人教A版高中数学选修第一章杨辉三角教案新

人教高中数学2-3第一章1【教学目标】知识与技能：1、使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，把握杨辉三角的差不多性质；2、探究杨辉三角中行、列数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质之间联系，并能归纳这些数字规律；3、会用数学归纳法及问题情形法证明发觉的数字规律.方法与过程：1、培养学生独立摸索与相互交流结合的意识，使学生差不多把握“观看——分析——猜想——证明”的科学研究方法；2、利用简短的视频放映，向同学们简要介绍杨辉三角历史，提高同学们学习数学的乐趣，增强民族自豪感;3、通过练习以及杨辉三角与纵横路线图，杨辉三角与弹子游戏，培养学生形成知识间相互联系的意识，并形成探究知识、建构知识的研究型学习适应，为进一步学习作好预备.情感、态度与价值观：1、了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国主义精神．2、在知识的应用中，培养学生数学应用和科学研究的意识和能力，以及乐于探究、勇于创新的科学精神.【教学重点、难点】重点：杨辉三角的性质的发觉难点：引导学生发觉杨辉三角中的行、列的数字规律【教学方法与教学手段】引导探究——合作交流——发觉运算机辅助教学【教学过程】复习回忆简要回忆二项式定理，通项以及二项式系数相关概念.一．本节知识点1.杨辉三角：(a+b)1 …………………………………………………11(a+b)2 (1)21(a+b)3 (1331)(a+b)4 (146)41(a+b)5 (151)01051(a+b)6 (161)5201561第行 1 (1)第行 1 (1)杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情形，那么杨辉三角有何特点？（至少两点）2.二项式系数的性质（用式子表示）（1）（对称性）（2）当为偶数时，最大；当为奇数时，最大（增减性与最大值）（3）（各二项式系数的和）二、简单介绍杨辉——古代数学家的杰出代表杨辉，杭州钱塘人. 中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多.其中《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.“杨辉三角”显现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出那个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）差不多用过它，这说明我国发觉那个表不晚于11世纪．在欧洲，那个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡第一发觉的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把那个表叫做帕斯卡三角．这确实是说，杨辉三角的发觉要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成确实是专门值得中华民族自豪的．三．例题精选例1.证明：在展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.例2.已知.求变式：，则________________________.思路：赋值法四、介绍杨辉三角的一些数字规律1. 2.3. 4.五、杨辉三角与纵横路线图“纵横路线图”是数学中的一类有味的问题：如图是某都市的部分街道图，纵横各有五条路，假如从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？六、杨辉三角与弹子游戏如图的弹子游戏，小球(黑色) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，依照具体区域获得奖品。

《“杨辉三角”与二项式系数的性质》教学设计教学环节教学内容活动设计活动目标信息技术运用及意图(一) 引入新课杨辉，南宋数学家，1261年著有《详解九章算法》一书；在书中记载了这样一个表，被称之为“杨辉三角”，“杨辉三角”包含了什么内容？今天我们就探究杨辉三角中蕴含的小秘密 (此处插入图片)教师边让学生看图片，边介绍相关数学史内容通过教师对图片的解读和数学史的介绍，可以让学生了解古代数学的伟大成就，激发学生的学习兴趣信息技术应用：使用【屏幕广播】设计意图：通过教师对图片的解读和数学史的介绍，可以激发学生兴趣，增强民族自豪感，并为探究杨辉三角做准备。

使用智慧课堂【屏幕广播】功能，使得每个学生的座位没有了差异，学生可以近距离的看到老师准备的内容(二)温故知新问题1：请你回想一下二项式定理的内容问题2：请你回想一下二项式系数的定义问题3: 组合数的两个性质问题4：请你完成当n=1,2,3,4,5,6时的(a+b)n的二项式展开教师提出问题，并让学生回答复习回顾前面学习的内容，并为后续内容的学习做准备信息技术应用：使用【屏幕广播】设计意图: 检测学生前两节课的学习效果，也为本节课的顺利开展做必要准备。

使用智慧课堂【屏幕广播】功能，使得每个学生的座位没有了差异，学生可以近距离的看到老师准备的内容(三) 成果展示1、请学生展示当n=1,2,3,4,5,6时的(a+b)n的二项式展开；2、发现二项展开式中的各项二项式系数按照新的表示形式排列以后与杨辉三角之间的关系让学生展示学习成果，并发现杨辉三角的真面目让学生了解杨辉三角的含义，为学生进行下面的探究活动做准备信息技术应用：使用【屏幕广播】设计意图：为学生发现杨辉三角蕴含的秘密和二项式系数的性质做准备。

