高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2.2绝对值不等式的解法课时提升作业含解析新人教A版选修4_5

1.2.2 绝对值不等式的解法学习目标1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b|≤c ；|ax ＋b|≥c ；|x －a|＋|x －b|≥c ；|x －a|＋|x －b|≤c. 3．能利用绝对值不等式解决实际问题． 一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究探究1．|x |以及|x －a |±|x －b |表示的几何意义是什么？探究2．如何解|x －a |＜|x －b |、|x －a |＞|x －b |(a ≠b )型的不等式的解集？探究3 怎样解|x －a |＋|x －b |≤c 和|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式？【例1】 解下列不等式： (1)|x －1|≤2； (2)|2x －1|<2－3x ； (3)3≤|x －2|<4； (4)|x ＋2|>|x －1|；(5)⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x .【变式训练1】解下列不等式：(1)|3－2x|－4≥0；(2)2<|3x－1|<3；(3)|x2－1|>3；(4)(1＋x)(1－|x|)>0；(5)|2x－1|<x.【例2】解不等式|x＋3|＋|x－3|>8.【变式训练2】解不等式|3x－2|＋|x－1|>3.【例3】设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．【变式训练3】解不等式|2x＋3|<a＋1(a∈R)．参考答案探究1【提示】 |x |的几何意义是数轴上表示数x 的点到原点O 的距离；|x －a |±|x －b |的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数a ，b 的点的距离之和(差)． 探究2【提示】 可通过两边平方去绝对值符号的方法求解． 探究3【提示】 求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：(1)(几何法)利用绝对值的几何意义求解．只要找到使|x －a |＋|x －b |＝c 成立的x 值，依据“大于取两边，小于取中间”的法则写出不等式的解集即可．(2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符号，以a ，b 为分界点，将实数集分为三个区间，在每个区间上x －a ，x －b 的符号都是确定的，从而去掉绝对值符号．(3)(图象法)联系函数图象，通过分析函数值的取值范围得到不等式的解集． 【例1】【解】 (1)∵|x －1|≤2⇔－2≤x －1≤2⇔－1≤x ≤3， ∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)原不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<2－3x ，2x －1>3x －2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <35，x <1⇒x <35.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <35.(3)3≤|x －2|<4⇔3≤x －2<4或－4<x －2≤－3. 即5≤x <6或－2<x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2<x ≤－1或5≤x <6}．(4)|x ＋2|>|x －1|⇔(x ＋2)2>(x －1)2⇔x 2＋4x ＋4>x 2－2x ＋1⇔6x >－3，即x >－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－12.(5)方法1：分类讨论求解． (ⅰ)当2x <0时，即x <0.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12≥0对任意x ∈R 恒成立，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x 恒成立． ∴x <0是原不等式的解． (ⅱ)当2x ＝0时，即x ＝0.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－12＝12>0，∴x ＝0是原不等式的解． (ⅲ)当2x >0时，即x >0.⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x ⇔x 2－12>2x 或x 2－12<－2x . 由x 2－12>2x ，得x <2－62或x >2＋62.由x 2－12<－2x ，得－2－62<x <－2＋62.综合x >0知，x >2＋62或0<x <－2＋62是原不等式的解．综上所述，原不等式的解集是{x |x <0}∪{x |x ＝0}∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x >2＋62∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |0<x <－2＋62， 即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <－1＋62或x >1＋62.方法2：直接去绝对值求解．⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x ⇔x 2－12>2x 或x 2－12<－2x ，即2x 2－4x －1>0或2x 2＋4x －1<0. 由2x 2－4x －1>0，得x <1－62或x >1＋62. 由2x 2＋4x －1<0，得－1－62<x <－1＋62. 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <－1＋62或x >1＋62.【变式训练1】解 (1)|3－2x |－4≥0⇔|2x －3|≥4⇔2x －3≥4或2x －3≤－4⇔2x ≥7或2x ≤－1⇔x ≥72或x ≤－12.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥72.(2)2<|3x －1|<3⇔2<3x －1<3或－3<3x －1<－2⇔3<3x <4或－2<3x <－1 ⇔1<x <43或－23<x <－13.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <－13或1<x <43.(3)|x 2－1|>3⇔x 2－1>3或x 2－1<－3 ⇔x 2>4或x 2<－2(无解)⇔|x |>2⇔x >2或x <－2.所以原不等式的解集为{x |x <－2或x >2}． (4)(1＋x )(1－|x |)>0⇔0(1)(1)0x x x ≥⎧⎨+->⎩或0(1)(1)0x x x <⎧⎨++>⎩⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－1<x <1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ≠－1⇔0≤x <1，或x <0，且x ≠－1⇔x <1，且x ≠－1.所以原不等式的解集为{x |x <1，且x ≠－1}．(5)|2x －1|<x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<x ，2x －1>－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >13⇔13<x <1. 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1. 【例2】 解不等式|x ＋3|＋|x －3|>8. 【解】 解法一：当x ≤－3时， 原不等式可化为－(x ＋3)－x ＋3>8， 即x <－4，此时，不等式的解为x <－4. 当－3<x <3时，原不等式可化为x ＋3－x ＋3>8，此时不等式无解．当x ≥3时，原不等式可化为x ＋3＋x －3>8，即x >4.此时不等式的解为x >4.综上所述，原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．解法二：如下图，设数轴上与－3,3对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点之间的距离为6，因此区间[－3,3]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧存在一点A 1，使得A 1到A ，B 的距离之和为8，即|A 1A |＋|A 1B |＝8，设点A 1对应的数为x ，则有－3－x ＋3－x ＝8，∴x＝－4.同理，设点B 的右侧存在一点B 1，使|B 1B |＋|B 1A |＝8，设点B 1对应的数为x ，则有x －(－3)＋x －3＝8，∴x ＝4.从数轴上可以看到，A 1与B 1之间的点到A 、B 的距离之和都小于8，而点A 1的左侧或点B 1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都大于8.所以不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．解法三：原不等式可转化为|x ＋3|＋|x －3|－8>0， 构造函数y ＝|x ＋3|＋|x －3|－8， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －8 x ≤－3，－2 －3<x <3，2x －8 x ≥3.作出函数的图象(如图)．函数的零点是－4,4.由图象可知，当x <－4或x >4时，y >0，即|x ＋3|＋|x －3|－8>0. 所以原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 【变式训练2】 解不等式|3x －2|＋|x －1|>3.解 (1)当x ≤23时，原不等式化为2－3x ＋1－x >3，即3－4x >3，∴x <0.∴不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤23，|3x －2|＋|x －1|>3的解集为{x |x <0}．(2)当23<x <1时，原不等式化为3x －2＋1－x >3，即2x >4，∴x >2.又∵23<x <1，∴x ∈∅.(3)当x ≥1时，原不等式化为3x －2＋x －1>3，即4x >6，∴x >32.∴不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，|3x －2|＋|x －1|>3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32.由(1)、(2)、(3)知，原不等式解集为{x |x <0或x >32}．【例3】 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0， 将此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.【变式训练3】 解不等式|2x ＋3|<a ＋1(a ∈R)． 解 因为a ∈R，故分以下两种情况讨论：(1)当a ＋1≤0，即a ≤－1时，原不等式无解，即不等式的解集为∅. (2)当a ＋1>0，即a >－1时，原不等式可变为－a －1<2x ＋3<a ＋1.所以－a ＋42<x <a －22.综上可知，当a >－1时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋42，a －22；当a ≤－1时，原不等式的解集为∅.。

