高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分 25个必考问题 专项突破专题训练5

训练11 直线与圆(参考时间：80分钟)一、填空题1．(2012·无锡期中)若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．2．(2012·江西)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．3．过直线l ：y ＝2x 上一点P 作圆C ：(x －8)2＋(y －1)2＝2的切线l 1，l 2，若l 1，l 2关于直线l 对称，则点P 到圆心C 的距离为________．4．(2012·南师附中模拟)在平面直角坐标系中，设直线l ：k x －y ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，OM→＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________.5．圆心在曲线y ＝3x (x ＞0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为________．6．已知点A (－2,0)，B (1，3)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，经过点B 的直线与该圆交于另一点C ，当△ABC 面积最大时，直线BC 的方程是________．7．(2012·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,2)，直线l ：x ＋y －4＝0.点B (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2－2x －1＝0的动点，AD ⊥l ，BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ，则线段DE 的最大值是________．8．(2012·海安曲塘中学最后一卷)已知直线x －y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B两点，且向量OA→、OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．9．已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是________．10．(2012·淮阴、海门、天一中学联考)已知变量a ，θ∈R ，则(a －2cos θ)2＋(a －52－2sin θ)2的最小值为________．二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)判断两圆的位置关系，并求连心线的方程；(2)求直线m 的方程，使直线m 被圆C 1截得的弦长为4，被圆C 2截得的弦长 为2.12．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0内一定点A (1,2)，P ，Q 为圆上的动点．(1)若P ，Q 两点关于过定点A 的直线l 对称，求直线l 的方程；(2)若AP →·AQ→＝0，求线段PQ 中点M 的轨迹方程． 13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线l 与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求圆Q 的面积；(2)求k 的取值范围；(3)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．14．(2012·南师附中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1. (1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P (2,3)，求椭圆方程．(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M .若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值；(3)设过A 、F 、N 三点的圆与y 轴交于P 、Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．参考答案训练11 直线与圆1．解析 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，所以，点(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，所以，a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )≤14.答案⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 2．解析 直线与圆的位置关系如图所示，设P (x ，y )则∠APO ＝30°，且OA ＝1.在直角三角形APO 中，OA＝1，∠APO ＝30°，则OP ＝2，即x 2＋y 2＝4.又x ＋y－22＝0，联立解得x ＝y ＝2，即P (2， 2)．答案 (2，2)3．解析 根据平面几何知识可知，因为直线l 1，l 2关于直线l 对称，所以直线l 1，l 2关于直线PC 对称并且直线PC 垂直于直线l ，于是点P 到点C 的距离即为圆心C 到直线l 的距离，d ＝|2×8－1|12＋22|＝3 5. 答案 3 54．解析 如图所示，OM→＝OA →＋OB →，则四边形OAMB 是锐角为60°的菱形，此时，点O 到AB 距离为1.由21＋k 2＝1，解出k ＝±1. 答案 k ＝±15．解析 R ＝3x ＋12x ＋35≥3(x ＞0)，当且仅当x ＝2时取等号；所以半径最小时圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝9. 答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝9 6．解析 AB 的长度恒定，故△ABC 面积最大，只需要C 到直线AB 的距离最大即可．此时，C 在AB 的中垂线上，AB 的中垂线方程为y －32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12代入x 2＋y 2＝4得C (1，－3)，所以直线BC 的方程是x ＝1.答案 x ＝17．解析 线段DE 的最大值等于圆心(1,0)到直线AD ∶x －y ＋2＝0的距离加半 径．答案 5228．解析 ∵|OA→＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴OA →⊥OB →，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴点O 到直线AB 的距离为22，即|0－0＋a |2＝22，∴a ＝±1. 答案 ±19．解析 由题意，圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心是C (1,1)，半径为1，由P A＝PB 易知四边形P ACB 面积＝12(P A ＋PB )＝P A ，故P A 最小时，四边形P ACB面积最小．由于|P A |＝|PC |2－1，故PC 最小时P A 最小，此时PC ⊥l .|PC |min ＝|3＋4＋8|5＝3，|P A |min ＝|PC |2min －1＝22， ∴四边形P ACB 面积的最小值是2 2.答案 2 210．解析 (a －2cos θ)2＋(a －52＋2sin θ)2的几何意义为(a ，a )到(2cos θ，52＋2sin θ)距离的平方．(a ，a )表示的轨迹为y ＝x ，(2cos θ，52＋2sin θ)表示的轨迹为x 2＋(y －52)2＝4.又(0,52)到y ＝x 是距离为5，所以(a ，a )到(2cos θ，52＋2sin θ)距离最小值为3.所以(a －2cos θ)2＋(a －52－2sin θ)2的最小值为9.答案 911．解 (1)圆C 1的圆心C 1(－3,1)，半径r 1＝2；圆C 2的圆心C 2(4,5)，半径r 2＝2.∴C 1C 2＝72＋42＝65＞r 1＋r 2，∴两圆相离，连心线所在直线方程为：4x －7y ＋19＝0.(2)直线m 的斜率显然存在．