使用智慧课堂【屏幕广播】功能能够拉近师生距离(四) 合作探究探究1：下表中蕴含着哪些规律？你能说出一些吗？学生自主完成探究1，并在课堂上展示通过观察，学生很容易发现二项式系数表中蕴含的规律信息技术应用：使用【屏幕广播】设计意图：通过设计这个探究活动，学生可以从二项式系数表中获得二项式系数相关性质的直观感受，在n不大的情况下，可以通过这个表获得其他二项式展开的系数(四) 合作探究探究2：（1）当n=6时，(a+b)6展开式的二项式系数C60,C61,⋯C66，令,通过画出它的图像，你能发现二项式系数的哪些性质？（2）当n=7时呢？一般地n为偶数时呢？n为奇数时呢？此处设计小组讨论，将难点进行层层分解，通过问题串的形式，将难点慢慢化解开来从函数角度研究二项式系数的性质，利用数形结合思想，获得二项式系数的性质(1)(2)信息技术应用：使用【教师提问】【学生示范】设计意图：为了突破难点，设计了层层递进的问题串模式，学生通过回答一个一个的问题，轻松获得本节课的学习重点。

《杨辉三角》教学设计一、教材分析：（1）教材内容：《杨辉三角》是全日制普通高级中学教科书人教现行人教B版选修2-3第1章第3节第2课时，本节内容是继二项式定理后对二项式系数的深入研究，是依现行教材开发的一节研究性学习内容。

本节课主要是总结杨辉三角的四个基本性质及利用杨辉三角性质解决二项式系数的有关问题。

杨辉三角的基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，因此它也是研究杨辉三角其他规律的基础。

（2）地位与作用：本节课是在学生学习了计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

这对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习也具有重要地位。

通过本节课的教学进一步提高学生的观察归纳演绎能力,进一步了解到二项式系数的性质的来龙去脉，感受体验数学美。

二、学情分析：1. 本班同学学习成绩比较突出，无论在观察问题还是分析问题上已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试总结归纳。

同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。

2. 我校实行“1121”教学模式，在“先学后教”的原则下，以学案为载体，进行授课。

班里设有合作学习小组，即小组内拥有稳定的成员，持续了一年多的相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点，学生还需要在老师的指导下共同完成。

三、目标分析：1、知识与技能目标：了解有关杨辉三角形的简史，熟悉杨辉三角的数字排列特点，从中发现二项式系数的主要性质，掌握这些性质；并灵活运用二项式系数的性质解决相关问题。

2、过程与方法目标：通过小组讨论,培养学生发现问题、探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神.3、情感、态度价值观目标：（1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神；（2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度；（3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。

