操作与探究专题最新

中考数学专题复习——操作探究一.选择题1．（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．102. （2018•嘉兴•3 分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）3. （2018•广西南宁•3 分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△CDP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c os∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．17194.（2018•海南•3 分）如图1，分别沿长方形纸片A BCD 和正方形纸片E FGH 的对角线A C，EG 剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面积为50，则正方形E FGH 的面积为（）A．24 B．25 C．26 D．27二、填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A落在D C 边上的点F处，折痕为D E，点E在A B 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C落在直线A E 上的点H处，折痕为D G，点G在B C 边上，若AB=AD+2，EH=1，则A D= 。

2.（2018•临安•3 分.）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5 个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）．3.（2018•金华、丽水•4分）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形A BCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边A B，BC上，三角形①的边G D在边A D上，则ABBC的值是．4. （2018·湖北省恩施·3 分）在Rt△ABC 中，AB=1，∠A=60°，∠AB C=90°，如图所示将R t△ABC沿直线l无滑动地滚动至R t△DE F，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为．（结果不取近似值）5.（2018•贵州贵阳•8 分）如图①，在 R t△ABC 中，以下是小亮探究sin a A 与sin bB之间关系 的方法：∵sin A=a c ，sinB=b c ∴c =sin a A ，c=sin b B∴sin a A =sin b B根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC 中，探究sin a A 、sin b B 、sin cC之间的关 系，并写出探究过程．三.解答题1.（2018•江苏无锡•10 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（6，4）． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 A C ，它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点 C ，且使∠AB C=90°，△ABC 与△AOC 的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．） （2）问：（1）中这样的直线 A C 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出 所有这样的直线 A C ，并写出与之对应的函数表达式．2.（2018•江苏徐州•7 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在 建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为（1，0）①画出△A BC 关于 x 轴对称的△A 1B 1C 1；②画出将△ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90°所得的△A 2B 2C 2；③△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．3.（2018•山东东营市•10 分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△A BC 中，点O在线段B C 上，∠BA O=30°，∠O AC=75°，AO=BO：CO=1：3，求A B 的长．经过社团成员讨论发现，过点B作B D∥A C，交A O 的延长线于点D，通过构造△A BD 就可以解决．问题（如图2）请回答：∠ADB= 75 °，AB= ．（2）请参考以上解决思路，解决问题：在四边形A BCD 中，对角线A C 与B D 相交于点O，A C⊥AD，A O=ABC=∠A CB=75°，如图3，BO：OD=1：3，求D C 的长．4.（2018•山东济宁市•7分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T 型尺（CD 所在的直线垂直平分线段AB）．（1）在图1 中，请你画出用T 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N 之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．5.一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠A PB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△B PC 绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接P P′，求出∠APB的度数；思路二：将△A PB 绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接P P′，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形A BCD 外一点，PA=3，PB=1，PB 的度数．答案详解一.选择题（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左1．图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．10【分析】本题考查空间想象能力．【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积是16÷4=4．故选：B．【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系2. （2018•嘉兴•3分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】A【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在【解析】正方形的对角线上, 根据③的剪法，中间应该是一个正方形.【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.故选A．【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键．3. （2018•广西南宁•3分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△C DP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c o s∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．1719【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE.CP=EP，由∠EOF=∠B OP、∠B=∠E.OP=OF 可得出△OE F≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出O E=OB.EF=BP，设E F=x，则B P=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出A F=1+x，在R t△DAF 中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出c o s∠A DF 的值．【解答】解：根据折叠，可知：△D CP≌△DE P，∴DC=DE=4，CP=EP．在△O EF 和△O BP 中，EOF BOPB EOP OF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△O EF≌△OB P（AAS），∴OE=OB，EF=BP．设E F=x，则B P=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵B F=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在R t△DAF中，AF 2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=35，∴DF=4﹣x=175，∴co s∠AD F=AD DF=1517．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理 结合 A F=1+x ，求出 A F 的长度是解题的关键．4.（2018•海南•3 分）如图 1，分别沿长方形纸片 A BCD 和正方形纸片 E FGH 的对角线 A C ，EG 剪开，拼成如图 2 所示的▱KLMN ，若中间空白部分四边形 O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面 积为 50，则正方形 E FGH 的面积为（ ）A ．24B ．25C ．26D ．27【分析】如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ，构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ．由题意：a 2+b 2+（a+b ）（a ﹣b ）=50， ∴a 2=25，∴正方形 E FGH 的面积=a 2=25， 故选：B ．【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用 参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二.填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点 A 落在 D C 边上的点 F 处，折痕为 D E ，点 E 在 A B 边上；②把纸 片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点 C 落在直线 A E 上的点 H 处，折痕为 D G ，点 G 在 B C 边上， 若 AB=AD+2，EH=1，则 A D= 。