∵直线m 被圆C 1截得弦长为4.∴直线m 过圆C 1的圆心C 1(－3,1)．∴设直线m 的方程为y －1＝k (x ＋3)．∴C 2(4,5)到直线m 的距离：d ＝|7k －4|k 2＋1＝3，∴k ＝28±18646. ∴直线方程为y －1＝28±18646(x ＋3)．12．解 (1)圆C 方程可化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，所以圆心C (－1,3)，半径为R ＝3.因为点P ，Q 在圆上且关于直线l 对称．所以圆心C (－1,3)在直线l 上．又直线l 过点A (1,2)，由两点式得y －23－2＝x －1(－1)－1，即直线l 的方程为x ＋2y －5＝0.(2)设PQ 的中点为M (x ，y )，因为AP →·AQ →＝0，所以AP →⊥AQ →.所以在Rt △P AQ 中，PM ＝AM ，连接CM ，则CM ⊥PQ ，所以CM 2＋PM 2＝CM 2＋AM 2＝CP 2＝R 2，所以(x ＋1)2＋(y －3)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝9.故线段PQ 中点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－5y ＋3＝0.13．解 (1)圆的方程可化为(x －6)2＋y 2＝4，可得圆心为Q (6,0)，半径为2，故圆的面积为4π.(2)设直线l 的方程为y ＝k x ＋2.直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝4交于两个不同的点A ，B 等价于|6k ＋2|k 2＋1＜2，化简得(－8k 2－6k )＞0，解得－34＜k ＜0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由⎩⎨⎧ y ＝k x ＋2(x －6)2＋y 2＝4得(k 2＋1)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0，解此方程得x 1,2＝－4(k －3)±16(k －3)2－144(k 2＋1)22(k 2＋1)则x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2① 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.②而P (0,2)，Q (6,0)，PQ→＝(6，－2)． 所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将①②代入上式，解得k ＝－34.由(2)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 14．解 (1)∵双曲线焦点为(±2,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝4，4a 2＋9b2＝1.∴a 2＝16，b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)由已知，A (－4,0)，B (4,0)，F (2,0)，直线l 的方程为x ＝8.设N (8，t )(t ＞0)．∵AM ＝MN ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t 2. 由点M 在椭圆上，得t ＝6.故所求的点M 的坐标为M (2,3)．所以MA →＝(－6，－3)，MB →＝(2，－3)，MA →·MB →＝－12＋9＝－3. cos ∠AMB ＝MA →·MB →|MA →|·|MB→|＝－336＋9·4＋9＝－6565. (3)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A 、F 、N 三点坐标代入，得 ⎩⎨⎧ 16－4D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，64＋t 2＋8D ＋Et ＋F ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－t －72t ，F ＝－8.圆的方程为x 2＋y 2＋2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0，令x ＝0，得y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0. 设P (0，y 1)，Q (0，y 2)，则y 1,2＝t ＋72t ± ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t 2＋322. 由线段PQ 的中点为(0,9)，得y 1＋y 2＝18，t ＋72t ＝18，此时，所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －18y －8＝0.。

训练8 数列的综合应用(参考时间：80分钟)一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝4，a 2＝10，若{log 3(a n －1)}为等差数列，则T n ＝1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n等于________．2．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝2a 1，则4m＋1n的最小值为________．3．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为________．4．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.5．已知等差数列{a n }满足2a 2－a 27＋2a 12＝0，且{b n }是等比数列，若b 7＝a 7，则b 5b 9＝________. 6．(2012·天一、某某、海门中学联考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2 012＝9，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 2 012)＋2，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为________．7．(2012·宿迁联考)设y ＝f (x )是一次函数，f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝________.8．(2012·宿迁联考)第30届奥运会在伦敦举行．设数列a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使a 1·a 2·a 3…a k 为整数的实数k 为奥运吉祥数，则在区间[1,2 012]内的所有奥运吉祥数之和为________．9．(2012·某某模拟)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．二、解答题10．数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27.(1)求a 1，a 2的值；(2)是否存在一个实数t ，使得b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，且数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .11．设函数f (x )＝2x ＋33x (x ＞0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)n －1·a n a n ＋1，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，某某数t 的取值X 围．12．(2012·某某期中)已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *，都有a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2且a n ＞0. (1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式a n ； (3)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋2的前n 项和为S n ，不等式S n ＞13log a (1－a )对任意的正整数n 恒成立，某某数a 的取值X 围．