数学探究杨辉三角的性质与应用一、知识结构框图二、学习目标1．结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养．2．在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法，培养遵守学术规范、坚守诚信底线的科学研究素养．三、重点、难点重点：杨辉三角性质的发现和证明，利用杨辉三角解决古算题和其他领域的问题．难点：杨辉三角性质的应用．四、教科书编写意图及教学建议杨辉三角是一个很有魅力的数字三角形．它很实用，从低次到高次，从各行之间的相互独立到相邻两行之间关联的发现，从一两条性质到一系列性质的探究，从正整数的开方到组合数、幂和公式的导出，都体现了数学知识的由浅入深、由特殊到一般的过程，也体现了由直观到抽象、由猜想到论证的数学思维过程．它还很美，特别是对称之美，广受喜爱，曾经成为邮票或数学杂志封面的图案．它也很多元化，中国、阿拉伯、欧洲等地的众多数学家都曾经研究和运用它，数十幅带有不同文化元素的数字三角形展现了丰富生动的多元文化．考虑到杨辉三角在数学、数学思维和数学文化上的魅力，教科书专门将它作为一个主题，设置了数学探究活动，并安排了3课时，让学生以课题研究的形式，从不同角度探究它．通过自主探究或合作探究，既能够丰富数学知识，建立不同知识之间的联系，还能进一步学会如何进行数学探究，感悟数学价值，提升数学精神、应用意识，从而全面提升数学学科核心素养和人文素养．（一）杨辉三角的历史探源杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，从数学角度体现了中华优秀传统文化．因此，教科书就从这里入手，给出了《详解九章算法》一书中的开方作法本源图，简单介绍了数学家杨辉，以及杨辉三角的由来．同时，这一段关于历史发展的介绍也是数学探究活动的背景，能够让学生在杨辉三角的演变中，了解为什么要研究杨辉三角，杨辉三角在我国的发现时间比欧洲早500年左右等，从而激发学生的民族自豪感和“一探究竟”的兴趣．在教学中，可以适当补充杨辉三角的演变历史，也可以让学生自己去搜集一些这方面的资料进行阅读，从而为接下来的数学探究活动作好准备，下面提供一些史料，供教学时参考．图1名为开方作法本源图，现在杨辉算书的传本中都没有这个图，只在明朝《永乐大典》（1407）抄录的《详解九章算法》中还保存着这份宝贵遗产，可惜《永乐大典》被掠至英国，现藏在剑桥大学图书馆内．《详解九章算法》由杨辉所著，他在书中提到“出释锁算书，贾宪用此术”．这说明，在我国至迟贾宪时期就已经发明了这个数字三角形．关于贾宪的生平，所知甚少．根据一些记载，只能推定贾宪著书的年代是在1023年至1050年这段时期．贾宪用这个数字三角形来进行开方，所以称为“开方作法本源”．而在宋元时期，数学家将开方或解数字方程称为“释锁”，故此图出现在《释锁》算书中．后来，朱世杰（1303）、吴敬（1450）、程大位（1592）等古代数学家均引用并发展了开方作法本源图．借助此图，古代数学家们开高次方、解高次方程，创造出了具有中国古代数学独特风格的高次方程的数值解法．（二）杨辉三角性质的探究杨辉三角性质的探究，是这个数学探究活动的重点，将杨辉三角作为一个探究主题有两个主要原因：一是由于前面提到的杨辉三角本身所具有的数学、数学思维和数学文化上的魅力；二是由于杨辉三角的直观性和性质的丰富性，既有“一目了然”的性质，也有“深藏不露”的性质，所以它可以让不同发展水平的学生都能探究，并有所收获．为了让学生顺利而又充分地开展探究活动，教科书在编写中重点关注了以下两个方面．1．探究的方法探究是一种复杂的学习活动，不同学科的探究，因其学科特点会有其特有的方法．在科学中，探究强调调查研究、实验验证、数据分析和解释，结论解释和预测；而在数学中，探究更多的是一种思维状态，强调观察和想象、归纳和猜想、推理和论证，当学生获得了探究的方法、养成了探究的习惯，他们就会自发地去探究、主动积极地学习，成为自主学习者．因此，教科书在杨辉三角性质探究这一部分，注重“如何探究”的引导，重在展现探究的方法，并加以示例说明．探究不是凭空产生的，它和数学问题紧密相联．首要的是发现和提出一个数学问题．如何发现和提出问题呢？教科书中的“1．观察杨辉三角的结构，即杨辉三角中数字排列的规律，例如每一行、相邻两行、斜行等，画一画，连连线，算一算，写出你发现的结论”告诉学生：（1）需要“观察”．这种观察并不是单纯地看一看，它包含着积极的思维过程，要有目的，如数字排列的规律；要随时比较，如数字间的关系和差异；等等．