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高中数学(人教版选修21)课件+课时训练+章末过关测试第三章(21份)3.1.5 空间向量运算的坐标表示

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高中数学(人教版选修21)课件+课时训练+章末过关测试第

高中数学(人教版选修21)课件+课时训练+章末过关测试第

变式 训练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 y2
2．已知斜率为 2 的直线经过椭圆 5 ＋ 4 ＝1 的右焦点
F1，与椭圆相交于 A，B 两点，求弦 AB 的长．
解析：方法一
因为直线
l
x2 y2
过椭圆 5 ＋ 4 ＝1
的右焦点
F1(1,0)，
栏 目 链
又直线的斜率为 2，所以直线 l 的方程为 y＝2(x－1)，
接
2x－y－2＝0， 即 2x－y－2＝0.由方程组x52＋y42＝1
栏
(1)求椭圆方程；
目 链
接
(2)求△OAB 的面积．
x2 y2 解析：(1)∵a＝2b，∴设椭圆方程为4b2＋b2＝1，
y＝x＋2， 联立4xb22＋yb22＝1，
得 5x2＋16x＋16－4b2＝0，
∴
Δ ＝162－ （16－4b2 ）＝ x1＋x2＝－156，
（5b2－4） ＞0，
C．0＜m＜5 且 m≠1 D．m≥1 且 m≠5
自测 自评
3．已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心
率等于( D )
1
31
3
栏
A.3 B. 3 C.2 D. 2
目 链
接
栏 目 链 接
题型一 直线与椭圆的关系的判断
例1 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝
6有两个公共点，有一个公共点，没有公共点？
圆上 ⇔___ax_202_＋__by_202_＝__1_____；点在椭圆内部⇔__ax_202_＋__by_20_2＜___1___；点在
椭圆外部⇔__ax_202_＋__by_202_>_1_____.

人教A版高中数学选修23 .1 排列课件

人教A版高中数学选修23 .1 排列课件
所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A1659－n.
例4 解方程 A42x＋1＝140A3x.
解 根据题意，原方程等价于
2x ＋1≥4， x ≥3， x ∈N*， 2x ＋1·2x ·2x －12x －2＝140x x －1x －2，
A84 3 9A84
1 27
例3（1）Anm 17 16 15 5 4 ，则 m 14，
n 17 ．
(2) 用 排 列 数 表 示 (55 － n)(56 － n)…(69 － n)(n∈N* 且 n<55)；
解 因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n， 且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，
思考：上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？ (1)都是从整体中取出部分（或全部）按照顺序排列 (2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等
能推广到一般
知识点一 排列的定义
排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ） 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从ｎ个不 同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
例1、下列问题中哪些是排列问题？ （1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长 （3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 （4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除 （5）在1，2，2中，任选两个做除法 （6）20位同学互通一次电话
（7）20位同学互通一封信 （8）以圆上的10个点为端点作弦 （9）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个 点的射线
事不应共同用有的两方种N法原。理m解1 题m：2 （1）分m清n 要完成的事情是什么种
（2）是分类完成还是分步完成
探究新知
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？

