高中数学第一章集合与函数概念第14课时函数奇偶性的简单应用练习新人教A版必修1

1.3.2 奇偶性一、A组1.函数f(x)=-x的图象关于()A.坐标原点对称B.x轴对称C.y轴对称D.直线y=x对称解析:因为函数f(x)的定义域关于原点对称,又f(-x)=+x=-=-f(x),所以f(x)为奇函数.故其图象关于坐标原点对称.答案:A2.若f(x)=ax2+bx+c(c≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析:∵f(-x)=f(x),∴a(-x)2-bx+c=ax2+bx+c对x∈R恒成立.∴b=0.∴g(x)=ax3+cx.易知g(-x)=-g(x).故g(x)是奇函数.答案:A3.已知f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)≥2,则当x<0时,有()A.f(x)≤2B.f(x)≥2C.f(x)≤-2D.f(x)∈R解析:可画出满足题意的一个f(x)的大致图象如图所示,由图易知当x<0时,有f(x)≥2.故选B.答案:B4.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于()A.4B.3C.2D.1解析:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-1)+g(1)=2,即-f(1)+g(1)=2.①f(1)+g(-1)=4,即f(1)+g(1)=4.②由①+②得,g(1)=3,故选B.答案:B5.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+|x|-1,则当x<0时,f(x)的解析式为f(x)=()A.x2-|x|+1B.-x2+|x|+1C.-x2-|x|-1D.-x2-|x|+1解析:若x<0,则-x>0,f(-x)=x2+|x|-1,∵f(-x)=-f(x),∴-f(x)=x2+|x|-1,f(x)=-x2-|x|+1.答案:D6.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,若f(x)在[0,+∞)上是减函数,则f与f的大小关系是()A.f>fB.f<fC.f≥fD.f≤f解析:因为a2+2a+=(a+1)2+,又f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,所以f=f≥f.答案:C7.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=.解析:令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,所以h(-2)=f(-2)+8=18.h(2)=-h(-2)=-18,所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.答案:-268.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)=.解析:∵f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(0+2)=-f(0).又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-0)=-f(0).∴f(0)=0.∴f(6)=0.答案:09.已知函数f(x)=(a,b,c∈Z)是奇函数,且f(1)=2,f(2)<3,求a,b,c的值.解:∵函数f(x)=是奇函数,∴f(-x)=-f(x).因此,有=-,∴c=-c,即c=0.又f(1)=2,∴a+1=2b.由f(2)<3,得<3,即<0,解得-1<a<2.∵a,b,c∈Z,∴a=0或a=1.当a=0时,b=∉Z(舍去).当a=1时,b=1.综上可知,a=1,b=1,c=0.10f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.解:∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,且f(x)是奇函数,∴当x>0时,-x<0,则f(-x)=x2-3x+2.故当x>0时,f(x)=-f(-x)=3x-x2-2.∴当x∈时,f(x)是增函数;当x∈时,f(x)是减函数.因此当x∈[1,3]时,f(x)max=f,f(x)min=f(3)=-2.∴m=,n=-2,从而m-n=.二、B组1.已知定义域为R的函数f(x)在区间(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则()A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)解析:由题意知y=f(x+8)为偶函数,则f(-x+8)=f(x+8),则f(x)的图象的对称轴为x=8.不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图),则有f(6)<f(7),f(6)=f(10)<f(9),f(7)=f(9)>f(10).故选D.答案:D2.(2016·某某诸城高一期末)设f(x)是奇函数,对任意的实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,则f(x)在区间[a,b]上()A.有最大值f(a)B.有最小值f(a)C.有最大值fD.有最小值f解析:任取x1<x2,则x2-x1>0.∵当x>0时,f(x)<0,∴f(x2-x1)<0,即f(x2)+f(-x1)<0.∵f(x)是奇函数,∴有f(x2)-f(x1)<0,∴f(x2)<f(x1),∴f(x)在R上是减函数.∴f(x)在区间[a,b]上有最大值f(a),最小值f(b).故选A.答案:A3.导学号29900053若函数f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又f(3)=0,则<0的解集为()A.(-3,3)B.(-∞,-3)∪(3,+∞)C.(-3,0)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)解析:因为函数f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(3)=0,所以f(x)在(-∞,0)上是增函数,f(-3)=f(3)=0,且<0等价于<0,结合函数f(x)的大致图象(图略)可得不等式的解集为(-3,0)∪(3,+∞).答案:C4.已知f(x)=(k-2)x2+(k-3)x+3是偶函数,则f(x)的递减区间为.