数的整除

数的整除

知识要点：

1.整除——约数和倍数

例如：15÷3=5，63÷7=9

一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质

性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3．数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数。又因为4｜64，所以1864能被4整除。但因为2564，所以1864不能被25整除。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数。又因为125｜375，所以29375能被125整除。但因为8375，所以829375。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除？

解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。

再例如：判断13574是否是11的倍数？

解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。因此13574是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：判断1059282是否是7的倍数？

解：把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282。因此1059282是7的倍数。 再例如：判断3546725能否被13整除？

解：把3546725分为3546和725两个数。因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725。

拓展：

⑧判定一个数可否被17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与前面隔出数的3倍的差（大减小）是否被17整除。

⑨判定一个数可否被19整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位与前面隔出数的7倍的差（大减小）是否被19整除。

⑩判定一个数可否被23或29整除，只要将其末四位与前面隔开，看末四位与前面隔出数的5倍的差（大减小）是否被23或29整除。

例1．在□里填上合适的数，使五位数26□7□能被4整除，也能被3整除。

解答：共有7种可能：

个位 2 2 2 6 6 6 6

百位 1 4 7 0 3 6 9

例2．在□内填上的数，使□895□这个数能被72整除。

解答：8、9的倍数，末三位被8整除，个位2，各位数字和被9整除，万位3.。38952。

例3．七位数22A333A是6的倍数，那么A是多少？

解答：此数是6的倍数，要同时符合被2、3整除的数的特点， A=4。

例4．在□里填上适当的数，使6位数865□□□能被3、4、5整除，而且使这个数尽可能地小。

解答：符合条件的数能被5整除，后两位能背4整除，个位一定是0；各个数位数字和能被3整除，此数最小是865020。

例5．在□内填上合适的数，使5位数7□36□能被5整除，也能被9整除。

解答：7236076365

例5．在□内填上合适的数字，使5位数5□13□能被9整除。 解答：50130、50139、51138、52137、53136、54135、55134、56133、57132、58131、59130、59139.

例6．是一个四位数，这个数同时能被2、3、5、9整除，那么这个数是。

解答：3600、3690。

例7．一个无重复数字的五位数3□6□5能被75整除。这样的五位数有哪几个？

解答：末两位25：38625； 末两位75：30675或39675。

例8．有一个六位数能被11整除，首位是7，其余各位数字各不相同，这个六位数最小是多少？

解答：要使六位数最小，必须把最小数0，1，2，3，4，排列在7的后面，这样可得到数701234，可是这个数不能被11整除，为了求得最小的六位数，先要修改个位数4，经试算，把4改成9正好符合题意，所以最小的六位数是701239。

答：所求的最小的六位数是701239。

例9．求被26整除的六位数□1993□。

解答：由于26＝2×13，所以所求六位数□1993□应分别被2和13整除。

被2整除的数个位只能是0，2，4，6，8；所求六位数被13整除，必有□19与93□的差（93□－□19）是13的倍数。

（1）当原数个位为0时，930＝71×13＋7，故□19也应满足被13除余7。

□19＝100×□＋13＋6＝7×13×□＋9×□＋13＋6

＝13（7×□＋1）＋9×□＋6

即9×□＋6＝13K＋7

∴ 9×□－1应是13的倍数，故□只能是3。即六位数为319930。

（2）当原数个位数为2时，932＝71×13＋9，故□19也应满足被13除余9。

由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6

∴9×□＋6＝13K＋9，故9×□－3应是13的倍数，□只能是9。即六位数为919932。

（3）当原数个位数为4时，934＝71×13＋11，故□19也应被13除余11。 由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6

∴ 9×□＋6＝13K＋11，即9×□－5应是13的倍数，故□只能是2。即六位数为219934。

（4）当原数个位数为6时，936＝72×13，所以□19也应被13整除。

由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6

∴9×□＋6＝13K，9×□－7＋13＝13K，故9×□－7应是13的倍数，□只能是8。即六位数为819936。

（5）当原数个位数为8时，938＝72×13＋2，故□19也应被13除余2。

由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6

∴9×□＋6＝13K＋2，即9×□＋4应是13的倍数，□只能是1。即六位数为119938。

综合以上情况，满足条件的六位数有：319930，919932，219934，819936，119938，共五个。

习题：

1．已知45｜。求所有满足条件的六位数。

解答：

∵45=5×9，

∴5｜,9｜

∴y可取0或5。

当y=0时，根据9｜及数的整除特征③可知x=6，

当y=5时，根据9｜及数的整除特征③可知x=9。

∴满足条件的六位数是519930或919935。

2．李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 解答：

∵9□.2□元=9□2□分

28＝4×7，

∴4和7均能整除9□2□。

4｜2□可知□处能填0或4或8。

∵79020，79424，所以□处不能填0和4；

∵7｜9828，所叫□处应该填8。

又∵9828分=98.28元

98.28÷28＝3.51（元）

答：每支钢笔3.51元。

3．已知整数能被11整除.求所有满足这个条件的整数。

解答：

∵11｜

∴根据能被11整除的数的特征可知： 1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数，

即11｜（15—5a）.或11｜（5a—15）。

但是15—5a=5（3—a），5a—15=5（a—3），又（5，11）=1，因此11｜（3—a）或11｜（a—3）。

又∵a是数位上的数字。∴a只能取0～9。

所以只有a=3才能满足11｜（3—a）或11｜（a—3），即当a=3时，11｜15—5a。

符合题意的整数只有1323334353。 4．把三位数接连重复地写下去，共写1993个，所得的数恰是91的倍数，试求=?

解答：∵91=7×13，且（7，13）＝1。

∴7｜,13｜

根据一个数能被7或13整除的特征可知：

原数能被7以及13整除，

当且仅当能被7以及13整除，

也就是能被7以及13整除。

因为（7，10）=1，（13，10）＝1，所以7，13也就是7，13，因此，用一次性质（特征），就去掉了两组；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当能被7以及13整除。

又∵91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3，

∴=364

5．在□里填上适当的数字，使七位数□1992□□能同时被9、25、8整除。

解答：要求七位数□1992□□能同时被9、25、8整除，先考虑能被25整除这个条件。当七位数□1992□□能被25整除时，它的十位和个位数字组成的数只能