（2）需要“实验”．虽然数学不像科学那样需要精密设备、精心设计的实验，但有时候还是需要人为地创造一些条件和方法辅助思维，如圈一圈、连一连、算一算等．而这些观察和实验的结果正是归纳推理的基础．（3）需要“归纳”．通过观察和实验，获得一定素材后，就可以进行归纳，作出初步的结论，然后用数学语言描述出来，就是一个猜想，即一个数学问题．为了说明这一一点，教科书以杨辉三角的基本性质C r n ＝C 11r n --＋C 1r n -为例，示范如何发现和提出问题．具体来说，通过观察和比较教科书中的图1和图2，发现杨辉三角和二项式系数之间的对应关系；通过连线和计算，如教科书上的图4，发现除了三角形的两个腰上的数字都是1，其余的数都是它肩上两个数相加，从特殊到一般，就归纳出结论：C rn ＝C 11r n --＋C 1rn -．这就是一个数学问题．在教学中，要特别注意探究方法的指导，至于发现结论和写出结论，应该由学生自己完成．例如观察和实验的指导，应关注于在数字三角形中圈一圈、连一连、算一算等手段的尝试；关注于有目的的观察，相邻行之间、各行数字的和等（图2）．基于观察、实验和归纳，学生会获得很多关于杨辉三角的结论，这里列出一些最基本的结论（更多的结论见“五、探究活动参考资料”），供教学时参考：（1）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C r n ＝C n r n-． （2）递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C r n ＝C 11r n --＋C 1r n -．（3）第n 行奇数项之和与偶数项之和相等，即C n 0＋C n 2＋C n 4＋…＝C n 1＋C n 3＋C n 5＋…．（4）第n 行数的和为2n ，即C n 0＋C n 1＋C n 2＋…＋C n n ＝2n ．（5）第n 行各数平方和等于第2n 行中间的数，即（C n 0）2＋（C n 1）2＋（C n 2）2＋…＋（C n n ）2＝C 2n n （图3）．（6）自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n 个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即C r r ＋C 1r r +＋C 2r r +＋…＋C n －1r ＝C n r ＋1（图4）．在提出了一个数学问题后，就需要分析和解决这个问题，教科书中的“2．利用已学知识，尝试对所得结论进行证明”就指明了，在数学上，当我们获得一个猜想之后，必须要证明它，所用的就是逻辑推理的方法．从观察和实验，到归纳和猜想，再到推理和论证，这是一个完整的数学探究过程，数学探究中的“推理论证”不同于科学探究中的“实验验证”，数学中的结论一旦得到证明，是不会改变的，而科学中经过实验验证的结论有时会在若干年后推翻重建．在教学中，要特别注意强调推理论证在数学中的重要性及其作用，而且要鼓励或要求学生去证明自己发现的结论，让学生经历完整的数学探究过程．这样不仅有助提升学生的直观想象、数学抽象素养，而且还有助于提升学生的数学运算、逻辑推理素养．2．探究的开放性杨辉三角这个数学探究活动，从教科书的设计来看，它的开放性很大，除了给定一个“数字三角形”这个情境外，其他环节都是完全开放的，教科书给的示例也只是为了说明探究方法．在这种情况下，如果没有教师的指导，那么学生能探究到什么程度就取决于学生的自主探究能力，自主探究能力越高，探究就越开放、收获就会越多．但是学生的数学能力总是参差不齐的，能力越低越需要教师的指导，让他们“跳一跳”摘到果子．当学生在探究活动中的发现越来越多，解决的问题越来越难，兴趣和信心也会越来越浓厚．因此，在教学中教师需要关注学生的探究过程，掌握学生的探究程度，并据此匹配相应程度的探究指导．关于杨辉三角这个主题，以“问题”为例，有的学生可能会发现和提出一组问题，有的学生可能只能发现和提出一个问题，在这种情况下，教师可以分别为他们提供一些材料或给予一些提示，指导他们发现更多的结论，在各自的程度上更加深入地探究．在教学中，根据学生的探究程度，灵活采用开放型、指导型等不同的探究形式，让不同水平的学生通过探究活动都能有所收获，包括知识的增长和探究方法的养成．（三）杨辉三角应用的探究华罗庚先生（1910—1985）曾写过一本小册子《从杨辉三角谈起》，其中从杨辉三角的性。