二绝对值不等式1.绝对值三角不等式课后篇巩固探究A组1.设ab>0,下面四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①②B.①③C.①④D.②④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()A.10B.3C.7D.4|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.3.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是()A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.∴≤1≤.∴m≤n.4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不确定(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.5.若关于x的不等式|x|+|x-1|<a(a∈R)的解集为⌀,则a的取值X围是()A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,1]D.(-∞,1)|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,∴若关于x的不等式|x|+|x-1|<a的解集为⌀,则a的取值X围是a≤1.6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.7.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值X围是.f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值.∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,即f(x)max=1,∴a≥1.+∞)8.不等式≥1成立的充要条件是.1⇔≥0⇔(|a|-|b|)[|a+b|-(|a|-|b|)]≥0(且|a|-|b|≠0).而|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证<2.m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m,∴∴==2.故原不等式成立.10.导学号26394011已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,某某数a的取值X围.函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,即|x-1|+|x-5|>a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,当a=2时,∵g(x)min=4,∴f(x)min=log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.∵|x-1|+|x-5|-a>0,∴a<g(x)min时,f(x)的定义域为R.∴a<4,即a的取值X围是(-∞,4).B组1.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)·x≥0,(1-y)·(1+y)≥0,即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.2.函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的最小值等于.y=|2x+1|-|x-4|,则y=作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象(如图),由函数的图象可知,当x=-时,函数取得最小值-.3.已知a和b是任意非零实数,则的最小值为.4.4.下列四个不等式:①log x10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的是.(把你认为正确的序号都填上)x>1,∴lg x>0,∴log x10+lg x=+lg x≥2,①正确;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;∵ab≠0,同号,∴≥2,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上,①③④正确.5.导学号26394012已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).6.导学号26394013已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,∴g(-1)≤g(x)≤g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,∴|g(x)|≤2.当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,∴g(-1)≥g(x)≥g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2.g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2.∴|g(x)|≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1,∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上可知,|g(x)|≤2.。