专题04 实验探究题实验探究题目是每年的必考题目，分为两个题目，第一个题目为基础实验题，考察内容多为教材中出现的实验，只要牢固掌握住教材知识，难度并不大。

第二个题目为探究型实验题，试题开放性较大，有些题目还会涉及到课外的内容，即在试题下方写上“查阅内容”等字样。

这种题目是以物质的性质为依托，考察的是知识的发散性，考查特点: 信息材料→发散思维→设计实验→猜想→分析→实验验证→得出结论→完成报告。

实验探究命题思路：挖掘教材已有实验，增强知识迁移能力。

所以答题的时候要认真的分析题目与所学知识的关联。

考点解读：第一步：作出猜想——根据试题提供的物质，分析混合物中含有的成分是所提供的一部分还是全部，确定混合物可能含有的物质，然后根据题干将所给的物质自由组合，如可能含有A 、B 、C 三种物质中的两种或三种，则可能的组合有：AB 、AC 、BC 、ABC(注意：必须排除组内能够直接发生反应的物质组合)。

第二步：探究验证——设计实验方案，检验各物质是否存在。

第三步：根据实验操作(试剂选择)、实验现象、实验结论中的一种或两种互相确定混合物的成分。

检验物质成分的解题关键点如下：(1)探究某物质中是否含有某种酸(或碱或盐)，常通过该酸(或碱或盐)的阴、阳离子的特征性质确定是否存在，两种离子均存在时，才说明存在该物质。

