北京四中第一学期期中测验

2024北京四中高三（上）期中数 学（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知全集R U =，集合{}240A x x =−<，{}1B x x =≥，则()UA B ⋂=（ ）A. ()1,2B. ()2,2−C. (),2∞−D. ()2,1−2. 不等式111x x >−的解集为（ ） A. (0,)+∞ B. (1,)+∞ C. (0,1)D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3. 已知边长为2的正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，则AE BC ⋅=（ ） A. 2B. 2−C. 1D. 1−4. 已知函数()23f x x x=−−，则当0x <时，()f x 有（ ）A. 最大值3+B. 最小值3+C. 最大值3−D. 最小值3−5. 设,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的终边关于y 轴对称.若2cos23α=，则cos β=（ ）A.19B. 19−C.9 D. 9−7. 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量Q 与时间t （单位：年）的关系为0e t aQ Q−=，其中0Q 是臭氧的初始含量，a 为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再．经过n 年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n 约为（ ） （参考数据：ln 20.7≈，ln10 2.3≈） A. 280B. 300C. 360D. 6408. 已知函数()1,2,x x x af x x a +≤⎧=⎨>⎩，若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是（ ）A. (,0]−∞B. [0,1]C. [0,)+∞D. (,1]−∞9. 已知0a >，记sin y x =在[],2a a 的最小值为a s ，在[]2,3a a 的最小值为a t ，则下列情况不可能的是（ ）A. 0a s >，0a t >B. 0a s <，0a t <C. 0a s >，0a t <D. 0a s <，0a t >10. 已知在数列{}n a 中，1a a =，命题:p 对任意的正整数n ，都有12nn n a a a +=−．若对于区间M 中的任一实数a ，命题p 为真命题，则区间M 可以是（ ） A. ()3,4 B. ()2,3 C. 3216,115⎛⎫⎪⎝⎭ D. 832,311⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知复数5i2iz =−，则z =______. 12. 已知函数()33log ,0,,0.x x f x x x >⎧=⎨<⎩若()()273f f a =，则a =______. 13. 已知幂函数y x α=的图像经过()0,0A ，()1,1B ，()1,1C −，()4,2D 中的三个点，写出满足条件的一个α的值为______. 14. 在ABC 中，1tan 4A =，3tan 5B =.（1）C ∠=_____； （2）若ABC，则最短边的长为______.15. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M −.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.给出下列命题：①“函数()f x A ∈”的充要条件是“t R ∀∈，关于x 的方程()f x t =都有实数解”； ②“函数()f x B ∈”的充要条件是“()f x 既有最大值，也有最小值”； ③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈，则()g x B ∈；④若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉.其中，正确命题的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.16. 已知函数()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+，其中0ω>，π2ϕ<.记()f x 的最小正周期为T ，()2f T =−. （1）求ϕ的值；（2）若()f x 与x 轴相邻交点间的距离为π2，求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. 在ABC 中，2cos 2c A b a =−.（1）求C ∠的大小；（2）若c =，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC 的面积为条件②：1b a −=； 条件③：1sin sin 2B A −=. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18. 已知函数()()2121ln 22f x x x x x =+−−. （1）求()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()f x x a '<−+有解，求实数a 的取值范围.19. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，C 的长轴长为4，焦距为过定点(),0T t （2t ≠±）作与x 轴不重合的直线交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .（1）求C 的方程；（2）是否存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由. 20. 已知函数()e xf x x ax =−，R a ∈.（1）当e a =时，求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程； （2）若函数()f x 是单调递增函数，求a 的取值范围；（3）当0a ≥时，是否存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.21. 已知集合{}1,2,3,,A n =⋅⋅⋅，其中*N n ∈，1A ，2A ，…，m A 是A 的互不相同的子集.记i A 的元素个数为i M （1,2,,i m =⋅⋅⋅），ij A A 的元素个数为ij N （1i j m ≤<≤）.（1）若4n =，3m =，{}11,2A =，{}21,3A =，13231N N ==，写出所有满足条件的集合3A （结论不要求证明）；（2）若5n =，且对任意的1i j m ≤<≤，都有0ij N >，求m 的最大值；（3）若给定整数7n ≥，3i M ≤（1,2,,i m =⋅⋅⋅）且对任意1i j m ≤<≤，都有1ij N =，求m 的最大值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 【答案】D【分析】先求出集合A ，然后求出UB ，进而求得()U A B ⋂.【详解】由240x −<，得22x −<<，所以{}|22A x x =−<<, 因为{}|1B x x =≥，所以{}|1UB x x =<,所以(){}|21UA B x x ⋂=−<<.故选：D. 2. 【答案】C【分析】根据题意，由条件可得10(1)x x −>−，即可得到结果.【详解】111x x >−，则11101(1)x x x x −−=>−−，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1． 故选：C3. 【答案】A【分析】找基底分别表示,AE BC ，然后计算即可. 【详解】由题可知，111222AE AC AB AD ==+,BC AD =, 所以2111122222AE BC AB AD AD AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭故选：A 4. 【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由题意当0x <时，()()233f x x x ⎡⎤⎛⎫=+−+−≥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，等号成立当且仅当x = 故选：B. 5. 【答案】D【详解】若0,2a b ==−，则22a b <，故不充分；若2,0a b =−=，则22a b >，而a b <，故不必要，故选D.考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键. 6. 【答案】A【分析】根据对称得2k βππα=+−，再结合二倍角的余弦公式和诱导公式即可. 【详解】由题意2,Z k k αβππ+=+∈，即2k βππα=+−，而2221cos 2cos 121239αα⎛⎫=−=⨯−=− ⎪⎝⎭，()1cos cos 2cos 9k βππαα=+−=−=． 故选：A ． 7. 【答案】C【分析】根据题意建立等式，然后化简求解即可. 【详解】由题可知，28028000000.5,0ee.2an aQ Q Q Q −−+== ，即280280ln 2,ln 5na a+==， 两式相比得280ln 5ln10ln 2280ln 2ln 2n +−== 解得360n ≈ 故选：C 8. 【答案】B【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数a 的取值进行分类讨论即可. 【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数1y x =+和()2x g x =的图象如下图所示：由图可知，当0x =或1x =时，两图象相交，若()f x 的值域是R ，以实数a 为分界点，可进行如下分类讨论： 当a<0时，显然两图象之间不连续，即值域不为R ； 同理当1a >,值域也不是R ；当01a ≤≤时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R ； 综上可知，实数a 的取值范围是01a ≤≤. 故选：B 9. 【答案】D【分析】先取特殊值，判断可能得选项，然后综合选项得到答案即可. 【详解】由题可知，0a >，区间[],2a a 与[]2,3a a 的区间长度相同；取π6a =，则[][]ππππ,2,,2,3,6332a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s >，0a t >，故A 可能； 取7π6a =，则[][]7π7π7π7π,2,,2,3,6332a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s <，0a t <，故B 可能； 取5π12a =，则[][]5π5π5π5π,2,,2,3,12664a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s >，0a t <，故C 可能； 由三角函数性质可知，假设0a s <，0a t >成立，必然有πa >，所以区间[],2a a 与[]2,3a a 的区间长度大于π，根据sin y x =的函数图象可知， 当区间长度大于π，sin y x =在区间[],2a a 与[]2,3a a 上的取值必然有正有负， 此时0a s <，0a t <，故与假设矛盾，故D 不可能. 故选：D 10. 【答案】D【分析】根据递推关系分析式子要有意义，数列中的项不能取那些值即可求解. 【详解】p 为真命题，则2n a ≠， 由2n a ≠从后往前推，14n a −≠，283n a −≠, 3165n a −≠,43211n a −≠,,n k a −,而8(2,3)3∈，排除，16(3,4)5∈,排除， 由蛛网图可知3n k a −→,而63321,115∈⎛⎫⎪⎝⎭，n a 之前的项会趋向于3，所以C 项排除. 因为()24832,,311n n a a −−⎛⎫= ⎪⎝⎭，已经越过不能取的值，故正确.故选：D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【分析】根据复数的除法和模的公式即可. 【详解】()()()5i 2i 5i 10i 512i 2i 2i 2i 5z +−====−+−−+，则z ==.. 12. 【答案】3【分析】首先求出()273f =，再对a 分类讨论即可. 【详解】()327log 273f ==， 则()33f a =，()1f a =，当0a >时，由3log 1a =，得3a =； 当0a <时，由31a =，得1a =.（舍去） 故答案为：3 13. 【答案】{}1N 21,Z 2k k αα⎧⎫∈=−∈⋃⎨⎬⎩⎭（取该集合中的任意一个元素均算正确）【分析】分类讨论过点D 和不过点D 的幂函数即可. 【详解】幂函数都经过点()1,1B ；若该幂函数经过点D ，可得1242αα=⇒=，该幂函数方程为y =()0,0A ， ()1,1B ，()4,2D ；若该幂函数不过点D ，则12α≠，此时过点()0,0A ，()1,1B ，()1,1C −， 显然{}N 21,Z k k ααα∈∈=−∈. 故答案为：{}1N 21,Z 2k k αα⎧⎫∈=−∈⋃⎨⎬⎩⎭（取该集合中的任意一个元素均算正确）14. 【答案】 ①.3π4②【分析】（1）利用三角形三内角和为π计算即可； （2）先确定最长边和最短边，然后利用正弦定理计算即可. 【详解】（1）由题可知()tan tan tan tan 11tan tan A BC A B A B+=−+=−=−−所以3π4C ∠=；（2）由题可知，最长边为边c =a ；易知sin ,sin 172A C ==由正弦定理可知，sin sin ca A C==故答案为：3π4； 15. 【答案】①③④【分析】①中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；②中举反例保证函数的值域为集合[],M M −的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；③根据反证法可判断；④中根据函数的值域，可以发现()()f x g x +∈R ，从而发现命题正确； 【详解】对①，“()f x A ∈”即函数()f x 值域为R ，“t ∀∈R ，关于x 的方程()f x t =都有实数解”表示的是函数可以在R 中任意取值， 命题①是真命题；对②，若函数()f x B ∈，即存在一个正数M ，使得函数()f x 的值域包含于区间[],M M −． ()M f x M ∴−≤≤．例如：函数()f x 满足2()5f x −<<，则有5()5f x −≤≤，此时，()f x 无最大值，无最小值．