高三数学线性规划试题答案及解析
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高三数学线性规划试题答案及解析
1. 已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点在△ABC内部，则的取值范围是( )
A．(1－，2) B．(0，2) C．(－1，2) D．(0，1+)
【答案】A
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由题知C（，2），作出直线：，平移直线，由图知，直线过C时，=1－，过B（0,2）时，=3-1=2，故z的取值范围为（1－，2），故选C.
【考点】简单线性规划解法，数形结合思想
2. 若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，
直线交直线于点，交直线于点，
作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即；
当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即
.
因此，，故选C.
【考点】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.
3. 已知 (x＋y＋4)< (3x＋y－2)，若x－y
A．(－∞，10] B．(－∞，10) C．[10，＋∞) D．(10，＋∞)
【答案】C
【解析】已知不等式等价于不等式x＋y＋4>3x＋y－2>0，即，其表示的平面区域如图中的阴影部分(不含区域边界)所示．设z＝x－y，根据其几何意义，显然在图中的点A处，z取最大值，由得，A(3，－7)，故z<3－(－7)＝10，所以λ≥10.
4. 若满足条件的整点恰有9个（其中整点是指横，纵坐标均为整数的点），则整数的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【解析】不等式组表示的平面区域如图，要使整点恰有9个，即为，，，，，，，，，故整数的值为.故选C.
【考点】简单的线性规划，整点的含义.
5. 已知，则满足且 的概率为 . 【答案】 【解析】因为满足且 的平面区域是一个矩形，面积为， 而圆的半径为2，面积为，根据古典概型公式得所求的概率为.
【考点】古典概型,简单的线性规划，圆的面积公式.
6. （3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．12 D．13
【答案】D
【解析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．
解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），
因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点
即由题意可以得到：必有，即，
在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，
如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，
z=m+k取得最小值，即zmin=13．
故选D．
点评：此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．
7. 已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）.
A．5 B．-6 C．10 D．-l0
【答案】B
【解析】
当目标函数过点时，目标函数取得最小值，,代入,.
【考点】线性规划
8. 已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）.
A．5 B．-6 C．10 D．-l0
【答案】B
【解析】
当目标函数过点时，目标函数取得最小值，,代入,.
【考点】线性规划
9. 若，则目标函数的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 【答案】A
【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示，
，令，则，为原点与点之间连线的斜率，直线与直线交于点，直线与直线交于点，显然，直线的倾斜角最大，且为锐角，此时取最大值，即，直线的倾斜角最小，且为锐角，此时，取最小值，即，因此，所以，即目标函数的取值范围是，故选A.
【考点】1.线性规划；2.斜率
10. 在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域是，不等式组所表示的平面区域是. 从区域中随机取一点，则P为区域内的点的概率是_____．
【答案】
【解析】在同一坐标作出不等式组所表示的平面区域，与不等式组所表示的平面区域，由图可知，的面积为，与重叠的面积为，故从区域中随机取一点，则P为区域内的点的概率为．
【考点】几何概率．
11. （2011•湖北）已知向量=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3]
【答案】D
【解析】∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），
又∵⊥
∴（x+z）×2+3×（y﹣z）=2x+3y﹣z=0，
即z=2x+3y
∵满足不等式|x|+|y|≤1的平面区域如下图所示：
由图可知当x=0，y=1时，z取最大值3， 当x=0，y=﹣1时，z取最小值﹣3，
故z的取值范围为[﹣3，3]
故选D
12. 已知变量满足约束条件若取整数，则目标函数的最大值是 . 【答案】5 【解析】由变量满足约束条件如图可得可行域的范围．目标函数取到最大值则目标函数过点A（2,1）即.
【考点】1.线性规划问题.2.列举对比数学思想.
13. 若，满足约束条件，则的最大值是( )
A． B． C． D．
【答案】（C）
【解析】，满足约束条件如图所示. 目标函数化为.所以z的最大值即为目标函数的直线在y轴的截距最小.所以过点A最小为1.故选（C）.
【考点】1.线性规划的知识.2.数学结合的数学思想.
14. 原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤1 B．0＜a＜1
C．a=0或a=1 D．a＜0或a＞1
【答案】B
【解析】∵原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0两侧，
∴（0+0﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，
即a（a﹣1）＜0，
解得0＜a＜1，
故选：B．
15. 已知变量x，y满足约束条件则的最大值为 ． 【答案】 【解析】画出可行域及直线（如图所示）. 平移直线，当其经过点时，
【考点】简单线性规划
16. 已知为坐标原点，两点的坐标均满足不等式组设与的夹角为
，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出可行域，如图所示，当点A,B分别与点重合时，向量与的夹角最大，且是锐角，，则，又，故当时，取到最大值为．
【考点】1、二元一次不等式表示的平面区域；2、向量的夹角；3、同角三角函数基本关系式.
17. 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为 是( )
A. 31200元
B. 36000元
C. 36800元
D. 38400元
【答案】C
【解析】设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元
则z＝1600x＋2400y
x、y满足
画出可行域观察可知，直线过点A(5,12)时纵截距最小，
∴zmin＝5×1 600＋2 400×12＝36800，
故租金最少为36800元．选C.
18. 若实数满足，则的值域是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令，则，做出可行域，平移直线，由图象知当直线经过点是，最小，当经过点时，最大，所以，所以，即的值域是，选B.
19. 设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点，满足．求得m的取值范围是( )
A．(－∞，)
B．(－∞，)
C．(－∞，)
D．(－∞，)
【答案】C
【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图)
若存在满足条件的点在平面区域内，则只需点A(－m，m)在直线x－2y－2=0的下方，即－m－2m－2>0
20. 设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最大值为12，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2 【答案】A
【解析】作出满足条件的可行域(如图)
∵a>0，b>0，∴直线ax+by=0的图象过二、四象限，∴平移直线ax+by=0知，目标函数z=ax+by在点M(4，6)处取得最大值12，
∴4a+6b=12，即2a+3b=6
设m=，把2a+3b=6代入m=并整理得，b2－2b+2－2m=0
∵方程有正数解，∴Δ=4－4(2－2m)≥0m≥ ∴的最小值为
21. 若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_______.
【答案】.
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图中的阴影部分所表示，
直线交轴于点，交直线于点，当直线与直线在线段（不包括线段端点）时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形，将点的坐标代入直线的方程得，即，将点的坐标代入直线的方程得，因此实数的取值范围是.
【考点】线性规划
22. 设不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为.
(1)若与有且只有一个公共点，则＝;
(2)记为与公共部分的面积，则函数的取值范围是. 【答案】, 【解析】当直线与圆相切时，与有且只有一个公共点，此时解得．当或时，与有公共部分，为弓形．其面积为扇形面积减去三角形面积．当直线过圆心时，扇形面积最大，三角形面积最小，即弓形面积最大，但直线不过所以函数的取值范围是．