解析:由偶函数的定义知k=3,f(x)=x2+3,其图象开口向上,所以f(x)的递减区间是(-∞,0].答案:(-∞,0]5.若函数f(x)=为奇函数,则a=.解析:由f(-x)=-f(x),得,即(x-1)(x-a)=(x+1)(x+a)(x≠0),所以a=-1.答案:-16.(2016·某某某某一中高一期中)定义在[-1,1]上的函数y=f(x)是增函数,且是奇函数,若f(a-1)+f(4a-5)>0,某某数a的取值X围.解:由f(a-1)+f(4a-5)>0,得f(a-1)>-f(4a-5),因为函数y=f(x)为奇函数,所以f(a-1)>f(5-4a).又函数y=f(x)在[-1,1]上是增函数,有解得故实数a的取值X围是.7f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.(1)试求出f(x)的表达式;(2)求出f(x)的值域.解:(1)∵f(x)的图象经过点(-2,0),∴0=-2+b,即b=2.∴当x≤-1时,f(x)=x+2.∵f(x)为偶函数,∴当x≥1时,f(x)=f(-x)=-x+2.当-1≤x≤1时,依题意设f(x)=ax2+2(a≠0),则1=a·(-1)2+2,∴a=-1.∴当-1≤x≤1时,f(x)=-x2+2.综上,f(x)=(2)当x≤-1时,f(x)=x+2∈(-∞,1];当-1<x<1时,f(x)=-x2+2∈(1,2];当x≥1时,f(x)=-x+2∈(-∞,1].综上所述,f(x)∈(-∞,2].。

高中数学人教新课标A版必修1 第一章集合与函数概念 1.3.2 奇偶性一、选择题1.下列函数中是奇函数的是（）A. f（x）＝x2＋3B. f（x）＝1－x3C. f（x）＝D. f（x）＝x＋1【答案】C2.已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋，则f（－1）＝（）A. －2B. 0C. 1D. 2【答案】A3.已知函数y＝f（x）是偶函数，其图象与直线有4个交点，则方程的所有实根之和是（）A. 4B. 2C. 1D. 0【答案】D4.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x2－3x，则函数f（x）在R上的解析式是（）A. f（x）＝－x（2x－3）B. f（x）＝x（2|x|－3）C. f（x）＝|x|（2x－3）D. f（x）＝|x|（2|x|－3）【答案】 D5.下面四个说法：①奇函数的图象关于坐标原点对称；②某一个函数可以既是奇函数，又是偶函数；③奇函数的图象一定过原点；④偶函数的图象一定与y轴相交．其中正确说法的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B6.设奇函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（）A. f（π）＞f（－3）＞f（－2）B. f（π）＞f（－2）＞f（－3）C. f（π）＜f（－3）＜f（－2）D. f（π）＜f（－2）＜f（－3）【答案】B7.已知f（x）＝2x5＋ax3＋bx－3，若f（－4）＝10，则f（4）＝（）A. 16B. －10C. 10D. －16【答案】D8.已知f（x）是定义在[m，n]上的奇函数，且f（x）在[m，n]上的最大值为a，则函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为（）A. 2a＋3B. 2a＋6C. 6－2aD. 6【答案】 D9.下列函数中,既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】D10.已知是定义在上的偶函数，且有.则下列各式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A11.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数【答案】B12.已知定义在上的奇函数满足，则的值为（）A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】B13.函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C14.奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式的解集为（）A. (﹣1，0)∪(1，+∞)B. (﹣∞，﹣1)∪(0，1)C. (﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)D. (﹣1，0)∪(0，1)【答案】C15.设是奇函数，对任意的实数有，且当时，，则在区间上（）A. 有最大值B. 有最小值C. 有最大值D. 有最小值【答案】C二、填空题16.设函数f（x）＝为奇函数，则实数a＝________.【答案】17.若函数f（x）＝（2k－3）x2＋（k－2）x＋3是偶函数，则f（x）的递增区间是________．【答案】18.已知f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）＝2x2＋5x＋1.若当x∈[1，3]时，f（x）的最大值为m，最小值为n，则m－n的值为________．【答案】19.若为奇函数,则实数m=________.【答案】-220.已知是偶函数，当时，，则当时，________．【答案】21.已知函数是定义在上的奇函数，若则________.【答案】-3三、解答题22.已知函数f（x）（x∈R）是偶函数，且当x 0时，f（x）＝3x－2，求函数f（x）的解析式．【答案】解：当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）＝3（－x）－2＝－3x－2.又∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴f（x）＝－3x－2.∴所求函数的解析式为f（x）＝23.判定下列函数的奇偶性．（1）f（x）＝；（2）f（x）＝；（3）f（x）＝；（4）f（x）＝|x＋1|＋|x－1|.【答案】（1）解：f（x）的定义域是（－∞，1）∪（1，＋∞），不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数（2）解：f（x）的定义域是{－1,1}，关于原点对称，且f（－1）＝f（1）＝0，∴f（－1）＝f（1），且f（－1）＝－f（1），∴函数f（x）既是奇函数又是偶函数（3）解：f（x）的定义域为（－∞，＋∞），关于原点对称，又，∴f（x）是奇函数（4）解：f（x）的定义域为R，又f（－x）＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f（x），∴f（x）是偶函数24.