13．(2012·某某、某某一模)已知数列{a n }满足a 1＝a (a ＞0，a ∈N *)，a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0(p ≠0，p ≠－1，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k .①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案训练8 数列的综合应用1．解析 由{log 3(a n －1)}是等差数列得d ＝log 3(a 2－1)－log 3(a 1－1)＝log 3(10－1)－log 3(4－1)＝1，所以log 3(a n －1)＝log 3(a 1－1)＋(n －1)×1＝n 所以a n ＝3n＋1，则T n ＝1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝132＋1－31－1＋133＋1－32－1＋…＋13n ＋1＋1－3n－1＝13×2＋132×2＋…＋13n ×2＝12×13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－13n .答案 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n2．解析 由a 7＝a 6＋2a 5得q 2＝q ＋2，又a n ＞0，所以q ＝2，a m a n ＝2m ＋n －2a 1＝2a 1，所以m ＋n ＝3，故4m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3＋n 3＝53＋4n 3m ＋m 3n ≥53＋2 49＝3.(当且仅当m ＝2，n ＝1等号成立)． 答案 33．解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋33＝33＋n 2－n ，所以a n n＝33n＋n －1，设f (n )＝33n＋n －1，令f ′(n )＝－33n2＋1＞0，则f (n )在(33，＋∞)上是单调递增，在(0，33)上是递减的，因为n ∈N *，所以当n＝5或6时f (n )有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以，a n n 的最小值为a 66＝212.答案 2124．解析 T n ＝17a 1[1－2n]1－2－a 1[1－22n]1－2a 12n＝11－2·22n－172n＋162n＝11－2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n＋162n－17，因为(2)n＋162n≥8，当且仅当(2)n＝4，即n＝4时取等号，所以当n 0＝4时T n 有最大值． 答案 45．解析 因为{a n }是等差数列，所以a 2＋a 12＝2a 7，又2(a 2＋a 12)＝a 27，所以4a 7＝a 27，b 7＝a 7≠0，所以a 7＝4，所以b 5b 9＝b 27＝42＝16. 答案 166．解析 f ′(0)即为f (x )展开式中x 的系数，所以f ′(0)＝a 1a 2…a 2 012＝(a 1a 2 012)1 006＝91 006＝32 012，又f (0)＝2，故在点(0，f (0))处的切线方程为y －2＝32 012x ，即为y ＝32 012x ＋2.答案 y ＝32 012x ＋2 7．解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f (0)＝1，所以b ＝1，即f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，由f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，得f 2(4)＝f (1)f (13)，即(4k ＋1)2＝(k ＋1)(13k ＋1)，因为k ≠0，所以解得k ＝2，即f (x )＝2x ＋1，所以f (2)＋f (4)＋…f (2n )＝5＋9＋…＋(4n ＋1)＝n 5＋4n ＋12＝n (2n ＋3)．答案 n (2n ＋3)8．解析 因为a 1·a 2·a 3…a k ＝log 23×log 34×…×log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)，当log 2(k ＋2)＝m (m ∈Z )时，k ＝2m－2∈[1,2 012](m ∈Z )，m ＝2,3,4，…，10，所以在区间[1,2 012]内的所有奥运吉祥数之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－18＝211－22＝2 026. 答案 2 0269．解析 由题意可知a n ＝4n －3，且(S 2n ＋3－S n ＋1)－(S 2n ＋1－S n )＝1a 2n ＋3＋1a 2n ＋2－1a n ＋1＝18n ＋9＋18n ＋5－14n ＋1＜0，所以{S 2n ＋1－S n }是递减数列，故(S 2n ＋1－S n )max ＝S 3－S 1＝1a 2＋1a 3＝1445≤m 15，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5. 答案 510．解 (1)由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1，∴a 2＝9，∵9＝2a 1＋22＋1，∴a 1＝2.(2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，(n ≥2且n ∈N *)∴2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，∴4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，∴4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋1＋t ，∴t ＝1.即存在实数t ＝1，使得{b n }为等差数列．(3)由(1)，(2)得b 1＝32，b 2＝52，∴b n ＝n ＋12，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12·2n －1＝(2n ＋1)2n －1－1，S n ＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n ＋1)×2n －1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1－n ，①∴2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n－2n ，②由①－②得－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n＋n ＝1＋2×1－2n1－2－(2n ＋1)×2n ＋n ＝(1－2n )×2n ＋n －1，∴S n ＝(2n －1)×2n－n ＋1.11．解 (1)因为a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1＝2×1a n －1＋33×1a n －1＝a n －1＋23(n ∈N *，且n ≥2)， 所以a n －a n －1＝23.因为a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为23的等差数列．所以a n ＝2n ＋13.(2)①当n ＝2m ，m ∈N *时，T n ＝T 2m ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2m (a 2m －1－a 2m ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝－43×a 2＋a 2m 2×m ＝－19(8m 2＋12m )＝－19(2n 2＋6n )．②当n ＝2m －1，m ∈N *时，T n ＝T 2m －1＝T 2m －(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1＝－19(8m 2＋12m )＋19(16m 2＋16m ＋3)＝19(8m 2＋4m ＋3)＝19(2n 2＋6n ＋7)． 