(2)探究某物质中是否含有某种金属时，可以利用该金属与酸反应产生气体、与盐溶液反应后是否析出晶体及溶液的颜色变化来判断。

(3)判断某物质中是否含有某一种气体时，常结合该气体的性质，通常为与其他物质反应产生的明显现象(如沉淀、遇酸碱指示剂变色等)。

[典例1]（2018·广东广州·一模）广东粤东地区有端午吃“灰水粽”的习俗。

所谓“灰水粽”是用草木灰的浸出液浸泡糯米做成的粽子，清香软糯。

草木灰中富含K 2CO 3，还含有少量的K 2SO 4和KCl 。

某化学兴趣小组为了确定草木灰的成分，进行了如下实验。

专题05 中考中与“操作探究型”相关的探索性问题【母题来源一】【2019•陕西】问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）【解析】（1）如图1记为点D所在的位置．（2）如图2，∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB．∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能在矩形外，∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大，作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3，∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2，由对称性得AP2=8．（3）可以，如图3，连接BD，∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，∴BD=100，∠BED=60°，作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取BED的中点E′，连接E′B，E′D，则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形．连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′，∵E′A⊥BD，∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°，作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A，∴S△BDE12=·BD·EF12≤·BD·E′A=S△E′BD，∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002·sin60°m2），所以符合要求的BCDE的最大面积为2．【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．【母题来源二】【2019•沈阳】思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P 可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD=200米，那么A，B间的距离是__________米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE<AC，∠ACB=∠AED=90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是__________；②如图3，当α=90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α=150°时，若BC=3，DE=1，请直接写出PC2的值．【解析】（1）∵CD∥AB，∴∠C=∠B，在△ABP和△DCP中，BP CPAPB DPCB C=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABP≌△DCP，∴DC=AB．∵AB=200米．∴CD=200米，故答案为：200．（2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE，PC⊥PE．理由如下：如解图1，延长EP交BC于F，同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP，∴PF=PE，BF=DE，又∵AC=BC，AE=DE，∴FC=EC，又∵∠ACB=90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∵EP=FP，∴PC=PE，PC⊥PE．②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE，PC⊥PE．理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，同①理，可知△FBP≌△EDP，∴BF=DE，PE=PF12EF ，∵DE=AE，∴BF=AE，∵当α=90°时，∠EAC=90°，∴ED∥AC，EA∥BC，∵FB∥AC，∠FBC=90，∴∠CBF=∠CAE，在△FBC 和△EAC 中，BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBC ≌△EAC ， ∴CF =CE ，∠FCB =∠ECA ， ∵∠ACB =90°， ∴∠FCE =90°，∴△FCE 是等腰直角三角形， ∵EP =FP ，∴CP ⊥EP ，CP =EP 12EF =． ③如解图3，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，当α=150°时，由旋转旋转可知，∠CAE =150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°， ∴∠FBC =∠EAC =α=150°， 同②可得△FBP ≌△EDP ，同②△FCE 是等腰直角三角形，CP ⊥EP ，CP =EP =， 在Rt △AHE 中，∠EAH =30°，AE =DE =1， ∴HE 12=，AH 2=， 又∵AC =AB =3，∴AH=32+，∴EC 2=AH 2+HE210=+ ∴PC2212EC ==【名师点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．【母题来源三】【2019•赤峰】【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于A B．∠EDF=90°，点D在直线l 上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG ⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程；【拓展引申】（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值．【解析】（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵CD∥AB，∴∠CBA=∠DCB=45°，且BD⊥CD，∴∠DCB=∠DBC=45°，∴DB=DC，即DB=DP．（2）∵DG⊥CD，∠DCB=45°，∴∠DCG=∠DGC=45°，∴DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∵∠BDP=∠CDG=90°，∴∠CDP=∠BDG，且DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∴△CDP≌△GDB，∴BD=DP．（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，∵MH⊥MN，∴∠AMH+∠NMB=90°，∵CD∥AB，∠CDB=90°，∴∠DBM=90°，∴∠NMB+∠MNB=90°，∴∠HMA=∠MNB，且AM=BN，∠CAB=∠CBN=45°，∴△AMH≌△BNQ，∴AH=BQ，∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AB，AC-AH=BC-BQ，∴CH=CQ，∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB，∴HQ∥AB，∴∠HQM=∠QMB，∵∠ACB=∠HMQ=90°，∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，∴∠HCM=∠HQM，∴∠HCM=∠QMB，且∠A=∠CBA=45°，∴△ACM∽△BMQ，∴AC AMBM BQ=，AMBQ=，∴BQ 2(24AM --=+，∴AM BQ 有最大值为2．【名师点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求出BQ 与AM 的关系是本题的关键． 【母题来源四】【2019•鄂尔多斯】（1）【探究发现】如图1，∠EOF 的顶点O 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，∠EOF =90°，将∠EOF 绕点O 旋转，旋转过程中，∠EOF 的两边分别与正方形ABCD 的边BC 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．则CE ，CF ，BC 之间满足的数量关系是__________． （2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“∠BCD =120°的菱形ABCD ”，其他条件不变，当∠EOF =60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，∠BOD =120°，OD 34=，OB =4，OA 平分∠BOD ，AB =，且OB >2OA ，点C 是OB 上一点，∠CAD =60°，求OC 的长．【解析】（1）如图1，结论：CE +CF =BC ．理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OB =OC ，∠OBE =∠OCF =45°， ∵∠EOF =∠BOC =90°， ∴∠BOE =∠OCF ， ∴△BOE ≌△COF ， ∴BE =CF ，∴CE+CF=CE+BE=BC．故答案为：CE+CF=BC．（2）结论不成立．CE+CF12=BC．理由：如图2，连接EF，在CO上截取CJ=CF，连接FJ．∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴∠BCO=∠OCF=60°，∵∠EOF+∠ECF=180°，∴O，E，C，F四点共圆，∴∠OFE=∠OCE=60°，∵∠EOF=60°，∴△EOF是等边三角形，∴OF=FE，∠OFE=60°，∵CF=CJ，∠FCJ=60°，∴△CFJ是等边三角形，∴FC=FJ，∠EFC=∠OFE=60°，∴∠OFJ=∠CFE，∴△OFJ≌△EFC，∴OJ=CE，∴CF+CE=CJ+OJ=OC12=BC．（3）如图3中，由OB>2OA可知△BAO是钝角三角形，∠BAO>90°，作AH⊥OB于H，设OH=x．在Rt△ABH中，BH∵OB=4，x=4，解得x32=（舍弃）或12，∴OA=2OH=1，∵∠COD+∠ACD=180°，∴A，C，O，D四点共圆，∵OA平分∠COD，∴∠AOC=∠AOD=60°，∴∠ADC=∠AOC=60°，∵∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，由（2）可知：OC+OD=OA，∴OC=131 44 -=．【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，四点共圆，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．【命题意图】这类试题主要考查三角形或四边形的综合问题，常以压轴题的形式出现．【方法总结】1．类比探究问题类比是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类未知的对象上去的一种合情推理．通常先解决比较常见、比较形象具体的问题，然后变换图形或条件，通过比较、联想、化归等方式，触类旁通，用相似的方法解决问题或猜想相似的结论．2．展现思维或解题过程的阅读理解题解答阅读理解题的关键在于阅读，核心在于理解，目的是应用．通过阅读，理解材料中所提供的知识要点、数学思想，进而找到解题的方法，解决实际问题．该类题常常给出试题的解法，从题型上看，有展示全貌，留空补缺的；有说明解题理由的；有要求归纳规律再解决问题的，题目多样，重点考查学生严密的逻辑推理能力，如演绎推理、类比推理．1．【山东省济南市历下区2019届九年级中考第一次模拟数学试题】在数学课堂上，小斐同学和小可同学分别拿着一大一小两个等腰直角三角板，可分别记作ABC △和ADE △，其中90BAC DAE ∠=∠=︒． 问题的产生：两位同学先按照如图摆放，点D E ，在AB AC ，上，发现BD 和CE 在数量和位置关系上分别满足BD CE =，BD CE ⊥．问题的探究：（1）将ADE △绕点A 逆时针旋转一定角度．如图．点D 在ABC △内部，点E 在ABC △外部，连接BD CE ，，上述结论依然成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．问题的延伸：继续将ADE △绕点A 逆时针旋转．如图．点D E ，都在ABC △外部，连接BD CE ，，CD EB ，，BD 与CE 相交于H 点．（2）若BD =BCDE 的面积；（3）若3AB =，2AD =，设2CD x =，2EB y =，求y 与x 之间的函数关系式．【解析】（1）成立．理由如下：延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，∵ABC 和ADE △都是等腰直角三角形，∴AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒， ∵BAD BAC DAC ∠=∠-∠，CAE DAE DAC ∠=∠-∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ACE △≌△，∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠， ∵AFB GFC ∠=∠，∴90CGF BAF ∠=∠=︒，即BD CE ⊥． （2）∵ABC △和ADE △都是等腰直角三角形， ∴AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒， ∵BAD BAC DAC ∠=∠+∠，CAE DAE DAC ∠=∠+∠， ∴BAD CAE ∠=∠，∴ABD ACE △≌△， ∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠， ∵AOB FOC ∠=∠，∴90BFC BAC ∠=∠=︒， ∴BCE DCE BCDE S S S =+△△四边形111192222CE BF CE DF CE BD =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯=． （3）∵90BHC ∠=︒，∴222222CD EB CH HD EH HB +=+++=2222CH BH DH EH +++((2226=+=，∴26y x =-．【名师点睛】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及函数解析式的确定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．2．【2019年江西省南昌市十校联考中考数学模拟试卷（5月份）】（问题情境）在△ABC 中，AB =AC ，点P 为BC 所在直线上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．当P 在BC 边上时（如图1），求证：PD +PE =CF ．证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD +PE =CF ．（不要证明）（变式探究）（1）当点P 在CB 延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD 、PE 、CF 之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P 为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=16，CF=6，求PG+PH 的值．（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l1：y=–43x+8与直线l2：y=2x+8相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为2．求点P的坐标．【解析】变式探究：连接AP，如图3，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ACP-S△ABP，∴12AB·CF=12AC·PE-12AB·PD．∵AB=AC，∴CF=PE-PD．结论运用：过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．∵AD=16，CF=6，∴BF=BC-CF=AD-CF=10，由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF，∴DF=10．∵∠C=90°，∴DC=．∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．∴四边形EQCD是长方形．∴EQ=DC=8．∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB．∵∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠EFB．∴BE=BF，由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ．∴PG+PH=8．∴PG+PH的值为8．迁移拓展：如图，由题意得：A（0，8），B（6，0），C（-4，0），∴AB，BC=10．∴AB=BC，（1）由结论得：P1D1+P1E1=OA=8，∵P1D1=1=2，∴P1E1=6 即点P1的纵坐标为6，又点P1在直线l2上，∴y=2x+8=6，∴x=-1，即点P1的坐标为（-1，6）．（2）由结论得：P2E2-P2D2=OA=8，∵P2D2=2，∴P2E2=10 即点P2的纵坐标为10，又点P2在直线l2上，∴y=2x+8=10，∴x=1，即点P2的坐标为（1，10）．【名师点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积法列出等式是解决问题的关键．3．【河南省南阳市唐河县2019届中考一模数学试题】已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．（1）问题发现如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是__________，数量关系为__________；（2）拓展探究如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；（3）解决问题如图3，若△ABC是等腰三角形，AB=AC=2，BC=3，请你直接写出线段EF的长．【解析】（1）如图1，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=12BC，OH=HF，又∵△ABC是等边三角形，∴AH⊥BC，∠ABC=60°，∴AH BH，∵AE=OA，OH=HF，∴AH∥EF，EF=2AH，∵AH∥EF，AH⊥BC，∴EF⊥BC，∵EF=2AH，AH，BC=2BH，∴EF．故答案为：EF⊥BC，EF BC．（2）如图2，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=12BC，OH=HF，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，∠ABC=45°，∴AH=BH=HC，∵AE=OA，OH=HF，∴AH∥EF，EF=2AH，∵AH∥EF，AH⊥BC，∴EF⊥BC，∵EF=2AH，AH=BH，BC=2BH，∴EF=BC．（3）如图3，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=12BC=32，OH=HF，又∵AB=AC=2，∴AH⊥BC，∴AH=，∵OH=HF，AE=AO，∴EF=2AH．【名师点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，证明AH∥EF，EF=2AH是本题的关键．。

