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<<简单的线性计划问题>>一般高中课程标准实验教科书数学5（必修·人民教育出版社A版）第三章3.3.2节一、教学目标分析依照新课程标准对二元线性计划问题的要求及教材内容地位分析，结合学生实际学习水平制定本节课教学目标如下：一、知识与技术目标：（1）使学生了解线性计划的意义,了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；（2）使学生把握线性计划问题的图解法，从实际情境中抽象出一些简单的二元线性计划问题并能加以解决二、进程与方式目标：通过应用线性计划的图解法解决一些简单的实际问题，以提高学生形象思维能力、画图能力、探讨能力、构建数学模型解决优化问题的能力。
培育学生数形结合、化归的数学思想；培育学生主动“应用数学”的意识及创新能力；3、情感态度与价值观目标：通过实例，让学生体验数学与日常生活的紧密联系，感受数学的有效价值，从而增强应用意识，提高解决实际问题的能力。
让学生体验应用数学的欢乐,感受动态几何的魅力,收成探讨活动的乐趣4、学情分析：（1）已经把握用平面区域表示二元一次不等式（组）（2）初步学会分析简单的实际应用问题（3）能依如实际数据假设变量，并从中抽象出不等的线性约束条件并用相应的平面区域进行表示二、教学重、难点重点：线性计划问题的图解法；寻求线性计划问题的最优解。
（为突出重点，本节教学应指导学生牢牢抓住化归、数形结合的思想方式将实际问题数学化，代数问题几何化。
）难点：利用图解法求最优解。
（解决难点的方式是精准作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化。
）三、教学方式与手腕由于本节知识的抽象性和作图的复杂性，依照学生的心理特点和试探规律，本节采纳讲练结合的方式，同时借助多媒体辅助教学，直观、生动地揭露二元一次不等式组所表示的平面区域和图形的转变情形，以引导试探为核心，展现课件，启发引导学生观看思考、分析，并沿着踊跃的思维方向，慢慢达到既定的教学目标。
7．4简单的线性规划（第一课时）二元一次不等式表示平面区域教学目的：1．理解二元一次不等式表示平面区域；2．掌握确定二元一次不等式表示的平面区域的方法；3．会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，并掌握步骤；教学重点：二元一次不等式表示平面区域.教学难点：如何确定二元一次不等式表示的平面区域。
教学过程：【创设问题情境】问题1：在平面直角坐标系中，二元一次方程x+y-1=0表示什么图形？请学生画出来.问题2：写出以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合(引出点集{(x,y) x+y-1=0})问题3:点集{(x,y) x+y-1≠0}在平面直角坐标系中表示什么图形？点集{(x,y) x+y-1>0}与点集{(x,y) x+y-1>0}又表示什么图形呢?【讲授新课】研究问题:在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1>0}是什么图形?一、归纳猜想我们可以看到：在平面直角坐标系中，所有的点被直线x+y-1=0分成三类：即在直线x+y-1=0在直线x+y-1=0的左下方的平面区域内；在直线x+y-1=0的右上方的平面区域内。
问题1:请同学们在平面直角坐标系中，作出A（2,0），B(0,2),C(1,1),D(2,2)四点，并说明它们分别在上面叙述的哪个区域内？问题2：请把A、B、C、D四点的坐标代入x+y-1中，发现所得的值的符号有什么规律？（看几何画板）由此引导学生归纳猜想：对直线l的右上方的点（x，y），x+y-1>0都成立;对直线l左下方的点(x，y),x+y-1<0成立.二、证明猜想如图，在直线x+y-1=0上任取一点P(x过点P作垂直于y轴的直线y= y0,在此直线上点P右侧的任意一点(x,y),都有x> x0, y= y0,所以, x+y> x0+ y0=0,所以, x+y-1> x0+ y0 -1=0,即x+y-1>0,因为点P(x0,y0)是直线x+y-1=0上的任意点,1=0所以,对于直线x+y-1=0右上方的任意点(x,y), x+y-1>0都成立.同理, 对直线l: x+y-1=0左下方的点(x,y),x+y-1<0成立所以,在平面直角坐标系中, 以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1>0}是在直线x+y-1=0右上方的平面区域,类似地,在平面直角坐标系中, 以二元一次不等式x+y-1<0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1<0}是在直线x+y-1=0左下方的平面区域.提出:直线-x+y-1=0的两侧的点的坐标代入-x+y-1中,得到的数值的符号,仍然会“同侧同号,异侧异号”吗？通过分析引导学生得出一般二元一次不等式表示平面区域的有关结论.三、一般二元一次不等式表示平面区域结论：在平面直角坐标系中，•（1）二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所•有点组成的平面区域,Ax+By+C<0则表示直线另一侧所有点组成•的平面区域;(同侧同号,异侧异号)（2）有等则实,无等则虚;（3）试点定域,原点优先.四、例题：例1:画出不等式x-y+5>0表示的平面区域;分析：先作出直线x-y+5=0为边界（画成实线），再取原点验证不等式x-y+5>0所表示的平面区域.解:先画直线x-y+5=0为边界（画成实线），再取原点（0，0）代入x-y+5中，因为0-0+5>0,所以原点在不等式x-y+5>0所表示的平面区域内,不等式表示的区域如图所示.(看幻灯片)反思归纳:画二元一次不等式表示的平面区域的方法和步骤:(1)画线定界(注意实、虚线);(2)试点定域.【随堂练习】（1）画出不等式x+y >0表示的平面区域；（2）画出不等式x≤3表示的平面区域.（让学生完成）例2：画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3,0,05xyxyx表示的平面区域.分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
