构建函数模型解决实际问题
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第 1 页 共 7 页 高中数学：构建函数模型解决实际问题
角度1 构造一次函数、二次函数模型
某创业团队拟生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比(如图①)，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图②)．(注：利润与投资额的单位均为万元)
(1)分别将A，B两种产品的利润f(x)，g(x)表示为关于投资额x的函数．
(2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A，B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？
解：(1)由A产品的利润与投资额成正比，
可设f(x)＝kx，将点(1,0.25)代入，
得f(x)＝14x(x≥0)．
由B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，
可设g(x)＝tx，将点(4,2.5)代入，
得g(x)＝54x(x≥0)．
(2)设B产品的投资额为x万元，
则A产品的投资额为(10－x)万元， 创业团队获得的利润为y万元， 第 2 页 共 7 页 则y＝g(x)＋f(10－x)＝54x＋14(10－x)(0≤x≤10)．
令x＝t，则y＝－14t2＋54t＋52(0≤t≤10)，
即y＝－14t－522＋6516(0≤t≤10)，
当t＝52，即x＝6.25时，y取得最大值4.062 5.
答：当B产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得最大利润，获得的最大利润为4.062 5万元．
角度2 构造指数函数、对数函数模型
候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3Q10(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，
故有a＋blog33010＝0，即a＋b＝0.
当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，
故a＋blog39010＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组 a＋b＝0，a＋2b＝1，得 a＝－1，b＝1.
(2)由(1)知，v＝a＋blog3Q10＝－1＋log3Q10.
所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2， 第 3 页 共 7 页 所以－1＋log3Q10≥2，
即log3Q10≥3，解得Q10≥27，即Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位．
解：(1)设DQ＝x m(x＞0)，
则AQ＝(x＋20)m.
∵QDDC＝AQAP，∴x30＝x＋20AP，
∴AP＝30x＋20x.
∴S＝12AP·AQ＝15x＋202x＝15x＋400x＋40≥1 200，
当且仅当x＝20时取等号，
∴DQ的长度为20 m时，S最小，S的最小值为1 200 m2.
(2)∵S≥1 600，
∴由(1)整理得3x2－200x＋1 200≥0.
解得0＜x≤203或x≥60，
即要使S不小于1 600 m2，
则DQ的长度范围是0，203∪[60，＋∞)．
角度4 构造分段函数模型
(2019·湖北孝感八校联考)共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)＝ 第 4 页 共 7 页 400x－12x2，0＜x≤400，80 000，x＞400，其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．
(1)试将自行车厂的利润y(单位：元)表示为关于月产量x的函数．
(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
解：(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x)元，则
y＝ －12x2＋300x－20 000，0＜x≤400，60 000－100x，x＞400.
(2)当0＜x≤400时，y＝－12(x－300)2＋25 000，故当x＝300时，ymax＝25 000；当x＞400时，y＝60 000－100x是减函数，故y＜60 000－100×400＝20 000.所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．
1.一、二次函数模型问题的2个注意点
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．
2．指数函数、对数函数两类函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数． 第 5 页 共 7 页 3．“y＝x＋ax(a＞0)”型函数模型的求解策略
(1)“y＝x＋ax”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋ax”型函数模型．
(2)求函数解析式要确定函数的定义域．对于y＝x＋ax(a＞0，x＞0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．
4．分段函数模型的求解策略
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．
(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．
(1)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( B )
A．略有盈利 B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
解析：设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损．
(2)(2019·福建三明第一中学月考)某公司为了变废为宝，节约资 第 6 页 共 7 页 源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为：
y＝ 13x3－80x2＋5 040x，x∈[120，144，12x2－200x＋80 000，x∈[144，500，
且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
①当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
②该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
解：①当x∈[200,300]时，该项目获利为S，
则S＝200x－12x2－200x＋80 000＝－12(x－400)2，
∴当x∈[200,300]时，S＜0，
因此，该项目不会获利．
当x＝300时，S取得最大值－5 000，
∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损．
②由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
yx＝ 13x2－80x＋5 040，x∈[120，144，12x－200＋80 000x，x∈[144，500.
当x∈[120,144)时，yx＝13x2－80x＋5 040＝13(x－120)2＋240，
∴当x＝120时，yx取得最小值240.
当x∈[144,500)时，yx＝12x－200＋80 000x≥2x2·80 000x－200＝400－200＝200， 第 7 页 共 7 页 当且仅当x2＝80 000x，即x＝400时，yx取得最小值200.
∵240＞200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