命题②是假命题；对③，若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈， 则()f x 值域为R ，即()(,)f x ∈−∞+∞，()()f x g x M ≤，若()g x B ∉，则对任意的正实数()1u u >，总存在1X ，当1x X >时，()g x u >， 而()f x A ∈，故存在2X ，当2x X >时，()f x u >， 故当{}12max ,x X X >时，有()()2f xg x u u >>，这与()()f x g x M ≤矛盾，故()g x B ∈,故命题③是真命题． 对④，若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()f x 值域为R ，即()(,)f x ∈−∞+∞，并且存在一个正数M ，使得()M g x M −≤≤，()()f x g x ∴+∈R ，则()()f x g x B +∉．命题④是真命题．故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.三、解答题共6小题，共85分.16. 【答案】（1）π3ϕ=−（2）()f x 的最小值为()f x的最大值为1【分析】（1）首先利用和差公式进行化简，再结合正弦型函数的周期性以及()2f T =−即可求得ϕ的值；（2）首先根据题意得出()f x 的最小正周期，进而可得()πsin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的图像与性质即可求得最值. 【小问1详解】由两角和与差的正弦公式可得()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+, 由于0ω>，则()f x 的最小正周期为2πT ω=，()()2sin sin 2πsin 2f T πωϕϕϕω⎛⎫=+=+==−⎪⎝⎭, 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=−；【小问2详解】因为()f x 与x 轴相邻的两交点间的距离为π2，所以()πsin 3f x x ω⎛⎫=− ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 所以2π2πω==，即()πsin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图像与性质可得：当ππ233x −=−即x =0时，()f x 取最小值2−, 当ππ232x −=即5π12x =时，()f x 取最大值1. 17. 【答案】（1）π3（2）选①时三角形不存在；选②时AC 边上的中线的长为1；选③时AC 边上的中线的长为1. 【分析】（1）由正弦定理及sin sin cos cos sin B A C A C =+得到1cos 2C =，结合()0,πC ∈，得到π3C =； （2）选①，由三角形面积和余弦定理得到2211a b +=，由222a b ab +≥推出矛盾； 选②，先求得2ab =，则可得1,2a b ==，再利用余弦定理求解即可得中线长. 选③，根据三角恒等变换得到π6A =，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，由正弦定理得到AC ，求出中线. 【小问1详解】 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =−， 得2sin cos 2sin sin C A B A =−.（i ）因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+.（ii ） 由（i ）（ii ）得2sin cos sin 0A C A −=.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =.因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】选①，ABC 的面积为1sin 2ab C =，即4ab =8ab =，因为c =，由余弦定理得222cos 2a b c C ab+−=，即2231162a b +−=，解得2211a b +=，由基本不等式得222a b ab +≥，但1128<⨯， 故此时三角形不存在，不能选①， 选条件②：1b a −=，两边平方得2221a b ab +−=，（iii ）由余弦定理得223122a b ab +−=，即223a b ab +−=，（iiii ） 联立（iii ）（iiii ）得2ab =，所以1,2a b ==， 设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+−⋅2242b ab a =+−1=. 所以AC 边上的中线的长为1. 选条件③：1sin sin 2B A −=. 由（1）知，π33ππ2B A A ∠=−−∠=−∠.所以2π1sin sin sin sin cos sin sin 322B A A A A A A ⎛⎫−=−−=+−⎪⎝⎭1cos sin 22A A =−π=sin 3A ⎛⎫− ⎪⎝⎭.所以π1sin 32A ⎛⎫−=⎪⎝⎭. 因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭. 所以π3π6A −=，即π6A =. 所以ABC 是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =，所以2sin sin 3AB AC C ===. 所以AC 边上的中线的长为112AC =. 18. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(0,1)，()f x 的单调递减区间(1,)+∞ （2）22ln 2a >−【分析】（1）求出函数的定义域，1()2ln f x x x x '=+−，设1()2ln h x x x x=+−，2'2(1)()0−=−≤x h x x恒成立，由(1)0h =，利用导数与函数单调性的关系即可求解. （2）令1()2ln g x x a x=+−，利用导数求出()g x 的最小值，使()min 0g x <，解不等式即可求解. 【小问1详解】 定义域为{|0}x x >，1()2ln f x x x x'=+−， 设1()2ln h x x x x=+− 2'2(1)()0−=−≤x h x x恒成立 所以()h x 在()0,+∞上是减函数，且(1)0h = 则当(0,1)x ∈时，()0h x >，即()0f x '>， 则当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1)，()f x 的单调递减区间(1,)+∞ 【小问2详解】由（1）知1()2ln f x x x x'=+−，所以1()2ln '+−=+−f x x a x a x ，令1()2ln g x x a x=+−， 222121()x g x x x x−'=−=， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,+∞上的最小值为112ln 222ln 222g a a ⎛⎫=+−=−−⎪⎝⎭， 所以若关于x 的不等式()0g x <有解，则22ln 20a −−<， 即22ln 2a >−19. 【答案】（1）2214x y +=（2）存在，1t =或4t =【分析】（1）由题可知，24,2a c ==，然后利用,,a b c 的关系求解即可.（2）先设直线PQ 的方程为x my t =+，()()1122,,,P x y Q x y ，然后直线方程与椭圆方程联立，计算得到212122224,44mt t y y y y m m −−+==++，然后求出1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，再计算OM ON 的值，化简最后求出t 即可. 【小问1详解】由题可知，24,2a c ==得2,1a c b ====所以椭圆C 的方程为2214x y +=【小问2详解】由题可知，直线PQ 不能水平，A (−2,0)设直线PQ 的方程为x my t =+，()()1122,,,P x y Q x y联立()22222142404x y m y mty t x my t ⎧+=⎪⇒+++−=⎨⎪=+⎩所以Δ=(2mt )2−4(m 2+4)(t 2−4)=16(m 2−t 2+4)>0212122224,44mt t y y y y m m −−+==++ 直线AP 方程为y =y 1x 1+2(x +2)所以1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭所以()()121212122242222y y y y OM ON x x my t my t =⨯=++++++ ()()()()()221222222121222444442222244t y y m t mt m y y m t y y t m m t t m m −+==−−+++++++++++()()()()22242222224t t t m t m t t m −−==+−−+++ 若13OM ON ⋅=，得4t =或1t =当4t =时，Δ=16(m 2−12)>0，得m >m <− 当1t =时，Δ=16(m 2+3)>0恒成立， 所以存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13，1t =或4t =. 20. 【答案】（1）e e y x =− （2）21e a ≤−（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）按照求具体函数在某点处的切线方程的方法求解即可；（2）先求导，然后利用导函数大于等于零恒成立，参变分离，求参数的范围即可； （3）先判断函数()e xf x x ax =−的单调性的情况，然后再判断不存在即可.【小问1详解】 由题得()e e xf x x x =−所以()()10,e e e xxf f x x ==+−'所以()1e f '=所以在点(1,f (1))处的切线方程为e e y x =−. 【小问2详解】由题得()()1e xf x x a =+−'要使函数()f x 是单调递增函数， 则()()1e 0xf x x a '=+−≥恒成立，即()1e xa x ≤+恒成立，令()()1e xg x x =+得()min a g x ⎡⎤≤⎣⎦，()()2e xg x x ='+令()()2e 0xg x x =+='，得2x =−显然，当2x <−时，()0g x '<，所以函数()()1e xg x x =+单调递减；当2x >−时，()0g x '>，所以函数()()1e xg x x =+单调递增；故()()2min12e g x g ⎡⎤=−=−⎣⎦所以21e a ≤−【小问3详解】 不存在，理由如下， 由题得()()1e xf x x a =+−'因为0a ≥，显然当1x ≤−时，()()1e 0xf x x a '=+−≤，f ′(a )=(1+a )e a −a >0由（2）可知，()()f x g x a '=−在()2,∞−+单调递增， 所以()()1e xf x x a =+−'在R 上由唯一的零点[)01,x a ∈−当0x x <时，f ′(x )<0，所以()f x 单调递减； 当0x x >时，f ′(x )>0，所以()f x 单调递增；所以当0a ≥时，不存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==. 21. 【答案】（1）3{1}A =或3{1,4}A =或3{2,3}A =或3{2,3,4}A = （2）max 16=m （3）max m n =【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可；（2）将集合{1,2,3,4,5}A =的子集进行两两配对得到16组，写出选择A 的16个含有元素1的子集即可得到max m ；（3）分1~m A A 中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及1~m A A 均为三元集合讨论即可. 【小问1详解】因为13231N N ==，则13A A ⋂和23A A 的元素个数均为1，又因为{}{}124,1,2,1,3n A A ===，则{}1,2,3,4A =， 若{}131A A ⋂=，{}231A A ⋂=，则3{1}A =或3{1,4}A =； 若{}132A A ⋂=，{}233A A ⋂=，则3{2,3}A =或3{2,3,4}A =； 综上3{1}A =或3{1,4}A =或3{2,3}A =或3{2,3,4}A =. 【小问2详解】集合{1,2,3,4,5}A =共有32个不同的子集， 将其两两配对成16组,(1,2,,16)i i B C i =，使得,i i i i B C B C A ⋂=∅⋃=，则,i i B C 不能同时被选中为子集(1,2,,)j A j m =，故16m ≤.选择A 的16个含有元素1的子集:12316{1},{1,2},{1,3},A A A A A ===⋯⋯=，符合题意. 综上，max 16=m . 【小问3详解】 结论:max m n =，令123{1},{1,2},{1,3},,{1,}n A A A A n ====，集合1~n A A 符合题意.证明如下：①若1~m A A 中有一元集合，不妨设1{1}A =，则其它子集中都有元素1，且元素2~n 都至多属于1个子集， 所以除1A 外的子集至多有1n −个，故m n ≤.②若1~m A A 中没有一元集合，但有二元集合，不妨设1{1,2}A =.其它子集分两类:{}1,j j B b =或{}1,,(1,2,,)j j b b j s '=，和{}2,j j C c =或{}2,,(1,2,,)j j c c j t '=，其中,,j j s t b b '≥互不相同，,j j c c '互不相同且均不为1，2.若0t =，则2s n ≤−，有11m s t n n =++≤−<若1t ≥，则由11j B C ⋂=得每个集合j B 中都恰包含1C 中的1个元素（不是2)， 且互不相同，因为1C 中除2外至多还有2个元素，所以2s ≤. 所以1122m s t n =++≤++<.③若1~m A A 均为三元集合，不妨设1{1,2,3}A =.将其它子集分为三类：{}{}{}1,,(1,2,,),2,,(1,2,,),3,,(1,2,,)j j j j j j j j j B b b j s C c c j t D d d j r '''======，其中s t r ≥≥. 若0t r ==，则32n s −≤(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合1~s B B )， 所以3112n m s n −=+≤+<. 若1t ≥，不妨设1{2,4,5}C =，则由11j B C ⋂=得每个集合j B 中都或者有4、或者有5， 又12,,,s B B B 中除1外无其它公共元素，所以2s ≤.所以112227m s t r n =+++≤+++=≤. 综上，max m n =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对1~m A A 中集合元素个数进行分类讨论；当1~mA A均为三元集合时，不妨设1{1,2,3}A=，再将其它子集分为三类讨论.。