高三数学教案：《简单的线性规划》教学设计本文题目：高三数学教案：简洁的线性规划●学问梳理1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P(x0，y0).B0时，①Ax0+By0+C0，则点P(x0，y0)在直线的上方;②Ax0+By0+C0，则点P(x0，y0)在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax+By+C0(或0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.当B0时，①Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0上方的区域;②Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.2.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满意线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由全部可行解组成的集合叫做可行域(相似函数的定义域);使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有很多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：(1)依据题意，设出变量x、y;(2)找出线性约束条件;(3)确定线性目标函数z=f(x，y);(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域);(5)利用线性目标函数作平行直线系f(x，y)=t(t为参数);(6)观查图形，找到直线f(x，y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.●点击双基1.下列命题中正确的是A.点(0，0)在区域x+y0内B.点(0，0)在区域x+y+10内C.点(1，0)在区域y2x内D.点(0，1)在区域x-y+10内解析：将(0，0)代入x+y0，成立.答案：A2.(____年海淀区期末练习题)设动点坐标(x，y)满意(x-y+1)(x+y-4)0，x3，A. B. C. D.10解析：数形结合可知当x=3，y=1时，x2+y2的最小值为10.答案：D2x-y+10，x-2y-10，x+y1A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：将(0，0)代入不等式组适合C，不对;将( ， )代入不等式组适合D，不对;又知2x-y+1=0与x-2y-1=0关于y=x对称且所夹顶角满意tan= = ..答案：B4.点(-2，t)在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围是________________.解析：(-2，t)在2x-3y+6=0的上方，则2(-2)-3t+60，解得t .答案：t5.不等式组表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有____________个.解析：(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个.答案：3●典例剖析【例1】求不等式|x-1|+|y-1|2表示的平面区域的面积.剖析：依据条件画出所表达的区域，再依据区域的特点求其面积.解：|x-1|+|y-1|2可化为x1， x1， x1， x1，y1， y1， y1， y1，x+y 4 x-y 2 y-x 2 x+y0.其平面区域如图.面积S= 44=8.评述：画平面区域时作图要尽量精准，要留意边界.深化拓展若再求：① ;②的值域，你会做吗?答案：①(-，- ][ ，+);②[1，5].【例2】某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h(4v20)从A港动身到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30w100)自B港向距300 km的C市驶去.应当在同一天下午4至9点到达C市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、y h.(1)作图表示满意上述条件的x、y范围;(2)假如已知所需的经费p=100+3(5-x)+2(8-y)(元)，那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?剖析：由p=100+3(5-x)+2(8-y)可知影响花费的是3x+2y的取值范围.解：(1)依题意得v= ，w= ，4v20，30w100.3x10， y . ①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，即9x+y14.②因此，满意①②的点(x，y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).(2)∵p=100+3?(5-x)+2?(8-y)，3x+2y=131-p.设131-p=k，那么当k最大时，p最小.在通过图中的阴影部分区域(包括边界)且斜率为- 的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10，4)，即当x=10，y=4时，p最小.此时，v=12.5，w=30，p的最小值为93元.评述：线性规划问题首先要依据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何意义.【例3】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可来回6次，乙型卡车每辆每天可来回8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z 元，那么x+y9，106x+68x360，0x4，0y7.z=252x+160y，其中x、yN.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观查图形，可见当直线252x+160y=t经过点(2，5)时，满意上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=2522+1605=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f(x，y)=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用"网点法'先作出可行域中的各整点.●闯关训练夯实基础1.(x-1)2+(y-1)2=1是|x-1|+|y-1|1的__________条件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要解析：数形结合.答案：B2.(x+2y+1)(x-y+4)0表示的平面区域为解析：可转化为x+2y+10， x+2y+10，x-y+40 x-y+40.答案：B3.(____年全国卷Ⅱ，14)设x、y满意约束条件x0，xy，2x-y1，则z=3x+2y的最大值是____________.解析：如图，当x=y=1时，zmax=5.答案：5x-4y+30，3x+5y-250，x1，_________.解析：作出可行域，如图.当把z看作常数时，它表示直线y=zx 的斜率，因此，当直线y=zx过点A时，z最大;当直线y=zx过点B 时，z最小.x=1，3x+5y-25=0，得A(1， ).x-4y+3=0，3x+5y-25=0，zmax= = ，zmin= .答案：5.画出以A(3，-1)、B(-1，1)、C(1，3)为顶点的△ABC的区域(包括各边)，写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x-2y的最大值和最小值.分析：本例含三个问题：①画指定区域;②写所画区域的代数表达式——不等式组; ③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域.