高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修1-1 学案

高中数学人教A版选修2-1第二章《2.3.1 双曲线及其标准方程》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

1教学目标

1.通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,理解双曲线的定义,体会双曲线标准方程的探索推导过程.

2. 使学生在学会知识的过程中,进一步熟练用坐标法建立曲线方程,培养学生等价转化、

数形结合等数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力.

2学情分析

学生刚刚学习了椭圆及其标准方程,在此基础上对于双曲线的标准方程的推导有一定的帮助。

3重点难点

双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.

定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点.

4教学过程

4.1第一学时

4.1.1教学活动

活动1【导入】双曲线及其标准方程

一、课题导入

师:椭圆的定义是什么?

(抽学生口述椭圆的定义.)

师:椭圆定义是由轨迹的问题引出来的,我们把满足几何条件|PF1|+|PF2|=2a(常数)(2a>|F1F2|)的动点P的轨迹叫椭圆.下面,我们来做这样一个实验:

(同学分组实验:利用绳子模仿实验演示双曲线的生成过程,导入课题)

师:通过这个实验,我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线,这是一类什么曲线呢?这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”(板书课题)

活动2【导入】新课探究

3.2.1双曲线及其标准方程

教学设计

本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第二节《双曲线》。以下是本节的课时安排：

第三章 圆锥曲线的方程

课时内容 3.2.1双曲线及其标准方程 3.2.2双曲线的简单几何性质

所在位置 教材第118页 教材第121页

新教材

内容

分析 双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义，感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何性质做好铺垫。 通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。

核心素养培养 通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对双曲线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。 通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。

教学主线 双曲线的标准方程、几何性质

学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,培养数学抽象的核心素养．

2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.

重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程

难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题

（一）新知导入

双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。

（二）双曲线及其标准方程

知识点一 双曲线的定义

【探究1】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？

§2.3.1 双曲线及其标准方程

学习目标

1．掌握双曲线的定义；

2．掌握双曲线的标准方程．

学习过程

一、课前准备

复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

复习2：在椭圆的标准方程22221xyab中，,,abc有何关系？若5,3ab，则?c

二、新课导学

※ 学习探究

问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

新知1：双曲线的定义：

平面内与两定点12,FF的距离的差的 等于常数(小于12FF)的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,FF叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12FF叫做双曲线的 ．

反思：设常数为2a ，为什么2a12FF？

2a12FF时，轨迹是 ；

2a12FF时，轨迹 ．

试试：点(1,0)A，(1,0)B，若1ACBC，则点C的轨迹是 ．

新知2：双曲线的标准方程：

22222221,(0,0,)xyabcabab（焦点在x轴）其焦点坐标为1(,0)Fc，2(,0)Fc．

思考：若焦点在y轴，标准方程又如何？

※ 典型例题

例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F，2(5,0)F，双曲线上任意点到12,FF的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

变式：已知双曲线221169xy的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 .

例2 已知,AB两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340/ms，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

变式：如果,AB两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？

※ 动手试试

练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：

（1）焦点在x轴上，4a，3b；

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修1-1

【学习目标】

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程；

2.掌握双曲线的标准方程；

3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.

【重点难点】双曲线定义及其标准方程

【学习过程】

一、问题情景导入：

1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线.

2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？

3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？

二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理）

1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,FF的距离的

等于常数（小于21FF）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .

双曲线的定义用集合语言表示为21212,2FFaaMFMFMP

思考:双曲线定义中212FFa,如果212FFa轨迹是什么图形呢？能否有212FFa的轨迹图形呢？

2.

焦点在x轴上 焦点在y轴上

图象

标准方程

焦点坐标

cba,,的关系

思考：⑴方程13222yx与13222xy分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？

⑵方程122nymx，当参数nm,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x轴上与焦点在y轴上的双曲线？

三、例题演练：

例1.若一个动点yxP,到两个定点0,1,0,1BA的距离之差的绝对值为定值0aa时，讨论点P的轨迹.