专题复习(二) 实验与探究专题概述化学实验是初中化学学习的重要内容，也是中考中的必考内容，考查的内容主要有：(1)实验基本操作，如药品的取用、检查装置气密性、配制一定溶质质量分数的溶液等；(2)气体制取的原理及装置的选择的应用；(3)几个重要实验，如混合物的分离、一氧化碳还原氧化铁的操作、物质在氧气中发生燃烧反应的实验；(4)常见物质的检验，主要是H＋、OH－、Fe3＋、Cl－、SO2－4、CO2－3、NH＋4等的特征反应；(5)掌握物质的鉴别和鉴定及分离和提纯；(6)综合实验和简单实验方案设计(或包括确定实验原理、仪器、药品、装置及实验步骤或对实验进行补全或改进等)。

一、化学基本操作与实验1．常用仪器的名称、用途及使用注意事项【例1】下列玻璃仪器的名称错误的是( )A．普通漏斗 B．锥形瓶 C．集气瓶 D．长颈漏斗【解析】分液漏斗有一活塞可以控制液体的流量；而长颈漏斗没有活塞，无法控制液体流量，故D为分液漏斗而不是长颈漏斗。

【答案】 D2．化学实验基本操作药品的取用方法，物质的加热，仪器的连接，仪器的洗涤，检查装置的气密性的方法，过滤，蒸发，配制一定溶质质量分数的溶液，药品的存放实验安全要求，托盘天平的使用方法。

【例2】(某某中考)下列图示实验操作中，正确的是( )【解析】本题主要考查基本操作。

用量筒量取液体的体积时，视线应与凹液面的最低处保持水平，A不正确；试剂瓶的瓶塞应倒放在桌面上，B不正确；给试管加热时，液体的体积应少于试管容积的1/3，C不正确；胶头滴管应竖直向下，不能伸入试管内，D的操作是正确的。

【答案】 D二、气体的制取、干燥与净化1．实验室制取气体的思路和方法发生装置的选择取决于反应物的状态和反应条件；收集装置的选择取决于气体的性质，收集气体的方法取决于气体的密度和水溶性。

