比例极限。
对于某一压杆，当临界载荷F Pcr 尚未算出时，不能判断上式是否满足；当临界载荷算出后，如果上式不满足，则还需采用超过比例极限的临界载荷计算公式，重新计算。
这些都会给实际设计带来不便。
能否在计算临界载荷之前，预先判断压杆是发生弹性屈曲还是发生超过比例极限的非弹性屈曲？或者不发生屈曲而只发生强度失效？为了回答这一问题，需要引进长细比的概念。
长细比用λ表示，由下式确定iμl ＝λ 其中，i 为压杆横截面的惯性半径：AI i = 上述二式中：μ为反映不同支承影响的长度系数；l 为压杆的长度；i 是全面反映压杆横截面形状与尺寸的几何量。
所以，长细比是一个综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面形状对压杆临界载荷影响的量。
2. 三类不同压杆的区分根据长细比的大小可以将压杆分成三类，并且可以判断和预测三类压杆将发生不同形式的失效。
三类压杆是：细长杆当压杆的长细比λ大于或等于某个极限值λp 时P λλ≥压杆将发生弹性屈曲。
这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力不超过材料的比例极限，这类压杆称为细长杆。
中长杆当压杆的长细比λ小于λp ，但大于或等于另一个极限值λs 时s P λλλ≥>压杆也会发生屈曲。
这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入塑性状态。
这种屈曲称为非弹性屈曲。
这类压杆称为中长杆。
粗短杆长细比λ小于极限值λs 时s λλ<压杆不会发生屈曲，但将会发生屈服。
这类压杆称为粗短杆。
3. 三类压杆的临界应力公式对于细长杆，根据临界应力公式和欧拉公式，有22cr πλσE=对于中长杆，由于发生了塑性变形，理论计算比较复杂，工程中大多采用直线经验公式计算其临界应力，最常用的是直线公式λσb a －＝cr其中a 和b 为与材料有关的常数，单位为MPa 。
对于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服(韧性材料)，故其临界应力即为材料的屈服应力，亦即s cr σσ＝将上述各式乘以压杆的横截面面积，即得到三类压杆的临界载荷。
几种常见材料a 、b 值4. 临界应力总图与s P λλ、值的确定根据三种压杆的临界应力表达式，在λσcr O 坐标系中可以作出λσ－cr 关系曲线，称为临界应力总图，如图11-4所示。
根据临界应力总图中所示之λσ－cr 关系，可以确定区分不同材料三类压杆的长细比极限值s P λλ、。
令细长杆的临界应力等于材料的比例极限(图11-4中的B 点)，得到 P 2P πσλE＝对于不同的材料，由于E 、σP 各不相同，λP 的数值亦不相同。
一旦给定E 、σP ，即可算得λP 。
例如，对于Q235钢，E ＝206 GPa 、σP ＝200 MPa ，由上式算得λP ＝101。
若令中长杆的临界应力等于屈服强度(图11-4中的A 点)，得到 ba s s σλ－＝ 例如，对于Q235钢，σs ＝235 MPa ， a ＝304 MPa ，b ＝1.12 MPa ，由上式可以算得λs ＝61.6。
图11-4 临界应力总图11.2.6压杆的稳定性设计1. 压杆稳定性设计内容稳定性设计一般包括：¢ 确定临界载荷当压杆的材料、约束以及几何尺寸已知时，根据三类不同压杆的临界应力公式，确定压杆的临界载荷。
¢ 稳定性安全校核当外加载荷、杆件各部分尺寸、约束以及材料性能均为已知时，验证压杆是否满足稳定性设计准则。
2. 安全因素法与稳定性设计准则为了保证压杆具有足够的稳定性，设计中，必须使杆件所承受的实际压缩载荷（又称为工作载荷）小于杆件的临界载荷，并且具有一定的安全裕度。
压杆的稳定性设计一般采用安全因数法与稳定系数法。
本书只介绍安全因素法。
采用安全因数法时，稳定性设计准则一般可表示为[]st w n n ≥式中w n 为工作安全因数，由下式确定FA F F n cr Pcr w σ== 式中，F 为压杆的工作载荷；A 为压杆的横截面面积；[]st n 为规定的稳定安全因数。
在静载荷作用下，稳定安全因数应略高于强度安全因数。
这是因为实际压杆不可能是理想直杆，而是具有一定的初始缺陷（例如初曲率），压缩载荷也可能具有一定的偏心度。
这些因素都会使压杆的临界载荷降低。
对于钢材，取[]st n ＝1.8～3.0；对于铸铁，取[]st n ＝5.0～5.5；对于木材，取[]st n =2.8～3.2 。
3. 压杆稳定性设计过程根据上述设计准则，进行压杆的稳定性的设计，首先必须根据材料的弹性模量与比例极限E 、σP ，确定长细比的极限值s P λλ、；再根据压杆的长度l 、横截面的惯性矩I 和面积A ，以及两端的支承条件μ，计算压杆的实际长细比λ；然后比较压杆的实际长细比值与极限值，判断属于哪一类压杆，选择合适的临界应力公式，确定临界载荷；最后，计算压杆的工作安全因素，并验算是否满足稳定性设计准则。
对于简单结构，则需应用受力分析方法，首先确定哪些杆件承受压缩载荷，然后再按上述过程进行稳定性计算与设计。
11.3 学 习 建 议1. 正确地进行受力分析，准确地判断结构中哪些杆件承受压缩载荷，对于这些杆件必须按稳定性设计准则进行稳定性计算或稳定性设计。
例如，图11-5所示之某种仪器中的微型钢制圆轴，在室温下安装，这时轴既不沿轴向移动，也不承受轴向载荷，当温度升高时，轴和机架将同时因热膨胀而伸长，但二者材料的线膨胀系数不同，而且轴的线膨胀系数大于机架的线膨胀系数。
