高中数学必修一 第一章测试题(含答案)
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必修一 第一章 集合与简易逻辑单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．已知全集𝑈={1,2,3,4,5,6,7}，𝐴={2,3,5,7}，𝐵={1,3,6,7}，则∁𝑈(𝐴∩𝐵)=（ ）
A．{4} B．∅ C．{1,2,4,5,6} D．{1,2,3,5,6}
2．𝐴={2,3}，𝐵={𝑥∈𝑁|𝑥2−3𝑥<0}，则𝐴∪𝐵=（ ）
A．{1,2,3} B．{0,1,2,} C．{0,2,3} D．{0,1,2,3}
3．下列各组集合表示同一集合的是（ ）
A．𝑀={(3,2)},𝑁={(2,3)} B．𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑥+𝑦=1},𝑁={𝑦|𝑥+𝑦=1}
C．𝑀={4,5}，𝑁={5,4} D．𝑀={1,2},𝑁={(1,2)}
4．已知全集𝑈=𝒁，集合𝑀={𝑥|−1<𝑥<2,𝑥∈𝑍}，𝑁={−1,0,1,2}，则CUMN（ ）
A．{−1,2} B．{−1,0} C．{0,1} D．{1,2}
5．设集合𝑈={1,2,3,4}，𝑀={1,2,3}，𝑁={2,3}，则∁𝑈(𝑀∩𝑁)=（ ）
A．{4} B．{1,2} C．2,3 D．{1,4}
6．下列各式中：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}.正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．命题“∃𝑥∈𝑅，𝑥2−2𝑥+2≤0”的否定是（ ）
A．∃𝑥∈𝑅，𝑥2−2𝑥+2≥0 B．∃𝑥∈𝑅，2220xx
C．∀𝑥∈𝑅，2220xx D．∀𝑥∈𝑅，𝑥2−2𝑥+2≤0
8．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．若命题：“∃𝑥∈𝑹，使𝑥2−𝑥−𝑚=0”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．[−14,0] B．10,4 C．1,4 D．1,4 10．命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
11．已知集合𝐴={𝑥|𝑎𝑥=𝑥2}，𝐵={0，1，2}，若𝐴⊆𝐵，则实数𝑎的值为（ ）
A．1或2 B．0或1 C．0或2 D．0或1或2
12．已知集合𝐴={𝑥|−2≤𝑥≤5}，𝐵={𝑥|𝑚+1≤𝑥≤2𝑚−1}．若𝐵⊆𝐴，则实数𝑚的取值范围为（ ）
A．𝑚≥3 B．2≤𝑚≤3 C．3m D．𝑚≥2
评卷人 得分
二、填空题
13．已知集合𝐴={−1,0,1}，𝐵={0,𝑎,𝑎2}，若𝐴=𝐵，则𝑎=______.
14．已知集合𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑥+𝑦=2}、𝑁={(𝑥,𝑦)|𝑥−𝑦=4}，那么集合M∩N=
15．“方程220xxa没有实数根”的充要条件是________.
16．已知A，B是两个集合，定义𝐴−𝐵={𝑥|𝑥∈𝐴,𝑥∉𝐵}，若𝐴={𝑥|−1<𝑥<4}，𝐵={𝑥|𝑥>2}，则𝐴−𝐵=_______________.
评卷人 得分
三、解答题
17．已知𝐴={𝑎−1,2𝑎2+5𝑎+1,𝑎2+1}, −2∈𝐴,求实数𝑎的值.
18．已知集合𝐴={𝑥|−4<𝑥<2}，𝐵={𝑥|𝑥<−5或𝑥>1}．求𝐴∪𝐵，𝐴∩(∁𝑹𝐵)；
19．已知集合𝑈={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，𝐴={𝑥|3≤𝑥≤7且𝑥∈𝑈}，𝐵={𝑥|𝑥=3𝑛,𝑛∈𝑍且𝑥∈𝑈}.
（1）写出集合𝐵的所有子集；
（2）求𝐴∩𝐵，𝐴∪∁𝑈𝐵.
20．已知全集𝑈=𝑅,集合𝐴={𝑥|−1≤𝑥≤3}.
(1)求𝐶𝑈𝐴;
(2)若集合𝐵={𝑥|2𝑥−𝑎>0},且𝐵⊆(𝐶𝑈𝐴),求实数𝑎的取值范围.
21．已知集合|123Axaxa，|14Bxx，全集𝑈=𝑅． (1)当𝑎=1时，求(𝐶𝑈𝐴)∩𝐵；
(2)若“𝑥∈𝐵”是“𝑥∈𝐴”的必要条件，求实数𝑎的取值范围．
22．命题p：“∀𝑥∈[1,2]，𝑥2+𝑥−𝑎≥0”，命题𝑞：“∃𝑥∈𝑅，𝑥2+3𝑥+2−𝑎=0”.
(1)写出命题p的否定命题¬𝑝，并求当命题¬𝑝为真时，实数𝑎的取值范围；
(2)若p和𝑞中有且只有一个是真命题，求实数𝑎的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】先求交集，再求补集，即得答案.
【详解】因为𝐴={2,3,5,7}，𝐵={1,3,6,7}，所以𝐴∩𝐵={3,7}，
又全集𝑈={1,2,3,4,5,6,7}，所以UAB{1,2,4,5,6}.
故选：C
2．A
【分析】根据一元二次不等式的运算求出集合𝐵，再根据并集运算即可求出结果.
【详解】因为𝐵={𝑥∈𝑁|𝑥2−3𝑥<0}，所以𝐵={1,2}，所以𝐴∪𝐵={1,2,3}.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.
