精编复变函数-积分变换-场论期末复习--1(定稿).ppt

其中 是由 c 与 c k 组成的复合闭路
３、牛顿－莱不尼茨公式
设函数 f ( z ) 在单连通区域Ｄ内解析，G ( z )
为 f ( z ) 的一个原函数，则
z2 z1
f(z)dzG(z2)G(z1)
４、柯西积分公式
设函数 f ( z ) 在区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ
内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属
第一章：复数与复变函数
❖ 复数的概念 ❖ 复数的运算 ❖ 复数的几何表示 1、复平面 1）复数 zxyi用平面上的点( x , y )表示；
2）复数 zxyi用平面上的向量 O z 表示
3）复数的三角表示式及指数表示式
zz(cos(argz)isin(argz))（三角式）
zeiargz
（指数式）
(1i)i e e iLni()1 i[ln 1 i iA(1 r ig )]
e e i12ln24i2ki
42ki12ln2
e 4 2k c o 1 2lsn 2 isi 1 2 n ln 2
其 k 0 , 1 中 , 2 , . 故 (1 i)i的 辐 角 的 主 值 为 1 ln 2 .
函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在点 z xiy 处的 导数公式：
f(z) u i v u i u v i v v i u x x x y y x y y
定理2 设函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在区域D
内有定义，则 f ( z ) 在D内解析 u( x , y )与 v ( x , y )
１、 f(z)dz f(z)dz
c
c
２、 ckf(z)dzkcf(z)dz
３、 c [f(z ) g (z )] d z cf(z )d z cg (z )d z

x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直

完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
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定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
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有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
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上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
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例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
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容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
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在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。

z = z1 + t(z2 z1 ),
(0 ≤ t ≤ 1)
（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z = z1 + t(z2 z1 ),
(∞ < t < +∞)
（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为
z3 z1 = t, z2 z1
(t为 非 实 ) 一 零 数
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例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） z 2i = z + 2 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程 表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线， 它的方程为y = －x。
复变函数与积分变换
贾厚玉 mjhy@
浙江大学
第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 Laplace变换 第七章 Laplace变换
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第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续
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例：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。
z1 = 1, z2 = 2 + i
y
z3 z1 = (z2 z1 )e 3 1 3 = (1+ i)( + i) 2 2 1 3 1 + 3 i = + 2 2
3 3 1+ 3 z3 = i + 2 2
i
π
z3
z2
x
O
z1
3 + 3 1 3 ′ z3 = i + 2 2
Re z 2 ≤ 1
z 2 = (x + iy)2 = (x2 y2 ) + 2ixy

11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25



开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.

解
由上例可知

(z
1 a)n1
dz

2i, 0,
n0 n 0,
此处不妨设 a z0,
则有
1
1
1,
2 i (z z0 )n dz 0,
n1 n 1.
四、小结与思考
本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原
理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点.
1
2
3
CF
A
A
F
B4
D1 E C1 B
D
E
问题的提出 C
C1
复合闭路定理D
C2 C3
典型例题
小结与思考
一、.
z 2 z 1
因为 z 2 是包含 z 1 在内的闭曲线,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1 由此希望将基本定理推广到多连域中.
y C1
解 C1 和 C2 围成一个圆环域, 函数 ez 在此圆环域和其边界
z
C2 o1
2x
上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理, ez dz 0. z
例3 求

(z
1 a)n1
dz
,

为含
a
的任一简单闭
路，n 为整数.

解 因为a 在曲线内部,
a
1
BB
BB
即 f (z)dz f (z)dz 0,
C
C1
或 f (z)dz f (z)dz.
C
C1
CF
A A F B
D1 E C1 B