已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝－2x2＋4x＋3.（1）求f（x）的表达式；（2）画出f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间．【答案】（1）解：设x＜0，则－x＞0，于是f（－x）＝－2（－x）2－4x＋3＝－2x2－4x＋3.又∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．因此f（x）＝2x2＋4x－3.又∵f（0）＝0，∴f（x）＝（2）解：先画出y＝f（x）（x＞0）的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f（x）（x＜0）的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为[－1，0）和（0，1]，减区间为（－∞，－1]和[1，＋∞）．25.判断下列函数的奇偶性．（1）f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；（2）f(x)＝；（3）f(x)＝；（4）f(x)＝【答案】（1）解：虽然f(－x)＝f(x)，但定义域不关于原点对称，故f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]是非奇非偶函数（2）解：由得－1≤x<0，或0<x≤1.故函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2>0.从而有f(x)＝＝＝，于是f(－x)＝－＝－f(x)．故函数f(x)为奇函数（3）解：∵≥0，∴－1≤x<1.∴定义域不关于原点对称．∴f(x)为非奇非偶函数（4）解：当x>0时，−x<0 ,f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x；当x<0时，−x>0,f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数26.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有.（1）若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；（2）若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．【答案】（1）解：∵a＞b，∴a－b＞0，∵，∴，∴ f(a)＋f(－b)＞0.又∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)（2）解：由（1）可知f(x)为R上的单调递增函数，∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，∴1＋m≥2m－3，∴m≤4.∴实数m的取值范围为(－∞，4]27.已知定义在上的函数满足,当时, .（1）求证：为奇函数;（2）求证：为上的增函数;（3）解关于的不等式: (其中且为常数).【答案】（1）解：由题意知,令,得,即. 再令,即,得.∴,∴是奇函数（2）解：设,且,则.由已知得: ,∴,∴.即在上是增函数（3）解：∵,∴, ∴.即.∵,∴.当,即时,所求不等式的解集为或.当,即时, 所求不等式的解集为.当,即时, 所求不等式的解集为或。

人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版习题1.2（第24页）练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R∈，且12x x <， 因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >， 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．最小值．练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3（第39页）1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-， 由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x=-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为xm ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题（第44页）A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320xx -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P POcm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==I 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a=时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a=，而B A ⊆，则11a =-，或11a =，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭I ，即{(0,0)}A B =I ；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I，即A C =∅I ；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I； 则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-IU I .6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞U ．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x+=-， 所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x=， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性， 则208k ≥，或58k ≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数； （2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3．