直线AB的方程为x+2y-1=0，BC及CA的直线方程分别为x-y+2=0，2x+y-5=0.在△ABC内取一点P(1，1)，分别代入x+2y-1，x-y+2，2x+y-5得x+2y-10，x-y+20，2x+y-50.因此所求区域的不等式组为x+2y-10，x-y+20，2x+y-50.作平行于直线3x-2y=0的直线系3x-2y=t(t为参数)，即平移直线y= x，观查图形可知：当直线y= x- t过A(3，-1)时，纵截距- t 最小.此时t最大，tmax=33-2 (-1)=11;当直线y= x- t经过点B(-1，1)时，纵截距- t最大，此时t有最小值为tmin= 3(-1)-21=-5.因此，函数z=3x-2y在约束条件x+2y-10，x-y+20，2x+y-506.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给同学配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?解：设每盒盒饭需要面食x(百克)，米食y(百克)，所需费用为S=0.5x+0.4y，且x、y满意6x+3y8，4x+7y10，x0，y0，由图可知，直线y=- x+ S过A( ， )时，纵截距 S最小，即S 最小.故每盒盒饭为面食百克，米食百克时既科学又费用最少.培育力量7.配制A、B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料3 mg，乙料5 mg;配一剂B种药需甲料5 mg，乙料4 mg.今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A、B两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设A、B两种药分别配x、y剂(x、yN)，则x1，y1，3x+5y20，5x+4y25.上述不等式组的解集是以直线x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)、(3，2)、(4，1).所以，在至少各配一剂的状况下，共有8种不同的配制方法.8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量特别大，有多少就能销售多少，因此该公司要依据实际状况(如资金、劳动力)确定产品的月提供量，以使得总利润满足最大.已知对这两种产品有挺直限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金(百元) 月资金提供量(百元)空调机洗衣机成本 30 20 300劳动力(工资) 5 10 110单位利润 6 8试问：怎样确定两种货物的月提供量，才能使总利润满足最大，最大利润是多少?解：设空调机、洗衣机的月提供量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有30x+20y300，5x+10y110，x0，y0，x、y均为整数.由图知直线y=- x+ P过M(4，9)时，纵截距最大.这时P也取最大值Pmax=64+89=96(百元).故当月提供量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元.探究创新9.实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，求：(1) 的值域;(2)(a-1)2+(b-2)2的值域;(3)a+b-3的值域.f(0)0f(1)0f(2)0b0，a+b+10，a+b+20.如图所示. A(-3，1)、B(-2，0)、C(-1，0).又由所要求的量的几何意义知，值域分别为(1)( ，1);(2)(8，17);(3)(-5，-4).●思悟小结简洁的线性规划在实际生产生活中应用特别广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务;或是给定一项任务，如何合理支配和规划，能以最少的资源来完成.如常见的任务支配问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决.图解法解决线性规划问题时，依据约束条件画出可行域是关键的一步.一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域.其次是画好线性目标函数对应的平行直线系，特殊是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要推断精准.通常最优解在可行域的顶点(即边界线的交点)处取得，但最优整数解不肯定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最终经过的那一整点的坐标.●老师下载中心教学点睛线性规划是新增加的教学内容，应予以足够重视.线性规划问题中的可行域，事实上是二元一次不等式(组)表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础，由于在直线Ax+By+C=0同一侧的全部点(x，y)实数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0，y0)〔若原点不在直线上，则取原点(0，0)最简便〕，把它的坐标代入Ax+By+C=0，由其值的符号即可推断二元一次不等式Ax+By+C0(或0)表示直线的哪一侧.这是教材介绍的方法.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右(或左)平移时，t值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解.解线性规划应用题步骤：(1)设出决策变量，找出线性约束条件和线性目标函数; (2)利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数满足最大(或最小).拓展题例【例1】已知f(x)=px2-q且-4f(1)-1，-1f(2)5，求f(3)的范围.解：∵-4f(1)-1，-1f(2)5，p-q-1，p-q-4，4p-q5，4p-q-1.求z=9p-q的最值.p=0，q=1，zmin=-1，p=3，q=7，-1f(3)20.【例2】某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车;B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少?解：设A厂工作x h，B厂工作y h，总工作时数为t h，则t=x+y，且x+3y40，2x+y20，x0，y0，可行解区域如图.而符合问题的解为此区域内的格子点(纵、横坐标都是整数的点称为格子点)，于是问题变为要在此可行解区域内，找出格子点(x，y)，使t=x+y的值为最小.由图知当直线l：y=-x+t过Q点时，纵、横截距t最小，但由于符合题意的解必需是格子点，我们还必需看Q点是否是格子点.x+3y=40，2x+y=20，得Q(4，12)为格子点.故A厂工作4 h，B厂工作12 h，可使所费的总工作时数最少.。