2024北京四中高一（上）期中语文（试卷满分为150分，考试时间为150分钟）一、基础知识（12分）1．下列词语中加点字的注音全部正确的一项是（2 分）A．酩．酊míng 牛虻．méng 嘀．咕dí刚劲．jìnB．挟．持xié枸．杞gǒu 倾轧．yà瓜蔓．wànC．混淆．xiáo叶．韵xié遂．心suí模．样móD．酗．酒xù扒．窃bā亚．洲yǎ弄．堂lòng2．下列词语中加点字注音有错误．．．的一项是（2 分）A．搽．粉chá拂．袖fú誊．印téng 浩浩汤．汤shāngB．澎湃．pài 凫．水fú髀．骨bì 金蝉脱壳．qiàoC．簸．箕bò滂．沱páng 挨．打āi 风雨如晦．huìD．恫吓．hè笤．帚tiáo雪霰．xiàn 战乱频仍．réng3．下列词语中没有．．错别字的一项是（2 分）A．振耳欲聋小恩小惠涵洞幅射B．姗姗来迟歌舞声平摩挲霄夜C．契而不舍工于心计肆业恳托D．前仆后继无坚不摧部署帐篷4．下列词语中错别字最多．．的一项是（2 分）A．破釜沉舟合盘托出珠联璧合穷兵渎武B．按步就班当仁不让呕心沥血不径而走C．首曲一指群贤必至谈笑风声反弋一击D．铤而走险鞭辟入理竭泽而鱼如雷贯耳5．下列句子中，加点的成语使用正确的一项是（2 分）A．除夕将至，小明终于买到回家的车票了，虽然是站票，但聊胜于无．．．．。