2.绝对值不等式的解法课后篇巩固探究A组1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于()A.{x|2≤x≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|2<x≤3}D.{x|-1<x<3}{x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1},则A∩B={x|2<x≤3}.2.若a>2,则关于x的不等式|x-1|+a>2的解集为()A.{x|x>3-a}B.{x|x>a-1}C.⌀D.R|x-1|+a>2可化为|x-1|>2-a,因为a>2,所以2-a<0,故原不等式的解集为R.3.不等式|3x-4|>x2的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.⌀D.(-∞,-4)∪(1,+∞)|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4<x<1,故原不等式的解集为(-4,1).4.不等式<0的解集是()A.{x|-3<x<5}B.{x|-3<x<5,且x≠2}C.{x|-3≤x≤5}D.{x|-3≤x≤5,且x≠2}|x-2|>0,且x≠2,所以原不等式等价于|x-1|-4<0,即|x-1|<4,所以-4<x-1<4,即-3<x<5.又x≠2,故原不等式的解集为{x|-3<x<5,且x≠2}.5.不等式|2x-log2x|<|2x|+|log2x|的解集为()A.(0,1)B.(1,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)|a-b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件是ab≤0,“<”成立的条件是ab>0,所以2x·log2x>0.又x>0,所以log2x>0,解得x>1.6.不等式|2x-1|<3的解集为.2x-1|<3⇔-3<2x-1<3⇔-1<x<2.-1,2)7.不等式|x+3|>|2-x|的解集是.|x+3|>|2-x|得(x+3)2>(2-x)2,整理得10x>-5,即x>-,故原不等式的解集为.8.若关于x的不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a=.0明显不符合题意.由|ax+2|<6得-8<ax<4.当a>0时,有-<x<,因为不等式的解集为(-1,2),所以解得两值相矛盾舍去.当a<0时,有<x<-,则解得a=-4.综上,a=-4.49.已知函数f(x)=(a∈R).(1)若a=3,解不等式:f(x)≥2;(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.当a=3时,不等式f(x)≥2即为≥2,所以|x+1|+|x-3|-2≥4,所以|x+1|+|x-3|≥6.于是或从而x≥4,或x≤-2.故原不等式解集为{x|x≥4或x≤-2}.(2)f(x)的定义域为R,即不等式|x+1|+|x-a|-2≥0恒成立,所以|x+1|+|x-a|≥2恒成立.而g(x)=|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|,于是|a+1|≥2,解得a≥1,或a≤-3.故实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).10.已知函数f(x)=|x+a|+|2x-1|(a∈R).(1)当a=1时,求不等式f(x)≥2的解集;(2)若f(x)≤2x的解集包含,求a的取值范围.当a=1时,不等式f(x)≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2.①当x≥时,不等式为3x≥2,解得x≥,故x≥;②当-1≤x<时,不等式为2-x≥2,解得x≤0,故-1≤x≤0;③当x<-1时,不等式为-3x≥2,解得x≤-,故x<-1.综上,原不等式的解集为.(2)因为f(x)≤2x,所以|x+a|+|2x-1|≤2x,所以不等式可化为|x+a|≤1,解得-a-1≤x≤-a+1.由已知得解得-≤a≤0.故a的取值范围是.B组1.不等式的解集为()A.[0,1)B.(0,1)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞),所以<0,解得0<x<1.2.导学号26394014关于x的不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.[-1,4]D.(-∞,1]∪[2,+∞)|x+3|-|x-1|≤4,又|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,所以a2-3|a|≥4,即a2-3|a|-4≥0,解得|a|≥4或|a|≤-1(舍去).故选A.3.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为.-1≤|x-2|-1≤1,即0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4.4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为.|3x-b|<4得-4<3x-b<4,即<x<.因为不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则故5<b<7.5.导学号26394015解不等式|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4.x≤-时,原不等式化为-2x-1+2-x+1-x>4,解得x<-.当-<x≤1时,原不等式化为2x+1+2-x+1-x>4,4>4,矛盾.当1<x≤2时,原不等式化为2x+1+2-x+x-1>4,解得x>1.由1<x≤2,则1<x≤2.当x>2时,原不等式化为2x+1+x-2+x-1>4,解得x>.由x>2,则x>2.综上所述,原不等式的解集为.6.导学号26394016已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.解(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5.所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤.因为|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以于是a=3.。