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、三维目标1.知识与技能(1)能认识杨辉三角，并能利用它解决实际问题．(2)记住二项式系数的性质，并能解决相关问题．2．过程与方法通过观察、分析杨辉三角数表的特点，掌握二项式系数的性质．3．情感、态度与价值观通过“杨辉三角”的学习，了解中华民族的历史，增强爱国主义意识．二、重点、难点重点：二项式系数的性质．难点：杨辉三角的结构．教学时从先简单(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3的展开式中系数出发，进一步过渡到杨辉三角的结构，让学生由浅入深地认识杨辉三角，从而化解难点．引导学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，通过例题与练习让学生应用性质解决问题，更深地理解性质，以强化重点、化解难点．三、教学建议本节课是将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，主要是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，教学时应采用启发探究式教学，让学生在观察中归纳总结二项式系数的性质，在教学时可以引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，可以画出它的图象，利用几何直观，数形结合地进行思考，这对学生发现规律、形成证明思路有很大好处．四、教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答所提问题，认识杨辉三角、理解二项式系数性质．⇒通过例1及互动探究，进一步认识杨辉三角的结构特点．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握展开式系数和的求法．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握二项式系数的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．间的直觉，并探索其中的规律．(1)观察“杨辉三角”发现规律①第一行中各数之和为多少？第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第3行中2与第2行各数之间什么关系？ 第4行中3与第2行各数之间什么关系？ 第5行中的4、6与第4行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？【提示】 (1)①20,21,22,23,24，第n 行各数之和为2n －1.②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，设C r n ＋1表示任一不为1的数，则它“肩上”两数分别为C r －1n ，C r n ，所以C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn .1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn . 2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C rn ＝C n －rn .(2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数Cn －12n，Cn ＋12n相等，且同时取得最大值．3．二项式系数的和 (1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.图1－3－1例 1 如图1－3－1所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为S n，求S16的值．【思路探究】观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置，或者联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．【自主解答】由题意及杨辉三角的特点可得：S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C29＋C19)＝(C22＋C23＋C24＋...＋C29)＋(2＋3＋ (9)＝C310＋＋2＝164.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律．(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．(3)结论：由数学表达式得出结论．本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？【解】S21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C211＋C111)＋C212＝(C22＋C23＋C24＋......C212)＋(2＋3＋ (11)＝C313＋＋2＝286＋65＝351.设(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012·x2 012(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 012的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值．【思路探究】先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．【自主解答】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 012＝32 012.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 011)＝1－32 012， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122.(3)∵T r ＋1＝C r2012(－2x )r＝(－1)r·C r2 012·(2x )r， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N )． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012＝32 012.1．本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式． 2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求 (1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7，a 0＋a 2＋a 4＋a 6.【解】 (1)∵(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，①令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝37＝2187，②由①、②得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094， a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093.例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．【思路探究】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”、“－”号．【自主解答】 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n＝992.∴(2n )2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！－r ！r ！×3≥5！－r ！r －！，5！－r ！r ！≥5！－r ！r ＋！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．求(1＋2x )7的展开式中的二项式系数最大项与系数最大项．【解】 在二项式系数C 07，C 17，C 27，…，C 77中，最大的是C 37与C 47，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T 4＝C 37(2x )3＝280x 3与T 5＝C 47(2x )4＝560x 4.设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2⇒⎩⎪⎨⎪⎧C r 72r≥C r －172r －1，C r 72r≥C r ＋172r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3r ≤16，3r ≥13，由于r 是整数，故r ＝5，所以系数最大的是第6项，即T 6＝C 57(2x )5＝672x 5.忽视二项式系数和致误例4 已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值为( )A ．28B ．28－1 C ．27D ．27－1 【错解】 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n， 令A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…， 由题意知B －A ＝38.令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n， ∴(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…)＝(－3)n∴B －A ＝(－3)n ＝38，∴n ＝8.由二项式系数性质可得，a 1n ＋a 2n ＋…＋C n n ＝2n ＝28【答案】 A【错因分析】 误将C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 看作是二项展开式各项二项式系数和，忽略了C 0n . 【防范措施】 (1)解答本题应认真审题，搞清已知条件以及所要求的结论，避免失误．(2)解决此类问题时，要对二项式系数的性质熟练把握，尤其是赋值法，要根据题目的要求，灵活赋给字母所取的不同值．【正解】 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B . 则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…. 由已知可知：B －A ＝38.令x ＝－1， 得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n，即：(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n， 即：B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8. 由二项式系数性质可得：C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1. 【答案】 B二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察——归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想，大致对应如下：对称性应用了组合数的性质增减性与最大值应用了组合数公式、 分类讨论思想等系数和应用了赋值法、方程思想 1．(a ＋b )7的各二项式系数的最大值为( ) A ．21 B ．35 C ．34 D ．70【解析】【答案】 B2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( ) A．第15项B．第16项C．第17项D．第18项【解析】由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第16项．【答案】 B3．(1＋2x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是第________项．【解析】(1＋2x)2n的展开式中共有2n＋1项，中间一项的系数最大，即第n＋1项．【答案】n＋14．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，试求：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a14；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.【解】(1)在已知等式中令x＝1，则得：a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.①(2)在已知等式中令x＝－1，则得：a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.②①－②得：2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67＝－279 808.因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.。

