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《弹性力学》复习学习材料试题与参考答案一、单选题1.利用有限单元法求解弹性力学问题时，不包括哪个步骤（D）A.结构离散化B.单元分析C.整体分析D.应力分析2.如果必须在弹性体上挖空，那么孔的形状应尽可能采用（C）A.正方形B.菱形C.圆形D.椭圆形3.每个单元的位移一般总是包含着（B）部分A.一B.二C.三D.四4.在弹性力学中规定，线应变（C），与正应力的正负号规定相适应。
A.伸长时为负，缩短时为负B.伸长时为正，缩短时为正C.伸长时为正，缩短时为负D.伸长时为负，缩短时为正5.在弹性力学中规定，切应变以直角( C )，与切应力的正负号规定相适应。
A.变小时为正，变大时为正B.变小时为负，变大时为负C.变小时为负，变大时为正D.变小时为正，变大时为负6.物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为(C )A应变B应力C变形D切变力7.平面问题分为平面（A）问题和平面( )问题。
A应力，应变B切变、应力C内力、应变D外力，内力8.在弹性力学里分析问题，要建立( C )套方程。
A一B二C三D四9.下列关于几何方程的叙述，没有错误的是（C）A.由于几何方程是由位移导数组成的，因此，位移的导数描述了物体的变形位移B.几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的位移C.几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的应变分量D.几何方程是一点位移与应变分量之间的唯一关系10.用应力分量表示的相容方程等价于（B）A.平衡微分方程B.几何方程和物理方程C.用应变分量表示的相容方程D.平衡微分方程.几何方程和物理方程11.平面应变问题的应力、应变和位移与那个（些）坐标无关（纵向为z轴方向）（C）A.xB.yC.zD.x,y,z12.在平面应力问题中（取中面作xy平面）则（C）A.σz=0，w=0B.σz≠0，w≠0C.σz=0，w≠0D.σz≠0，w=013.下面不属于边界条件的是（B）。
弹性力学考试和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 弹性力学中，应力状态的基本方程是（）。
A. 平衡方程B. 几何方程C. 物理方程D. 边界条件答案：A2. 弹性力学中，位移场的三个基本方程是（）。
A. 平衡方程B. 几何方程C. 物理方程D. 边界条件答案：B3. 弹性力学中，平面应力问题与平面应变问题的主要区别是（）。
A. 应力分量不同B. 位移分量不同C. 应变分量不同D. 边界条件不同答案：C4. 弹性力学中，圣维南原理是指（）。
A. 应力集中现象B. 应力释放现象C. 应力平衡现象D. 应力松弛现象答案：B5. 弹性力学中，莫尔圆表示的是（）。
A. 应力状态B. 应变状态C. 位移状态D. 应力-应变关系答案：A6. 弹性力学中，平面问题的基本解法有（）。
A. 直接积分法B. 叠加原理C. 变分法D. 能量法答案：A7. 弹性力学中，轴对称问题的基本解法是（）。
A. 直接积分法B. 叠加原理C. 变分法D. 能量法答案：A8. 弹性力学中，扭转问题的解法是（）。
A. 直接积分法B. 叠加原理C. 变分法D. 能量法答案：A9. 弹性力学中，平面应力问题的应力函数是（）。
A. 单一函数B. 两个函数C. 三个函数D. 四个函数答案：A10. 弹性力学中，平面应变问题的应力函数是（）。
A. 单一函数B. 两个函数C. 三个函数D. 四个函数答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 弹性力学中，应力状态的基本方程包括（）。
A. 平衡方程B. 几何方程C. 物理方程D. 边界条件答案：AC12. 弹性力学中，位移场的三个基本方程包括（）。
A. 平衡方程B. 几何方程C. 物理方程D. 边界条件答案：BC13. 弹性力学中，平面应力问题与平面应变问题的主要区别包括（）。
A. 应力分量不同B. 位移分量不同C. 应变分量不同D. 边界条件不同答案：AC14. 弹性力学中，圣维南原理包括（）。
弹性力学复习题答案弹性力学是固体力学的一个重要分支，主要研究在外力作用下固体材料的变形和应力分布。
以下是一些弹性力学的复习题及其答案，供学习者参考。
问题一：什么是弹性力学？答案：弹性力学是固体力学的一个分支，它研究在外部作用下，材料在弹性范围内的变形和内力的分布规律。
材料在弹性范围内，当外力去除后，能恢复到原始形状和状态。
问题二：简述胡克定律的内容。
答案：胡克定律是描述材料在弹性范围内应力与应变关系的定律。
它指出，在弹性范围内，材料的应力与应变成正比，比例常数称为杨氏模量（E）。
数学表达式为：σ = Eε，其中σ是应力，ε是应变。
问题三：什么是平面应力和平面应变问题？答案：平面应力问题指的是物体的应力只在一个平面内分布，而平面应变问题指的是物体的应变只在一个平面内分布。
在实际工程问题中，薄板和薄膜等结构常常可以简化为平面应力问题。
问题四：什么是圣维南原理？答案：圣维南原理是弹性力学中的一个基本原理，它指出在远离力作用区域的地方，物体的应力分布只与力的性质有关，而与物体的形状无关。
这意味着在远离力作用区域，应力分布是均匀的。
问题五：什么是弹性模量和剪切模量？答案：弹性模量，也称为杨氏模量，是描述材料抵抗拉伸或压缩的物理量，其数值等于应力与应变的比值。
剪切模量，也称为刚度模量，是描述材料抵抗剪切变形的物理量，其数值等于剪切应力与剪切应变的比值。
问题六：简述泊松比的概念。
答案：泊松比是材料在单轴拉伸或压缩时，横向应变与纵向应变的比值。
它是材料的一个固有属性，反映了材料在受力时的体积变化特性。
问题七：什么是主应力和主应变？答案：主应力是物体上某一点应力状态中最大的三个正应力，它们作用在相互垂直的平面上。
主应变是物体上某一点应变状态中最大的三个应变，它们也作用在相互垂直的平面上。
