- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
,
x U (x0 )
2019/11/15
高数同济六版
目录 上页 下页 返回 结束
定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
证: 设 f (x) 所展成的幂级数为
则
f (x) a1 2a2x nan xn1 ;
f (n) (0) m(m 1)(m 2)(m n 1) ,
于是得 级数 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m n 1) xn n!
由于 R lim an lim n 1 1 n an1 n m n
F (x) (1 x)m
高数同济六版
推导 目录 上页 下页 返回 结束
由此得
(1 x)m 1 m x m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m n 1) xn n!
称为二项展开式 . 说明：
(1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 .
(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
(1
x)m1 1 1 x
1mx
xmx(m22!1) x2
待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
2019/11/15
高数同济六版
目录 上页 下页 返回 结束
定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim Rn (x) 0.
就是代数学中的二项式定理.
2019/11/15
高数同济六版
目录 上页 下页 返回 结束
对应
m
1 2
,
1 2
,1
的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 (2n)!
1 (1)n 4n x2n ,
2 n1
(2n)!
x (, )
2019/11/15
高数同济六版
目录 上页 下页 返回 结束
作业 P283 2 (2) , (3) , (5) , (6) ;
3 (2) ; 4 ; 6
2019/11/15
高数同济六版
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
2. 常用函数的幂级数展开式
ex 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
x (, )
ln(1 x) x 1 x2 1 x3 1 x4 (1)n xn1
2 34
n 1
2019/11/15
高数同济六版
x (1, 1]
3! 5!
(2n 1)!
对上式两边求导可推出:
cos x 1 1 x2 1 x4 (1)n1 1 x2n
2! 4!
(2n)!
2019/11/15
高数同济六版
目录 上页 下页 返回 结束
例3. 将函数
展开成 x 的幂级数, 其中m
为任意常数 .
解: 易求出 f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1) ,
sin(
(n
1)
π 2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin
x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x
2n1
2019/11/15
高数同济六版
目录 上页 下页 返回 结束
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n1 1 x2n1
2019/11/15
高数同济六版
目录 上页 下页 返回 结束
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
为f (x) 的泰勒级数 .
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
xn m(m
1)(m
(1n! x
n 1)
1)
xn
2019/11/15
高数同济六版
目录 上页 下页 返回 结束
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
例4. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: 因为
1 1 x x2 (1)n xn ( 1 x 1 ) 1 x 把 x 换成 x2 , 得
其收敛半径为
1
R
lim
n
n!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
2019/11/15
高数同济六版
目录 上页 下页 返回 结束
x (, ) (1 x)m 1 mx m(m 1) x2
2! m(m 1)(m n 1) xn x (1, 1)
n!
当 m = –1 时
1 1 x
1
x
x2
x3
(1)n
xn
,
x (1, 1)
2019/11/15
F(x) m 1 m 1 x (m 1)(m n 1) xn1
1
(n 1)!
2019/11/15
(1 x)F(x) mF(x), F(0) 1
推导
x
0
F ( x) F ( x)
d
x
x
0
1
m x
d
x
ln F(x) ln F(0) mln(1 x)
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 域为
利用此题可得
2019/11/15
高数同济六版
目录 上页 下页 返回 结束
12 1
)
1
x 1 2
(x 1)2 22
(1)n
(x 1)n 2n
1 8
(1)n
n0
1 2n2
1 22n3
(x 1)n
2019/11/15
高数同济六版
(1 x 3 )
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 .
1 1 x2
1
x2
x4
(1)n
x2n (1
x
1)
2019/11/15
高数同济六版
目录 上页 下页 返回 结束
例5. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
f (x) 1 1 x
(1)n xn
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
目录 上页 下页 返回 结束
sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
R)
内
lim
n
Rn
(
x)
是否为
0.
2019/11/15
高数同济六版
目录 上页 下页 返回 结束
例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) (x) ex , f (n) (0) 1 (n 0,1,), 故得级数
1
x
1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
2019/11/15
高数同济六版
目录 上页 下页 返回 结束
为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F(x),1 x 1
则 F(x) 1 m x m(m 1) x2 2! m(m 1)(m n 1) xn n!
该邻域内有 :
f (x)
f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