【例3】气焊和气割都需要用到乙炔。

乙炔俗称电石气(化学式为C2H2)，是一种无色无味的气体，密度比空气略小，难溶于水。

新人教高考生物（不定项版）二轮专题复习专题八实验与探究考点1 教材实验1观察类实验(1)观察类实验的操作流程归纳提示：鉴定类实验中的“检测生物组织中的脂肪”、探究性实验中的“培养液中酵母菌种群数量的变化”都需用显微镜观察。

(2)观察类实验汇总实验名称观察方式观察对象细胞状态染色剂常用实验材料观察根尖分生组织细胞的有丝分裂染色观察染色体死甲紫溶液(或醋酸洋红液)洋葱根尖低温诱导植物细胞染色体数目变化染色体死甲紫溶液蒜或洋葱根尖用高倍显微镜观察叶绿体和细胞质的流动直接观察叶绿体活不需要新鲜的菠菜叶(稍带叶肉的下表皮)、藓类的小叶；黑藻叶片探究植物细胞的吸水和失水紫色大液泡活成熟植物细胞，如紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞特别提醒酒精和盐酸在实验中的应用2鉴定提取类实验(1)鉴定类实验的操作流程归纳(2)鉴定提取类实验汇总实验名称试剂颜色生物材料备注还原糖的鉴定斐林试剂砖红色沉淀苹果或梨匀浆等斐林试剂现配现用、水浴加热脂肪的鉴定苏丹Ⅲ橘黄色花生种子子叶切片需用显微镜观察蛋白质的鉴定双缩脲试剂紫色豆浆、稀蛋清溶液等先加A液1mL，摇匀，后加B液4滴(不能过量)，再摇匀绿叶中色素的提取和分离提取液：无水乙醇；分离液：层析液①胡萝卜素：橙黄色；②叶黄素：黄色；③叶绿素a：蓝绿色；④叶绿素b：黄绿色新鲜的绿叶(如菠菜叶)加入二氧化硅是为了研磨得更充分；碳酸钙可防止在研磨中色素被破坏DNA的粗提取和鉴定鉴定：二苯胺试剂蓝色新鲜洋葱等沸水浴加热5min特别提醒关注物质检测类实验中的四个问题(1)在显色实验(如物质检测)中，材料最好不带颜色或颜色较浅，或实验时对有色材料进行脱色处理。

(2)物质检测实验一般不设置对照实验，若需设置对照实验，对照组应加入成分已知的物质，如验证唾液淀粉酶是蛋白质，对照组可加入稀释的鸡蛋清。

(3)可溶性还原糖检测中不宜选择甜菜、甘蔗等作为实验材料，因为它们所含的糖类主要是蔗糖，为非还原性糖。

(4)颜色深浅与所检测的物质的含量有关，含量越多，颜色越深。

专题22 实验与探究一、单选题1．（2023北京人大附中校考三模）生物学是一门以科学实验为基础的学科，下列有关课本实验的叙述，错误的是（）A．某野果样液中加入斐林试剂后出现砖红色沉淀，表明该野果中含有蔗糖B．原生质层伸缩性强于细胞壁，所以可观察到质壁分离现象C．制作细胞有丝分裂装片时，洋葱根尖解离后需漂洗后再用甲紫溶液染色D．探究酵母菌的呼吸方式的实验采用了对比实验的探究方法A．A B．B C．C D．D3．（2023北京西城统考二模）乙醇是生物学实验中常用的试剂。