解：由(){1,3}U A B =U ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =U ，集合A B U 里除去()U A B I ð，得集合B ， 所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩． .5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++， 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤， 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<， 因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则 0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩ 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。

第二课时函数奇偶性的应用(习题课)基础巩固1.下列函数中是奇函数的为( D )(A)y=x-1 (B)y=x2(C)y=|x| (D)y=x解析:y=x-1为非奇非偶函数,y=x2与y=|x|为偶函数,y=x为奇函数.故选D.2.已知函数f(x)=g(x)+|x|,对任意的x∈R总有 f(-x)=-f(x),且g(-1)=1,则g(1)等于( B )(A)-1 (B)-3 (C)3 (D)1解析:由f(-x)=-f(x)可知f(x)是奇函数,因为 f(x)=g(x)+|x|,g(-1)=1,所以f(-1)=1+1=2,则f(1)=-2.故得f(1)=g(1)+1=-2,所以g(1)=-3,故选B.3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( C )(A)y=(B)y=x2+1(C)y=(D)y=x解析:选项A,D中的函数是奇函数,选项B,C中的函数是偶函数,但函数y=x2+1在(0,+∞)上单调递增.故选C.4.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则 f(5)+f(-5)的值为( A )(A)4 (B)0(C)2m (D)-m+4解析:由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2=-a·57+b·55-c·53+2=m,得a·57-b·55+c·53=2-m,则f(5)=a·57-b·55+c·53+2=2-m+2=4-m.所以f(5)+f(-5)=4-m+m=4.故选A.5.若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中,成立的是( D )(A)f(-)<f(-1)<f(2)(B)f(-1)<f(-)<f(2)(C)f(2)<f(-1)<f(-)(D)f(2)<f(-)<f(-1)解析:偶函数f(x)满足f(2)=f(-2),函数在(-∞,-1]上是增函数,因为-2<-<-1,所以f(-2)<f(-)<f(-1),即f(2)<f(-)<f(-1).6.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)的解析式是( A )(A)f(x)=-x(x+2) (B)f(x)=x(x-2)(C)f(x)=-x(x-2) (D)f(x)=x(x+2)解析:设x<0,则-x>0,则f(-x)=x2+2x=-f(x),所以f(x)=-x(x+2),故选A.7.偶函数y=f(x)满足下列条件:①x≥0时,f(x)=x;②对任意x∈[t,t+1],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是( B )(A)[-2,] (B)(-∞,-](C)[-,0] (D)[-,1]解析:根据条件得f(|x+t|)≥2f(|x|),所以|x+t|≥2|x|,所以(x+t)2≥4x2,整理,得3x2-2tx-t2≤0在[t,t+1]上恒成立,设g(x)=3x2-2tx-t2,g(t)=0,所以g(t+1)=3(t+1)2-2t(t+1)-t2≤0,解得t≤-.故选B.8.已知函数f(x)是R上的奇函数,当x>0时为减函数,且f(2)=0,则{x|f(x-2)>0}等于( D )(A){x|0<x<2或x>4} (B){x|x<0或x>4}(C){x|0<x<2或x>2} (D){x|x<0或2<x<4}解析:f(x)的大致图象如图,由图可知当x<-2或0<x<2时,f(x)>0, 则f(x-2)>0时,x-2<-2或0<x-2<2,解得x<0或2<x<4.故选D.9.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)按从小到大的顺序排列是.解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)恒成立,即(m-1)x2-6mx+ 2=(m-1)x2+6mx+2恒成立,所以m=0,即f(x)=-x2+2.因为f(x)的图象开口向下,对称轴为y轴,在[0,+∞)上单调递减,所以f(2)<f(1)<f(0),即f(-2)<f(1)<f(0).答案:f(-2)<f(1)<f(0)10.已知偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0,则不等式>0的解集为.解析:由题意,不等式>0等价于>0,即等价于或因为偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0,所以函数f(x)在(-∞,0)上为增函数,且f(-2)=0.所以或所以0<x<2或x<-2.所以不等式>0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).答案:(-∞,-2)∪(0,2)11.已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)= .解析:函数f(x)==1+,f(a)=,即f(a)=1+=,=-,所以f(-a)=1+=1-(-)=.答案:12.已知函数f(x)是周期为2的奇函数,当-1≤x≤0时,f(x)=x2+x,则f()= .解析:因为函数f(x)是周期为2的奇函数,所以f()=f(505×2+)=f()=-f(-)=-[+(-)]=.