2.绝对值不等式的解法知识梳理 含有绝对值的不等式的解法（同解性）（1）|x|<a ⎩⎨⎧≤>⇔).0(__,__________),0(_,__________a a (2)|x|>a ⎪⎩⎪⎨⎧<=>⇔).0(__,__________),0(__,__________),0(_,__________a a a . 2.|ax+b|<c,|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法（1）|ax+b|<c(c>0)型不等式的解法是：先化为不等式组_________，再利用不等式的性质求出原不等式的解集.(2)|ax+b|>c(c>0)的解法是：先化为________或________，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集.3.|x-a|+|x-b|≥c 和|x-a|+|x-b|≤c 型不等式的解法有三种不同的解法：解法一可以利用绝对值不等式的________.解法二利用分类讨论的思想，以绝对值的________为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的________，进而去掉________.解法三可以通过________，利用________，得到不等式的解集.知识导学解含有绝对值的不等式的总体思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去求解，依据是同解性，对同解性应理解为：“|x|”中的x 可以是任何有意义的数学式子f(x)，“a”可以是实数，也可以是任何有意义的数学式子g(x),因此从结论上来说，|f(x)|<g(x)与-g(x)<f(x)<g(x)同解；|f(x)|>g(x)与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)同解，掌握去掉绝对值符号的方法和途径是关键.数形结合法解不等式是另一个重要的解题途径，为此，要熟练掌握函数|f(x)|和f(|x|)的图象的画法.分类讨论法在解含绝对值符号的不等式时经常用到，应注意“分界点”的讨论，做到“不重不漏”，讨论时，可以把过程细化，不要“跨步”讨论，这样更能确保最后的结果准确.解不等式时的每一步“转化”是否等价，始终是应当关注的问题，它是正确求解的基本保证.疑难突破1.分段讨论法解含绝对值的不等式分段讨论法解含绝对值的不等式时，是先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值（称为零点），将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解，求解过程中不要丢掉对区间端点的讨论，以免漏解.在上面的分段讨论过程中，每一段的讨论都有一个“x”的范围（或值）作为本段讨论的前提，这与解含参数的不等式有些类似，但本质上又不同，每一段的讨论结果，都是“x”的前提范围与本段含绝对值不等式去掉绝对值号的不等式解集的交集，而最后的不等式的解集应是每一段结果的并集，解含参数的不等式讨论时，每一步的前提条件是参数所取的范围（或值），每一步间的结果各自独立，不存在“交、并”集的说法，因此最后的结果也必须在参数的不同限制范围下叙述结论.所以解含绝对值不等式与解含参数不等式，虽然都用的分段讨论法，但实质上是不同的.这就要求准确理解和把握各自不同的解题思路及解题过程，以免出错.2.几个特殊的含绝对值的不等式的区别（1）|x-4|-|x-3|>a有解，则a的取值范围是________;(2)|x-4|-|x-3|>a的解集为R，则a的取值范围是________；（3）|x-4|+|x-3|<a的解集为 ，则a的取值范围是________；（4）|x-4|+|x-3|>a的解集为R，则a的取值范围是________.处理以上这种问题，我们可以与函数y=|x-4|-|x-3|,y=|x-4|+|x-3|的最值（值域）等联系起来，第一个函数的值域为［-1,1］,而第二个函数只有最小值，即|x-4|+|x-3|≥1,所以(1)|x-4|-|x-3|>a要有解，只需a<1；|x-4|-|x-3|>a的解集要是R，则说明是恒成立问题，所以a<［|x-4|-|x-3|］min=-1,即a<-1;|x-4|+|x-3|<a的解集为说明a<［|x-4|+|x-3|］min=1,所以a<1;|x-4|+|x-3|>a的解集为R，也说明a<［|x-4|+|x-3|］min=1,以上这几种不等式问题，实质是与两种函数的值域或最值相联系的问题，当然也可以借助函数的图象，用数形结合来解得a的范围.而理解这几种表述方式对掌握本节知识有很好的帮助.。