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－192n 2＋6n ，n 为正偶数，192n 2＋6n ＋7，n 为正奇数，要使T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，只要使－19(2n 2＋6n )≥tn 2，(n 为正偶数)恒成立． 只要使－19⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋6n ≥t ，对n ∈N *恒成立，故实数t 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－59.12．解 (1)当n ＝1时，有a 31＝a 21，由于a n ＞0，所以a 1＝1.当n ＝2时，有a 31＋a 32＝(a 1＋a 2)2，将a 1＝1代入上式，由于a n ＞0，所以a 2＝2.(2)由于a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2，①则有a 31＋a 32＋…＋a 3n ＋a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2.②②－①，得a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2－(a 1＋a 2＋…＋a n )2，由于a n ＞0，所以a 2n ＋1＝2(a 1＋a 2＋…＋a n )＋a n －1.③同样有a 2n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋a n (n ≥2)，④③－④，得a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋1＋a n ， 所以a n ＋1－a n ＝1，由于a 2－a 1＝1，即当n ≥1时都有a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． 故a n ＝n .(3)由(2)知a n ＝n .则1a n a n ＋2＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以S n ＝1a 1a 3＋1a 2a 4＋…＋1a n －1a n ＋1＋1a n a n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.∵S n －1－S n ＝1n ＋1n ＋3＞0，∴数列{S n }单调递增．所以(S n )min ＝S 1＝13.要使不等式S n ＞13log a (1－a )对任意正整数n 恒成立，只要13＞13log a (1－a )．∵1－a ＞0，∴0＜a ＜1.∴1－a ＞a ，即0＜a ＜12.所以，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 13．解 (1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，所以n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n ＝0，两式相减，得a n ＋1a n ＝p ＋1p (n ≥2)，故数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p的等比数列，又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝ap，从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝1，a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p n －2n ≥2.(2)①由(1)得a k ＋1＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k －1，a k ＋2＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ，a k ＋3＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ＋1，若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－2，解得p ＝－13；此时a k ＋1＝－3a (－2)k －1，a k ＋2＝－3a (－2)k，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1，若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3， 即p ＋1p＝1，此时无解；若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－12，解得p ＝－23，此时a k ＋1＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1，a k ＋3＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＋1，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋3|＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1，综上所述，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23，d k ＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1②当p ＝－13时，S k ＝9a (2k－1)．则由S k ＜30，得a ＜1032k－1， 当k ≥3时，1032k－1＜1，所以必定有a ＜1， 所以不存在这样的最大正整数当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ，则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎢⎡1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ]，因为403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＞403，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立；但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 即S k ＜30，所以此时满足题意的最大正整数a ＝13.。

训练17 数学思想在解题中的应用(一)(参考时间：80分钟)一、填空题1．函数f (x )＝x 3－8的零点是________．2．若直线y ＝a 与函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x ，0≤x ≤1x 2－4x ＋6，x ＞1的图象有3个交点，则实数a 的取值范围是________．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x，x ≥2，(x －1)3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．4．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )－ln|x －1|＝0的根的个数为________．5．若函数f (x )＝x 2＋2a |x |＋4a 2－3的零点有且只有一个，则实数a ＝________.6．已知函数f (x )＝4x |x |－1.给出如下结论：①f (x )是R 上的单调递增函数；②对于任意x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝－2恒成立；③函数y ＝f (x )－2x ＋1恰有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1＋x 2＋x 3＝0.其中正确结论的序号为________．7．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.8．