高中数学(人教版选修21)课件+课时训练+章末过关测试第

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接
x2 y2
故所求椭圆的标准方程为36＋20＝1.
(2)∵2a＝2×2b，∴a＝2b.
x2 y2 当焦点在 x 轴上时，设方程为4b2＋b2＝1，
4 16
∵点(－2，－4)在椭圆上，∴4b2＋ b2 ＝1，
∴b2＝17.
x2 y2
∴椭圆的标准方程为68＋17＝1.
x2 y2 当焦点在 y 轴上时，设方程为：b2＋4b2＝1，
焦点
_(_±___c_,0__)
(_0_，___±___c)
长短轴 的长度
长轴长 2a，短轴长 2b
栏 目 链
接
焦距
|F1F2|＝2c(c2＝a2－b2)
离心率
e＝ca∈__(0__,1__)，e 越大，椭圆越扁，e 越小，
椭圆越圆
自测 自评
1．椭圆 6x2＋y2＝6 的长轴的端点坐标是( D )
4 16
∵点(－2，－4)在椭圆上，∴b2＋4b2＝1，
栏 目 链
∴b2＝8，∴椭圆的标准方程为：x82＋3y22 ＝1.
接
x2 y2
x2 y2
∴椭圆的标准方程为68＋17＝1 或 8 ＋32＝1.
题型三 求椭圆的离心率
例3 已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．
(0，－2)、(0,2)；e＝ca＝ 35.
为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为
y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)．
由 y＝23 9－x2(0≤x≤3)，可求出椭圆在第一象限内一些点的坐
栏 目 链
接
标(x，y)，列表如下：
x … 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …

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自测 自评
1．使四边形为菱形的充分条件是( D ) A．对角线相等
B．对角线互相垂直
栏
目
C．对角线互相平分
链
接
D．对角线互相垂直且平分
2．x＞3的一个充分不必要条件是( C ) A．x＞0 B．x＜0
C．x＞5 D．x＜5
自测 自评
3．“a和b都是偶数”是“ab是偶数”的
__充__分__不__必__要___条件．
目
链
接
即 0＜x＜2.由p⇒q，qD p知集合{x|0＜x＜2}是 不等式 x(x－a)＜0的解集的真子集，如图所示．所以a ＞2.从而a的取值范围是(2，＋∞)．
点评：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的
关键是找出集合间的包含关系，列出不等式(组)解决问题，
要注意范围的临界值．
栏
目
链q”形式的命题中，哪些命题中的p
是q的必要条件？
栏
(1)若a能被3整除，则a能被6整除；
目 链
接
(2)若sin α ＞0，则α 是第一象限角；
(3)若直线l1和l2不相交，则直线l1和l2是异面直线；
(4)若四边形的两条对角线相等，则这个四边形是等 腰梯形．
解析：命题(1)(2)(3)(4)的逆命题是真命题，所
(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角
形．p是q的________________．
栏
目
(2)a，b∈R，p：x＞a2＋b2，q：x＞2ab，p是q的
链 接
__________________．
解析：(1)△ABC 中，因为 b2>a2＋c2，所以 cos B＝
a2＋2ca2c－b2＜0，所以 B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．反

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cos
θ＝
AC PB
＝ 2
3
7＝3147，
| AC || PB |
∴AC 与 PB 所成角的余弦值为3147.
(2)由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为
(x,0，z)，则
N→E＝－x，12，1－z，由 NE⊥面 PAC 可得，
栏
→NE·A→P＝0， N→E·A→C＝0，
第二章 圆锥曲线与方程
3．2 立体几何中的向量方法 3．2.4 利用空间向量求空间距离
(本课时有一定难度，可根据具体情况选用)
栏 目 链 接
1．正确理解空间相关距离概念．
2．掌握用向量法求空间距离的方法．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基础 梳理
1．空间中的距离主要有：
_点__点___距__、__点__线__距__、___点__面__距__、__线__线___距__、__线__面__距___、__面__面__距___.
链 接
则 l1 和 l2 的距离是 d＝|A→B|＝|→C|D· n|n|.
自测 自评
1．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是( )
A.3102，2 5 2，－
22和－3102，－2 5 2，
2 2
栏
目
B.3102，2 5 2，－
2 2
链 接
别为 x，y，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系．
由于，AB＝ 2，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝π3 ，
则在三棱柱 ABC­A1B1C1 中有 B(0,0,0)，A(0,0， 2 ) ，
B1(0,2,0)，C 23，－12，0，C1 23，32，0.
栏 目 链
离分别为 1， 63.