1.2.1 绝对值三角不等式课堂导学三点剖析一、利用绝对值三角不等式证明不等式【例1】 已知|x-a|<M 2ε,0<|y-b|<||2a ε,y∈(0,M),求证:|xy-ab|<ε. 思路分析:由于题设和结论相差很远,为了能整体运用上条件,应先对结论式的左端进行配凑.证明:|xy-ab|=|xy-ya+ya-ab|=|y(x-a)+a(y-b)|≤|y||x -a|+|a||y-b| <M·M 2ε+|a|·||2a ε=ε.温馨提示先“配凑”再利用绝对值三角不等式进行转化,从而整体运用条件,这是证题的关键.【例2】 求证:||1||||1||||1||b b a a b a b a +++<+++(ab≠0).证明：右边>1||||11||||1||||||||1||||||1||++=+++=+++++b a b a b a b a b b a a ,左边=1||11++b a ,∵|a+b|≤|a|+|b|, ∴||||1||1b a b a +≥+. ∴||||11||1b a b a +≥+++1. 从而有1||11++b a ≤1||||11++b a∴左边<右边.温馨提示先把右边放缩,再转化用绝对值三角不等式与左边“挂钩”.也可构造函数f(x)=x x +1在x∈［0,+∞)上f(x)单调递增,从而证明之.各个击破类题演练1求证:|2||2|b a b a -++<c 的充要条件是|a|<c 且|b|<c. 证明:先证必要性. ∵|a|=|22b a b a -++|≤|2||2|b a b a -++<c, ∴|a|<c. ∵|b|=|22b a b a --+|≤|2||2|b a b a -++<c, ∴|b|<c.再证充分性.(1)当|a|≥|b|时,a 2≥b 2,即(a+b)(a-b)≥0,此时2b a +与2b a -同号或其中之一为0,则|2||2|b a b a -++=|22b a b a -++|=|a|<c. (2)当|a|<|b|时,a 2<b 2,即(a+b)(a-b)<0,即2b a +与2b a -异号, ∴|2b a +|+|2b a -|=|2b a +-2b a -|=|b|<c. ∴当|a|<c,|b|<c 时,|2b a +|+|2b a -|<c. 故|2b a +|+|2b a -|<c ⇔|a|<c 且|b|<c. 变式提升1已知a 、b 、c∈R ,求证:||1||||1||||1||||1||c c b b a a c b a c b a +++++≤+++++. 证明:设f(x)=xx x +-=+1111(x≥0), 可知当x≥0时,f(x)为增函数.∵0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|,∴f(|a|+|b|+|c|)≥f(|a+b+c|),得||||||1||||||||1||||||||1||c b a a c b a c b a c b a c b a +++=+++++≤+++++ ||1||||1||||1||||||||1||||||||1||c c b b a a c b a c c b a b +++++≤++++++++ 二、应用绝对值三角不等式等号成立的条件解题【例3】 (1)设a 、b∈R 且|a+b+1|≤1,|a+2b+4|≤4,求|a|+|b|的最大值.解析：|a+b|=|(a+b+1)-1|≤|a+b+1|+|-1|≤1+1=2,|a-b|=|3(a+b+1)-2(a+2b+4)+5|≤3|a+b+1|+2|a+2b+4|+5≤3×1+2×4+5=16.(1)当ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|≤2;(2)当ab<0时,则a(-b)>0,|a|+|b|=|a|+|-b|=|a+(-b)|≤16.总之,恒有|a|+|b|≤16.而a=8,b=-8时,满足|a+b+1|=1,|a+2b+4|=4,且|a|+|b|=16.因此|a|+|b|的最大值为16.(2)若f(x)=x 2-2x+c,|x 1-x 2|<2,|x 2|<1,求证:|f(x 1)-f(x 2)|<12.