B．这些珍贵的测绘资料在普通人眼里不名．．，不过是论斤卖的废纸。

．．一文C．运动会上，我们班取得了总分第一的好成绩，同学们纷纷弹冠相庆．．．．。

D．小李犯的错误不足为训．．．．，不用过多批评，提醒他下次注意细节即可。

6．下列有关文学文化常识的表述，不正确．．．的一项的是（2 分）A．律诗对平仄、押韵、对仗等均有严格要求，四联当中颔联、颈联必须对仗。

2023北京四中高二（上）期中数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（ ）A．B．C．D．﹣12．已知点A（﹣2，3，0），B（1，3，2），，则点P的坐标为（ ）A．（4，3，4）B．（﹣4，﹣1，﹣4）C．（﹣1，6，2）D．（﹣5，3，﹣2）3．已知直线方程kx﹣y﹣2k＝0，则可知直线恒过定点的坐标是（ ）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）4．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都是1，O为A1C1中点，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，，则（ ）A．x＝1，y＝1B．x＝1，C．，D．，y＝15．“a＝﹣3”是“直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）A．B．C．D．7．过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y＝1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（ ）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝5B．C．（x﹣3）2+（y﹣8）2＝50D．（x﹣3）2+y2＝28．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形ABCD中心，A1P＝λA1B1（λ∈[0，1]），直线OP与平面ABC所成角为θ，则θ取最大时λ的值为（ ）A．B．C．D．9．A（1，y1），B（﹣2，y2）是直线y＝﹣x上的两点，若沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A、B两点间的距离是（ ）A．6B．C．D．10．点M（x0，y0）到两条直线：x+3y﹣2＝0，x+3y+6＝0距离相等，y0＜x0+2，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）若向量与向量共线，则x的值为 ．12．（5分）直线2x﹣y﹣1＝0与2x﹣y+1＝0之间的距离是 ．13．（5分）以A（2，3），B（4，9）为直径的两个端点的圆的方程是 ．14．（5分）在空间四边形ABCD中，＝ ．15．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点D在棱AC 上滑动，点E在棱BB1上滑动，给出下列四个结论：①三棱锥C1﹣A1DE的体积不变；②A1D+DB的最小值为；③点D到直线C1E的距离的最小值为；④使得A1D⊥C1E成立的点D、E不存在．其中所有正确的结论为 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．（13分）已知点A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）．（1）求△ABC的面积；（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，求直线l的方程．17．（13分）如图，在△ABC中，，BC＝4，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）平面A1OB⊥平面BCED；（2）若F为A1C的中点，求点F到面A1OB的距离．18．（14分）已知直线l过点P（2，3），圆C：x2+4x+y2﹣12＝0．（1）求与圆C相切的直线l的方程；（2）当直线l是圆C的一条对称轴，交圆C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于D，E两点，求|DE|．19．（15分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，|CD|＝|DA|＝|AF|＝|FE|＝2，|AB|＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（2）求二面角C﹣BF﹣A的余弦值；（3）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．20．（15分）已知圆和圆（r＞0）．（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值；（3）若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．21．（15分）对于n维向量A＝（a1，a2，…，a n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a i＝0或a i＝1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）＝．（Ⅰ）若A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A1，A2，A3，…，若A1＝（1，1，1，1，1）且满足：d（A i，A i+1）＝2，i∈N*．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2，A3，…，若且满足：d（A i，A i+1）＝m，m∈N*，i＝1，2，3，…，若存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【答案】D【分析】利用斜率公式求解．【解答】解：因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为．故选：D．2．【答案】A【分析】设P（x，y，z），表示出、，即可得到方程组，解得即可．【解答】解：设P（x，y，z），因为A（﹣2，3，0），B（1，3，2），所以，，因为，所以（x+2，y﹣3，z）＝2（3，0，2），所以，解得，即P（4，3，4）．故选：A．3．【答案】B【分析】依题意可得（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得即可．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k＝0，即（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得，所以直线kx﹣y﹣2k＝0恒过点（2，0）．故选：B．4．【答案】C【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得．【解答】解：依题意＝＝，又，所以，．故选：C．5．【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可．【解答】解：当直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直时，a+a（a+2）＝0，得a2+3a＝0，解得a＝0或a＝﹣3，所以当a＝﹣3时，直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直，而当直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直时，a＝0或a＝﹣3，所以“a＝﹣3”是“直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的充分不必要条件．故选：A．6．【答案】C【分析】因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，那么把这两个点代入ax﹣y﹣1，它们的符号相反，乘积小于0，求出a的范围，设直线l倾斜角为θ，则a＝tanθ，再根据正切函数的图象和性质即可求出范围．【解答】解：因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，所以，（a+2﹣1）（a﹣1）＜0，即：（a+1）（a﹣）＜0，解得﹣1＜a＜，设直线l倾斜角为θ，∴a＝tanθ，∴﹣1＜tanθ＜，∴0＜θ＜，或＜θ＜π，故选：C．7．【答案】D【分析】由圆心和切点连线与切线垂直可得k BC＝﹣1，得到关于圆心的一个方程，根据圆的性质，可知圆心C在AB的垂直平分线x＝3上，由此可求得a，b的值，得到圆心坐标，进而可求得圆的半径即可求解．【解答】解：设圆心C（a，b），因为直线x﹣y＝1与圆C相切于点B（2，1），所以，即a+b﹣3＝0，因为AB中垂线为x＝3，则圆心C满足直线x＝3，即a＝3，∴b＝0，所以半径，所以圆C的方程为（x﹣3）2+y2＝2．故选：D．8．【答案】A【分析】在平面ABB1A1中过点P作PP1⊥AB交AB于点P1，连接P1O，即可得到∠POP1即为线OP与平面ABC所成角，且，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则，从而求出（tanθ）max，即可得解．【解答】解：在平面ABB1A1中过点P作PP1⊥AB交AB于点P1，连接P1O，由正方体的性质可知PP1⊥平面ABCD，则∠POP1即为直线OP与平面ABC所成角，则，设正方体ABCD﹣A 1B1C1D1的棱长为2，则，所以当OP1＝1时（tanθ）max＝1，此时θ取最大值，P1为AB的中点，又A1P＝λA1B1，所以当时θ取最大值．故选：A．9．【答案】C【分析】求出沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，点A在平面xOy上的射影C的坐标，作BD ⊥x轴，交x轴于点D（﹣2，0），然后利用空间向量表示，利用向量的模的性质进行求解，即可得到答案．【解答】解：∵A（1，y1），B（﹣2，y2）是直线y＝﹣x上的两点，∴y1＝﹣，y2＝2，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，点A在平面xOy上的射影为C（1，0），作BD⊥x轴，交x轴于点D（﹣2，0），∴＝++，∴＝+++2•+2•+2•＝3+9+12﹣2××2×＝18，∴||＝3．故选：C．10．【答案】B【分析】利用点到直线的距离公式得到x0+3y0+2＝0，结合y0＜x0+2求出x0，再由x0≠0及计算可得．【解答】解：依题意，所以x0+3y0+2＝0，即，又y0＜x0+2，所以，解得x0＞﹣2，显然x0≠0，所以，当﹣2＜x0＜0时，所以，当x0＞0时，所以．综上可得．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．【答案】3．【分析】利用向量共线定理求解．【解答】解：因为向量与向量共线，所以，解得x＝3．故答案为：3．12．【答案】．【分析】由平行线间的距离公式可求得结果．【解答】解：易知直线2x﹣y﹣1＝0与2x﹣y+1＝0平行，这两条直线间的距离为．故答案为：．13．【答案】（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可．【解答】解：易知该圆圆心为A（2，3），B（4，9）的中点C（3，6），半径，所以该圆方程为：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．故答案为：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．14．【答案】见试题解答内容【分析】如图：设；由向量的加、减运算知：，，代入上式即得结论．【解答】解：如图，设＝，＝，＝，则，＝，＝，＝．所以，＝＝0故答案是：015．【答案】①②③．【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面时连接A1B交AC 于点D，此时A1D+DB取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得③，利用，即可判断④．【解答】解：∵BB1⊥平面ABC，对于①：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，又CC1⋂AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又点D在棱AC上滑动，∴，∴，∴三棱锥C1﹣A1DE的体积不变，故①正确；对于②：如图将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面时连接A1B交AC于点D，此时A1D+DB取得最小值，∵A1C1＝CC1＝2，BC＝1，∴A1B＝＝，∴A1D+DB的最小值为，故②正确；对于③：如图建立空间直角坐标系，设D（a，0，0），a∈[0，2]，E（0，1，c），c∈[0，2]，C1（0，0，2），∴，，则点D到直线C1E的距离d＝＝＝，当c＝2时，，当0≤c＜2时，0＜（c﹣2）2≤4，∴，∴，∴，∴∈（0，]，∴当取最大值，且a2＝0时，，即当D在C点E在B点时，点D到直线C1E的距离的最小值为，故③正确；对于④：A1（2，0，2），，，∴，∵c∈[0，2]，∴当c＝2时，，∴，即A1D⊥C1E，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．【答案】（1）；（2）3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．【分析】（1）求出三角形的三边长，并求其中一个角的余弦值，代入公式即可求得面积．（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，即直线l与直线AB平行或经过AB的中点，代入求解即可．【解答】解：（1）由点A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）可得，，，，在△ABC中，，所以，△ABC的面积为．（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，即直线l与直线AB平行或经过AB的中点，当过点C的直线l与平行时，，则直线方程为3x+4y﹣26＝0；当过点C的直线l过AB的中点，AB的中点坐标，，所以直线方程为，即3x+14y﹣46＝0．所以直线方程为3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．17．【答案】（1）证明过程请见解答；（2）．【分析】（1）由A1O⊥DE，平面A1DE⊥平面BCED，可知A1O⊥平面BCED，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）作DP⊥BC于P，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离，即可得解．【解答】（1）证明：由题意知，A1D＝A1E，因为点O是DE的中点，所以A1O⊥DE，因为平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED＝DE，A1O⊂平面A1DE，所以A1O⊥平面BCED，又A1O⊂平面A1OB，所以平面A1OB⊥平面BCED．（2）解：作DP⊥BC于P，则BP＝1，因为DE∥BC，所以DP⊥DE，以D为坐标原点，DP，DE所在直线分别为x，y轴，作Dz⊥平面BCED，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，1，2），O（0，1，0），B（2，﹣1，0），C（2，3，0），因为F为A1C的中点，所以F（1，2，1），所以＝（0，0，2），＝（2，﹣2，0），＝（1，1，1），设面A1OB的法向量为＝（x，y，z），则，即，取x＝1，则y＝1，z＝0，所以＝（1，1，0），故点F到面A1OB的距离为＝＝．18．【答案】（1）x＝2或7x+24y﹣86＝0；（2）10．【分析】（1）将圆的方程化为标准式，再分斜率存在与不存在两种情况讨论；（2）依题意直线l过圆心C，即可求出直线l的方程，即可得到，利用锐角三角函数求出|AD|，从而求出|CD|，从而得解．【解答】解：（1）圆C：x2+4x+y2﹣12＝0，即（x+2）2+y2＝16，所以圆心C（﹣2，0），半径r＝4，当斜率不存在时直线的方程为x＝2，符合题意；当斜率存在时，设斜率为k，则y﹣3＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+3＝0，则，解得，所以切线方程为7x+24y﹣86＝0，综上可得切线方程为x＝2或7x+24y﹣86＝0．（2）因为直线l是圆C的一条对称轴，所以直线l过圆心C，则直线l的方程，即3x﹣4y+6＝0，则，又，即，所以|AD|＝3，则，同理可得|CE|＝5，所以|DE|＝10．19．【答案】（1）证明见解答；（2）；（3）线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．【分析】（1）先证明四边形CDFE为平行四边形，从而得到DF∥CE，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）在平面ABEF内，过A作Az⊥AB，证明AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BCF的法向量，由向量的夹角公式求解即可；（3）利用待定系数法求出平面ACE的法向量，利用向量垂直的坐标表示，证明平面ACE与平面BCF不可能垂直，即可得到答案．【解答】（1）证明：因为CD∥EF，且CD＝EF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以DF∥CE，因为DF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，所以DF∥平面BCE；（2）解：在平面ABEF内，过A作Az⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az⊂平面ABEF，Az⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，所以AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．由题意得，A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），E（0，3，），F（0，1，），所以＝（2，﹣2，0），＝（0，﹣3，），设平面BCF的法向量为＝（x，y，z），则，令y＝1，则x＝1，z＝，所以＝（1，1，），平面ABF的一个法向量为＝（1，0，0），则cos＜，＞＝＝，所以平面CBF和平面BFA的夹角的余弦值为；（3）解：线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：设平面ACE的法向量为＝（a，b，c），所以，令b＝1，则a＝﹣1，c＝﹣，所以＝（﹣1，1，﹣），因为•＝﹣1+1﹣3≠0，所以平面ACE与平面BCF不可能垂直，从而线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．20．【答案】（1）（﹣2，+2）；（2）k＝；（3）（，）或（，）．【分析】（1）利用相交时圆心距的位置关系可求r的取值范围；（2）联立直线与圆C1，写出韦达定理，结合数量积代换可求实数k的值；（3）由两圆半径相等，两直线11和12截得圆C1和圆C2，弦长相等可得弦心距相等，得＝，转化为求方程组的解即可．【解答】解：（1）由题意得，圆C1的圆心C1（﹣3，1），r1＝2，圆C2的圆心C2（4，5），半径为r，|C1C2|＝＝，∵圆C1与圆C2相交，∴|r﹣2|＜|C1C2|＜r+2，即|r﹣2|＜＜r+2，解得：﹣2＜r＜+2，∴r∈（﹣2，+2）．（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），直线与圆C1联立，得（1+k2）x2+6x+5＝0，由Δ＞0得k2＜，x1+x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，∵，∴x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝4，∴5+﹣3＝0，解得：k＝，∵k2＜，∴k＝．（3）由题意得C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4，设P（m，n），直线l1和l2的方程分别为y﹣n＝k（x﹣m），y﹣n＝﹣（x﹣m），即kx﹣y+n﹣kn＝0，﹣x﹣y+n+＝0，由题意可知，圆心C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离，则＝，化简得（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，则有或，故P（，）或（，）．21．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由于A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定义，求d（A，B）的值．（Ⅱ）利用反证法进行证明即可；（Ⅲ）根据存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．【解答】解：（Ⅰ）由于A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定义，可得d（A，B）＝4．…（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列，A1，A2，A3，…A n，使得A1＝（1，1，1，1，1），A m＝（0，0，0，0，0）．因为向量A1＝（1，1，1，1，1）的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设A1的第i（i＝1，2，3，4，5）个分量1变化了2n i﹣1次之后变成0，所以将A1中所有分量1变为0共需要（2n1﹣1）+（2n2﹣1）+（2n3﹣1）+（2n4﹣1）+（2n5﹣1）＝2（n1+n2+n3+n4+n5﹣2）﹣1次，此数为奇数．又因为，说明A i中的分量有2个数值发生改变，进而变化到A i+1，所以共需要改变数值2（m﹣1）次，此数为偶数，所以矛盾．所以该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．…（9分）（Ⅲ）存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，此时m＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．…（13分）。