问题八：什么是应力集中？答案：应力集中是指在物体的某些局部区域，由于几何形状、材料不连续性或其他因素，应力值远大于周围区域的应力平均值的现象。
一、选择题1. 下列材料中，（ D ）属于各向同性材料。
A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。
2 关于弹性力学的正确认识是（A ）。
A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。
3. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（ B ）。
A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。
4. 所谓“完全弹性体”是指（ A ）。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。
5. 所谓“应力状态”是指（ B ）。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。
6. 变形协调方程说明（ B ）。
A. 几何方程是根据运动学关系确定的，因此对于弹性体的变形描述是不正确的；B. 微分单元体的变形必须受到变形协调条件的约束；C. 变形协调方程是保证所有弹性体变形协调条件的必要和充分条件；D. 变形是由应变分量和转动分量共同组成的。
7. 下列关于弹性力学基本方程描述正确的是（ A ）。
A. 几何方程适用小变形条件；B. 物理方程与材料性质无关；C. 平衡微分方程是确定弹性体平衡的唯一条件；D. 变形协调方程是确定弹性体位移单值连续的唯一条件；8、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（ B ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A ．几何方程B ．边界条件C ．数值方法D ．附加假定9、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系 （ B ）。
2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案(绝密试题)一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
弹性力学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 弹性力学中，描述材料弹性特性的基本物理量是（）。
A. 应力B. 应变C. 弹性模量D. 泊松比答案：C2. 在弹性力学中，下列哪项不是胡克定律的内容？（）A. 应力与应变成正比B. 材料是均匀的C. 材料是各向同性的D. 材料是线性的答案：B3. 弹性模量E和泊松比ν之间的关系是（）。
A. E = 2(1 + ν)B. E = 3(1 - 2ν)C. E = 3(1 + ν)D. E = 2(1 - ν)答案：D4. 根据弹性力学理论，下列哪种情况下材料会发生塑性变形？（）A. 应力小于材料的弹性极限B. 应力达到材料的弹性极限C. 应力超过材料的屈服强度D. 应力小于材料的屈服强度答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 弹性力学中，应力的定义是单位面积上的______力。
答案：内2. 弹性力学的基本假设之一是______连续性假设。
答案：材料3. 弹性力学中，应变的量纲是______。
答案：无4. 弹性力学中，当外力撤去后，材料能恢复原状的性质称为______。
答案：弹性三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述弹性力学中应力和应变的区别。
答案：应力是描述材料内部单位面积上受到的内力，而应变是描述材料在受力后形状和尺寸的变化程度。
2. 解释弹性力学中的杨氏模量和剪切模量。
答案：杨氏模量（E）是描述材料在拉伸或压缩过程中应力与应变比值的物理量，反映了材料的刚度；剪切模量（G）是描述材料在剪切应力作用下剪切应变与剪切应力比值的物理量，反映了材料抵抗剪切变形的能力。
3. 弹性力学中，如何理解材料的各向异性和各向同性？答案：各向异性是指材料的物理性质（如弹性模量、热膨胀系数等）在不同方向上具有不同的值；而各向同性则是指材料的物理性质在各个方向上都是相同的。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 已知一圆柱形试件，其直径为50mm，长度为100mm，材料的弹性模量E=210GPa，泊松比ν=0.3。
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， 的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于M dxdy D=⎰⎰2ϕ杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准ϕ点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： ，。
0,=+i j ij X σ)(21,,i j j i ij u u +=ε二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。
ϕ题二（2）图（a ） （b ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x ⎩⎨⎧=+++= )(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量。
S∆题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为。