若关于x 的方程 4－x 2＝k x ＋2只有一个实数根，则k 的取值范围为________．9．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(x ＋1)，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞).则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为________． 10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 012x ，x ＞1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．二、解答题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0，(1)求公差d 的取值范围；(2)求出S 1，S 2，S 3，…，S 12中哪一个最大，并说明理由．12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .已知函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，XX 数c 的取值范围．13.已知函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R )，且f (y 2－6y ＋11)＋f (x 2－8x ＋10)≤0，求当y ≥3时，函数F (x ，y )＝x 2＋y 2的最小值与最大值．14．(2012·徐州质检)已知函数f (x )＝(ax 2＋x )e x ，其中e 是自然数的底数，a ∈R .(1)当a ＜0时，解不等式f (x )＞0；(2)若f (x )在[－1,1]上是单调增函数，求a 的取值范围；(3)当a ＝0时，求整数k 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在[k ，k ＋1]上有解． 参考答案训练17 数学思想在解题中的应用(一)1．解析 令f (x )＝0，即x 3－8＝0，解得x ＝2.答案 22．解析 作出函数f (x )的图象如图，由图象可知，当a ∈(2,3)时，两个函数图象有3个交点．答案 (2,3)3．解析 作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当0＜k ＜1时，函数f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所XX 数k 的取值范围是(0,1)．答案 (0,1)4．解析 因为函数y ＝f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数y ＝f (x )关于直线x ＝1对称，又函数y ＝f (x )是偶函数，所以关于y 轴对称，所以函数y ＝f (x )的周期是2，又当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，作出函数y ＝f (x )的图象和y ＝ln|x －1|的图象如图，由图象可知交点有6个．答案 65．解析 ∵函数f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，要使函数只有一个零点，则只能f (0)＝0，解得a ＝±32，代入检验：a ＝32时，f (x )＝x 2＋3|x |只有一个零点x ＝0；a ＝－32时，f (x )＝x 2－3|x |有三个零点x ＝0，3，－3，不适合题意，舍去，即a ＝32.答案 326．解析 逐一判断，由题意可知f (x )＝4x |x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－1，x ≥0，－4x 2－1，x ＜0， 作出图象如图，由图象可知f (x )是R上的单调递增函数，故①正确；图象关于点(0，－1)对称，即对于任意x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝－2恒成立，故②正确；因为函数y ＝f (x )，y ＝2x －1图象有3个交点，一个是(0，－1)，另外两个关于点(0，－1)对称，所以函数y ＝f (x )－2x ＋1恰有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1＋x 2＋x 3＝0正确，即③正确，所以正确结论的序号是①②③.答案 ①②③7．解析 由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n ≥0得“1≤n ≤4”，逐个分析，当n ＝1、2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1、3；当n ＝4时，方程有正整数解2.答案 3或48．解析 关于x 的方程4－x 2＝k x ＋2只有一个实数根，等价于函数y ＝4－x 2， y ＝k x ＋2图象只有一个公共点，作出函数图象如图，由图象可知，直线与半圆只有一个公共点时，k ＝0或k ＞1或k ＜－1.答案 (－∞，－1)∪{0}∪(1，＋∞)9．解析 根据分段函数的解析式和奇函数的对称性作出函数f (x )在R 上的图象和y ＝a (0＜a ＜1)的图象如右图，由图象可知函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)共有5个零点，其中最左边两个零点x 1＋x 2＝－6，最右边两个零点x 4＋x 5＝6，中间一个零点x 3是方程log 2(1－x )＝a 的根，解得x 3＝1－2a ，故所有零点之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝－6＋1－2a ＋6＝1－2a .答案 1－2a10．解析 本题中分段函数对应的图象如图，因为f (a )＝f (b )＝f (c )，且互不相等，所以直线y ＝k 与函数f (x )的图象有三个不同的交点，则k ∈(0,1)，与函数f (x )的图象的三个不同的交点横坐标从小到大记为a ，b ，c ，则由图象易知a ，b 关于直线x ＝12对称，即a ＋b ＝1，且c ∈(1,2 012)，所以a＋b ＋c ∈(2,2 013)答案 (2,2 013)11．解 (1)由a 3＝12得：a 1＝12－2d ，∵S 12＝12a 1＋66d ＝144＋42d ＞0，S 13＝13a 1＋78d ＝156＋52d ＜0，∴－247＜d ＜－3(2)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12dn 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－52d n ， ∵d ＜0，S n 是关于n 的二次函数，对称轴方程为：x ＝52－12d ，∵－247＜d ＜－3，∴6＜52－12d ＜132，∴当n ＝6时，S n 最大．12．解 ∵f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)＝⎩⎨⎧ x 2－2，(x 2－2)－(x －1)≤1，x －1，(x 2－2)－(x －1)＞1.即f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x ＞2，或x ＜－1.作出其图象如图； 从图象可以看出：将函数图象向上平移1至2个单位时，其图象与x 轴有两个公共点，此时考虑不能取到的点得－2＜c ≤－1；或者将函数图象向下平移1至2个单位时，其图象与x轴有两个公共点，此时考虑不能取到的点得1＜c ≤2.故c 的取值范围为(－2，－1]∪(1,2]．13．解 因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0(x ∈R )恒成立，所以函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R )是增函数，且为奇函数，所以f (y 2－6y ＋11)＋f (x 2－8x ＋10)≤0等价于f (y 2－6y ＋11)≤－f (x 2－8x ＋10)＝f (－x 2＋8x －10)，即y 2－6y ＋11≤－x 2＋8x －10，整理得(x －4)2＋(y －3)2≤4(y ≥3)，所以点(x ，y )在如图的半圆面上，图中A (2,3)到原点距离最小，此时函数F (x ，y )＝x 2＋y 2的最小值为13，图中点B 到原点的距离最大，最大值为(OC ＋r )2＝(5＋2)2＝49.14．