2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：2.2.1 双曲线及其标准方程
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2.2.1 双曲线及其标准方程
[学习目标] 1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
知识点一 双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
知识点二 双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 x2a2－y2b2＝1
(a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1
(a>0，b>0)
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
a、b、c的关系 c2＝a2＋b2
思考 (1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？
答案 (1)当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.
(2)a，b的值及焦点所在的位置.
题型一 求双曲线的标准方程
例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
(1)经过点P(3，154)，Q(－163，5)；
(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上.
解 (1)方法一 若焦点在x轴上，
设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，
由于点P(3，154)和Q(－163，5)在双曲线上，
∴ 9a2－22516b2＝1，2569a2－25b2＝1，解得 a2＝－16，b2＝－9， (舍去).
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为
y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，
将P、Q两点坐标代入可得 22516a2－9b2＝1，25a2－2569b2＝1，
解得 a2＝9，b2＝16，
∴双曲线的标准方程为y29－x216＝1.
综上，双曲线的标准方程为y29－x216＝1.
方法二 设双曲线方程为x2m＋y2n＝1(mn<0).
∵P、Q两点在双曲线上，
∴ 9m＋22516n＝1，2569m＋25n＝1，解得 m＝－16，n＝9. ∴所求双曲线的标准方程为y29－x216＝1.
(2)方法一 依题意可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0).
则有 a2＋b2＝6，25a2－4b2＝1，解得 a2＝5，b2＝1，
∴所求双曲线的标准方程为x25－y2＝1.
方法二 ∵焦点在x轴上，c＝6，
∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴25λ－46－λ＝1，
∴λ＝5或λ＝30(舍去).
∴所求双曲线的标准方程是x25－y2＝1.
反思与感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，从而简化求解过程.
跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(26，22).
解 (1)由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，
又知焦点在x轴上，且c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
所以双曲线的标准方程为x216－y29＝1.
(2)因为焦点在x轴上， 可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(26，22)代入方程得
16a2－4b2＝1， ①24a2－8b2＝1， ②
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为x28－y24＝1.
题型二 双曲线定义的应用
例2 若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积.
解 双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.
(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|
＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2| ＝100－1002×32＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)，
∴∠F1PF2＝90°，
12FPFS＝12|PF1|·|PF2|
＝12×32＝16.
反思与感悟 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a).
(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
跟踪训练2 已知双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
解 由x29－y216＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以12FPFS＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
＝12×64×32＝163.
题型三 与双曲线有关的轨迹问题
例3 如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.
解 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－22，0)，B(22，0).
由正弦定理得sin A＝|BC|2R，sin B＝|AC|2R，sin C＝|AB|2R(R为△ABC的外接圆半径).
∵2sin A＋sin C＝2sin B，
∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
从而有|AC|－|BC|＝12|AB|＝22<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).
∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6，
即所求轨迹方程为x22－y26＝1(x>2).
反思与感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
跟踪训练3 如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
解 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R， 则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，
且a＝32，c＝5，于是b2＝c2－a2＝914.
∴动圆圆心M的轨迹方程为x294－y2914＝1(x≤－32).
数形结合思想的应用
例4 已知F1、F2是双曲线x216－y29＝1的左、右焦点，A是双曲线右支上的动点.
(1)若点M(5,1)，求|AM|＋|AF2|的最小值；
(2)若点M(5，n)，求|AM|＋|AF2|的最小值.
分析 画出草图，结合焦点三角形进行考虑.
解 (1)草图如图所示.
由双曲线的定义，知|AM|＋|AF2|＝|AM|＋|AF1|－2a.由于点M在双曲线右支的右边，故由图知当点A在线段MF1上时，|AM|＋|AF1|最小，即|AM|＋|AF2|最小.
故所求的最小值为|MF1|－2a＝101－8.
(2)类似(1)可知，当点M在双曲线右支的右边，即|n|＜94时，|AM|＋|AF2|＝|AM|＋|AF1|－2a≥|MF1|－2a＝100＋n2－8.
当M在双曲线右支的外边或其上，即|n|≥94时，|AM|＋|AF2|≥|MF2|＝|n|.
故当|n|＜94时，|AM|＋|AF2|的最小值为100＋n2－8；当|n|≥94时，|AM|＋|AF2|的最小值为|n|.
解后反思 解决这类综合性较强的双曲线问题时，应利用图形的形象直观的特点画图分析，