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故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这
两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终
点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向
栏 目
链
量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 接
与b的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命
题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定
链
B．必要而不充分条件
接
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
自测 自评
2．对于空间非零向量A→B，B→C，A→C，下列各式一定不成立的
是( B )
A.A→B＋B→C＝A→C
栏
目
B.A→B－A→C＝B→C
链 接
C．|A→B|＋|B→C|＝|A→C|
D．|A→B|－|A→C|＝|B→C|
自测 自评
3．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个
的自由平移获得更准确的结果．
(3)在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利 用多边形法则．如图
接
解析：(1)A→B＋BB→′－D-′-A→′＋D-′-→D－B→C ＝AB→′＋A-′-D→′＋(D--′→D－B→C) ＝AB→′＋B-′-C→′＋(D--′→D－-A→D ) ＝AC→′＋D-′-→A＝AC→′＋C′→B＝A→B.
(2)AC→′－A→C＋A→D－AA→′
＝(AC→′－A→C)＋(A→D－A→A′)
但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个
向量相等的必要不充分条件．
栏
目
(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法
链 接
的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关

高中数学(人教A版选修21)教师配套课件+课时提升作业+课堂达标·效果检测：2.4+抛物线(9份)2.4.1


2.抛物线标准方程的特点 (1)是关于x,y的二元二次方程. (2)p的几何意义是焦点到准线的距离.
3.四种位置的抛物线标准方程的对比
(1)共同点:①原点在抛物线上;
②焦点在坐标轴上; ③焦点的非零坐标都是一次项系数的 1 .
4
(2)不同点:①焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2; 焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2.
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)抛物线y2=4x的焦点坐标为
;准线方程
为
.
(2)若抛物线的方程为x=2ay2(a>0),则焦点到准线的距离
p=
.
(3)焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为
.
【解析】(1)因为y2=4x，所以p=2，所以焦点坐标为(1，0),
准线方程为x=-1.
答案：(1,0) x=-1
(2)因为x=2ay2(a＞0)，所以 y2 1 x,
2a
由 2p 1 ，所以 p 1 .
2a
4a
答案： 1
4a
(3)因为焦点坐标为(0,2)，故标准方程可设为x2=2py(p＞0), 其中 p 2, 所以p=4.
2
故标准方程为x2=8y.
答案：x2=8y
【要点探究】 知识点 抛物线的定义及标准方程 1.对抛物线定义的两点说明 (1)定直线l不经过定点F. (2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个 确定的比值.
②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)正
半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,
焦点在x轴(或y轴)负半轴上,方程右端取负号.
【知识拓展】抛物线与二次函数的关系 二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，当b,c为0时，

高中数学(人教版选修21)课件+课时训练+章末过关测试第


栏
B．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为
目
链
y＝± 55x，离心率 e＝95
接
C．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为
y＝±2 5x，离心率 e＝65
D．实轴长为 2 5，虚轴长为 8，渐近线方程为
y＝± 25x，离心率 e＝65
自测 自评
2．若双曲线xa22－y32＝1(a＞0)的离心率为 2，则 a 等于( D )
x
轴上；
(2)求与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点 M(2，
栏
－2)的双曲线方程．
目 链
接
解析：(1)设双曲线的标准方程为
xa22－by22＝1(a>0，b>0)．
由题设知：2b＝12，ca＝54，且 c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
x2 y2
∴所求的双曲线标准方程为64－36＝1.
(2)设与双曲线x22－y2＝1
x2
有公共渐进线的双曲线方程为 2
－y2＝λ (λ ≠0)．
将点 M(2，－2)代入x22－y2＝λ (λ ≠0)得：λ ＝－2.
栏
∴所求的双曲线标准方程为y22－x42＝1.
目 链 接
点评：由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系
数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意
链 接
C．y＝±94x D．y＝±49x
解析：由双曲线方程可得焦点在 x 轴上，a＝4，b＝3. ∴渐近线方程为 y＝±bax＝±34x.
答案：A
自测 自评
x2 y2
1．双曲线 5 － 4 ＝1 的( A )
A．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为