答案:13.已知函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=x2-x+2,求f(x),g(x)的解析式.解:因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),又因为f(x)+g(x)=x2-x+2,①所以f(-x)+g(-x)=x2+x+2,即-f(x)+g(x)=x2+x+2,②由①,②得g(x)=x2+2,f(x)=-x.能力提升14.已知函数y=u(x),y=v(x)都是定义在R上的连续函数,若max{a,b}表示a,b中较大的数,则对于下列命题:(1)如果y=u(x),y=v(x)都是奇函数,则f(x)=max{u(x),v(x)}是奇函数;(2)如果y=u(x),y=v(x)都是偶函数,则f(x)=max{u(x),v(x)}是偶函数;(3)如果y=u(x),y=v(x)都是增函数,则f(x)=max{u(x),v(x)}是增函数;(4)如果y=u(x),y=v(x)都是减函数,则f(x)=max{u(x),v(x)}是减函数.其中真命题的个数是( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:设u(x)=x3,v(x)=x,则f(x)=max{u(x),v(x)}的图象不关于原点对称,所以(1)中的f(x)不是奇函数;偶函数图象关于y轴对称,f(x)=max{u(x),v(x)}仍关于y轴对称,所以(2)中的f(x)是偶函数;当u(x),v(x)都是增函数时,对于任意的x1<x2,都有 u(x1)<u(x2),v(x1)<v(x2).不妨设u(x1)<v(x1),则f(x1)= v(x1),①若f(x2)=v(x2),则f(x1)<f(x2),得出f(x)为增函数;②若f(x2)=u(x2),则u(x2)>v(x2)>v(x1)>u(x1),所以f(x1)<f(x2),同样得出f(x)为增函数;同理可得出u(x),v(x)都是减函数时,f(x)为减函数. 所以(2)(3)(4)为真命题.故选C.15.函数f(x)=|x3+1|+|x3-1|,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是( D )(A)(-a,-f(a)) (B)(-a,-f(-a))(C)(a,-f(a)) (D)(a,f(-a))解析:因为函数f(x)=|x3+1|+|x3-1|,x∈R,所以f(-a)=|(-a)3+1|+|(-a)3-1|=|-a3+1|+|-a3-1|=|a3-1|+|a3+1|=f(a),所以函数为偶函数,则(a,f(-a)),(-a,f(a))均在函数图象上.故选D.16.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0,f(x+2)=对任意x∈R 恒成立,则f(2 019)= .解析:因为f(x+2)=,所以f(x+2+2)===f(x),所以f(x+4)=f(x),即f(x)的周期为4.所以f(2 019)=f(4×504+3)=f(3)=f(1+2)=.因为x=-1时,f(-1+2)=,所以f(1)=,因为f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),所以[f(1)]2=1,因为f(x)>0,所以f(1)=1,f(2 019)=1.答案:117.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[-2,0]上单调递减,若f(1-m)<f(1+m),求实数m的取值范围.解:因为f(x)是[-2,2]上的偶函数,且在[-2,0]上单调递减,所以f(x)在[0,2]上单调递增,由f(1-m)<f(1+m)得解①得-1≤m≤3,解②得-3≤m≤1,解③得m>0,综上得0<m≤1,故m的取值范围为(0,1].18.设函数f(x)=(a>0).(1)判断函数的奇偶性;(2)探究函数f(x)在[,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明. 解:(1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)函数f(x)在[,+∞)上单调递增,证明:任取x 1,x2∈[,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-),因为x 1,x2∈[,+∞),且x1<x2,所以x1-x2<0,1->0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在[,+∞)上单调递增.探究创新19.设函数f(x)=x-,若对于∀x∈[1,],f(ax-1)>f(2)恒成立,则实数a的取值范围是.解析:f(x)是奇函数,且在区间(-∞,0),(0,+∞)上递增,易知f(-)=f(2),若f(ax-1)>f(2)在x∈[1,]上恒成立,则ax-1>2或-<ax-1<0,即a>或<a<在x∈[1,]上恒成立,故a>3或<a<,故实数a的取值范围是(,)∪(3,+∞).答案:(,)∪(3,+∞)。

对应学生用书P33知识点一含参数函数的奇偶性高中数学第一章集合与函数概念1.3.2.2函数奇偶性的应用练习含解析新人教A版必修1．已知y＝f(x)是奇函数，当x＜0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．答案 5解析f(－3)＝－f(3)＝－6，即(－3)2－3a＝－6，3a＝15，所以a＝5.2．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.答案 4解析f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，又f(x)为偶函数，所以a－4＝0，则a＝4.知识点二函数奇偶性与单调性的关系列关系式中，正确的是( )A．f(5)>f(－5) B．f(4)>f(3)C．f(－2)>f(2) D．f(－8)＝f(8)答案 C解析∵f(x)为奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，又－2<2，∴f(－2)>f(2)，故选C.4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．答案(－1,3)解析 ∵f (2)＝0，f (x －1)＞0，∴f (x －1)＞f (2)． 又∵f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减， ∴f (|x －1|)＞f (2)，∴|x －1|＜2，∴－2＜x －1＜2，∴－1＜x ＜3， ∴x ∈(－1,3).