证明:|f(x 1)-f(x 2)|=|x 12-2x 1+c-x 22+2x 2-c|=|(x 1-x 2)(x 1+x 2-2)|=|x 1-x 2|·|x 1+x 2-2|<2|x 1+x 2-2|=2|(x 1-x 2)+(2x 2-2)|≤2(|x 1-x 2|+|2x 2-2|)<4+2|2x 2-2|≤4+2(|2x 2|+|-2|)<4+4+4=12.∴|f(x 1)-f(x 2)|<12.类题演练2已知|a|<1,|b|<1,求证:|abb a ++1|<1. 证明:由|a|<1,|b|<1,得1±a>0,1±b>0,则|ab b a ++1|=)1)(1()1)(1(|)1)(1()1)(1(|b a b a b a b a --+++---++ )1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(b a b a b a b a --+++--+++<=1,从而|abb a ++1|<1. 变式提升2证明对于任意实数t,复数z=|cos |t +i |sin |t 的模r,适合不等式r≤42.证明:r=|sin ||cos |t t +,为证对于任意实数t 有r≤42, 只要证|cost|+|sint|≤2即可.(1)当kπ≤t≤kπ+2π(k∈Z )时,则sint·cost≥0,依推论1,|cost|+|sint|=|sint+cost|=2|sin(t+4π)|≤2 (2)当kπ+2π<t<(k+1)π(k∈Z )时,sint·cost<0,sint·(-cost)>0,依推论1,|cost|+|sint|=|-cost|+|sint|=|sint-cost|=2|sin(t-4π)|≤2. 总之,对于任意实数t,有|cost|+|sint|≤2成立,即有r≤42成立.三、绝对值三角不等式的其他应用【例4】 (1)若不等式|x-4|+|x-3|>a 对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范围. 解析：由|x-4|+|x-3|≥|(x -4)-(x-3)|=1,得［|x-4|+|x-3|］min =1,故a 的取值范围是{a|a<1}.(2)已知|cosx-cosy|=|cosx|+|cosy|,且y∈(23π,2π),则2)cos (cos y x -等于( ) A.cosx-cosy B.cosy-cosxC.cosx+cosyD.以上均不对解析:由|a-b|≤|a|+|b|知等号成立的条件是ab≤0.因为|cosx-cosy|=|cosx|+|cosy|,所以cosx·cosy≤0.又因y∈(23π,2π),所以cosy>0且cosx≤0,则上式=|cosx-cosy|=cosy-cosx,故应选B. 答案:B(3)解方程|x|+|log a x|=|x+log a x|(a>1).解析:由当且仅当ab≥0,|a+b|=|a|+|b|知原方程等价于x·log a x≥0,又x>0,即log a x≥0,解得x≥1.所以原方程的解集是{x|x>1}.类题演练3(1)方程|2x-1|+|x-2|=|x+1|的实数解为_______________解析:原方程可化为|2x-1|+|2-x|=|(2x-1)+(2-x)|,依推论1,它等价于(2x-1)(2-x)≥0, ∴21≤x≤2. 答案: 21≤x≤2 (2)解不等式|x 2-2x-3|+|x 2-2x-8|>5.解析:原不等式可化为|x 2-2x-3|+|8+2x-x 2|>|(x 2-2x-3)+(8+2x-x 2)|,依推论2,它等价于(x 2-2x-3)(8+2x-x 2)<0,∴(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)>0.∴x<-2或-1<x<3或x>4.变式提升3已知f(x)=x 2+ax+b(a 、b∈R )的定义域为［-1,1］,且|f(x)|≤M 成立,求M 的最小值.解:由题意知M 是|f(x)|在［-1,1］上的最大值.|f(0)|=|b|≤M,|f(1)|=|1+a+b|≤M,|f(-1)|=|1-a+b|≤M.由以上三式,有2=|(1+a+b)+(1-a+b)-2b|≤|1+a+b|+|1-a+b|+2|b|≤4M,得M≥21,即M 的最小值为21.。