高中数学(人教版选修21)课件+课时训练+章末过关测试第一章(19份)1.1.2 四种命题的相互关系


基础 梳理
2．四种命题的真假性之间的关系：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有_相__同__的___真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 栏
_没_有__关__系__．
目 链
接
例：命题“若 x＝y，则sin x＝sin y”是真命题；它
的逆否命题：
“_若__s_in__x_≠_s_in__y_，__则__x_≠_y____”也是真命题；否命题 “_若__x_≠_y_，__则__si_n__x_≠_si_n__y_____”是假命题，逆命题 “若__s_in__x_＝__s_in__y_，__则__x_＝__y___”也是假命题．
真命题．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若 m>0，则方程 x2
＋2x－3m＝0 有实数根”的逆否命题也为真命题．
方法二 原命题的逆否命题为“若方程x2＋2x－3m ＝0无实数根，则m≤0”．
方程x2＋2x－3m＝0无实数根，
栏 目
链
所以Δ ＝4＋12m<0.所以m<－≤0.
接
所以“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为 真命题．
α ＝2kπ ±π3 (k∈Z)，所以，其逆否命题也是假命题；其逆命题：“若
α ＝π3 ，则 cos α ＝12”，是真命题，所以，其否命题也是真命题．
题型二 等价命题的应用
例2证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函
数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋
b≥0.
自测 自评
3．有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2<y2”的逆否命题；

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栏 目 链
接
∴y＝1.
∴直线 l 与 C 只有一个公共点14，1，此时直线 l 平行于 x 轴． 当 k≠0 时，方程(*)是一个一元二次方程：
Δ ＝(2k－4)2－4k2＝16－16k，
(1)当Δ ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点， 此时称直线l与C相交；
(2)当Δ ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时称
1
1＋k2·
（y1＋y2）2－4y1y2.
自测 自评
1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则
( C)
A．直线与抛物线有一个公共点
栏
B．直线与抛物线有两个公共点
目 链
接
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
2．过点M(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共
何值时，l与C有一个公共点，两个公共点，没有公共点？
栏
分析：直线和抛物线公共点个数的判断问题，可通 目
链
过联立直线的方程和抛物线的方程，借助于方程的判别
接
式作答．
解析：将 l 和 C 的方程联立得yy2＝＝k4xx＋，1，
消去 y，得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当 k＝0 时，方程(*)只有一个解 x＝14，
目
链
当 k＝0 时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点； 接
当 k≠0 时，应有 Δ ≥0，即 64－64k2≥0，解得－1≤k≤1
∴直线的方程为 y－1＝3(x－4)． 即 3x－y－11＝0.
由yy2＝＝36xx－，11， 得 y2－2y－22＝0，
栏 目
链
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
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基础 梳理
3．空间中向量的坐标及两点间的距离公式．
在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)．
(1)A→B＝_(_a_2－___a_1_，__b_2_－__b_1_，__c_2_－；c1)
栏
目
(2)dAB＝|A→B|
链 接
＝___（___a_2_－___a_1_）__2_＋___（__b__2－_. b1）2＋（c2－c1）2
自测 自评
1．已知下列叙述：
①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定
是(0，b，c)；
栏
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标
目 链
一定可写成(0，b，c)；
接
③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定 可写成(0,0，c)；
④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标
是（a,0,c）.
因为12(A→B－A→C)＝A→P＝3，32，－2，
栏 目 链 接
所以 x－2＝3，y＋1＝32，z－2＝－2，即 x＝5，y＝12，z＝0，
所以点 P 坐标为5，12，0.
点评：(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示 这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
(1)a＋b＝__(a_1_＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)；
栏
目
(2)a－b＝_(_a_1－__b_1_，__a_2_－__b_2，__a_3_－__b_3_) ；
链 接
(3)λ a＝__(_λ_a_1_，__λa_2_，__λ_a_3_)___(λ ∈R)；
∴a·b＝1×12＋2×－12＋12×1＝0，
栏
目
∴a⊥b.
链 接
∵c＝－2，3，－12，d＝1，－32，41，
∴c＝－21，－32，41＝－2d，∴c∥d.
点评：(1)要熟练掌握两个向量平行和垂直的充
ห้องสมุดไป่ตู้
要条件，借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直
栏
解析：因为A→B＝(－3,7，－5)，所以O→C＝23A→B＝23(－3,7，