解 (1)因为e x ＞0，所以不等式f (x )＞0即为ax 2＋x ＞0，又因为a ＜0，所以不等式可化为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a ＜0，所以不等式f (x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a . (2)f ′(x )＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x )e x ＝[ax 2＋(2a ＋1)x ＋1]e x ，①当a ＝0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ′(x )≥0在[－1,1]上恒成立，当且仅当x ＝－1时取等号，故a ＝0符合要求；②当a ≠0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋1，因为Δ＝(2a ＋1)2－4a ＝4a 2＋1＞0， 所以g (x )＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，不妨设x 1＞x 2，因此f (x )有极大值又有极小值．若a ＞0，因为g (－1)·g (0)＝－a ＜0，所以f (x )在(－1,1)内有极值点，故f (x )在[－1,1]上不单调．若a ＜0，可知x 1＞0＞x 2，因为g (x )的图象开口向下，要使f (x )在[－1,1]上单调，因为g (0)＝1＞0，必须满足⎩⎨⎧ g (1)≥0，g (－1)≥0.即⎩⎨⎧3a ＋2≥0，－a ≥0. 所以－23≤a ＜0.综上可知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0. (3)当a ＝0时，方程即为x e x ＝x ＋2，由于e x ＞0，所以x ＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x －2x －1＝0，令h (x )＝e x －2x －1，因为h ′(x )＝e x ＋2x 2＞0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调增函数，又h (1)＝e －3＜0，h (2)＝e 2－2＞0，h (－3)＝e －3－13＜0，h (－2)＝e －2＞0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上， 所以整数k 的所有值为{－3,1}．。

2021-2022年高中数学二轮复习精选第一部分 25个必考问题专项突破专题训练13立体几何苏教版一、填空题1．(xx·淮阴、海门、天一中学联考)将一个长宽分别是a，b(0＜b＜a)的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是________．2．(xx·无锡模拟)对于直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β.其中正确命题的序号是________．3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：①若l⊥α，m⊂α，则l⊥m；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.则其中正确命题的序号是________．4．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥B­B1EF的体积为________．5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若m∥α，m⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．6．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中所有能推得a⊥b的条件是________(填序号)．①a⊂α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；③a⊂α，b⊥β，α∥β；④a⊥α，b∥β，α∥β.7．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号______(写出所有真命题的序号)．8．(xx·泰州模拟)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上(M，N不与B1，C1重合)，且AM＝BN，那么①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面，以上4个结论中，正确结论的序号是________．9．(xx·苏中四市调研)在正三棱锥P­ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，下列结论：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE，其中正确结论的序号是________．二、解答题10．(xx·南京模拟)如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.(1)求证：平面AEC⊥平面ABE；(2)点F在BE上．若DE∥平面ACF，求BFBE的值．11．如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点．(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.12.(xx·泰州学情调研)如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA的中点，F为BC的中点，求证：(1)平面BDO⊥平面ACO；(2)EF∥平面OCD. 13．(xx·淮阴、海门、天一中学联考)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E、F分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)证明：平面AEB ⊥平面BB 1C 1C ；(2)证明：C 1F ∥平面ABE ；(3)设P 是BE 的中点，求三棱锥P ­B 1C 1F 的体积．训练13 立体几何1．解析 设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b2， 则该长方体外接球的半径为r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2] ＝14[9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2]，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2 存在最小值时，必有2a ＋b 9＜b 2， 解得a b ＜54，又0＜b ＜a ⇒a b＞1， 故a b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54 2．解析 n 有可能平行于α或在α内，所以①不正确；n 有可能在α内，所以②不正确；α可以与γ相交，所以③不正确．答案 ④3．解析 根据线面垂直的判定定理、性质定理可知①②正确．答案 ①②4．解析 VB ­B 1EF ＝VE ­B 1FB ＝13S △B 1BF ·EB ＝13×12×2×1×1＝13. 答案 135．解析 本题运用排除法，逐一将假命题排除可得正确答案．①错，当m ⊂α时，则m ⊥α为假命题；②对，当m ∥α，m ⊥β，则有m ∥n ，n ⊂α且n ⊥β，所以α⊥β；③错，由α⊥β，α⊥γ，β与γ垂直没有传递性，则β⊥γ为假命题；④错，由α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n 得α∥β或者α与β相交；所以真命题的序号是②.答案 ②6．解析 由①a ⊂α，b ∥β，α⊥β可能得到两直线垂直，平行或异面，②③④均能得到两直线垂直，故填写②③④.答案 ②③④7．解析 ①②为课本上的结论，是真命题；③α和β不垂直时，α内也有一组平行直线垂直于l ；④l 与α内的两条直线垂直不能得出l 与α垂直，如α内的两条直线平行时，则不能推出l ⊥α.