杨辉三角的性质教学设计【学情分析】《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是人教A版选修2-3第1章第3节第2课时的内容，其主要思想是如何灵活运用二项展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。

通过前面二项式定理的学习，学生已初步了解了二项式系数的简单性质，发现二项式系数组成的数列就是一个离散函数，从而我们引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，这样便于建立知识的前后联系。

高三的学生对常见的数学思想方法，如数形结合、转化与化归、分类讨论、函数思想等也有所接触，这为本节课的学习奠定了基础.本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。

【教学目标】使学生通过“杨辉三角”观察并掌握二项式系数之间的规律；能运用函数观点分析处理二项式系数的性质，理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；学生通过从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.【教学重点】二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；【教学难点】理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.【教学方法】【教学情景设计】杨辉是中国南宋末年数学家、教育家。

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。

在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角。

杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右。

1、杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离”的两个数相等。

2、第n行的数字个数为n-1个，n行数字和为：y=2^n3、数字等于上一行的左右两个数字之和。

4、杨辉三角的第2k行中第k+1个数最大；第2k＋1行中第是k个数与第k+1个数相等且最大。

5、每一行的第二个数，可以构成一个等差数列6、每一行的第三个数等于上一行的第三个加行数减一。

【学习目标】通过对“杨辉三角”中的规律的探索，理解、掌握二项式系数的3条性质；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【重点难点】重点：二项式系数的性质的理解.难点：二项式系数性质的证明.知识链接：1. n b a )(+展开式的通项公是共有________项;2.组合数的两个性质是 ， .模块一：自主学习，明确目标自学教材第32页-----33页,并回答下列问题：问题1. 请写出n 从1到6时的“杨辉三角”;问题2. 观察“杨辉三角”,发现什么规律？模块二：问题探究探究1 ： nn k n n n C C C C ,...,,...,,10中, 证明:n 为奇数时,中间两项最大,n 为偶数时,中间一项最大?探究2:试证：在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和模块三：巩固训练，整理提高练习:1.已知nx )1(+的展开式第4项与第8项的二项式系数相等,求这两项.2．求值(1)1111211111C C C +++(2) 1111511311111C C C C +++ (3) 11211101210+++++++++++++n n n n n n nn n n C C C C C C C C3. .⎝⎛⎭⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是 ( ) A ．第3项 B ．第6项 C ．第5、6项 D ．第6、7项 ⎝⎛⎭⎫x －1x 11展开式中系数最大的项是哪一项? （实验班）三． 课堂总结：1．知识：2．思想方法：【作业】1．教材37页习题1.3 B 组第2题2．已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1） 求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项。

探究数学秘密，发现数学之美——“杨辉三角〞中的一些秘密一、教材背景分析1．教材的地位和作用“杨辉三角〞是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，鼓励学生的民族自豪感。

2．学情分析本节课面对的是高二年级的学生,这个年龄段的学生思维活泼,求知欲强,但在思维习惯上还有待教师引导。

通过之前的学习学生已经掌握了分类加法计数原理和分步乘法计数原理,理解了排列、组合的概念,掌握了二项式定理和二项展开式的性质。

同时对于数形结合、类比、转化的数学思想方法也有了初步的认识。

对于本节探究与发现的研究性学习,可以激发学生学习热情,提高课堂效率,使知识得到螺旋式的稳固与提高。

而对于加强学生自身对于数学的应用意识及实际问题的分析能力方面,还有待于教师的指导帮助。

学生根据教师提供的情境,采用观察、分析、抽象、概括等方式探索知识,归纳知识。

通过创设情境疑问,引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流,探求解决问题的方法。

鼓励学生创新思考,加强数学实践,培养学生的理性思维,同时注重培养学生良好的数学学习习惯。

3．教学重点与难点重点:掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。

难点:通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理〞、“归纳假设〞等研究问题的数学方法。

二、教学目标新课标指出教学目标应表达学生学会知识与技能的过程,也要同时表达学生学会学习形成正确价值观的过程。

结合本节课的教学内容,制定如下教学目标:1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律〞的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感。

