向量的加法
【学习目标】
1．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量．
2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．
【学习重难点】
向量加法的定义、法则及几何意义.
【学习过程】
一、初试身手
1．作用在同一物体上的两个力F1＝60 N，F2＝60 N，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( )
A．30 N B．60 N
C．90 N D．120 N
2．在△ABC中，必有AB→＋CA→＋BC→等于( )
A．0 B．0
C．任一向量 D．与三角形形状有关
3．化简下列各向量：
（1）AB→＋BC→＝________.
（2）PQ→＋OM→＋QO→＝________.
4．在正方形ABCD中，|AB→|＝1，则|AB→＋AD→|＝________.
二、合作探究
1．向量加法法则的应用
【例1】 （1）如图①，用向量加法的三角形法则作出a＋b；
（2）如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b．
2．向量加法及其运算律
【例2】 化简下列各式：
（1）BC→＋AB→；
（2）DB→＋CD→＋BC→；
（3）AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→.
3．向量加法的实际应用
[探究问题]
（1）如何计算两个向量的和？
（2）共线的两向量相加，其结果怎样？
【例3】 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
【学习小结】
向量求和法则及运算律
类别 图示
几何意义
向量
求和
的法
则 三角
形法
则 已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，再作向量AC→，则向量AC→叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→
向量
求和
的法
则 平行
四边
形法
则 已知向量a，b，作AB→＝a，AD→＝b，再作平行AD→的BC→＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量AC→叫作向量a与b的和，表示为AC→＝a＋b
1 2.2.1 向量的加法
整体设计
教学分析
向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明.同时运用它们进行相关计算,这可让学生进一步加强对向量几何意义的理解,也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.
培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想.而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比,则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.
向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.因此本节的主要思想方法是类比思想、数形结合思想等.
三维目标
1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量.
第2课时 向量的加法与减法
1.理解向量加法的含义,掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算.
2.掌握向量的减法运算,并理解其几何意义,会作两个向量的差向量.理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系.
3.经历向量的概念、法则的建构过程,通过观察、实验、类比、归纳等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.向量的运算能反映出一些物理规律,从而加深学科之间的联系,提高应用能力.
长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,一艘船从长江南岸出发,以大小为v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度向东,且大小为v2(v1>v2),那么船的实际速度的大小和方向怎么求呢?
问题1:相反向量及其性质,向量的加、减法运算.
的运算,叫作向量的加法,两个向量的和是向量(简称
);
长度相同、方向相反的两个向量互为相反向量,a与
互为相反向量,-(-a)=
;
零向量的相反向量是 ;
任一向量与它的相反向量的和是 ,a+(-a)= ;
如果a、b互为相反向量,则a=
,b=
,a+b=
;
向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-b=a+ ,求两个向量差的运算叫作向量的 .
问题2:向量加法法则.
(1)三角形法则
如图,在平面内任取一点A,作错误！未找到引用源。=a,错误！未找到引用源。=b,连接AC,则错误！未找到引用源。=a+b.这种求向量和的方法,叫向量加法的三角形法则,它的特点是首尾相连,即从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段.
(2)平行四边形法则
如图,在平面内任取一点A,作错误！未找到引用源。=a,错误！未找到引用源。=b,以AB、AD为边作平行四边形
ABCD,连接AC,则 .这种求向量和的方法,叫向量加法的平行四边形法则.
1 2.2.1 向量的加法
整体设计
教学分析
向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明.同时运用它们进行相关计算,这可让学生进一步加强对向量几何意义的理解,也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.
培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想.而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比,则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.
向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.因此本节的主要思想方法是类比思想、数形结合思想等.
三维目标
1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量.