知识点三求函数解析式5.已知f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋3x )，求当x <0时，f (x )的解析式．解 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x (1＋3－x )＝－x (1－3x )．∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x (1－3x ).易错点分段函数的奇偶性判断错误6.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0，判断f (x )的奇偶性．易错分析 忽视对定义域的讨论，对分段函数的奇偶性判断方法使用不当致误． 正解 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )．综上所述，对任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．对应学生用书P33一、选择题1．下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定为f (x )＝x (x ∈R )． 表述正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 偶函数的图象一定关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交．例如，函数f (x )＝x 0，其定义域为{x |x ≠0}，故其图象与y 轴不相交，但f (x )＝x 0＝1(x ≠0)是偶函数，从而可知①是错误的，③是正确的．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过坐标原点．例如，函数f (x )＝1x ，其定义域为{x |x ≠0}，知其图象不经过坐标原点，但f (x )＝1x是奇函数，从而可知②是错误的．f (x )＝x (x ∈R )是奇函数而不是偶函数，故④是错误的．2．下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝－1xD ．y ＝x |x |答案 D解析 A 中函数不具有奇偶性；B 中函数在定义域内为减函数；C 中函数在定义域内不具有单调性．3．若f (x )＝(x －a )(x ＋3)为R 上的偶函数，则实数a 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－6 D ．6 答案 B解析 因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x －a )(－x ＋3)＝(x －a )(x ＋3)，化简得(6－2a )x ＝0.因为x ∈R ，所以6－2a ＝0，即a ＝3.4．若函数f (x )(f (x )≠0)为奇函数，则必有( ) A ．f (x )f (－x )＞0 B ．f (x )f (－x )＜0 C ．f (x )＜f (－x ) D ．f (x )＞f (－x ) 答案 B解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 又f (x )≠0，∴f (x )f (－x )＝－[f (x )]2＜0.5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A．f(－1)＜f(3)＜f(4) B．f(4)＜f(3)＜f(－1)C．f(3)＜f(4)＜f(－1) D．f(－1)＜f(4)＜f(3)答案 D解析因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(－4)＝－f(0)，又f(x)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，故f(－4)＝－f(0)＝0，所以f(4)＝－f(－4)＝0.由f(x)＝－f(－x)及f(x－4)＝－f(x)，得f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)＞f(0)，即f(1)＞0，所以f(－1)＝－f(1)＜0，f(3)＝f(1)＞0，于是f(－1)＜f(4)＜f(3)．二、填空题6．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)＜0的解集用区间表示为________．答案[－6，－3)∪(0,3)解析由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)＜0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)＜0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)＜0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．7．如果定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(0，＋∞)内是减函数，又有f(3)＝0，则x·f(x)<0的解集为________．答案{x|x<－3或x>3}解析由题意可画出函数f(x)的草图．当x>0时，f(x)<0，所以x>3；当x<0时，f(x)>0，所以x<－3.综上x>3或x<－3.8．已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3,3]，且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示，则不等式f xg x＜0的解集是________________________．答案{x|－2＜x＜－1或0＜x＜1或2＜x＜3}解析y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数．根据函数图象的对称性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，0]上的图象如图所示．由图可知f(x)＞0⇒0＜x＜2或－2＜x＜0，g(x)＞0⇒1＜x＜3或－1＜x＜0.f xg x＜0等价于⎩⎪⎨⎪⎧f x＞0，g x＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f x＜0，g x＞0，可求得其解集是{x|－2＜x＜－1或0＜x＜1或2＜x＜3}．