1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨⎧<+>+.37,31525125|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式⎩⎨⎧<--<<+⎩⎨⎧<+<≥+⇔521,02521,02x x x x 或, ⇔⎩⎨⎧-<<--<⎩⎨⎧<<--≥⇔37,231,2x x x x 或-1<x<3或-7<x<-3.∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式⎩⎨⎧>++-<<-⎩⎨⎧>---≤⇔,843,34843,4x x x x x x 或⎩⎨⎧>≥⎩⎨⎧><<-⎩⎨⎧>---≤⇔⎩⎨⎧>++-≥.72,387,34821,4843,3x x x x x x x x 或或或 ∴x>27或x<29-. ∴原不等式的解集为{x|x<29-或x>27}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.3,72,34,1,492x x x x作出函数的图象如图.从图象可知当x>27或x<29-时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29-}. 温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练1 解下列不等式:(1)|432-x x|≤1; (2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.解析:(1)原不等式⎩⎨⎧≥+-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤≠-⇔016172)4(904242222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≥≤±≠⇔161222x x x 或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}. (2)由x+3=0,得x 1=-3, 由2x-1=0,得x 2=21. ①当x<-3时,不等式化为x-4>2x+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解; ②当-3≤x<21时,不等式化为3x+2>2x +1,解得x>52-,这时不等式的解为52-<x<21;③当x≥21时,不等式化为-x+4>2x +1,即x<2,这时不等式的解为21≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x|52-<x<2}.变式提升1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,即⎪⎩⎪⎨⎧->+-<+-.155,15522x x x x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a 有解的a 的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x>27a -有解条件为27a-<3,即a>1; 当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1; 当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x<27+a有解条件为27+a >4.∴a>1. 以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x 、3、4在数轴上对应的点分别为P 、A 、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a 成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a 有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理: ∵|x -4|+|x-3|=|x-4|+|3-x| ≥|x -4+3-x|=1,∴a 的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】 解不等式|x 2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-⇔39,0922x x x ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-39,0922x x x 或 由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥⇔⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+⇔433339)3(032x x x x x x x x ⇔或2≤x≤4. ∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}. 温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤≥).()(,0)()()(,0)(x g x f x f x g x f x f 或 另一种则是转化为⎩⎨⎧≤≤-≥)()()(,0)(x g x f x g x g 来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x 2,即5x 2+4x-1<0,解之,得-1<x<51, ∴0≤x<51. 由①②知原不等式的解集为{x|x<51}. 变式提升2(1)解不等式|x 2-3x+2|>x 2-3|x|+2.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x 2-3x+2|和y=x 2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}. (2)解不等式|x+1|(x-1)≥0. 解析:1° x+1=0,适合不等式;2° x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0. ∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}. 三、绝对值不等式的证明【例3】 设f(x)=ax 2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(a b 2-)|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|a b 2-|≤2时,有|f(ab 2-)|≤7. 由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==).0()],1()1([21)],0(2)1()1([21,)1(,)1(,)0(f c f f b f f f a c b a f c b a f c f 得∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7. ∵|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21(|f(1)|+|f(-1)|)≤21(1+1)=1, ∴当|ab2-|≤2时,|f(a b 2-)|=|a b ac 442-|=|c a b 42-|=|c a b 2-·2b |≤|c|+|a b 2|·2||b ≤1+2×21=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x 2+ax+b(x 、a 、b∈R ,a 、b 是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于21,即有|f(1)|<21,|f(2)|<21,|f(3)|<21. 于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<21+21+2×21=2.又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 变式提升3已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a 2+b 2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤2⇔2-≤f(x)≤2⇔f(x)min ≥2-且f(x)max ≤2.若a>0,则f(x)max =f(1)=a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(-1)=-a+b≥2])[(222-=+--b a . 若a=0,则f(x)=b 且b 2=1, ∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max =f(-1)=-a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(1)=a+b≥2)(222-=+-b a . 综上,知不等式成立. 证法二:|f(x)|2-(2)2=(ax+b)2-2(a 2+b 2)=a 2x 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)≤a 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)=2abx-a 2-b 2≤2abx -a 2x 2-b 2=-(ax-b)2≤0, ∴|f(x)|≤2.。