下表列出了乙醇在实验中的作用，其中错A．A B．B C．C D．D4．（2023北京昌平统考二模）为确认鸡的肝脏和黑藻叶片存在的共性，相关实验和方法正确的是（）A．利用光学显微镜观察细胞膜的结构B．利用双缩脲试剂检测是否含有还原糖C．利用二苯胺试剂鉴定是否存在染色体D．利用差速离心法分离大小不同的细胞器5．（2023北京丰台统考二模）下列对相关物质检测及实验现象描述错误的是（）A．用双缩脲试剂检测蛋清稀释液呈蓝色B．酸性重铬酸钾溶液与乙醇发生反应变成灰绿色C．斐林试剂检测梨汁中的还原糖水浴加热后出现砖红色沉淀D．在DNA粗提取物溶液中加入二苯胺试剂沸水浴后显蓝色A．A B．B C．C D．D7．（2023北京海淀一模）生物学是一门以实验为根底的自然科学，生物科学的形成和发展都离不开实验的探究，下列有关实验的叙述不正确的是（）A．“植物组织中脂肪的检测”和“低温诱导植物染色体数目的变化”实验中，所用酒精溶液的浓度相同B．设计对照实验时，实验组与对照组要求在相同且适宜条件下进行是为了控制无关变量C．“探究生长素类似物促进插条生根的最适浓度”实验中做预实验可以减少人力、财力和物力的浪费D．利用淀粉溶液和淀粉酶溶液探究温度对淀粉酶活性的影响实验，可用碘液对实验结果进行检测8．（2023北京海淀一模）下列有关物质分离和鉴定技术的叙述，正确的是（）A．利用DNA不溶于冷酒精的特点初步提取花椰菜细胞中的DNAB．利用不同色素在层析液中溶解度差异来提取绿叶中的色素C．常温条件下，利用双缩脲试剂鉴定豆浆中是否含有氨基酸D．水浴条件下，利用重铬酸钾溶液鉴定无氧呼吸是否产生乙醇A．A B．B C．C D．D10．（2023北京海淀一模）下列高中生物学实验中，不要求．．．实验材料保持活体状态的是（）A．A B．B C．C D．D12．（2023北京延庆北京市延庆区第一中学统考一模）下列高中生物学实验中，必须用活细胞作为实验材料的是（）A．DNA的粗提取与鉴定B．观察细胞的有丝分裂C．还原糖的鉴定D．显微镜观察细胞质流动13．（2023北京大兴统考一模）下列为达成实验目的而进行的相应实验操作，不正确．．．的是（）A．A B．B C．C D．D14．（2023北京顺义统考模拟预测）以下生物学实验的相关操作叙述正确的是（）A．检测生物组织中的还原糖，先向样液中加斐林试剂甲液再加乙液B．观察根尖细胞有丝分裂，解离后的根尖先漂洗再用甲紫进行染色C．观察洋葱外表皮细胞质壁分离，将装片从载物台上取下更换溶液D．样方法调查某地植物物种丰富度，需求各样方植物种类的平均值15．（2023北京海淀一模）“任何实验的价值和效用，取决于所使用材料对于实验目的的适合性。

九年级化学实验探究题专题训练1.小明同学欲回收中考化学实验操作考试（考题：鉴别碳酸钠和氯化钠两瓶白色固体）用剩的药品。

他对其中的一瓶药品是否纯净产生质疑，于是他在老师的指导下对其成分展开可如下探究：【猜想与假设】猜想一：白色固体为碳酸钠；猜想二：白色固体为氯化钠；猜想三：白色固体为碳酸钠和氯化钠的混合物。

【设计与实验】【实验结论】小明同学根据实验现象得出猜想三正确。

【反思评价】小明同学根据实验结论领悟到：老师强调加入稀硝酸并且至过量的目的是。

他认为，若只将实验步骤中的过量稀硝酸换成过量稀盐酸，重复以上实验操作，虽然也会产生相同的实验现象，但不能确认猜想三是否正确，理由是。

【归纳总结】1．在选加试剂检验物质成分时，既要考虑除尽原有的干扰物质，又要防止新的干扰物质。

2.在实验操作过程中，应规范操作以避免药品被。

2.某化学兴趣小组同学在探究盐的化学性质时，进行了如图所示的实验。

小组的同学们欲探究滤液中溶质的组成。

请你一同参与探究并回答有关问题：【提出问题】反应后的滤液中含有哪些溶质？【査阅资料】氯化钠、氯化钡溶液显中性。

【猜想与假设】明明同学猜想：滤液中溶质是NaCl；亮亮同学猜想：滤液中溶质是NaCl 和（填化学式）的混合物；红红同学猜想：滤液中溶质是NaCl 和Na2CO3 的混合物。