2024北京四中高一（上）期中数 学试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，满分150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知集合，，则集合A. B. C. D.2. 函数的定义域是A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，4. 如果，那么下列不等式中正确的是A ． BC ． D．5. 下列函数中，在区间上为减函数的是A ． B. C. D. 6. 函数的图像关于A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．点对称 7. 已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数在区间内的零点个数是A ．0 B ．1 C ．2 D ．39. 下列函数中，满足的是A ．B ．C ．D ．10. 两个不同的函数，满足，，则可能的情况是{0,1,2,3}A ={1,3,5,7}B =A B ={1,2,3}{3}{1,3}{0,1,2,3,5,7}()f x =[2,1]-(,2][1,)-∞-+∞ (,2)(1,)-∞-+∞ [2,)-+∞R x ∀∈3210x x -+≤R x ∃∉3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+≥R x ∀∈3210x x -+>0b a >>2ab b -<<22a b <11a b <()0,+∞22y x x =-y =31x y x +=+21y x =+()|1||1|f x x x =+--(1,0)0a b >>0c >a b a c b c >++31()2f x x x=--(0,)+∞(2)2()f x f x =2()(2)f x x =+()1f x x =+4()f x x=()f x x x =-()f x ()g x R x ∀∈()()0f x g x ⋅>A ．是一次函数，是二次函数B ．在上递增，在上递减C ．，都是奇函数D ．是奇函数，是偶函数二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．若，则实数x 的值为 .12. 不等式的解集为，则 ， .13. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．14. 函数，则的减区间为 ，的值域是 .15. 已知函数.①当时，在定义域内单调递减；②当时，一定有；③若存在实数，使得函数没有零点，则一定有；④若存在实数，使得函数恰有三个零点，则一定有；以上结论中，所有正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共3小题，共35分16. （12分）设集合，，. （I ）求；（II ）求；（III ）若，求实数k 的取值范围.17. （11分）某学校课外活动小组根据预报的当地某天（0 ~ 24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如下图所示）：（I ）求的值；（II ）当空气质量指数大于150时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止特殊行业施工.请结合上面选择的函数模型，回答以下问题，并说明理由：()f x ()g x ()f x R ()g x R ()f x ()g x ()f x ()g x {21,3,5}x x ∈-210ax bx +-≥1(,1][,)4-∞-+∞U a =b =()f x R 0x >2()3f x x x =-((1))f f =231, 02()2, 20x x f x x x x +≤≤⎧=⎨+-≤<⎩()f x ()f x 2()(,4)2R x a f x a a x +=∈≠--1a =()f x 4a <-(3)(4)(1)f f f <<k ()y f x x k =-+4a <-k 2()1y f x kx =-+4a >-{||1|2}A x x =->4{|0}23x B x x +=≤-{|2121}C x k x k =-<<+()U A B ðA B C A B ⊆ 2118,08264,824at t y t t b t +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩y t ,a b①某同学该天7:00出发上学，是否应戴防雾霾口罩？②当天特殊行业可以连续施工的最长时间为多少小时？18. （12分）已知函数.（I ）判断在上的单调性，并用定义证明；（II ）若是偶函数，求的值.卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1. 已知集合，，，则A ．B ．C ．D ．2. 当时，恒成立，则的最大值为 A ．6 B ．10C ．12D ．133. 设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为A ．14 B ．15 C ．16 D ．18二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4. ________.5. 若二次函数的图像关于对称，且，则实数的取值范围是 .6. 设函数. 当时，的最小值是________；若是的最小值，则a 的取值范围是________.三、解答题：本大题共2小题，共20分7. （10分）已知函数.（I ）求方程组的解集；（II ）在答题纸的坐标系中，画出函数的图像；（III ）若在上具有单调性，求实数a 的取值范围.1()(2)f x x x =-)(x f (1,2)()()g x f x a =+a {1,1}A =-{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈{|,,}C z z x y x A y A ==-∈∈B C =B CÞB C =∅I B C A =U 2x >142x a x +≥-a A M m A A X M m =-01A 2A 3A n A *N 123120nA A A A X X X X ++++= n 13213410.125()25627--+---=()f x 2x =()()()01f a f f <<a 2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩12a =()f x (0)f ()f x ()(2)1f x x x =-+()20y f x x y =⎧⎨-=⎩()f x ()f x (,1)a a +8. （10分）如果正整数集的子集满足：①；②，，使得，则称为集.（I ）分别判断与是否为集（直接写出结论）；（II ）当时，对于集，设，求证：；（III ）当时，若，求集中所有元素的和的最小值.{}*12,,,(,2)N n A a a a n n =∈≥ 121n a a a =<<< ()2k a A k n ∀∈≤≤(),1i j a a A i j n ∃∈≤≤≤k i j a a a =+A ψ{}1,3,5A ={}1,2,3,6B =ψ5n =ψ{}12345,,,,A a a a a a =15S a a =++ 521a S +≤7n ≥36n a =ψA参考答案I 卷一、单项选择题（每题4分，共40分）题号12345678910答案C B B D C A A B DB 二、填空题（每题5分，共25分）11. 1或5 12. 4，3 13. 214. ， 15. ②③注：12、14题第一空3分，第二空2分；15题少选3分，错选漏选0分.三、解答题（共35分）16. 由题意，，，(I) ；(II) ；(III) 显然，，解得，因此的取值范围是.17. (I) ，解得(II) ①是. .②时，，解得；时，，解得；,所以可以连续施工的最长时间为12小时.18. (I)在上单调递减.124⎛⎫-- ⎪⎝⎭，178⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()13A =-∞-+∞ ，，A R ð[]1,3=34,2B ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭31,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭R ð()3,3,2A B ⎛⎫=-∞+∞ ⎪⎝⎭ 2121,k k C -<+≠∅3212132k k +≤-≥或124k k ≤≥或k [)124⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，，8118206264648206a b +=⎧⎨⨯-⨯+=⎩11590a b =⎧⎨=⎩711118195150⨯+=>08t ≤≤11118150t +≤32011t ≤≤824t ≤≤2264590150t t -+≤1022t ≤≤3222101211-=>)(x f ()1,2定义域为，任取且，所以在上单调递减.(II)，是偶函数，则定义域关于原点对称，，则，此时，定义域，，符合题意，所以.II 卷一、单项选择题（每题5分，共15分）1. A2. C3. C二、填空题（每题5分，共15分）4. 5. 6. ，注：6题第一空3分，第二空2分.三、解答题（共20分）7. ，(I) ，()()()00,22-∞+∞ ，，()12,1,2x x ∈12x x <()()()()1211221122f x f x x x x x -=---()()()22221112122222x x x x x x x x ---=--()()()()211212122220x x x x x x x x -+-=-->)(x f ()1,2()()1(2)g x x a x a =++-()g x ()(2)0a a -+-=1a =()()11(1)g x x x =+-()()()11,11-∞--+∞ ，，()()()()111(1)1(1)g x g x x x x x -===-+--+-1a =15-()(),04,-∞+∞ 14⎡⎣()()()()()21,121,1x x x f x x x x -+≥-⎧⎪=⎨---<-⎪⎩()2()0202y f x x f x x y y x =-=⎧⎧⇔⎨⎨-==⎩⎩当，，，解得或当， ，即，解得或（舍）；综上，方程组的解集是.(II)（作图过程略）(III) 在递增，在递减，所以或或，因此实数a 的取值范围是.8. (I) 注意到：，因此数集不是集.注意到：，因此数集是集.(II) 由于集合是集，即对任意的，存在，使得成立。