14 10
－5)＝－2，

3
，－
3
.故选

B.
答案：B
栏
目
3．下列命题错误的是( D )
链 接
A．点(x，y，z)关于 xOy 平面的对称点是(x，y，－z)
B．点(x，y，z)关于 yOz 平面的对称点是(－x，y，z)
第二章 圆锥曲线与方程
3.1 空间向量及其运算 3．1.5 空间向量运算的坐标表示
栏 目 链 接
1．进一步掌握空间向量的夹角、距离等概念， 并能熟练运用．
2．通过向量坐标表示，能综合运用向量的数量
栏
积知识解决有关立体几何问题．
目 链
接
栏 目 链 接
基础 梳理
1．空间向量的加减和数乘的坐标表示．
问题转化为向量的坐标运算．
目
链
接
(2)在应用坐标形式下的平行条件时，一定要注
意结论成立的前提条件．在条件不明确时，要分类讨
论．
变式 训练
2．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值．
栏
目
解析：方法一 ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)．
C．点(x，y，z)关于 zOx 平面的对称点是(x，－y，z)
D．点(x，y，z)关于原点的对称点是(－x，－y，z)
栏 目 链 接
题型一 空间向量的坐标运算
例 1 已知 O 为坐标原点，A，B，C 三点的坐标分 别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点 P 的坐
标，使：
栏
目
(2)|a|＝ a·a＝_____a_12_＋__a_22_＋__a_32 __；
链 接
a1b〈1＋aa，2bb2＋a〉3b＝3 |aa|··b|b|
＝___a1_2＋__a_22_＋_a_32__b_12_＋__b_22＋__b_23______；
(4)a⊥b⇔__a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_＝__0__.
栏 目
算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算
链 接
括号里，后算括号外．
(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则 基本一样，应注意一些计算公式的应用．
变式 迁移
1．设a＝(1，－2,4)，求同时满足下列条件的向量x：
①x⊥a；
②|x|＝10；
栏
目
③x在yOz平面上．
链
接
答案： x＝(0,4 5，2 5)或 x＝(0，－4 5，－2 5)
自测 自评
其中正确的个数是( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
栏 目
链
2．已知 A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若O→C＝23A→B，则 C 的坐
接
标是( )
A.2，－134，130 B.－2，134，－130 C.2，－134，－130 D.－2，－134，130
题型二 空间向量平行与垂直条件的应用
例 2 已知：a＝1，2，12，b＝12，－21，1，c＝
，d＝1，－32，41.
栏 目 链 接
证明：a⊥b，c∥d.
分析：要证 a⊥b，就是证 a·b＝0；要证 c∥d，需
证 c＝λ d(λ ∈R)．
证明：∵a＝1，2，21，b＝12，－21，1，
栏
目
(1)O→P＝12(A→B－A→C)；
链 接
(2)A→P＝12(A→B－ A→C)． 解析：A→B＝(2,6，－3)，A→C＝(－4,3,1)．
(1)O→P＝12(6,3，－4)＝3，32，－2，
则点 P 的坐标为3，32，－2.
(2)设 P 为(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)．
(4)若b≠0，则a∥b ⇔ a＝ λ b(λ ∈R)⇔__a_1_＝__λb_1_____，___a_2＝__λ_b_2____，
__a_3_＝__λ_b_3____.
基础 梳理
2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式．
若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则：
(1)a·b＝__a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_____；
链
接
a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－