答案 ①②8．解析 过M 作MP ∥AB 交BB 1于P ，连接NP ，则平面MNP ∥平面A 1C 1，所以MN ∥平面A 1B 1C 1D 1，又AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以AA 1⊥MN .当M 与B 1重合，N 与C 1重合时，则A 1C 1与MN 相交，所以①③正确．答案 ①③9．解析 如右图，设P 在面ABC 内射影为O ，则O 为正△ABC 的中心．①可证AC ⊥平面PBO ，所以AC ⊥PB ；②AC ∥DE ，可得AC ∥面PDE ；③AB与DE 不垂直．答案 ①②10．(1)证明 因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC .因为平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面BCE .因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ⊥AB .因为CE ⊥BE ，AB ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，AB ∩BE ＝B ，所以CE ⊥平面ABE .因为CE ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE .(2)解 连接BD 交AC 于点O ，连接OF .因为DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF ∩平面BDE ＝OF ，所以DE ∥OF .又因为矩形ABCD 中，O 为BD 中点，所以F 为BE 中点，即BF BE ＝12. 11．证明 (1)在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1，连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB ＝4，CD ＝2，且AB ∥CD ，所以CD 綉A 1F 1，故A 1F 1CD 为平行四边形，所以CF 1∥A 1D ，又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1∥A 1D ，所以CF 1∥EE 1，又因为EE 1⊄平面FCC 1，CF 1⊂平面FCC 1，所以直线EE 1∥平面FCC 1.(2)在直棱柱中，CC 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥AC ，因为底面ABCD 为等腰梯形，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，F 是棱AB 的中点，所以CF ＝CB ＝BF ，故△BCF 为正三角形，∠BCF ＝60°，且△ACF 为等腰三角形，且∠ACF ＝30°；所以AC ⊥BC ，又因为BC 与CC 1都在平面BB 1C 1C 内且交于点C ，所以AC ⊥平面BB 1C 1C ，而AC ⊂平面D 1AC ，所以平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C .12．证明 (1)∵OA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OA ⊥BD ，∵ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，又OA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面OAC ，又∵BD ⊂平面OBD ，∴平面BDO ⊥平面ACO .(2)取OD 中点M ，连接EM ，CM ，则ME ∥AD ，ME ＝12AD ， ∵ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵F 为BC 的中点，∴CF ∥AD ，CF ＝12AD ， ∴ME ∥CF ，ME ＝CF .∴四边形EFCM 是平行四边行，∴EF ∥CM ，又∵EF ⊄平面OCD ，CM ⊂平面OCD .∴EF ∥平面OCD .13．(1)证明在△ABC中，∵AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，由余弦定理得：∴AB＝23，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，由已知AB⊥BB1，又BB1∩BC＝B，∴AB⊥面BB1C1C，又∵AB⊂面ABE，∴平面ABE⊥平面BB1C1C.(2)证明取AC的中点M，连接C1M，FM在△ABC，FM∥AB，而FM⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴直线FM∥平面ABE在矩形ACC1A1中，E，M都是中点，∴C1E綉AM，四边形AMC1B是平面四边形，∴C1M∥AE 而C1M⊄平面ABE，AE⊂平面ABE，∴直线C1M∥ABE又∵C1M∩FM＝M，∴平面ABE∥平面FMC1，而CF1⊂平面FMC1，故C1F∥平面AEB.(3)解取B1C1的中点H，连接EH，则EH∥A1B1，所以EH∥AB且EH＝12AB＝3，由(1)得AB⊥面BB1C1C，∴EH⊥面BB1C1C，∵P是BE的中点，∴VP­B1C1F＝12VE­B1C1F＝12×13S△B1C1F·EH＝ 3.(35352 8A18 記36692 8F54 轔27846 6CC6 泆22042 561A 嘚`34906 885A 衚32673 7FA1 羡N39455 9A1F 騟33120 8160 腠37500 927C 鉼39371 99CB 駋 e。

训练6 平面向量 (参考时间：80分钟)一、填空题1．(2012·苏州高三期中)已知向量a ＝(2，x )，b ＝(x －1,1)，若a ∥b ，则x 的值为________．2．(2012·重庆改编)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝________.3．(2012·南通数学密卷)已知m ＝(cos ωx ，sin ωx )(ω＞0)，n ＝(1，3)，若函数f (x )＝m·n 的最小正周期是2，则f (1)＝________.4．已知向量OA→＝(k ,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当A ，B ，C 三点共线时，实数k 的值为________．5．(2012·天一、淮阴、海门中学联考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12，则|AB→|＝________.6．如图，在正方形ABCD 中，已知AB ＝2，M 为BC 的中点，若N 为正方形内(含边界)任意一点，则AM →·AN →的最大值是________．7．在△ABC 所在的平面上有一点P 满足P A →＋PB →＋PC →＝AB→，则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．8．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2(0＜x ＜4)的图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA→＝________.9．(2012·北京)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．10．(2012·上海)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN→的取值范围是________． 二、解答题11．(2012·无锡模拟)已知a ＝(sin α，sin β)，b ＝(cos(α－β)，－1)，c ＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠k π＋π2(k ∈Z )． (1)若b ∥c ，求tan α·tan β的值； (2)求a 2＋b·c 的值．12．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x 2，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2，1(x ∈R )，设函数f (x )＝m·n －1. (1)求函数f (x )的值域；(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f (A )＝513，f (B )＝35，求f (A ＋B )的值．