【表达与交流】你认为明明猜想的理由是。

【活动与探究】（1）取少量滤液于试管中，滴加2﹣3 滴无色酚酞溶液，振荡，无明显现象。

则猜想不成立。

（2）另取少量滤液于另一支试管中，滴加硫酸钠溶液，若有现象证明亮亮猜想成立。

【问题讨论】（1）明明同学认为要证明亮亮猜想成立也可以改用碳酸钠溶液。

你认为明明同学（填“能”或“不能”）达到实验目的。

（2）红红同学认为要证明亮亮成立也可以改用硝酸银溶液。

你认为红红同学（填“能”或“不能”）达到实验目的，原因是。

【归纳与总结】在分析溶液中溶质成分，在选择化学试剂时需要考虑的是。

（答出一点即可）3.小红同学发现，上个月做实验用的氢氧化钠溶液忘记了盖瓶盖，他对该溶液是否变质及变质程度产生了兴趣，于是他和同学一起对其进行探究。

操作探究一、选择题1.（2019•德州，第12题3分）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．以上结论中，你认为正确的有（）个．∴四边形CFHE是菱形，故①正确；∴∠BCH=∠ECH，∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，故②错误；点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，即42+x2=（8﹣x）2，解得x=3，点G与点D重合时，CF=CD=4，∴BF=4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；过点F作FM⊥AD于M，则ME=（8﹣3）﹣3=2，由勾股定理得，EF===2，故④正确；综上所述，结论正确的有①③④共3个．故选C．二.填空题三.解答题1. （2014•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥B C．①判断四边形DECF一定是什么形状？②裁剪当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．解答：解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形．②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，∵∠ACB=45°，AC=24cm∴AG==12，设DF=EC=x，平行四边形的高为h，则AH=12h，∵DF∥BC，∴=，∵BC=20cm，即：=∴x=×20，∵S=xh=x•×20=20h﹣h2．∴﹣=﹣=6，∵AH=12，∴AF=FC，∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．2. （2014•福建泉州，第26题14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．分析：（1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC 的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C 的值．②由于BC=2，sin∠BMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．解答：解：（1）设反比例函数的关系式y=．∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，∴k=2×1=2．∴反比例函数的关系式y=．（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．当x=0时，y=0+3=3，则点B的坐标为（0，3）．OB=3．当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，则点A的坐标为（3，0），OA=3．∵点A关于y轴的对称点为A′，∴OA′=OA=3．∵PC⊥y轴，点P（2，1），∴OC=1，PC=2．∴BC=2．∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，∴A′B=3，A′C=．∴△A′BC的周长为3++2．∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD，∴BC•A′O=A′B•C D．∴2×3=3×C D．∴CD=．∵CD⊥A′B，∴sin∠BA′C===．∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为．②当1＜m＜2时，作经过点B、C且半径为m的⊙E，连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，过点E作EG⊥OB，垂足为G，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．∵CP是⊙E的直径，∴∠PBC=90°．∴sin∠BPC===．∵sin∠BMC=，∴∠BMC=∠BP C．∴点M在⊙E上．∵点M在x轴上∴点M是⊙E与x轴的交点．∵EG⊥BC，∴BG=GC=1．∴OG=2．∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，∴四边形OGEH是矩形．∴EH=OG=2，EG=OH．∵1＜m＜2，∴EH＞E C．∴⊙E与x轴相离．∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=．②当m=2时，EH=E C．∴⊙E与x轴相切．Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．∴点M与点H重合．∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，∴EG==．∴OM=OH=EG=．∴点M的坐标为（，0）．Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，同理可得：点M的坐标为（﹣，0）．③当m＞2时，EH＜E C．∴⊙E与x轴相交．Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，∴MH===．∵EH⊥MM′，∴MH=M′H．∴M′H═．∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，∴EG===．∴OH=EG=．∴OM=OH﹣MH=﹣，∴OM′=OH+HM′=+，∴M（﹣，0）、M′（+，0）．Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，同理可得：M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）．综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；当m=2时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（﹣，0）；当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（﹣，0）、（+，0）、（﹣+，0）、（﹣﹣，0）．高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，sin∠BMC=联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．3．（2014•浙江宁波，第25题12分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．解：（1）如图2作图，（2）如图3 ①、②作△AB C．①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．（3）如图4，CD、AE就是所求的三分线．设∠B=a，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=a，∠ADE=∠AED=2a，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE=AD=x，BD=CD=y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y=2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2x=（x+y）：2，所以联立得方程组，解得，即三分线长分别是和．第11页共11页。