三、解答题9．已知f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数．求证：f(x)在(－∞，0)上是减函数．解设x1，x2是(－∞，0)上的任意两个值，且x1＜x2，则－x1＞－x2＞0，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(－x1)＜f(－x2)．又f(x)是奇函数，∴－f(x1)＜－f(x2)，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．10．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围．解由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)<f(a－1)．又f(x)在[－1,1]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a2≤1，－1≤1－a≤1，－1≤a－1≤1，1－a2>a－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤a2≤2，0≤a≤2，－2<a<1.∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)．。

高中数学必修1练习题集
第一章、集合与函数概念
1.1.1 集合的含义与表示
例1. 用符号∈和∉填空。

⑴ 设集合A 是正整数的集合，则0_______A ，2________A ，()0
1- ______A ； ⑵ 设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23______B ，1+2______B ；
⑶ 设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国_____A ，美国_____A ，印度_____A ，英国____A
例 2. 判断下列说法是否正确，并说明理由。

⑴ 某个单位里的年轻人组成一个集合；
⑵ 1，23，46，2
1-，21这些数组成的集合有五个元素； ⑶ 由a ，b ，c 组成的集合与b ，a ，c 组成的集合是同一个集合。

例3. 用列举法表示下列集合：
⑴ 小于10的所有自然数组成的集合A ；
⑵ 方程x 2= x 的所有实根组成的集合B ；
⑶ 由1～20中的所有质数组成的集合C 。

例4. 用列举法和描述法表示方程组⎩⎨
⎧-=-=+11y x y x 的解集。

第14课时 函数奇偶性的简单应用课时目标1.能利用奇偶函数的图象特征求函数的单调区间及函数的解析式． 2．能综合应用函数的单调性、奇偶性解决一些简单的数学问题．识记强化1．奇函数⇔函数图象关于原点对称． 2．偶函数⇔函数图象关于y 轴对称．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下列函数中既是奇函数又在定义域上为增函数的是( )A ．f (x )＝3x ＋1B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝1－1xD ．f (x )＝x答案：D解析：A.f (x )＝3x ＋1在定义域R 上是增函数但不是奇函数．B.f (x )＝1x是奇函数但不是增函数．C.f (x )＝1－1x不是奇函数且在定义域上不是增函数，只有D 符合．2．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必定经过点( ) A ．(a ，f (－a )) B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a )) D.⎝⎛⎭⎪⎫a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a答案：C解析：∵f (－a )＝－f (a )，∴C 正确，故选C.3．若函数f (x )＝x 2＋a x(a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．对任意实数a ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．对任意实数a ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．存在实数a ，使f (x )是偶函数D ．存在实数a ，使f (x )是奇函数答案：C解析：对于A ，取a ＝4.5，则f (1)＝12＋4.51＝5.5，f (1.5)＝1.52＋4.51.5＝5.25，显然f (1)>f (1.5)，所以A 错误；对于B ，取a ＝0，则f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数，所以B错误；对于C ，取a ＝0，则f (x )＝x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，则f (x )是偶函数，所以C 正确；对于D ，假设存在实数a 使得f (x )是奇函数，则f (－1)＝－f (1)，又f (－1)＝1－a ，f (1)＝1＋a ，－f (1)＝－1－a ，显然f (－1)≠－f (1)，即假设不成立，所以D 错误．故选C.4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2－12x ，则f (1)＝( )A ．－32B ．－12C.32D.12 答案：A解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－32.5．若f (x )＝(x －a )(x ＋3)为R 上的偶函数，则实数a 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－6 D ．6 答案：B解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x －a )(－x ＋3)＝(x －a )(x ＋3)，化简得(6－2a )x ＝0. 因为x ∈R ，所以6－2a ＝0，即a ＝3.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－1)＜f (3)＜f (4)B ．f (4)＜f (3)＜f (－1)C ．f (3)＜f (4)＜f (－1)D ．f (－1)＜f (4)＜f (3) 答案：D解析：因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，则f (4)＝－f (0)＝0.