由得，l ∆q E)1(1με-=)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l 设板在力P 作用下的面积改变为，由功的互等定理有：S ∆lP S q ∆⋅=∆⋅将代入得：l ∆221b a P ES +-=∆μ显然，与板的形状无关，仅与E 、、l 有关。
弹性力学网考考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 弹性力学中，应力状态的基本方程是（）。
A. 平衡方程B. 几何方程C. 物理方程D. 相容方程答案：A2. 弹性力学中，平面应力问题是指（）。
A. 应力分量σx、σy、τxy均不为零B. 应力分量σx、σy、τxy中有一个为零C. 应力分量σx、σy、τxy中有两个为零D. 应力分量σx、σy、τxy中有三个为零答案：C3. 在弹性力学中，圣维南原理适用于（）。
A. 静力平衡问题B. 热弹性问题C. 动力学问题D. 流体力学问题答案：A4. 弹性力学中，平面应变问题是指（）。
A. 应变分量εx、εy、γxy均不为零B. 应变分量εx、εy、γxy中有一个为零C. 应变分量εx、εy、γxy中有两个为零D. 应变分量εx、εy、γxy中有三个为零答案：B5. 弹性力学中，主应力和主应变之间的关系是（）。
A. 线性关系B. 非线性关系C. 没有关系D. 取决于材料的性质答案：A6. 弹性力学中，莫尔圆在σ-τ平面上表示的是（）。
A. 应力状态B. 应变状态C. 位移场D. 速度场答案：A7. 弹性力学中，平面应力问题和平面应变问题的区别在于（）。
A. 应力分量的数量B. 应变分量的数量C. 位移分量的数量D. 材料的性质答案：B8. 弹性力学中，三向应力状态下的应力分量不包括（）。
A. σxB. σyC. σzD. τxy答案：D9. 弹性力学中，应力集中现象通常发生在（）。
A. 光滑表面B. 尖锐转角C. 平坦区域D. 均匀区域答案：B10. 弹性力学中，弹性模量E和泊松比μ之间的关系是（）。
A. E = 2G(1+μ)B. E = 3G(1-2μ)C. E = 3G(1+2μ)D. E = 2G(1-μ)答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 弹性力学中，下列哪些方程是基本方程？（）A. 平衡方程B. 几何方程C. 物理方程D. 相容方程答案：ABCD12. 弹性力学中，下列哪些因素会影响材料的弹性模量E？（）A. 材料种类B. 温度C. 应力状态D. 应变状态答案：AB13. 弹性力学中，下列哪些是平面应力问题的特点？（）A. 应力分量σz为零B. 应变分量εz不为零C. 位移分量w为零D. 位移分量u和v不为零答案：AC14. 弹性力学中，下列哪些是平面应变问题的特点？（）A. 应变分量εz为零B. 应力分量σz不为零C. 位移分量w不为零D. 位移分量u和v不为零答案：AD15. 弹性力学中，下列哪些是应力集中现象的影响因素？（）A. 材料性质B. 几何形状C. 载荷类型D. 边界条件答案：BCD三、判断题（每题2分，共20分）16. 弹性力学中，平衡方程是描述物体内部力的平衡状态的方程。
弹性力学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 弹性力学中，下列哪一项不是应力状态的描述？A. 正应力B. 剪应力C. 拉应力D. 弯矩答案：D2. 弹性体在外力作用下产生变形，当外力移除后，若能恢复到原始形状，则称为：A. 塑性变形B. 弹性变形C. 永久变形D. 非弹性变形答案：B3. 弹性模量是描述材料弹性特性的物理量，它与下列哪一项无关？A. 杨氏模量B. 泊松比C. 剪切模量D. 热膨胀系数答案：D4. 在弹性力学中，下列哪一项不是材料的本构关系？A. 胡克定律B. 牛顿流体定律C. 圣维南原理D. 弹性模量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 弹性力学中，______是指材料在外力作用下发生形变，当外力移除后，材料能够恢复到原始形状的能力。
答案：弹性2. 弹性力学中，______是指材料在外力作用下发生形变，当外力移除后，不能恢复到原始形状的能力。
答案：塑性3. 在弹性力学中，______是指材料在受到剪切力作用时，单位面积上的剪切力与剪切变形的比值。
答案：剪切模量4. 弹性力学中，______是指材料在受到拉伸或压缩时，单位面积上的正应力与正应变的比值。
答案：杨氏模量三、简答题（每题10分，共40分）1. 简述弹性力学中的应力和应变的概念。
答案：应力是指材料内部由于外力作用而产生的内部相互作用力，通常用单位面积上的力来表示。
应变则是指材料在受力后发生的形变程度，通常用形变与原始尺寸的比值来表示。
2. 描述弹性力学中的胡克定律，并说明其适用范围。
答案：胡克定律是描述线性弹性材料应力与应变之间关系的定律，它指出在弹性范围内，材料的应力与应变成正比。
胡克定律的适用范围是材料处于弹性阶段，即材料的应变在很小的范围内，且材料未发生永久变形。
3. 弹性力学中的泊松比有何意义？请举例说明。
答案：泊松比是描述材料在受到拉伸或压缩时，横向应变与纵向应变之比的物理量。
它反映了材料在受力时的侧向膨胀或收缩特性。
《弹性力学》试题参考答案与弹性力学复习题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：弹性力学复习资料一、简答题√1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。
应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。
√平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。
应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。
反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