（2）第二次数学危机 前面说过牛顿在确定 x3的导数时，前面部 分假设 0 是非零的，而在论证的后一部分， 又被取为零，偷换假设的错误是明显的。1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析 学家，或致一个不信正教数学家的进言》，矛 头指向微积分的基础——无穷小的问题，提 出了所谓“贝克莱悖论”。
中国古藉《易．系辞》中说： 「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」 这些都是匹配计数法的反映。
（２）整数 正整数，零与负整数构成整数系。
•零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。 •中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹， 虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。 •印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ） 字，其原意也是「空」或「空白」。
2、数学的内容
大致说来，数学分为初等数学与高等 数学两大部分。
初等数学中主要包含两部分：几何学 与代数学。几何学是研究空间形式的学科， 而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为 限，它主要包含： • 解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几 何部分内容已放到中学。 • 线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题。 • 高等代数：研究方程式的求根问题。 • 微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为 微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与 偏微分方程。 • 概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行 推理。等等
分数的使用导源于除法运算的需要。 除法运算可看作求解方程px=q（p≠0 ），如果p， q是整数，则所给方程未必有整数解。 为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有 理数系。
（４）无理数
（５）实数

实轴对称的.
o
zz
z x iy
x
z x iy
想一想，z与z的辐角主值有什么关系？
(1) 若z=0，则辐角无意义
(2) 若z位于负实轴上，则arg(z) arg(z)=
(3) 若z不在原点和负实轴上，则arg(z) -arg(z)
25
例2：求Arg(-3 4i) Arg(-3 - 4i)
e19i ,
故三角表示式为 z cos19 i sin19 ,
指数表示式为 z e19i .
30
例4：写出1，i, - 2, - 3i的三角表示式.
解：1 = 1(cos0 + i sin 0)
i = 1(cos + i sin )
2
2
-2 = 2(cos +isin )
-3i = 3[cos(- ) + i sin(- )]
3
26
4.复数的三种表示及其相互转化
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
cos , sin ,
复数可以表示成 z (cos i sin)
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 ei cos i sin , 欧拉介绍
复数可以表示成 z ei
复数的指数表示式
27
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平
面. 复数 z x iy 可以用复平
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
19
2. 复数的模(或绝对值)
从原点O到点 z x iy所引的向量与复数z构成一一

，z2对应的向量分别为 1， 由复数的运算法那么知复数的加减法与向量
的加减法一致，于是在平面上以
为邻边的平行四边形的对角线 就表示
复数z1+z2〔图1.2〕，对角线 就表示复数z1-z2.
图1.2
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复变函数与积分变换
由上述几何解释知下面两个不等式成立：
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其中
表示向量 的长度，也就是复平面上点z1，z2之间的距
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复变函数与积分变换
复数域 形如
1.1复数
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的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚部，记作
x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称为纯虚数；特别
地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
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如图1.1所示，复数z=x+iy还可以用向量 来表示，x与y分别是向量 在x轴与 y轴上的投影.这样，复数z就与平面上的向量 建立了一一对应的关系. 引进了复平面后，为方便起见， “复数z〞、“点z〞及“向量 〞三者不再区分. 向量 的长度称为复数z=x+iy的模或绝对值，记作|z|，于是
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复变函数与积分变换
例1.4求z=1的n次方根. 解因为 所以 特别地，1的立方根为
它们均匀地分布在以原点为中心，以1为半径的圆周上 〔图1.5〕.
图1.5
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复变函数与积分变换

若 z 1 r1 (cos 1 i sin 1） ,
z 2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
则有
z2 z1

z2 z1
,
z2 Arg Arg z 2 Arg z 1 . z1
设复数 z 1 和 z 2的指数形式分别为
z 1 r1 e
z re
i
称为复数 z 的指数表示式.
4.复数的乘幂与方根 1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
若 z 1 r1 (cos 1 i sin 1） ,
z 2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
则有
z1 z2 r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )] Arg( z1 z2 ) Argz1 A应的向量分别为 z 1 , z 2 ,
z
z1
y

先把 z 1 按逆时针方向 旋转一个角
所得向量
z 就表示积
z1 z 2 .
2 1
o
r2
复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.

再把它的模扩大到
r2 倍 ,

r1

2,
r
z2
x
两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
设 G 是一个复数 个确定的法则存在 每一个复数 z x iy 的集合 . 如果有一 , 按这个法则 , 对于集合 G 中的
z , 就有一个或几个复数 w 是复变数
w u iv 与 z 的函数 ( 简称
之对应 , 那末称复变数 复变函数 ), 记作