13．(2012·徐州检测)已知向量a ＝(4,5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，a ⊥b ，求：(1)|a ＋b |； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值． 14．已知向量OA→＝(2,0)，OC →＝AB →＝(0,1)，动点M 到定直线y ＝1的距离等于d ，并且满足OM →·AM →＝k (CM →·BM →－d 2)，其中O 为坐标原点，k 为参数．(1)求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型． (2)当k ＝12时，求|OM→＋2AM →|的最大值和最小值． 参考答案 训练6 平面向量1．解析 由a ∥b ，得2－x (x －1)＝0，解得x ＝2或－1. 答案 2或－12．解析 由题意可知⎩⎨⎧ 2x －4＝0－4－2y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2y ＝－2，故a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10. 答案 103．解析 f (x )＝m·n ＝cos ωx ＋3sin ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，最小正周期是2，得2πω＝2⇒ω＝π，所以f (1)＝2sin 7π6＝－1. 答案 －14．解析 因为AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC→，所以(4－k )(k －5)－6×(－7)＝0，解得k ＝－2或11. 答案 －2或115．解析 将AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12两式相减得AB →·(AC →－BC →)＝AB →2＝16，则|AB →|＝4. 答案 46．解析 由数量积的定义得AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos ∠NAM ，当N 点与C 点重合时，|AN →|cos ∠NAM 最大，解三角形得最大值为65，所以AM →·AN→的最大值是6. 答案 67．解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →，所以P A →＋PB →＋PC →＋BA →＝0，即PC →＝2AP →，所以点P 是CA 边上的靠近A 点的一个三等分点，故S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23. 答案 238．解析 A 点坐标为(2,0)，即OA →＝(2,0)，由y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2的图象的对称性知A是BC 的中点． ∴OB →＋OC →＝2OA →， ∴(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2×|OA →|2＝8. 答案 89．解析 以 AB→，AD →为基向量，设AE →＝λAB →(0≤λ≤1)，则DE →＝AE →－AD →＝λAB →－AD →，CB →＝－AD →，所以DE →·CB →＝(λAB →－AD →)·(－AD →)＝－λAB →·AD→＋AD →2＝－λ×0＋1＝1.又DC →＝AB →，所以DE →·DC →＝(λAB →－AD →)·AB →＝λAB →2－AD →·AB →＝λ×1－0＝λ≤1，即DE →·DC →的最大值为1. 答案 1；110．解析 建立坐标系，应用坐标运算将所求问题转化为二次函数在给定区间上的取值范围问题．以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设M (x 1，3(x 1－2))，N ⎝⎛⎭⎪⎫x 2，32，由条件可得2|BM →|＝|CN →|，代入坐标化简得4x 1＋x 2＝212，得x 2＝212－4x 1，所以AM →·AN →＝(x 1，3(x 1－2))·⎝⎛⎭⎪⎫x 2，32＝x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫212－4x 1＋32(x 1－2)＝－4x 21＋12x 1－3，x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52.由二次函数的图象可知y ＝－4x 21＋12x 1－3在x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52上是减函数，所以AM →·AN →的取值范围是[2,5]．答案 [2,5]11．解 (1)若b ∥c ，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0， ∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，∴tan αtan β＝－3. (2)a 2＋b·c ＝sin 2α＋sin 2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2 ＝sin 2α＋sin 2β＋cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β－2＝sin 2α＋cos 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－2＝sin 2α＋cos 2α－2＝1－2＝－1.12．解 (1)f (x )＝m·n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x 2，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2，1－1＝ 2cos x 2sin x2＋1－1＝sin x .因为x ∈R ，所以函数f (x )的值域为[－1,1]．(2)因为f (A )＝513，f (B )＝35，所以sin A ＝513，sin B ＝35. 因为A ，B 都是锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝1213，cos B ＝1－sin 2B ＝45， 故f (A ＋B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝513×45＋1213×35＝5665，即f (A ＋B )的值为5665.13．解 (1)因为a ⊥b ，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，解得sin α＝35，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝45，tan α＝sin αcos α＝34，所以a ＋b ＝(7,1)，因此|a ＋b |＝72＋12＝5 2.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－35×22＝210.14．解 (1)设M (x ，y )，则由OA →＝(2,0)，OC →＝AB →＝(0,1)且O 为原点得，A (2,0)，B (2,1)，C (0,1)．从而OM →＝(x ，y )，AM →＝(x －2，y )，CM →＝(x ，y －1)，BM →＝(x －2，y －1)，d ＝|y －1|，代入OM →·AM →＝k (CM →·BM→－d 2)，得(1－k )x 2＋2(k －1)x ＋y 2＝0为所求的轨迹方程．当k ＝1时，所求轨迹是一条直线y ＝0；当k ≠1时，(x －1)2＋y 21－k＝1，若k＝0，则为圆；若0＜k ＜1或k ＜0，则为椭圆；若k ＞1，则为双曲线．(2)由(1)知当k ＝12时，点M 的轨迹方程为(x －1)2＋2y 2＝1，则0≤x ≤2， ∴|OM →＋2AM →|＝(3x －4)2＋9y 2 ＝(3x －4)2＋92－92(x －1)2＝92x 2－15x ＋16＝ 92⎝ ⎛⎭⎪⎫x －532＋72， ∴当x ＝53时，|OM →＋2AM →|min＝72＝142；当x ＝0时，|OM→＋2AM →|max＝16＝4.。