2017年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2.2 绝对值不等式的解法课时提升作业（含解析）新人教A版选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2.2 绝对值不等式的解法课时提升作业（含解析）新人教A版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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绝对值不等式的解法课时提升作业一、选择题(每小题6分，共18分)1。

（2016·临沂高二检测)〉0的解集为( )A.B。

C。

D。

｛x|x∈R且x≠-3｝【解析】选C.原不等式可化为解得x〉或x〈-且x≠-3.2.(2016·济南高二检测)不等式|x-2｜+|x-1|≤3的最小整数解是( )A.0B.-1C.1D.2【解析】选A。

根据绝对值的几何意义，得不等式｜x-2|+｜x-1|≤3的解为0≤x≤3。

所以不等式|x—2|+|x—1|≤3的最小整数解为0.3。

若关于x的不等式|x—2｜+|x—a|≥a在R上恒成立,则a的最大值是（) A。

0 B.1 C。

—1 D。

2【解析】选B.|x—2|+|x—a｜=|x—2|+｜a—x｜≥｜x—2+a—x|=|a—2｜,所以|a-2｜≥a，解得a≤1,所以a的最大值为1.二、填空题（每小题6分,共12分）4.（2016·德州高二检测）已知集合A=｛x｜|x-4｜+|x-1|<5},B={x|a<x<6}且A∩B=(2,b），则a+b=________.【解析】A={x｜0〈x〈5}，由A∩B=（2，b）知故a+b=7。