√平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。
应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
√2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。
答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。
位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。
应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。
混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。
√3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。
如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：σx 、σy 、σz 、τxy 、τyz 、、τzx 。
正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
√4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。
2012年度《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
4．图示曲杆，在b r =边界上作用有均布拉应力q ，在自由端作用有水平集中力P 。
试写出其边界条件（除固定端外）。
题二（4）图（1）0 ,====br r br r q θτσ； （2）0 ,0====ar r a r r θτσ（3）sin cos θτθσθθP dr P dr b ar ba=-=⎰⎰2c o s b a P rd r ba+-=⎰θσθ5．试简述拉甫（Love ）位移函数法、伽辽金（Galerkin ）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性Love 、Galerkin 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数),(),,(),,(y x w y x v y x u 或),(),,(θθθr u r u r 为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。
（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。
适用性：Love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题； Galerkin 位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。
三、计算题1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P ，设间距d 很小。
试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。
（提示：取应力函数为 θθϕB A +=2sin ） （13分）题三（1）图解：d 很小，Pd M =∴，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M 的情形。
将应力函数),(θϕr 代入，可求得应力分量：θθϕϕσ2s i n 4112222A r r r r r -=∂∂+∂∂=； 022=∂∂=rϕσθ； )2c o s 2(112B A rr r r +=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=θθϕτθ 边界条件：（1）0 ,00==≠=≠=r r r θθθθτσ； 0 ,00==≠=≠=r r r πθθπθθτσ代入应力分量式，有0)2(12=+B A r 或 02=+B A （1） （2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：θτσr r ,，和M = Pd由该脱离体的平衡，得0222=+⎰-M d r r ππθθτ将θτr 代入并积分，有0)2cos 2(12222=++⎰-M d r B A r ππθθ 02sin 22=++-M BA ππθ 得 0=+MB π （2）联立式（1）、（2）求得：ππPd M B -=-=，π2Pd A =代入应力分量式，得22sin 2r Pd r θπσ-==； 0=θσ； 22sin 2r Pd r θπτθ-=。
结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。
2．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力x σ由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出y xy στ,，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。
（12分）题三（2）图解：（1）求横截面上正应力x σ任意截面的弯矩为306x l q M -=，截面惯性矩为123h I =，由材料力学计算公式有y x lhq I Myx 3302-==σ （1） （2）由平衡微分方程求xy τ、y σ平衡微分方程： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂(3) 0(2) 0Y y x X yx y yx xyx σττσ其中，0,0==Y X 。