2．掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。

3．通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理〞、“归纳假设〞等研究问题的数学方法。

4．采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情。

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质(a ＋b )n的展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． 思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 答案 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n. 思考3 二项式系数的最大值有何规律？答案 当n ＝2,4,6时，中间一项最大，当n ＝3,5时中间两项最大． 梳理 (1)杨辉三角的特点①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C kn ＋1＝C k －1n ＋C kn . (2)二项式系数的性质1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( ×)2．二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.( ×)3．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ×)类型一与杨辉三角有关的问题例1 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )A．第6行 B．第7行 C．第8行 D．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )A．144 B．146 C．164 D．461考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案(1)B (2)C解析(1)由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第15项是C29，第16项是C19，所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.反思与感悟解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案34解析由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C13n∶C14n＝2∶3，即14n－13＝23，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.类型二二项式系数和问题例2 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5.考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项T k＋1＝C k5(－1)k·25－k·x5－k知a1，a3，a5为负值，所|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. (3)由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35， 得2(a 1＋a 3＋a 5)＝1－35. 所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.引申探究在本例条件下，求下列各式的值： (1)a 0＋a 2＋a 4； (2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (3)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.解 (1)因为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35. 所以a 0＋a 2＋a 4＝1＋352＝122.(2)因为a 0是(2x －1)5展开式中x 5的系数， 所以a 0＝25＝32.又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－31.(3)因为(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.所以两边求导数得10(2x －1)4＝5a 0x 4＋4a 1x 3＋3a 2x 2＋2a 3x ＋a 4. 令x ＝1得5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4＝10. 反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练2 在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.类型三 二项式系数性质的应用例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中系数最大(小)的项解 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n＝992. ∴(2n )2－2n－992＝0， ∴(2n ＋31)(2n－32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T 3＝C 25323x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35223x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·(3x 2)3＝270223x . (2)展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5·3k·2(52)3k x ＋，假设T k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C k 53k≥C k －153k －1，C k 53k ≥C k ＋153k ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－k )！k ！×3≥5！(6－k )！(k －1)！，5！(5－k )！k ！≥5！(4－k )！(k ＋1)！×3，即⎩⎪⎨⎪⎧3k ≥16－k ，15－k ≥3k ＋1，∴72≤k ≤92，∵k ∈N ，∴k ＝4， ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 4523x (3x 2)4＝405263x.反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项．跟踪训练3 写出(x －y )11的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)项的系数绝对值最大的项； (3)项的系数最大的项和系数最小的项； (4)二项式系数的和； (5)各项系数的和．考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(2)(x －y )11展开式的通项为T k ＋1＝C k 11x11－k (－y )k ＝C k 11(－1)k x 11－k y k ， ∴项的系数的绝对值为|C k 11·(－1)k |＝C k11，∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等， 又∵第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为T 7＝C 611x 5y 6，项的系数最小的项为T 6＝－C 511x 6y 5. (4)展开式中，二项式系数的和为C 011＋C 111＋C 211＋…＋C 1111＝211.(5)令x ＝y ＝1，得展开式中各项的系数和为C 011－C 111＋C 211－…－C 1111＝(1－1)11＝0.1．观察图中的数所成的规律，则a 所表示的数是( )A ．8B ．6C ．4D ．2 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 B解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a ＝10，得a ＝6. 2．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项 答案 C解析 2n ＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋1－12＋1项，第⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1＋12＋1项，即第n ＋1项与第n ＋2项，故选C.3．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7考点 二项式系数的性质 题点 二项式系数与项的系数问题答案 C解析 令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n2＝64，所以n ＝6.4．设(－3＋2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3的值为________． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －15解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.① 又T k ＋1＝C k4(－3)4－k(2x )k，∴当k ＝4时，x 4的系数a 4＝16.② 由①－②得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝－15.5．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________． 考点 展开式中系数的和问题 题点 多项展开式中系数的和问题 答案358解析 由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，解得n ＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大，T 5＝C 48×144×(2x )4＝358x 4，该项的系数为358.1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k ∈{0,1,2，…，n }．一、选择题1．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a ，b 是某行的前两个数，当a ＝7时，b 等于( )A ．20B ．21C ．22D ．23 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 C解析 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a ＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b ＝6＋16＝22.2．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A ．210B ．252C ．462D ．10考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 A解析 由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210.3．已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( )A ．1B ．±1 C．2 D ．±2 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 C解析 由条件知2n＝32，即n ＝5，在通项公式T k ＋1＝C k5(x )5－k⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3x k ＝C k 5a k1556k x -中，令15－5k ＝0，得k ＝3.所以C 35a 3＝80，解得a ＝2.4．(x －1)11的展开式中，x 的奇次幂的系数之和是( ) A ．2 048 B ．－1 023 C ．－1 024 D ．1 024 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 D解析 (x －1)11＝a 0x 11＋a 1x 10＋a 2x 9＋…＋a 11， 令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 11＝－211，① 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0，② ②－①2＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝210＝1 024. 5．若x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( ) A ．10 B ．45 C ．－9 D ．－45考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 B解析 x 10＝[1＋(x －1)]10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，∴a 8＝C 810＝C 210＝45. 6．设⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 B解析 由已知条件4n －2n＝240，解得n ＝4，T k ＋1＝C k4(5x )4－k·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 54－k C k4342k x -，令4－3k2＝1，得k ＝2，所以展开式中x 的系数为(－1)2×52C 24＝150.7．已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值为( ) A ．28B ．28－1 C ．27D ．27－1考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 B解析 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B . 则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…. 由已知可知，B －A ＝38.令x ＝－1，得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n，即(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n， 即B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8. 由二项式系数性质可得，C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1.8．关于下列(a －b )10的说法，错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和是1 024 B ．展开式的第6项的二项式系数最大 C ．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最小 考点 二项式系数的性质 题点 二项式系数与项的系数问题 答案 C解析 由二项式系数的性质知C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1 024，故A 正确．二项式系数最大的项为C 510，是展开式的第6项，故B 正确．由展开式的通项为T k ＋1＝C k 10a10－k(－b )k ＝(－1)k C k10a 10－kb k 知，第6项的系数－C 510最小，故D 正确．二、填空题9．已知(1＋x )10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________． 考点 二项式系数的性质题点 利用二项式系数的性质进行计算 答案 6解析 (1＋x )n 展开式的各项系数为其二项式系数，当n ＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k 的最大值为6.10．在⎝⎛⎭⎪⎫1x＋31x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 462解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 611＝462.11．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝_____.考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 7解析 令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12. 令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12， ∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27， ∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7. 三、解答题12．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值． (1)求a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，① 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100. (3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.② 与①式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)由①②可得，(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 100)＝(2－3)100·(2＋3)100＝1. (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|，即(2＋3x )100的展开式中各项系数的和，在(2＋3x )100的展开式中，令x ＝1，可得各项系数的和为(2＋3)100. 13．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m xn展开式的二项式系数之和为256.(1)求n ；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值；(3)若(x ＋m )n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 解 (1)二项式系数之和为2n＝256，可得n ＝8. (2)设常数项为第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 8x 8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m x k ＝C k 8m k x8－2k， 故8－2k ＝0，即k ＝4，则C 48m 4＝358，解得m ＝±12.(3)易知m >0，设第k ＋1项系数最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C k 8m k≥C k －18m k －1，C k 8m k ≥C k ＋18m k ＋1，化简可得8m －1m ＋1≤k ≤9mm ＋1.由于只有第6项和第7项系数最大， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4<8m －1m ＋1≤5，6≤9mm ＋1<7，即⎩⎪⎨⎪⎧54<m ≤2，2≤m <72.所以m 只能等于2. 四、探究与拓展14．设(3x －2)6＝a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋…＋a 6(2x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________.考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －6365解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 6＝64，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝－63，两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝65，故a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－6365.15．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n的展开式的系数和大992，求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中：(1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中系数最大(小)的项 解 由题意得22n－2n＝992，解得n ＝5.精品学习资料(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T 6＝C 510·(2x )5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064.(2)设第k ＋1项的系数的绝对值最大， 则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ·C k 10·210－k·x 10－2k.∴⎩⎪⎨⎪⎧C k10·210－k≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－k ≥2k ，2(k ＋1)≥10－k .∴83≤k ≤113，k ∈N ，∴k ＝3， 故系数的绝对值最大的是第4项T 4＝(－1)3C 310·27·x 4＝－15 360x 4.。