3．C
【分析】根据集合的表示法一一判断即可；
【详解】解：对于A：集合𝑀={(3,2)}表示含有点(3,2)的集合，𝑁={(2,3)}表示含有点(2,3)的集合，显然不是同一集合，故A错误；
对于B：集合𝑀表示的是直线𝑥+𝑦=1上的点组成的集合，集合𝑁=𝑅为数集，故B错误；
对于C：集合𝑀、𝑁均表示含有4,5两个元素组成的集合，故是同一集合，故C正确；
对于D：集合𝑀表示的是数集，集合𝑁为点集，故D错误；
故选：C
4．A
【解析】根据集合𝑀，求出𝐶𝑈𝑀，然后再根据交集运算即可求出结果.
【详解】𝑀={𝑥|−1<𝑥<2,𝑥∈𝒁}={0,1} ∴C{1,2}UMN.
故选:A.
【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，属于基础题.
5．D
【分析】根据交集、补集的定义计算可得；
【详解】解：∵集合𝑈={1,2,3,4}，𝑀={1,2,3}，𝑁={2,3}
∴𝑀∩𝑁={2,3}，
则∁𝑈(𝑀∩𝑁)={1,4}．
故选：D．
6．B
【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【详解】∈集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{0,1,2}⊆{2,1,0}，正确；
③空集是任意集合的子集，故∅⊆{0,1,2}，正确；
④空集没有任何元素，故∅≠{0}，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故{0,1},{(0,1)}为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∈∈∈正确.
故选：B.
7．C
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；
【详解】解：命题“∃𝑥∈𝑅，2220xx”为存在量词命题，其否定为：∀𝑥∈𝑅，2220xx；
故选：C
8．B
【分析】“返回家乡”的前提条件是“攻破楼兰”，即可判断出结论.
【详解】“返回家乡”的前提条件是“攻破楼兰”，
故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件
故选：B 9．C
【分析】利用判别式即可得到结果.
【详解】∵“∃𝑥∈𝑹，使𝑥2−𝑥−𝑚=0”是真命题，
∴𝛥=(−1)2+4𝑚≥0，解得𝑚≥−14.
故选：C
10．C
【分析】先要找出命题为真命题的充要条件{𝑎|𝑎≥4}， 从集合的角度充分不必要条件应为
{𝑎|𝑎≥4}的真子集，由选择项不难得出答案
【详解】命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，𝑎≥𝑥2恒成立
即只需𝑎 ≥(𝑥2)𝑚𝑎𝑥，
即命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的的充要条件为𝑎≥4，
而要找的一个充分不必要条件即为集合{𝑎|𝑎≥4}的真子集，由选择项可知 C 符合题
意.
故选：C
11．D
【解析】先求出集合𝐴，再根据𝐴⊆𝐵，即可求解.
【详解】解：当𝑎=0时，𝐴={0}，满足𝐴⊆𝐵，
当𝑎≠0时，𝐴{0,𝑎}，
若𝐴⊆𝐵，
∴𝑎=1或𝑎=2，
综上所述：𝑎=0,1或𝑎=2．
故选：D．
12．C
【分析】讨论𝐵=∅,𝐵≠∅两种情况，分别计算得到答案.
【详解】当𝐵=∅时：𝑚+1>2𝑚−1∴𝑚<2 成立；
当𝐵≠∅时：{𝑚+1≤2𝑚−1𝑚+1≥−22𝑚−1≤5 解得：2≤𝑚≤3.
综上所述：3m
故选𝐶 【点睛】本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.
13．1
【分析】根据集合相等，元素相同，即可求得𝑎的值.
【详解】∵集合𝐴={−1,0,1}，𝐵={0,𝑎,𝑎2}，𝐴=𝐵，
1a，𝑎2=1.
故答案是：1.
14．{(3,1)}
【分析】确定集合中的元素，得出求交集就是由求得方程组的解所得．
【详解】因为𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑥+𝑦=2}、𝑁={(𝑥,𝑦)|𝑥−𝑦=4}，
所以𝑀∩𝑁={(𝑥,𝑦)|{𝑥+𝑦=2𝑥−𝑦=4}={(3,−1)}.
故答案为：{(3,1)}．
15．𝑎<−1
【解析】利用判别式求出条件，再由充要条件的定义说明．
【详解】解析因为方程220xxa没有实数根，所以有440a，解得𝑎<−1，因此“方程220xxa没有实数根”的必要条件是𝑎<−1.反之，若𝑎<−1，则𝛥<0，方程220xxa无实根，从而充分性成立.故“方程220xxa没有实数根”的充要条件是“𝑎<−1”.
故答案为：𝑎<−1
【点睛】本题考查充要条件，掌握充要条件的定义是解题关键．
16．{𝑥|−1<𝑥≤2}
【分析】根据集合的新定义，结合集合A、B求𝐴−𝐵即可.
【详解】由题设，𝐴−𝐵={𝑥|𝑥∈𝐴,𝑥∉𝐵}，又𝐴={𝑥|−1<𝑥<4}，𝐵={𝑥|𝑥>2}，
∴𝐴−𝐵={𝑥|−1<𝑥≤2}.
故答案为：{𝑥|−1<𝑥≤2}
17．−32
【分析】由−2∈𝐴,有𝑎−1=−2,或2𝑎2+5𝑎+1=−2，显然𝑎2+1≠−2，解方程求出实数𝑎的值，但要注意集合元素的互异性.
【详解】因为−2∈𝐴，所以有𝑎−1=−2,或2𝑎2+5𝑎+1=−2，显然𝑎2+1≠−2，
当𝑎−1=−2时，𝑎=−1，此时𝑎−1=2𝑎2+5𝑎+1=−2不符合集合元素的互异性，故舍