将式（1）代入式（2），有y x lhq y xy 2306=∂∂τ 积分上式，得)(312230x f y x lhq xy +=τ 利用边界条件：02=±=hy xyτ，有0)(4312230=+x f h x lh q 即 2230143)(h x lhq x f -= )41(322230h y x lh q xy -=τ （4）将式（4）代入式（3），有0)41(62230=∂∂+-y h y x lh q y σ 或 )41(62230h y x lhq y y --=∂∂σ 积分得)()4133(62230x f y h y x lhq y +--=σ 利用边界条件：x lq hy y2-=-=σ，0=+=hy y σ得：⎪⎩⎪⎨⎧=+---=++-- 0)()8124(6)()8124(623330023330x f h h x lhq x l q x f h h x lh q由第二式，得x lq x f 2)(02-= 将其代入第一式，得x lqx l q x l q 00022-=--自然成立。
将)(2x f 代入y σ的表达式，有x l qy h y x lhq y 2)413(602330---=σ （5）所求应力分量的结果：y x lhq I Myx 3302-==)41(322230h y x lhq xy -=τ （6） x l qy h y x lhq y 2)413(602330---=σ校核梁端部的边界条件： （1）梁左端的边界（x = 0）：022=⎰-=h h x xdy σ，022=⎰-=h h x xydy τ 代入后可见：自然满足。
（2）梁右端的边界（x = l ）：0223302=-=⎰⎰-=-=hh lx hh lx xdy y lh x q dy σ 2)4(30222232022l q dy h y lh x q dy h h lx h h lx xy=-=⎰⎰-=-=τM l q y lh l q dy y lhx q ydy hh h h lx h h lx x=-=-=-=--=-=⎰⎰632220223330223302σ可见，所有边界条件均满足。
检验应力分量y xy x στσ,,是否满足应力相容方程： 常体力下的应力相容方程为0))(()(22222=+∂∂+∂∂=+∇y x y x y x σσσσ 将应力分量y xy x στσ,,式（6）代入应力相容方程，有xy lh q x y x 302212)(-=+∂∂σσ，xy lh q y yx 302212)(-=+∂∂σσ024))(()(3022222≠-=+∂∂+∂∂=+∇xy lh q y x y x y x σσσσ显然，应力分量y xy x στσ,,不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。
3．一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k 。
梁受有均匀分布载荷q 作用，如图所示。
试： （1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数)(x w ；（2）用最小势能原理或Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。
（13分）题二（3）图解：两种形式的梁挠度试函数可取为)()(23212 +++=x A x A A x x w —— 多项式函数形式 )2cos1()(1∑=-=nm m lxm A x w π —— 三角函数形式 此时有：0)()(023212=+++==x x A x A A x x w0)()(2)(03222321=++++++='=x x A A x x A x A A x x w0)2cos1()(01=-===∑x nm m l xm A x w π 02sin 2)(01=='==∑x nm mlx m m l A x w ππ即满足梁的端部边界条件。
梁的总势能为[]202022)(21)(21l w k dx x qw dx dx w d EI Πl l +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰ 取：21)(x A x w =，有1222A dxw d =，21)(l A l w = 代入总势能计算式，有221012021)(21)2(21l A k dx A qx dx A EI Πl l +-=⎰⎰42131212132l kA l qA EIlA +-= 由0=Πδ，有0343411=-+l q l kA EIlA )4(34301kl EIl l q A += 代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为2430)4(3)(x kl EIl l q x w += 4．已知受力物体内某一点的应力分量为：0=x σ，MPa 2=y σ，MPa 1=z σ，MPa 1=xy τ，0=yz τ，MPa 2=zx τ，试求经过该点的平面13=++z y x 上的正应力。
（12分）解：由平面方程13=++z y x ，得其法线方向单位矢量的方向余弦为1111311222=++=l ，1131313222=++=m ，1111311222=++=n⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=102021210ij σ， {}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=131111n m l L[][][][]111131102021210131111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==L L T Nσσ []MPa 64.21129111131375==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=。