教学设计说明1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密课题：1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密一、教学内容解析：本课题来自人教A版选修2—3第一章后的“探究与发现”。

杨辉三角蕴含了丰富的数字规律和数学思想方法，所以它是一个很有价值的探究性课题。

杨辉三角是一个特殊的数阵。

探究杨辉三角中的数字规律,有利于巩固学习二项式系数的性质，并对进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形有重要的作用。

对杨辉三角的研究，可以让学生通过总结，得到研究一般数阵的方法。

同时通过欣赏分形、斐波那契数列等有趣的数学内容，学生由此发现数学之美，激发对数学的学习兴趣。

另外，通过组织不同形式的探究，可以让学生学会观察、归纳等探究方法，体验数学当中发现和创造的历程，培养创新精神，也有利于学生理解数学知识，培养数学应用意识。

二、教学目标设置：1、知识与技能：1、从不同的角度，研究杨辉三角所蕴含的规律，并用组合数表示；2、通过本节课的研究，归纳出杨辉三角的研究方法；3、将杨辉三角的研究方法拓展为对一般数阵的研究方法。

2、过程与方法：1、通过探究杨辉三角的数字规律，学会观察和分析问题，运用联系、类比的观点看待问题，从而解决问题，并能培养学生“从特殊到一般”进行归纳猜想的能力；2、通过自主探究与合作交流，养成发现问题、探究知识、建构知识的学习习惯；3、通过从不同角度探究问题，体会再发现再创造的过程，发展创造性思维。

3、情感态度与价值观：1、以历史文化的实例引入，激发学生的学习兴趣，提升学生的民族自豪感；2、通过归纳性思维的训练，养成踏实细致，严谨科学的学习习惯；3、通过探索杨辉三角中的数字规律，形成独立思考、合作交流等良好的学习习惯，以及勇于批判、敢于创新的精神。

三、学生学情分析：知识结构：学生已经学习过组合数的定义和性质以及二项式系数的性质，并对杨辉三角有一定的了解。

能力结构：作为正始中学高二创新班的学生已经具备了一定的综合分析问题的能力，适时的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题。