2024届北京市西城区北京四中高一物理第一学期期中联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

1、一个小球从距地面5m处落下，被地面弹回，在距地面0.5 m处被接住．取坐标原点在抛出点下方2m处，向下的方向为坐标轴的正方向．则小球的抛出点、落地点、接住点的位置坐标分别是( )A．-2m, 3m, 2.5mB．0m, 5m, 4.5mC．5m, 0m, 0.5mD．2m, -3m,-2.5m.2、如图示为一质点做直线运动的v﹣t图象．下列说法正确的是（）A．3s末，质点的速度方向和加速度方向都发生变化B．3s末，质点的速度和加速度均为零C．在3s～9s内，质点的位移大小为12mD．质点在4s时的加速度大于在8s时的加速度3、2015年10月连淮扬镇高速铁路正式全线开工，标志着该铁路进入全面建设实施阶段，预计2019年9月建成通车．连淮扬镇铁路是江苏中部贯通南北的重要通道，该线北起连云港，经淮安市、扬州市至镇江市，全长305km，采用双线进行建设，设计时速250km/h．材料中的“全长305km”、“时速250km/h”指的是A．路程和平均速度B．位移和平均速度C．路程和瞬时速度D．位移和瞬时速度4、关于时刻和时间，下列说法正确的是（ ）A ．作息时间表上的数字均表示时间B ．1 min 只能分成60个时刻C ．手表上指针指示的是时间D ．“宁停三分，不抢一秒”指的是时间5、汽车刹车作匀减速直线运动，初速度为10m/s ，加速度大小为4m/s 2，则物体在停止运动前1s 内的平均速度为 A ．8m/sB ．5m/sC ．2m/sD ．1m/s6、物体以初速度0v 竖直上抛，经3s 到达最高点，空气阻力不计，g 取210m s ，则下列说法正确的是( ) A ．物体速度改变量的大小为30/m s ，方向竖直向上B ．物体上升的最大高度为45mC ．物体在第1s 内、第2s 内、第3s 内的平均速度之比为5:3:1D ．物体在1s 内、2s 内、3s 内的平均速度之比为9:4:17、在某一高度以v 0=20m/s 的初速度竖直上抛一个小球（不计空气阻力），当小球速度大小为10m/s 时，经历的时间可能为（g 取10m/s 2）（ ）A ．1sB ．2sC ．3sD ．4s8、物体由静止做匀加速直线运动，第3s 内通过的位移是6m ，则A ．第3 s 内平均速度是6m/sB ．物体的加速度是1.2 m/s 2C ．前3 s 内的位移是6 mD ．3 s 末的速度是7.2m/s9、一遥控玩具汽车在平直路上运动的位移一时间图象如图所示，则下列正确的是A ．25s 内汽车的路程为40mB．前10s内汽车的加速度为3m／s2C．20s末汽车的速度大小为1m／sD．前25s内汽车做单方向直线运动10、如图所示，用两根细绳悬挂一个重物，并处于静止状态，细绳与竖直方向的夹角均为α。