又f (x )＝－f (－x )且f (x －4)＝－f (x )，所以f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)．又f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)＞f (0)，即f (1)＞0，所以f (－1)＝－f (1)＜0，f (3)＝f (1)＞0，于是f (－1)＜f (4)＜f (3)．二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．已知函数f (x )为偶函数，且当x ＜0时，f (x )＝x ＋1，则x ＞0时，f (x )＝________. 答案：－x ＋1解析：当x ＞0时，－x ＜0，∴f (－x )＝－x ＋1，又f (x )为偶函数，∴f (x )＝－x ＋1. 8．已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域均为[－2,2]，且它们在x ∈[0,2]上图象如图所示，f (x )>g (x )的解集是________．答案： [－2,0)∪(0,1)解析：做出函数f (x )，g (x )在[－2,2]上的图象．若f (x )>g (x )，f (x )图象应位于g (x )图象上方，结合图象，f (x )>g (x )解集为[－2,0)∪(0,1)．9．若奇函数f (x )(x ≠0)在x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则满足不等式f (x －1)<0的x 的取值范围是________．答案：(1,2)∪(－∞，0)解析：方法一：当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x －1. 又函数为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝x ＋1，x ∈(－∞，0)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，x ＋1，x <0.所以f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >1，x ，x <1.)则f (x －1)<0时，有1<x <2或x <0，此即为x 的取值范围．方法二：由于当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x －1，所以f (1)＝0，且函数在(0，＋∞)上为增函数，又函数为奇函数，所以f (－1)＝0，且函数在(－∞，0)上也为增函数，于是f (x －1)<0转化为f (x －1)<f (1)或f (x －1)<f (－1)．当x ∈(0，＋∞)时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －1<1，即1<x <2.当x ∈(－∞，0)时，x －1<－1，即x <0.三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数且 f (x )<0.问F (x )＝1f x在(－∞，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论．解：F (x )在(－∞，0)上是增函数，证明过程如下： 设x 1<x 2<0，则－x 1>－x 2>0.F (x 1)－F (x 2)＝1f x 1－1f x 2＝f x 2－f x 1f x 1f x 2.∵f (x )是奇函数，∴－f (x 1)<－f (x 2)， 即f (x 2)－f (x 1)<0.∵f (x )在(0，＋∞)上总小于0，－x 1>－x 2>0， ∴f (x 1)＝－f (－x 1)>0，f (x 2)＝－f (－x 2)>0. ∴f (x 1)f (x 2)>0，∴F (x 1)－F (x 2)<0. 即F (x 1)<F (x 2)．∴F (x )在(－∞，0)上是增函数．11．(13分)奇函数f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，若f (m －1)＋f (3－2m )＜0，求实数m 的取值范围．解：原不等式化为f (m －1)＜－f (3－2m )．因为f (x )是奇函数，所以f (m －1)＜f (2m －3)． 因为f (x )是减函数，所以m －1＞2m －3，所以m ＜2. 又f (x )的定义域为(－1,1)，所以－1＜m －1＜1且－1＜3－2m ＜1， 所以0＜m ＜2且1＜m ＜2，所以1＜m ＜2. 综上得1＜m ＜2.故实数m 的取值范围是(1,2)．能力提升12．(5分)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案：B解析：∵f (x )是R 上的奇函数 ∴f (0)＝0.f (2)＝－f (0)＝0. f (4)＝－f (2)＝0.f (6)＝f (4＋2)＝－f (4)＝0.13．(15分)已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝ax ＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即a －x ＋b 1＋－x 2＝－ax ＋b1＋x2，求得b ＝0.又f (12)＝25，即12a 1＋122＝25，求得a ＝1.故所求函数解析式为f (x )＝x1＋x2(x ∈(－1,1))．(2)当x ＝0时，f (0)＝0；当x ≠0时，f (x )＝x 1＋x2＝1x ＋1x令u (x )＝x ＋1x，x ∈(－1,1)，且x ≠0，设任意的x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2，则u (x 1)－u (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)．因为0＜x 1＜x 2＜1，所以0＜x 1x 2＜1,1－1x 1x 2＜0.又x 1－x 2＜0，所以u (x 1)－u (x 2)＞0，即u (x 1)＞u (x 2)，故u (x )在(0,1)上单调递减． 同理可得u (x )在(－1,0)上单调递减．所以当x ∈(－1,0)时，u (x )＜u (－1)＝－2,0＞f (x )＞－12；当x ∈(0,1)时，u (x )＞u (1)＝2,0＜f (x )＜12.又x ＝0时，f (0)＝0，所以当x ∈(－1,1)时，函数f (x )的值域为(－12，12)．。