北京市北京四中2024届高一物理第一学期期中检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

1、力F作用在A物体上产生1m/s1的加速度，力F作用在B物体上产生3m/s1的加速度，则力F作用在A．B组成的系统上产生的加速度为( )A．1．5m/s1B．3.1m/s1C．3.5m/s1D．1.1m/s12、一物体从空中某一点自由下落，关于下落过程，下列说法错误的是（）A．第1秒、第2秒、第3秒末的速度之比为1：2：3B．.第1秒、第2秒、第3秒内的位移之比为1：3：5C．第1秒、第2秒、第3秒内的路程之比为1：4：9D．第1秒、第2秒、第3秒的时间之比为1：1：13、A、B、C三点在同一直线上，一个物体自A点从静止开始作匀加速直线运动，经过B点时的速度为2v，到C点时的速度为6v，则AB与BC两段距离大小之比是A．1:3 B．1:8 C．1:9 D．3:324、一辆汽车正在平直公路上以72 km/h的速度行驶，司机看到红色信号灯便立即踩下制动器，此后汽车开始做匀减速直线运动，设汽车减速过程的加速度大小为5m/s2，则开始制动后前5s汽车行驶的距离为：A．37.5m B．40mC．162.5m D．297.5m5、关于重力，下列说法中正确的是（）A．物体对支持面的压力一定等于物体的重力 B．重力就是物体受到的地球引力；C．形状规则的物体的重心就在物体的几何中心D．重心是物体所受重力的等效作用点。

2023-2024学年度第一学期初一年级期中测验语文试卷班级________姓名________学号________成绩________考生须知1.本试卷共9页，共26道小题，满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。

3.答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

一、基础·运用（共14分）北京四中初一年级同学开展了以“文人与印章”为主题的综合实践学习，你所在的小组撰写了报告。

请你阅读以下报告，调整、补充、完善相关内容。

一、引言印章体现着我国悠久深厚的传统文化，文人与印章之间的故事让人津津乐道。

二、闻一多与印章抗战时期，闻一多先生在昆明，以刻印章为副业。

当时过境的外国人不少，有些外国人很羡慕中国人有私人印章。

他们觉得在小小的一块石头刻上自己的姓名，或阴或阳，或篆或隶，或粗犷．．或细腻，非常有趣。

他们常登门造访．．，请求闻一多先生为他们刻印章。

闻一多先生知识渊搏．．，会给对方起一个吉祥高雅的中国名字，对方喜出望外，自然不会吝啬微薄．．的钱财。

刻印章_____技术含量不高，_____也不轻松，视印石的大小软硬而用指力、腕力或臂力，小心翼．．．翼．地捏着一把小刀，伏在书桌上的不毛之地．．．．长久工作，势必两眼昏花，肩耸背驼，手指磨损，疲倦不．．．堪．。

对于精益求精．．．．的闻一多先生来说，刻印章已____文人雅事，____谋生苦事了。

1.对上面文段中加点词语的字形、字音判断说法正确的一项是（）（2分）A.“粗犷”的意思是“粗率豪放”，读作cūkuàng。

B.因为表达的是“到某个地方拜访”的意思，所以“造访”一词中有错字。

C.因为表达的是“深而且广”的意思，所以“渊搏”一词中有错字。

D.“微薄”的意思是“数量少”，读作wēi báo。

2.填入上面文段画线处的关联词语，最恰当的一组是（）（2分）A.因为所以不是就是B.虽然但是不是而是C.因为所以不是而是D.虽然但是不是就是3.上面文段中加点的词语使用不恰当的一项是（）（2分）A.小心翼翼B.不毛之地C.疲倦不堪D.精益求精三、印章与题刻某名家收藏有一块长方形寿山石印章，刻诗一联“鹭拳沙岸雪，□□□□□”，对仗工，意境雅。

2022北京四中初一（上）期中语文2022.11注意事项1.本卷共6页，共五道大题，10道小题，满分100分，时间120分钟。

2.在答题纸上准确填写姓名、学校名称和准考证号，并将条形码贴在指定区域。

3.答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。

4.在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题目用黑色字迹的签字笔作答。

5.调研结束，请将答题纸交回。

一、基础•运用（共14分）初一年级同学开展了以“自然•生命”为主题的学习活动，观察自然界中的花木，进行观察日记写作。

请你协助完成以下任务。

1．（6分）学写观察日记。

九月，由夏入秋，天气转凉，万千生命正悄然发生着变化。

此时，正是撰写观察日记的好时节！那么，？首先，当然要选择好观察对象，有目的、有针对性地去观察和记录。

观察时，不只是简单地看，还要调动听觉、嗅觉、味觉、触觉等感官。

比如，观察植物的生长环境、外观色彩、枝叶形状时，用手摸一摸它的质地触感，轻轻闻一下它的气味……其次，可以阅读相关文学作品，学习写作技巧。

例如，在①的《春》、②的《济南的冬天》、刘湛秋的《雨的四季》这些课文中，比喻、拟人、通感等多种修辞方法颇值得我们学习和借鉴。

它们能化抽象为具体，让文章更富有感染力。

最后，我们才开始动笔写作。

写作时要注意条理性，分清主次与详略。

需要特别说明的是，语文观察日记与生物观察记录不同，它不是纯理性、纯客观的描述，需要使用联想、修辞等艺术手法，提升文字的表现力。

（1）依次在横线①②处填入恰当的作家姓名。

①②（2）有的同学想把学写观察日记的方法表格化，以方便记笔记，请依据上文内容补全表格。

学写观察日记选择观察对象观察和记录有目的、有针对性①②撰写观察日记有条理分清主次、详略③（3）根据语境，在文段中的画线处补写一句话，使语意完整通顺。

2．（8分）观察日记展读。

下面语段是梁同学观察日记的一部分，请阅读并完成小题。

①你看那殷红的橡树、干红的山楂、血红的龙柏，还有那些红枣、红辣椒、红金瓜、红柿子等【甲】都像黄金玛瑙似的闪着红光。

北京四中2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验语文试卷一、基础·运用（共13分）秋意正浓，老师让同学们以“秋”为主题进行跨学科学习。

你所在的小组积累了以下三则材料，现请你一起修改文字稿。

材料一“金气秋分，风清露冷秋期半。

凉蟾光满，桂子飘香远。

”秋分时节，蝉鸣渐止，银杏新黄，光阴对折，天地平分一场秋色。

何为秋“分”？一曰：昼夜平分。

太阳在这一天到达黄经180度，直射地球赤道，昼夜各12小时。

二曰：秋季平分【甲】按农历来讲，立秋为秋季开始，霜降为秋季结束，秋分在中间。

我国古人将秋分分为三候．：一候雷始收声，二候蛰虫坯户，三候水始涸。

古人认为雷是因为阳气盛而发声，秋分后阴气开始旺盛，所以不再打雷，这标志着暑气的终结，也是秋寒的开始。

由于天气变冷，蛰居的小虫开始藏入洞中，并用细土将洞口封起来以fáng()寒气侵入。

由于天气干zào( ),水汽蒸发快，所以湖泊与河流中的水量变少，一些沼泽和水洼便处于干涸．之中。

秋分时节还是收获稻谷、玉米、大豆等农作物的重要时期。

自2018年起，我国将每年农历秋分设立为“中国农民丰收节【乙】秋分时很多传统民俗，也都饱含期盼风调雨顺、庄稼丰收的意思，如祭月、竖蛋、送《秋牛图》等。

注：①凉蟾(chán)：指秋月。

1.小组成员请你根据拼音写汉字，确定加点字的注音，你认为以下全都正确的一项是（）（2分）A.hóu妨躁héB.hòu妨躁kūC.hóu防燥kūD.hòu防燥hé2.在【甲】【乙】两处补上标点，最恰当的一项是（2分）A.【甲】。

【乙】。

”B.【甲】。

【乙】”。

C.【甲】，【乙】。

”D.【甲】，【乙】”。

材料二我国古代有“立秋贴秋膘”的习俗。

古人认为立秋后天气逐渐转凉，通过增加食物（特别是肉类食物）的摄入，增加身体脂肪储备，可以弥补夏季的消耗和抵御即将到来的寒冷冬天。

2023北京四中高三（上）期中数 学（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 已知集合{|51}A x x =-<≤<，2{|9}B x x =≤，则A B = （A ）[3,1)-（B ）[3,1]-（C ）(5,3]-（D ）[3,3]-2. 若复数()()3i 1i z =-+，则z = （A）（B）（C（D）3. 化简5sin(π)2cos(π)αα+=- （A ）tan α（B ）tan α-（C ）1（D ）1-4. 下列函数中，值域为(1)+∞，的是 （A ）1sin y x=（B）1y =+（C ）lg(||1)y x =+（D ）21x y =+5. 函数sin 2y x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位后经过点(3π，则ϕ的最小值为（A ）12π（B ）6π（C ）3π（D ）65π6. 若1a >，则141a a +-的最小值为 （A ）4 （B ）6（C ）8（D ）无最小值7. 已知函数35()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）(2,3)（B ）(3,4)（C ）(4,5) （D ）(5,6)8．已知函数()sin()f x x ϕ=+．则“(0)1f =”是“()f x 为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 已知a ，0b >，且1≠a ，1≠b ，若log 1a b >，则 （A ）(1)(1)0a b -->（B ）(1)()0a a b -->（C ）(1)()0b a b -->（D ）(1)()0b b a -->10. 已知()f x =21|1|,02,0x x x x x -+<⎧⎨-≥⎩，若实数[]2,0m ∈-，则1|()(|2f x f --在区间[,1]m m +上的最大值的取值范围是（A ）15[,]44（B ）13[,]42（C ）13[,22（D ）1[,2]2二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知α为第二象限角，且sin α=πtan()4α+=_______．12. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1316,2a S a ==，则公差d =_______，n S 的最大值为_________． 13．设(),()f x g x 分别是定义域为R的奇函数和偶函数，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-->，且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x >的解集为 .14. 如图，为了测量湖两侧的A ，B 两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在B 点，距离A 点30km 处的C 点，以及距离C 点10km 处的D 点进行观测. 甲同学在B 点测得30DBC ∠= ，乙同学在C 点测得45ACB ∠= ，丙同学在D 点测得45BDC ∠= ，则A ，B 两点间的距离为_______km.15. 设函数()f x 定义域为D ，对于区间I D ⊆，若存在1212,,x x I x x ∈≠，使得12()()f x f x k +=，则称区间I 为函数()f x 的k T 区间. 给出下列四个结论：①当2a <时，(,)-∞+∞是3x y a =+的4T 区间；②若[,]m n 是2y x x =-的4T 区间，则n m -的最小值为3；③当3ω≥时，[π,2π]是cos y x ω=的2T 区间；④当5π10πA ≤≤时，[π,+)∞不是2sin +1A xy x =的2T 区间； 其中所有正确结论的序号为 . 三、解答题：（本大题共6小题，共85分）16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足234a b ==，6516a b ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：135b b b +++…21n b -+．17.（本小题满分13分）已知函数2π()cos 22sin (6f x x x =--．（Ⅰ）求π()2f 的值；（Ⅱ）求()f x 的对称轴；（Ⅲ）若方程()1f x =-在区间[0,]m 上恰有一个解，求m 的取值范围．18.（本小题满分14分）在△ABC 中，sin cos 02B b A a -=.（Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）若b =ABC 存在且唯一确定，并求a 及△ABC 的面积.条件①：c =条件②：sin sin 2sin A C B +=；条件③：21ac =.19．（本小题满分15分）已知函数()2e [(21)1]xf x x a x =-++.（Ⅰ）若12a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）当0a >时，若对任意实数x ，2()(23)e a f x a >-恒成立，求a 的取值范围.20.（本小题满分15分）已知函数22ln ()(1)xf x a x x=+-.（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的极值；（Ⅱ）当1a =时，求()f x 在[1,)+∞上的最小值；（Ⅲ）若()f x 在(1,e)上存在零点，求a 的取值范围.21.（本小题满分15分）已知集合12{,,,}(3)n S a a a n =≥ ，集合{(,)|,,}T x y x S y S x y ⊆∈∈≠，且满足,(,1,2,,,)i j a a S i j n i j ∀∈=≠ ，(,)i j a a T ∈与(,)j i a a T ∈恰有一个成立. 对于T 定义1,(,)(,)0,(,)T a b Td a b b a T ∈⎧=⎨∈⎩，以及1,()(,)nT i T i j j j i l a d a a =≠=∑，其中1,2,,i n = .例如22123242()(,)(,)(,)(,)T T T T T n l a d a a d a a d a a d a a =++++ .（Ⅰ）若1232244,(,),(,),(,)n a a a a a a T =∈，求2()T l a 的值及4()T l a 的最大值；（Ⅱ）从1(),,()T T n l a l a 中任意删去两个数，记剩下的数的和为M ，求M 的最小值（用n 表示）；（Ⅲ）对于满足()1(1,2,,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中是否都存在三个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立？请说明理由.改：（Ⅱ）若6n =，从1(),,()T T n l a l a 中删去一个最大值和一个最小值，记剩下的数的和为M ，求M 的最小值；16,()()15T T n n l a l a =++= ，最大值5A ≤，最小值2B ≤，否则3615⨯>于是15528M ≥--=，构造16(),,()T T l a l a 为5，2，2，2，2，2构造121314151624253234434654566263{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}T a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =，即\,1,1,1,1,10,\,0,1,1,00,1,\,0,1,00,0,1,\,0,10,0,0,1,\,10,1,1,0,0,\⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，恰好取得等号.参考答案一、选择题CBDDB CBADC 二、填空题11. 1212. 2,12- 13. (3,0)(3,+)-∞14. 15. ①③④12题：前3分后2分15题：2分，3分，5分三、解答题16．（共13分）解：（Ⅰ）因为 21614,516,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩ ……2分所以 11,3.a d =⎧⎨=⎩ ……4分从而 32n a n =-. ……6分（Ⅱ）因为2314514,16,b b q b b q ⎧==⎨==⎩ ……8分所以 121,4.b q =⎧⎨=⎩ ……10分所以22211211()4n n n n b b q q ----=⋅== ， ……11分所以135211441143n n n b b b b ---+++==- . ……13分17. 解：（1）5()22f π=- ……3分（2）()13f x x π=+- ……8分1()212x k k Z ππ=+∈ ……10分（3）5[,)36m ππ∈ ……13分18. 解：（Ⅰ）由正弦定理得，由题设得，，因为，所以所以.,. ……4分（Ⅱ）选条件①：c =由正弦定理sin sin b c B C =得sin C =，sin sin b A a B =sin cos02Ba B a -=2sincos cos 0222B B Ba a -=022B π<<cos 0.2B a ≠1sin22B =26B π=3B π=因为，所以cos C =sin sin()A B C =+=，进而a =1sin 2S bc A ==+……14分选条件②：由正弦定理得2a c b +==由余弦定理得2222cos ,18b a c ac B ac =+-=，所以1sin 2S ac B ==由18a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得a c ==……14分19. 解：（1）1y x =-+ ……4分（2）2()[(12)2](2)(1)x x f x e x a x a e x a x '=+--=-+ ……6分①12a >-，(,1),(2,)a -∞-+∞增，(1,2)a -减 ……8分②12a <-，(,2),(1,)a -∞-+∞增，(2,1)a -减 ……10分③12a =-，(,)-∞+∞增 ……11分（3）首先(2)f a 为()f x 在(1,)-+∞上的极小值，也是最小值。